Kapitel 2: Fourieranalyse. Analoge, periodische Signale

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1 ZHW, NM, 5/, Rur Kapitel : Fourieranalyse Analoge, periodische Signale Inhaltsverzeichnis. EINLEIUNG.... LINEARER MIELWER LEISUNG UND EFFEKIVWER WINKELFUNKIONEN FOURIERREIHE LEISUNG IM FREQUENZBEREICH UND KLIRRFAKOR NUMERISCHE APPROXIMAION DER FOURIERKOEFFIZIENEN...7 Literatur- bzw. Quellenverzeichnis [] J. Proais, M. Salehi, Grundlagen der Kommuniationstechni, Pearson, 3. [] M. Meyer, Signalverarbeitung, Vieweg,.. Einleitung Ein analoges Signal ann als Funtion mit ontinuierlichem Definitions- und Wertebereich aufgefasst werden. In der Nachrichtentechni hat man es meistens mit ontinuierlichen Amplitudenwerten (z.b. Spannung oder Strom) in Funtion der Zeit zu tun, siehe Abbildung. s(t) t Abbildung : Analoges (Zeit-) Signal.

2 ZHW, NM, 5/, Rur In diesem Kapitel wird die Signalbeschreibung von zeitontinuierlichen, periodischen Signalen repetiert. Zeitontinuierliche, periodische Signale sind wichtige est-, Hilfs- und rägersignale in der Nachrichtentechni. Sie önnen einfach generiert und gemessen werden (mit dem KO im Zeitbereich oder dem Spetrumanalysator im Frequenzbereich). Sie tragen aber selbst eine Information. Für ein zeitontinuierliches, periodisches Signal s(t) mit der Periode gilt s(t) = s(t-) =... -,,..., () siehe auch Abbildung. Häufig wird an Stelle der Periodendauer [s] die Wiederholbzw. Grundfrequenz f = / [Hz] () angegeben. s(t) A - /m t Periode Abbildung : Zeitontinuierliches, periodisches Signal.. Linearer Mittelwert Der lineare Mittelwert A eines zeitontinuierlichen, periodischen Signals s(t) ist wie folgt definiert: Linerar Mittelwert: Der Startwert der Integration t ann dabei beliebig gewählt werden. t + A = s(t) dt. (3) t Der lineare Mittelwert des in Abbildung dargestellten Signals s(t) beträgt A = /m-. Für m= ist das Signal mittelwertfrei. Für m=4 resultiert ein Mittelwert von A = -.5. Die Mittelwertbildung durch Integration übt eine Glättungs- oder iefpassfuntion aus. A ann also auch durch Filterung von s(t) mit einem iefpass mit der Grenzfrequenz f g << f bestimmt werden. Wir werden bei der Fourierreihe unten noch sehen, dass A dem DC- Wert bzw. der DC-Komponente von s(t) entspricht.

3 ZHW, NM, 5/, Rur 3 Wenn das in Abbildung dargestellte Signal s(t) auf einem KO dargestellt wird, springt es um IA I nach oben, wenn man von DC- auf AC-Kopplung umschaltet, d.h. wenn man die DC-Komponente mit einem Serie-C unterdrüct. Mit der AC-Kopplung wird nur das DC-freie Signal s(t) - A angezeigt. Der lineare Mittelwert A ann auch mit N äquidistanten Stützwerten einer Periode (=N t) von s(t) numerisch approximiert werden: N- A s(t + n t) (4) N n= Wieder ist t beliebig. Die Approximation ist natürlich umso genauer, je grösser N bzw. je leiner t ist. 3. Leistung und Effetivwert Die normierte Momentan-Leistung an Ω ist gegeben durch p(t)=s (t). Für die mittlere normierte Leistung eines zeitontinuierlichen, periodischen Signals s(t) folgt Mittlere Leistung an Ω: t + P = s (t) dt (5) t Für das in Abbildung dargestellte Signal s(t) gilt P =, unabhängig von m. Der Effetivwert bzw. der rms-wert ist wie folgt definiert Effetivwert: S eff = S rms = P. (6) rms steht dabei für root-mean-square und sagt, wie der Wert berechnet werden muss. Für das harmonische Signal s(t) = S p sin(πf t) gilt: P = S p / bzw. S rms = S eff = S p /. Bei einem cos-signal ist also der pea-wert S p um grösser als der rms-wert. 4. Winelfuntionen Die beanntesten periodischen Signale sind die harmonischen Funtionen bzw. die Winel- Funtionen sin(πf t), cos(πf t) und e jπft. Der Zusammenhang zwischen den reellen und den omplexen Winelfuntionen ist durch die Eulerformeln und die Polaroordinatendarstellung in Abbildung 3 gegeben: cos(φ) = (e jφ + e -jφ ) / (7) sin(φ) = (e jφ - e -jφ ) / j (8)

4 ZHW, NM, 5/, Rur 4 j e jφ = cos(φ) + j sin(φ) φ j sin(φ) cos(φ) Abbildung 3: Polaroordinatendarstellung von e jφ. 5. Fourierreihe Fourier (768-83) hat gesehen, dass jede periodische Funtion s(t) durch eine (unendliche) Reihe harmonischer Schwingungen dargestellt werden ann, d.h. Fourierreihe: s(t) = A + A cos(πf t) + B sin(πf t) (9) = wobei für die Fourieroeffizienten gilt: DC-Anteil (lin. Mittelwert) t + A = s(t)dt () t cos-amplitudenspetrum (gerade) t + A = s(t) cos(πf t)dt für () t sin-amplitudenspetrum (ungerade) t + B = s(t) sin(πf t) dt für () t Für das in Abbildung dargestellte (ungerade) periodische Rechtecsignal s(t) gilt im symmetrischen Fall (m=): 4 s(t) = [sin(πf t)- sin(π 3f t) + sin(π 5f t) -+...] π 3 5 (3) Das symmetrische, periodische Rechtecsignal s(t) hat nur ungerade Harmonische bzw. Oberwellen. Sie zerfallen mit /x.

5 ZHW, NM, 5/, Rur 5 Die Fourierreihe ann auch in die Betrag-Phasendarstellung gebracht werden Fourierreihe (Betrag/Phase): s(t) = M + M cos(πf t - ϕ ). (4) = Der Zusammenhang mit den cos- und sin-koeffizienten ann mit Hilfe der in Abbildung 4 dargestellten trigonometrischen Formel hergestellt werden. M B φ A M cos(πf t-φ ) = M cos(φ ) cos(πf t) + M sin(φ ) sin(πf t) A B Abbildung 4: Zusammenhang zwischen (M,φ)- und (A,B)-Fourieroeffizienten. M = A +B (3) B ϕ = arctan( ) + nπ (4) A Jedes periodische Signal hat also ein einseitiges Betrag-Phasen-Linienspetrum! Das in Abbildung dargestellte symmetrische, periodische Rechtecsignal s(t) hat das unten dargestellte Betrag-Phasen-Spetrum. 4/π M M 3 M 5 π/ φ 3 f 3f 5f f -π/ f φ 3f φ 5 f Abbildung 5: Betrag-Phasen-Spetrum des periodischen, symm. Rechtecsignals.

6 ZHW, NM, 5/, Rur 6 Am meisten verwendet bzw. am nützlichsten ist die omplexe Schreibweise der Fourierreihe. Die omplexe Fourierreihe ist wie folgt definiert: Fouriereihe (omplex): s(t) = c e =- jπf t (5) t + -jπf t c = s(t) e dt (6) t Der Zusammenhang mit den anderen Fourier-Koeffizienten lautet: c = (A - j B ) = c * für (7) - M =c M = c für ϕ = arg(c ) (8) In Abbildung 6 ist ein symmetrisches periodisches Rechtecsignal s(t) und seine ersten zwei Harmonischen sowie das zweiseitige Betragsspetrum dargestellt. s(t) c /π t/ 3 f/f Abbildung 6: Zweiseitiges Betrags-Spetrum des periodischen Rechtecsignals. 6. Leistung im Frequenzbereich und Klirrfator Die mittlere Leistung P eines periodischen Signals s(t) entspricht der Summe der Leistungen der einzelnen Harmonischen, d.h. M A + B P c, (9) Satz von Parseval: = P = M + = A + = = = = = weil die einzelnen Harmonischen orthogonal zueinander sind. P besteht aus der DC- Leistung und der AC-Leistung aller Harmonischen. Der Zusammenhang zwischen der mittleren normierten Leistung P eines periodischen Signals s(t) und seiner Fourieroeffizienten ist auch als Satz von Parseval beannt.

7 ZHW, NM, 5/, Rur 7 Mit einem Spetrumanalysator önnen die Leistungen (oder die Effetivwerte) der einzelnen Spetralomponenten eines periodischen Signals gemessen und in Form eines einseitigen Leistungslinienspetrums dargestellt werden. Vor allem in der Audioverarbeitung wünscht man sich möglichst leine Verzerrungen, d.h. sehr grosse Signaltreue. Wenn man einen Audioverstärer mit einem reinen Sinussignal ansteuert, erwartet man am Ausgang ein möglichst reines Sinussignal der Grundfrequenz f mit möglichst leinen harmonischen Oberwellen. Unter der Annahme der DC-Freiheit definiert man deshalb als Mass für die Verzerrungen von periodischen, DC-freien Signalen s(t) den Klirrfator Klirrfator: = P P P M + M = P P M + M + M () als Wurzel aus dem Verhältnis der Oberwellenleistung zur Gesamtleistung. Der Klirrfator wird in Prozenten angegeben und beträgt, da meist die Grundharmonische M dominiert, üblicherweise nur Bruchteile eines Prozents bis wenige Prozent. Zur Berechnung werden nur die ersten paar relevanten Harmonischen berücsichtigt. Der Klirrfator ann auch mit einem Klirrfatormessgerät gemessen werden. Das Klirrfatormessgerät ist ein Effetiv- bzw. RMS-Voltmeter mit einem abstimmbaren Notchfilter. Es misst einmal den Effetivwert (P - P ) des DC-freien, periodischen Signals s(t) ohne Grundharmonische und einmal den Effetivwert P des periodischen Gesamtsignals s(t) und bildet dann das Verhältnis. 7. Numerische Approximation der Fourieroeffizienten Die omplexen Fourieroeffizienten c önnen mit Hilfe der Gleichung (6) berechnet werden. Sie önnen aber auch numerisch approximiert werden, indem das Integral durch eine Summe ersetzt, =N t gesetzt und t = gewählt wird. n t N- -jπ c s(n t) e N t t N t n= () Die disrete Fouriertransformation (DF) wie folgt definiert: π N- -j n S[] = s[n] e N () n= Für die DF-Werte gilt die Symmetrie S[]=S*[N--]. Durch Einsetzen der DF in die Approximation () und Kürzen des disreten Zeitschritts t erhält man die numerisch sehr interessante Approximation c S[] / N für =,,, N/ (3)

8 ZHW, NM, 5/, Rur 8 In Abbildung 7 ist die Approximation einer Periode des symmetrischen, periodischen Rechtecsignals s(t) mit N äquidistanten Stützwerten dargestellt. N Stützwerte s[4] s(t) - t =N t t Abbildung 7: Approximation Periode mit N disreten Stützwerten s[n]. Die omplexen Fourieroeffizienten c des periodischen Rechtecsignals s(t) önnen mit Gleichung (3) und dem folgenden Matlab-Programm berechnet bzw. sehr genau approximiert werden: >> N=4; % Stützwerte pro Periode >> s=[ones(,n/) (-)*ones(,n/)]; >> S=fft(s)/N; % DF, Achtung c =S(), c =S() >> plot(abs(s(:))); grid; % Beträge der ersten c-werte >> P=sum(abs(S).^)/N; % Leistung (Parseval)