Fourier-Reihen & Fourier - Transformation

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1 Fourier-Reihen & Fourier - ransformation Prof. Dr. Karlheinz Blanenbach Hochschule Pforzheim iefenbronner Str Pforzheim Überblic / Anwendungen: Die Fourier-ransformation dient beispielsweisezur Analyse von Signalen (Signalverarbeitung), der Filterung und der Analyse von Schwingungen. Empfohlene Literatur: - Böhme: Analysis, Springer - Latusse et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathemati V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln - Papula : Mathemati für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band, Vieweg - Westermann : Mathemati für Ingenieure mit MAPLE, Band, Springer - Burg et al. : Höhere Mathemati für Ingenieure, Band III, eubner - ilman Butz: Fourier-ransformation für Fußgänger, eubner Blanenbach / WS / 3.9.

2 . Fourier - Reihenentwiclung (Wiederholung aus. Sem) Fourier-Reihenentwiclung warum, wozu?: - Methode zur Darstellung von Funtionen durch (unendliche) Reihen gut für Mirocontroller falls mathematische Funtion nicht im Compiler implementiert ist oder eingebaute Compilerfuntion zu langsam. - Anwendungen: Differentiation, Integration, Spetrum,. Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen Anwendungen: - Darstellung von Funtionen mit Reihen Numeri - Integrierbareit von 'unlösbaren' Integralen - Frequenzanalyse nach FOURIER - In der echni sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert (oft auch, weil eine exate Formel existiert bzw. experimentell ermittelt) Bsp: Hooe sches Gesetz, -abhängiger Längenausdehnung bzw. eletrischer Widerstand: X = X o ( + ) Definition: a + a + a a n +... = a n n (R - ) a n : n-tes Reihenglied Reihe ist - onvergent, wenn a n n = S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - ) - divergent: Grenzwert S existiert nicht a n = n Ideal: Unendliche Reihe Reale Numeri: endliche Reihe a n N n = <s N > (R - 3) Partialsumme Blanenbach / WS / 3.9.

3 Vorgehensweise bei Reihen: ) existiert S? ) wenn ja (onvergent), bestimme S bzw. <s N > Beispiele: n n = = divergent... = onvergent? n n Reihendefinitionen: - geometrisch : a n = a q n- - alternierend : a - a + a Potenzreihe : a + a x + a x² + (Polynom) - arithmetisch : a n = a + (n-) d - harmonisch : a n = / n Geometrische Reihen Def.: n a q = a + aq + aq² + aq³ +... (R - 4) n Konvergenzbed.: q < Summe: S a für q < (R - 5) q n Bsp:... n n 4 q = / also onvergent, a = S Blanenbach / WS /

4 Alternierende Reihen n Def.: n a = a - a + a 3 - a (R - 6) n Leibnitz - Konvergenzriterium: ) a n > a n+ (R - 7) ) lim a n n alternierende Reihe onvergent, wenn beide Bed. erfüllt n n n Bsp:... 3 a n = /n Leibnitz: ) n n ) lim n n Reihe ist onvergent Potenzreihen Def.: n a x n = a n o + a x + a x + a 3 x (R - 8) mit a n R Potenzreihe = Polynom Konvergenzradius r a n lim (R - 9) n an - onvergent : x < r - divergent : x > r - eine Aussage : x = r n x x x Bsp:... n! n r a lim a n n n lim n (n )! n! lim(n ) n Reihe onvergent für alle x R (Faultät > Potenz) Blanenbach / WS /

5 Potenzdarstellung von Funtionen onvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar: y f(x) n a x n (R - ) n somit gilt auch: d - Differential y' f'( x) dx n an x n n n a x n n - Integral F x f x dx a x dx a x n n ( ) ( ) n n n n n C Bsp: ( ) n x n - x + x² - x³ +... mit a =, q = -x : geometrische Reihe n ( x) x n für x < f(x) = / (+x) (Summe) Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe Diff: f (x) = -/(+x)² = - + x - 3x² +... = ( ) n n n x n (so erhält man auch Summen von neuen Reihen) Int : dx f( x) dx ln( x) x zu Fuß unmöglich aus Formelsammlung n ( x) n dx x x² x³ 3... C = ln(+x)! C aus ln = für x= C = ln(+x) x x²/ + x³/3 Anwendung: Numeri Blanenbach / WS /

6 Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung) Blanenbach / WS /

7 MacLaurin - Reihe Kann y = f(x) in eine onvergente Potenzreihe entwicelt werden, so ist dies nur mit der ML - Reihe möglich: n (n) f'() f''() f () n f () n f (x) f() x x²... x x (R - )!! n! n! n Achtung: Entwiclung nur um x =! Beispiele: - lineare Näherung f(x) f() + f () x F = + D x Hooesches Gesetz für Feder R = R o + R o aus R o ( + ) V = V o + V o aus V o ( + ) - f(x) = e x f(x) = f (x) = f (x) =..= e x f() = f () = f () =..= e = e x = + x/! + x²/! + x³/3! - y = x² - f() = - f (x) = x ; f () = - f (x) = ; f () = - f und folgende: Null f(x) = + + / x² + + = x² Blanenbach / WS /

8 aylor - Reihe - allgemeiner Fall der MacLaurin - Reihe für x = - Entwiclung um beliebigen Wert x, der beannt sein muß - h ist Abstand von x n (n) f'(xo ) f''(xo ) f (xo ) n f (xo ) n f (xo h) f(xo ) h h²... h h (R - )!! n! n! n Bsp: e,4 e =,78 beannt -> x o =, x o + h =,4 h =,4 f( +,4) = e + e h + e /! h² + e /3! h³ +... = e ( + h + h²/ + h³/ ) Vergleich (an der afel) MacLaurin und aylor für f(x) = e x mit x =, für aylor : e xo mit x o = also e =,7 beannt Exat: 7,389 n MacLaurin aylor e =, e =,7 3, 5,44 5, 6,8 3 6,33 7,5 4 7, 7,36 5 7,7 7,38 Mit aylor-reihe ommt man schneller, d.h. für leiner n, dem exaten Wert näher. Blanenbach / WS /

9 Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung) liefern (nur) in der Nähe des Nullpunte brauchbare Ergebnisse! (Bsp: sinx = x und e -x = - x geht für größere x, z.b. schief ) Blanenbach / WS /

10 . Fourier Reihen Vorteil Fourier im Vergleich zu aylor- und MacLaurin-Reihe: - basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben! - Analyse des Frequenzspetrums ( Fouriertrafo) Fourier-Analyse von Musiinstrumenten rel. Lautstäre rompete rel. Lautstäre Horn f o f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o f o 3f o 4f o 5f o Frequenz rel. Lautstäre Oboe rel. Lautstäre Clarinette f o f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o f o 3f o 4f o 5f o Frequenz Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peas) für Reihen. Bei Messung und Fourier-ransformation verbreitern sich diese Peas. Blanenbach / WS / 3.9.

11 Periodische Funtionen Def.: f(t + P) = f(t) mit P = n n =,,,, : Periodendauer Beispiele einfachster periodischer Funtionen: - y = A cos t - y = A sin t y A Periodendauer t mit A : Amplitude = / : Kreisfrequenz, wichtig bei Fourier-Reihe: sin(t), cos(t), aus f = / : Frequenz = f Integrationseigenschaften periodischer Funtionen: Verschieben der Integrationsgrenzen ist erlaubt: ( ) = ( ) Def.: - Gerade Funtion : g (t) = g (-t) symmetrisch zur Y-Achse - Ungerade Funtion : u (-t) = -u (t) symmetrisch zum Ursprung Beispiele: - Cosinus : y = A cos t : y (t) = y (-t) gerade - Sinus : y = A sin t : y (-t) = -y (t) ungerade Hausaufgabe : Rechtec-, Dreiec-, Kippspannung, Gleichgerichteter Sinus, Blanenbach / WS / 3.9.

12 .. Definition der Fourier Reihe Ziel: Zerlegung einer periodischen Funtion nach Sinus und Cosinus Def.: f (t) a a cost b sint o f(x) a o a cos x b sin x mit den Fourier Koeffizienten ( reelle ganze Zahlen): relative Zeit t Ort x Amplitude (Periode mit = /) a (DC-Anteil) f(t) dt f(x) dx a f(t) cos(t) dt f(x) cosx dx b f(t) sin( t) dt f(x) sinx dx Bemerungen Die Integrationsgrenzen önnen verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß nur darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird: o o f(t)dt f(t)dt Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwiclung nach x. In der echni meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode ) verwenden! Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie): Funtion Definition alle Bsp. gerade f(-t) = f(t) b = cos ungerade f(-t) = - f(t) a = (inl. a o ) sin d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus! Blanenbach / WS / 3.9.

13 Vereinfachung für Rechnung mit Periode : Def.: f (t) ao a cost b sint ao A sin t mit A a b ; tan, Rest siehe oben a b Anmerung: Dirichletsche Bedingungen Die Entwiclung einer periodischen Funtion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele eilintervalle zerlegen, in denen die Funtion stetig und monoton ist. In den Unstetigeitsstellen existiert sowohl der lins- als auch rechtsseitige Grenzwert (es ommen nur Sprungunstetigeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht) Diese Bedingung ist z.b. nicht für angens als periodische Funtion erfüllt! Beispiele: zu. : Rechtec- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in eilintervallen zu. : Dreiecsfuntion an der Spitze Unstetigeit mit endlichem Sprung Hilfreiche Integrale und Definitionen : für cos dt für - t sin - t dt für alle - sin sin cos ( ) cos ( ) - cos cos cos ( ) cos ( ) - sin cos sin( ) sin( ) Blanenbach / WS /

14 Bsp: Fourier-Reihe eines Sägezahn-Signales f( t) t für t für t f(t) mit f(t + ) = f(t) = t Kochrezept :. Bestimmung von aus Periodendauer: = (hier, aus Defintion, siehe auch Sizze); Definition der Periodendauer = /f = / = = / =. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt? 3. Symmetrie? (vereinfacht Rechnung): ungerade Funtion, da f(-t) = -f(t) alle a = (inl a o ) 4. DC-Anteil? hier einer wg. Symmetrie (3.) 5. Berechnung der Fourieroeffizienten b f t sin t dt (Verschiebung der Integrationsgrenzen möglich) mit f(t) = t (s.o.), = und = : b tsin tdt t cos t sin t b Produt Integration ² Bem.: sin() = sin({-}) = b cos ( ) cos( ) ( ) cos cos( ) cos cos( ) cos( ) Blanenbach / WS /

15 b cos Klappt das im Mirocontroller? Nein, da ungenau Überlegung zur Vereinfachung: Welche Werte nehmen die b s an? cos() wird für alle s (reelle ganze Zahlen) nur + oder - b gerade ungerade ( ) 6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe f ( t) b sin ( t) hier : ( ) sin ( t) Def. Rel. Amplitude, Frequenz 7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder 3 Amplitude - + /3 f(t) sint - sint + /3 sin3t Hier: = (s.o.) (Bedeutung) Grundfrequenz des Sägezahns. harmonische Oberwelle. harmonische Oberwelle Blanenbach / WS /

16 Fourier-Darstellung Sägezahn y 4 Sägezahn (nicht maßstäblich) bis = bis = bis = t Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite b Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spetrum),8,6,4,,8,6,4, Liniendiagramm, da einzelne disrete 'x-werte', hier Die b s fallen relativ langsam, da die Spitzen des Sägezahnes nachgebildet werden müssen. Blanenbach / WS /

17 Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung) Blanenbach / WS /

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20 Rechtecsignal Gegeben: f (t) für t für t. Bestimmung von aus Periodendauer: = = / Definition Kreisfrequenz = / =. Sind Dirichletsche Bedingungen erfüllt? 3. Symmetrie? (vereinfacht Rechnung): ungerade Funtion, da f(-t) = -f(t) alle a = (inl a o ) 4. DC-Anteil? hier einer wg. Symmetrie (3.) auch aus Sizze: ein DC-Anteil (DC = ) erennbar a = 5. Berechnung der Fourieroeffizienten b f t sin ( t) dt sin( t) dt sin ( t) dt b cos ( t) cos ( t ) b cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) Blanenbach / WS / 3.9.

21 - gerade = cos= + () = b = - ungerade = cos= - () = + b = 4 / ist aber ungeschict besser : ungerade durch - ausdrücen b 4 () ( ) ( ) 6. Explizites Hinschreiben der Fourier-Reihe f(t) a o a cos t b sin t 4 f ( t) sin {( ) t } ( ) 7. Explizite Beschreibung der ersten Glieder Die ersten 3 Glieder der Reihenentwiclung: f (t) 4 sint 4 sin3t 3 4 sin5t 5 4 sint 3 sin3t sin5t 5 Blanenbach / WS / 3.9.

22 Rechtec-Signal durch Fourier-Reihe approximiert Blanenbach / WS / 3.9.

23 Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe es galt: (t) a a cost b sint f (Reihe) o mit e j = cos jsin (Euler) erhält man: cost = / (e jt + e -jt ) sint = / j (e jt - e -jt ) a cost + b sint = / (a - jb ) e jt + / (a + jb ) e -jt Substitution: c c - j t j t f (t) ao ce c e wegen: c e jt c e jt folgt: f(t) c e jt bzw. f(x) c e j x - entspricht negativen Frequenzen! a o C o mit C j t f(t) e dt C f(x) e j x dx Beziehungen zwischen a, b, A und C : C o = a o ; a = Re {C } ; b = - Im {C } ; A C a² b² Blanenbach / WS /

24 Blanenbach / WS / Beispiel: Rechtecfuntion omplex f(x) = f(x + ) ungerade j gerade und mit j j j j j j j NR e e j e j dx e dx e x f C j j erweitern j u j j x j x j x j sin cos ) ( sin ) ( cos : ) ( ) ( x dx dx e x f C x j Damit lautet die omplexe Fourier-Reihe ausgeschrieben: ( ) ( ) ( )

25 Beginn: =, -, +, -3, +3 Ziel: f(x) reell Blanenbach / WS /

26 .. Fourier - ransformation echni: - Meßzeit begrenzt, nicht - oft nicht periodische Funtionen (z.b. Sprache) deshalb Fourier-Reihe oft nicht Mittel der Wahl - ric des Fourier-Integrales hierbei: periodische Fortsetzung - Ergebnis der Fourier-ransformation ist ein ontinuierliches Spetrum Fourier-Reihe Fourier-Integral f(t) f(t) Messung periodische Fortsetzung Signal Messung t + <-----> Periode - / + / Messzeit t Spetrum a disret a ontinuierlich f f Blanenbach / WS /

27 Vergleich Fourier- Reihe und Fourier ransformation Blanenbach / WS /

28 Fourier ransformation Bezeichnung: f(t) F() omplexe Darstellung (e jt = cost jsint) Definition der Integrale Summe Integral Einzelglieder Fourier-ransformierte disret ontinuierlich Fourier- Reihe f(t) c e - für c.c. jt C f(t) e j t dt Fourier- Integral jt f( t) F( ) e d jt F( ) f( t) e dt F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spetraldarstellung im Allgemeinen omplex, d.h. Amplitude + Phase ACHUNG: - Nie = / verwenden wie bei Fourier-Reihe! - Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funtionen f(t) siehe 9! Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e -jt = cost - jsint : F( ) jt f ( t) e dt f ( t) cos( t) dt j f ( t) sin( t) dt F( ) R( ) j I( ) F( ) R²( ) I ²( ) : Betrag ( ) I R ( ) ( ) : Phase A() = F() : Amplitudenspetrum : Praxis! Blanenbach / WS /

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30 Beispiele Rechtec-Signale vs. Opti (Beugung) Blanenbach / WS /

31 abelle Fourier-ransformierte (aus Föllinger, HÜHIG) Vergleiche Rechtecimpuls und sinx/x (Si) Blanenbach / WS /

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35 Fourier-ransformierte und Fensterfuntionen Vorgehensweise: Erfassung (z.b. Oszi) und Multipliation im Zeitbereich mit Fensterfuntion Fensterfuntionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums Blanenbach / WS /

36 Weitere Fensterfuntionen (aus Butz: F für Fußgänger, eubner) Blanenbach / WS /

37 Frequenz Auflösung verschiedener Fensterfuntionen (aus Butz: F für Fußgänger, eubner) Gegeben ist folgende Funtion: f(t) = cos(t) + - cos(,5 t) + -3 cos(,5 t) + -3 cos( t) + -4 cos(,75 t) + -5 cos(3t) Frequenz,5,5,75 3 Amplitude Frage: Mit welcher Fensterfuntion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und teilweise geringen Amplituden aufgelöst? Blanenbach / WS /

38 Fourier-Fenster-Funtion: Rechtec Spaltfuntion (Zoom, s.u.) Verbreiterung des Hz-Peas F (Amplitudenspetrum), Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = Hz, Meßdauer s : gemessene Schwingungen,8,6,4, f /Hz F (Amplitudenspetrum) Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = Hz, Meßdauer s : gemessene Schwingungen f /Hz Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung Blanenbach / WS /

39 Beispiel: Fourier-ransformation eines RLC-Schwingreis mit schwacher Dämpfung Amplitude Gedämpfte Schwingungen Einhüllende, Zeit -,5 - schw ach gedämpft Kriechfall Aperiodischer Grenzfall rel. Amplitude F gedämpfte Schwingung 8 6 A (d=,) A (d =,5) A (d = ) 4,5,5,5 rel. Frequenz (w/w s ) Blanenbach / WS /

40 Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -ransformation. Entwicle die Funtion a f (t) a für t t t,, mit f(t+) = f(t) in eine Fourier-Reihe und sizziere das Ergebnis. a, 4,... 4a sint sin3t sin5t Lsg: b f(t)... mit 4, 3, sin t. Entwicle die Funtion f( t) für sin t t t mit f(t+) = f(t) in eine Fourier-Reihe (ipp: = und sizziere das Ergebnis. 4 cost cos4t sin6t Lsg: f(t)... mit a ungerade = ; a gerade = 4/(-²) Berechne Fouriertransformierte eines Dreiecimpulses und sizziere das Ergebnis f(t) A - mess/ t Lösung: 8A m (F ) sin² ² m 4. Berechne die F des doppelten Rechtecpuls und sizziere das Ergebnis f(t) -3-3 t Lösung: F( ) 4 sin cos Blanenbach / WS /