Idee. Man betrachte als Standardbeispiel dieses Kapitels die nicht periodische

Transkript

1 Kapitel 27 Fourier-Transformation 27. Einführung (periodische Fortsetzung; ontinuierliches Spetrum) Die Integraltransformation im Mittelpunt der hier ausgeführten Betrachtungen ist die Fourier-Transformationen. Es sei vorweggeschict, dass mittels Integraltransformationen ein Problem derart transformiert werden soll, dass es in der neuen Form gelöst werden ann. Der wesentliche Punt ist, dass anschließend eine Rüctransformation möglich sein muss, die auf die Lösung des ursprünglichen Problems führt. M.a.W. muss eine Intergaltransformation invertierbar sein. Für die folgenden Betrachtungen gibt es eine Vielzahl von Anwendungen etwa in der mathematischen Physi. Man dene vor Allem auch an die Informationstechnologie (Signale senden, übertragen, empfangen, analysieren, verarbeiten... ). Idee. Man betrachte als Standardbeispiel dieses Kapitels die nicht periodische Funtion f: [ π, π] R,, falls π x π, f(x) = 0, falls x >π. Studiert wird also ein typisches Ein- und Ausschaltsignal. Da die Funtion nicht-periodisch ist, ann die Theorie aus Kapitel 26 nicht angewandt werden. Deshalb betrachtet man zunächst die Einschränung f [,] der Funtion f auf das Intervall [, ], d.h. f [,] ist lediglich definiert auf dem Intervall [, ] und es 597

2 598 Kapitel 27: Fourier-Transformation f(x) π π x Abbildung 27.: Das Signal. gilt für alle x mit x : f [,] (x) =f(x). Diese Funtion wird fortgesetzt als Funtion mit der Periode 4π, so wie es in Abbildung 27.2 dargestellt ist. Es ist eine periodische Funtion mit der Periode 4π entstanden, deren Spetrum nach Kapitel 26 analysiert werden ann. Es handelt sich dabei um ein disretes Spetrum, die Grundschwingung hat die Frequenz /2, die Oberschwingungen sind Vielfache davon (vgl. Abbildung 27.3). f(x) π π x Abbildung 27.2: Die 4π-periodische Fortsetzung. In der obigen Konstrution (Einschränung und periodische Fortsetzung) ersetze man nun durch lπ, l N. Die Situation ist in Abbildung 27.4 angedeutet. Die Grundschwingung hat nun die Frequenz /l, die Oberschwingungen sind wiederum Vielfache davon. Man erennt in Abbildung 27.5, dass die Eintragungen des Spetrums für große l immer näher zusammenrücen. Abbildung 27.4 suggeriert nun einerseits, dass sich beim Grenzübergang l das Spetrum des nicht-periodischen Ein- und Ausschalt-

3 Kapitel 27: Fourier-Transformation /2 ω Abbildung 27.3: Das Spetrum der 4π-periodischen Fortsetzung. f(x) lπ π π lπ x Abbildung 27.4: Die 2lπ-periodische Fortsetzung. signals ergeben sollte. Abbildung 27.5 suggeriert andererseits, dass beim Grenzübergang aus dem disreten ein ontinuierliches Spetrum entstehen sollte. Die nachfolgende präzisierte Heuristi ist aus zwei Gründen recht ausführlich gehalten: i) Sie bietet die schöne Möglicheit, eine Vielzahl von Grundbegriffen der Analysis (Konvergenz, Konvergenz von Reihen, uneigentliche Integrale, Riemannsche Zwischensummen, Vertauschung von Grenzwerten, absolute Konvergenz, harmonische Reihe, Konvergenzriterium von Leibniz) anhand eines wesentlichen Anwendungsbeispiels ins Gedächtnis zu rufen bzw. zu zeigen, wie diese ineinander greifen. ii) In der Literatur werden zwei unterschiedliche Zugänge gewählt: Entweder wird ein rigoroser mathematischer Beweis präsentiert, was hier nicht geschehen soll. Oder aber es wird versucht, die

4 600 Kapitel 27: Fourier-Transformation 0 /l ω Abbildung 27.5: Das Spetrum der lπ-periodischen Fortsetzung. Fourier-Transformation mit Grenzwertbetrachtungen aus dem periodischen Fall herzuleiten, wie es bereits angedeutet wurde. Dabei werden leider oft in unzulässiger Weise Grenzwerte vertauscht und die entscheidende Idee geht aufgrund einer unsauberen Notation verloren. In der Tat onnte für die folgenden Rechnungen ein Zitat in der gängigen Literatur gefunden werden. Präzisierte Heuristi. Man betrachte den Ausdruc e iux f(t)e iut dt du, wobei im Folgenden die Existenz aller auftretenden uneigentlichen Integrale angenommen sei. Es sei nun ε>0 fixiert. Für K>0 hinreichend groß gilt = K e iux f(t)e iut dt du K e iux f(t)e iut dt du + ψ (K). Hier ist ψ : R + R eine Funtion mit ψ (K) 0, falls K. Zu l N wird im nächsten Schritt das Intervall [ K, K] äquidistant mit der Schrittweite /l zerlegt. Ist l hinreichend groß, so ann das

5 Kapitel 27: Fourier-Transformation 60 Integral über u mit einer Riemannschen Summe approximiert werden: e iux f(t)e iut dt du = Kl = Kl e i l x f(t)e i l t dt l + ψ 2(l)+ψ (K) = Kl = Kl e i l x lπ f(t)e i l t dt l lπ + + Kl = Kl Kl = Kl e i l x f(t)e i l t dt l lπ e i l x lπ f(t)e i l t dt + ψ 2 (l)+ψ (K). l Wie ψ ist auch ψ 2 : R + R eine Funtion mit ψ 2 (l) 0, falls l. Fällt f(x) hinreichend schnell gegen Null, gilt also beispielsweise für ein α>0 lπ f(t) dt l α und lπ f(t) dt l α für l hinreichend groß, so folgt Kl e i l x f(t)e i l t dt l 2Kl l l α K π l α. = Kl lπ Eine analoge Abschätzung gilt für das Integral von bis lπ. Insgesamt ist bisher gezeigt: e iux f(t)e iut dt du ( ) = Kl = Kl e i l x lπ f(t)e i l t dt + ψ (K)+ψ 2 (l)+ψ 3 (K, l), l lπ

6 602 Kapitel 27: Fourier-Transformation wobei die Funtion ψ 3 : R + R + R abgeschätzt ist durch ψ 3 (K, l) 2K π l α. Bisher wurde mit der Funtion f selbst gerechnet. Jetzt wird beobachtet: In der Summe über auf der rechten Seite von ( ) steht das disrete Spetrum der periodischen Fortsetzung von f [ lπ,lπ] im Frequenzbereich [ K, K]. Wäre diese Summe eine unendliche Summe,sowäre diese für x <lπ nach Satz gleich f [lπ,lπ] (x) =f(x) und es würde folgen e iux f(t)e iut dt du = f(x)+ψ (K)+ψ 2 (l)+ψ 3 (K, l). Für festes K önnte dann zunächst der Grenzwert l betrachtet werden, wobei insbesondere ψ 3 (K, l) gegen Null streben würde. Der anschließende Grenzübergang K würde liefern f(x) = e iux f(t)e iut dt du. ( ) In der Tat gilt die Formel ( ) unter geeigneten Voraussetzungen an f. Sie ist das Hauptergebnis dieses Kapitels. Problem. In ( ) steht nur eine endliche Summe. Um für ein festes l mit der Funtion f [ lπ,lπ] argumentieren zu önnen und für diese wie oben angedeutet Satz ausnutzen zu önnen, muss zunächst der Grenzübergang K betrachtet werden. Es gilt jedoch lim ψ 2K 3(K, l) lim K K π l α =! Dementsprechend beinhaltet die oben angedeutete Schlussweise eine unzulässige Vertauschung von Grenzwerten, die ohne wesentliche Zusatzinformationen nicht zum Ziel führen ann. Es sei angemert, dass die unzulässige Vertauschung von Grenzwerten eine der häufigsten Fehlerquellen in der Analysis ist.

7 Kapitel 27: Fourier-Transformation 603 Zur Präzisierung wird nun ( ) zunächst geschrieben als: e iux f(t)e iut dt du = lπ e i l x f(t)e i l t dt l = lπ =f(x) Kl = =Kl e i l x lπ f(t)e i l t dt l lπ e i l x lπ f(t)e i l t dt l lπ +ψ (K)+ψ 2 (l)+ψ 3 (K, l). ( ) Bemerungen. i) Die obigen Reihen existieren nach Satz als Fourier-Reihen von f [ lπ,lπ]. ii) Für x <lπist der erste Ausdruc auf der rechten Seite von ( ) nach Satz gleich f [ lπ,lπ] = f(x). In der Formel ( ) setzt man ψ 4 (K, l) := Kl = =Kl.... Dabei ist anzumeren, dass der Parameter l sowohl in den Summationsgrenzen als auch in den Summanden auftaucht. Dementsprechend ist das Verhalten der Funtion ψ 4 (K, l) a priori völlig ungewiss. Behauptung. Es existiert eine reelle Konstante c>0, sodass für alle K>0 und für alle l hinreichend groß gilt ψ 4 (K, l) c K.

8 604 Kapitel 27: Fourier-Transformation Konsequenz. Ist die Behauptung gezeigt, so folgt aus ( ) e iux f(t)e iut dt du f(x) ψ (K) + ψ 2 (l) + ψ 3 (K, l) + c K. Ist K zunächst fixiert und l K hinreichend groß, so gilt (mit dem fixierten ε>0) ψ 2 (l) + ψ 3 (K, l) ε 2. Ist anschließend K hinreichend groß gewählt mit ψ (K) + c K ε 2, so folgt e iux f(t)e iut dt du f(x) ε. Dies gilt (falls die Behauptung richtig ist) für alle beliebig leinen ε>0 und es folgt ( ). Beweisidee der Behauptung. Es soll exemplarisch ein Ein- und Ausschaltvorgang betrachtet werden, d.h. es sei im Folgenden, falls π x π, f(x) = 0, falls x >π. Bemerung. Die Vorstellung ist, dass f approximativ als abzählbare Vereinigung solcher Funtion geschrieben werden ann, wie es in Abbildung 27.6 angedeutet ist. Für ein solches f modifiziere man die folgenden Argumente unter Berücsichtigung der Tatsache, dass f für große x hinreichend schnell ablingt. Wegen der Fülle der Details wird dies nicht ausgeführt. Es sei an Abbildung 27.4 erinnert, in der die periodische Fortsetzung von f [ lπ,lπ] angedeutet ist. Es handelt sich um eine gerade Funtion,

9 Kapitel 27: Fourier-Transformation 605 f(x) x Abbildung 27.6: Eine Treppenfuntion f. d.h. die Fourier-Entwiclung in ( ) ist lediglich eine Entwiclung in Termen des Kosinus: lπ lπ π f(t)cos l t dt = cos π l t dt = 2l sin l π. Betrachtet man schließlich zur Vereinfachung den Punt x = 0, so ist (bis auf Konstanten) die Reihe zu analysieren. =Kl sin l π Bemerung. Betragsmäßig ann diese Reihe lediglich durch die divergente harmonische Reihe abgeschätzt werden. Auch gelten beispielsweise nicht die Voraussetzungen des Riemannschen Integralriteriums (vgl. Proposition 6, p. 326, [Hi]). Die letzte Hoffnung auf Konvergenz wird durch das alternierende Vorzeichen der trigonometrischen Funtionen genährt (man vergleiche das Konvergenzriterium von Leibniz, Satz 4.2.4). Dies verdeutlicht nochmals die Subtilität der Konvergenzfrage. Wegen sin l π = sin l l π,

10 606 Kapitel 27: Fourier-Transformation wird wie folgt aufgespalten: sin l π = =Kl Kl+l =Kl sin l π Kl+2l =Kl+l + +. l sin π l Bemerung. Streng genommen müssen hier die Partialsummen bis zu einem festen N N betrachtet werden. Da die Konvergenz der Reihe bereits verifiziert wurde, wird auch auf dieses Detail verzichtet. O.E. sei weiter K gerade, d.h. alle vorommenden Sinusauswertungen sind nicht-negativ. Die Summe von Kl bis Kl + l ist nach oben abgeschätzt durch K Kl+l =Kl l sin l π. Die Summe von Kl + l bis Kl +2l ist nach unten abgeschätzt durch (die negative Summe also nach oben durch das Negative von) K +2 Kl+2l =Kl+l Insgesamt erhält man sin l π =Kl l l sin l Kl+l =Kl = K π = K +2 l sin l π Kl+l =Kl l sin l π. K K +2 + K +2 K +4 + K +4 + Kl+l =Kl l sin l π. Im letzten Schritt beachtet man schließlich, dass (es handelt sich wieder um eine Riemannsche Zwischensumme) Kl+l =Kl l sin l π (K+)π Kπ sin(x) dx =2.

11 Kapitel 27: Fourier-Transformation 607 Dementsprechend ist für l hinreichend groß gezeigt (das positive Vorzeichen folgt aus analogen Argumenten) 0 =Kl sin l π 3 K. Dies ist wiederum genau die Behauptung Fouriers Integralsatz (absolut integrierbar; Fourier- Integral; Diracsche Deltafuntion; weißes Rauschen) Bevor der Kernsatz dieses Kapitels präzisiert werden ann, müssen die geeigneten Funtionenlassen eingeführt werde. Es sei zunächst an die Definition 26.2., iii), einer auf dem Intervall [a, b] stücweise glatten Funtion f erinnert. Ist f nun auf ganz R definiert, so heißt f stücweise glatt, falls die Einschränung f I von f auf jedes abgeschlossene Intervall I R stücweise glatt ist. Definition i) Man sagt, eine stücweise glatte Funtion f: R R ist von der Klasse D, falls gilt f(t) dt <. Die Funtion heißt dann auch absolut integrierbar. ii) Die Funtion ist von der Klasse D, falls zusätzlich gilt f(x) = f(x + )+f(x ) für alle x R. 2 Bemerung. Die Definition der Funtionenlasse D ist natürlich motiviert durch Satz

12 608 Kapitel 27: Fourier-Transformation Beispiele. i) Die Funtion f(x) =e x ist absolut integrierbar. ii) Die Funtion f(x) = sin(x) ist zwar beliebig glatt, liegt aber nicht in der Funtionenlasse D, da sie nicht absolut integrierbar ist. iii) Die in Abbildung 27.7 dargestellte Funtion liegt in der Klasse D, aber nicht in der Klasse D. f(x) x Abbildung 27.7: f D, f / D. iv) Die in Abbildung 27.8 dargestellte Funtion liegt sowohl in der Klasse D als auch in der Klasse D. f(x) x Abbildung 27.8: f D, f D. Bemerung. Ist f: R R stücweise glatt und onvergiert das uneigentliche Integral f(t) dt, so onvergiert auch das Fourier-Integral f(t)e iut dt für jedes u R absolut. Damit ann sinnvoll definiert werden:

13 Kapitel 27: Fourier-Transformation 609 Definition Es sei f D. Dann wird der Funtion f mittels ˆf(u) := f(t)e iut dt für alle u R eine Funtion ˆf: R C zugeordnet. Die Funtion ˆf heißt die Fourier-Transformierte von f. Die Zuordnung F: f ˆf = F[f] heißt Fourier-Transformation. Bemerung. Die Wahl des Vorfators / ist lediglich als Normierung gewählt und variiert in der Literatur. Nun ann Fouriers Integralsatz präzise formuliert werden, der im einführenden Paragraphen dieses Kapitels bereits ausführlich plausibel gemacht wurde. Satz Es sei f D und ˆf bezeichne die Fourier- Transformierte von f. Dann gilt für alle x R f(x) = e iux ˆf(u) du, wobei das uneigentliche Integral... als Cauchyscher R Hauptwert lim R R... zu verstehen ist (vgl. Übungen zu Kapitel 2.4). Falls ˆf(u) du onvergiert, so ist das uneigentliche Integral im üblichen Sinne zu interpretieren. Bemerungen. i) Wie in der Einleitung bereits hervorgehoben, besagt Satz 27.2., dass eine Funtion f D aus ihrer ontinuierlichen Spetralzerlegung reonstruiert werden ann, die Fourier-Transformation ist invertierbar.

14 60 Kapitel 27: Fourier-Transformation ii) Es ann äquivalent geschrieben werden f(x) = f(t)e iu(x t) dt du. iii) Es gilt ein Eindeutigeitssatz, d.h. aus ˆf ˆf 2 folgt f = f 2 Beispiele. i) Es sei f(x) =e x2 /2.Mansetzt ϕ(u) := e t2 2 e iut dt = ˆf(u) und erinnert sich an die Disussion parameterabhängiger Integrale, insbesondere an Satz Es folgt ϕ (u) = i te t2 2 e iut dt. Eine partielle Integration liefert für jedes fixierte R>0 R te t2 2 e iut dt = e t2 2 e iut R R iu e t2 2 e iut dt, R R und im Limes R folgt die lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ϕ (u) = i iu e t2 2 e iut dt R = uϕ(u) zusammen mit der Anfangsbedingung (vgl. die Disussion der Fresnelschen Integrale in Kapitel 23.) ϕ(0) = e t2 2 dt =. Dieses Anfangswertproblem hat nach Satz 4.. aber genau eine Lösung, und es ist leicht nachzurechnen, dass die Lösung lautet: ϕ(u) = e u2 2, dementsprechend ist nach der Definition von ϕ die Fourier- Transformierte ˆf(u) = ϕ(u) =e u2 2 = f(u), es ist f ein Fixpunt der Fourier-Transformation.

15 Kapitel 27: Fourier-Transformation 6 ii) Die anschauliche Vorstellung ist, dass beispielsweise dem Kosinus eine disrete Frequenz zugeordnet wird (Aber Vorsicht: Der Kosinus ann nicht nach Satz transformiert werden, warum? Man vergleiche auch die abschließende bemerung dieses Kapitels.), die Funtion e x2 /2 wird nach dem vorherigen Beispiel auf sich selbst transformiert und die extreme Situation in die andere Richtung ist ein scharfes Signal, dem, wie nun gezeigt wird, eine Fourier-Transformierte mit onstanter Amplitude zugeordnet wird, man spricht von weißem Rauschen. Ein scharfes Signal wird repräsentiert duch die Diracsche Deltafuntion, falls x =0, δ(x) := 0, falls x = 0, δ(t) dt =. Diese Schreibweise ist in der physialischen Literatur üblich, natürlich handelt es sich hier nicht um eine Funtion, man spricht von einer Distribution. Ohne auf weitere Details einzugehen wird hier für 0 <ε die Approximation ε δ ε := π(ε 2 + t 2 ) betrachtet, wobei zu beachten ist, dass für alle ε>0 gilt δ ε (t) dt = ε π lim t R ε arctan R ε =. R Die Behauptung ist nun, dass die Fourier-Transformierte lautet: Nach Satz ist ˆδ ε (u) = δ ε (x) = εe iut π(ε 2 + t 2 ) dt = e ε u. e iuxˆδε (u) du, es ist also zu verifizieren (die Fourier-Transformierte ist eindeutig) ε π(ε 2 + x 2 ) = e iux e ε u du. ( ) ( )

16 62 Kapitel 27: Fourier-Transformation Dazu wird das Integral als ein Integral über die positive reelle Achse geschrieben, nach der Definition des Betrags ist (Transformation von 0... auf 0...) e iux e ε u du = 0 e εu e iux + e iux du = e u(ε+ix) + e u(ε ix) du 0 und die Definition des unbestimmten Integrals liefert e iux e ε u du = lim e u(ε+ix) R (ε + ix) + e u(ε ix) (ε ix) = ε + ix + ε ix = u=r u=0 ε π(ε 2 + x 2 ), es folgt ( ) und damit ( ). Anhand von ( ) sieht man schließlich, dass im Grenzwert ε 0 eine onstante Amplitude entsteht: lim ˆδ ε (u) = für alle u R. ε 0 Es ann als Faustregel festgehalten werden: Einem scharf loalisierten Signal entspricht ein breites Frequenzspetrum, im obigen Extremfall ein weißes Rauschen. iii) Formal ann geschrieben werden π F [cos(ωx)] = (δ(x ω)+δ(x + ω)). 2 iv) Für weitere Beispiele sei auf die Übungen verwiesen.