x[n-1] x[n] x[n+1] y[n-1] y[n+1]

Transkript

1 Systeme System Funtion f, die ein Eingangssignal x in ein Ausgangssignal y überführt. zeitdisretes System Ein- und Ausgangssignal sind nur für disrete Zeitpunte definiert y[n] = f (.., x[n-1], x[n], x[n+1], x[n+2],.., y[n-1], y[n+1], y[n+2],.. ). speicherfreies System y[n] hängt nur von x[n] ab. ausales System y[n] hängt von einen zuünftigen x oder y ab. stabiles System für ein beschräntes Eingangsignal bleibt auch das Ausgangssignal beschränt (BIBO-Stabilität). x[n-1] x[n] x[n+1] y[n-1] y[n+1] y[n] f Rücführung (Feedbac) zeitinvariantes System eine Zeitverschiebung des Eingangs führt auf die gleiche Zeitverschiebung des Ausgangs. lineares System ax 1 [n] + bx 2 [n] => ay 1 [n] + by 2 [n] (Superpositionsprinzip) LTI-System lineares, zeitinvariantes System (Linear Time-Invariant). Impulsantwort Jedes disrete Signal x lässt sich als Linearombination von verschobenen und salierten Einheitsimpulsen darstellen x[ n] = x[ ] δ[ n ] = Aufgrund der Superpositionseigenschaft muss das Ausgangssignal eines linearen Systems eine Linearombination von sog. Impulsantworten sein h [ n ] = f ( δ [ n ]) y[ n] = x[ ] h [ n] = Sind alle Impulsantworten eines linearen Systems beannt, ann die Antwort des Systems auf beliebige Eingangssignale berechnet werden. In einem LTI-System ist die Impulsantwort eine zeitverschobene Version der Impulsantwort h 0 zum Zeitpunt 0 h [ ] [ ] n = h0 n

2 Faltungssumme Für ein LTI-System ist das Ausgangssignal daher y[ n] = x[ ] h[ n ] mit dem Impulsübertragungsverhalten h = h 0. h charaerisiert ein LTI-System vollständig. Symbolische Schreibweise y[n] = x[n] * h[n] Eigenschaften Kommutativität = x[ n] h[ n] = h[ n] x[ n] Assoziativität Distributivität x[ n] ( h [ n] h [ n]) = ( x[ n] h [ n]) h [ n] x[ n] ( h [ n] + h [ n]) = x[ n] h [ n] + x[ n] h [ n] Faltung (Beispiel)

3 LTI-Systeme speicherfreies LTI-System h[ n] = Kδ[ n] ausales LTI-System h[n] = 0 für n < 0 stabiles LTI-System h[ ] < (Impulsantwort absolut = summierbar) Häufiger Spezialfall durch lineare Differenzengleichung beschriebenes ausales LTI-System M a y[ n ] = b x[ n ] = 0 = 0 eine ausale Differenzengleichung lässt sich in eine reursive Gleichung überführen M 1 y[ n] = b x[ n ] a y[ n ] a 0 = 0 = 1 für = 0 ergibt sich eine nichtreursive Gleichung, Ausgang hängt nur vom Eingang ab (FIR-System, Finite Impulse Response) reursive Systeme haben i,a. eine unendliche Impulsantwort (IIR-System, Infinite Impulse Response) Disrete omplexe exponentielle Signale Eulersche Formel iω0n e = cosω n + i sinω n 0 0 Eigenschaften i( ω0 + 2 π ) n i2π n iω0n iω0n es gilt e = e e = e, d.h. Signal bei Frequenz ist dasselbe wie bei 0. Schwingungsrate nimmt mit 0 zu bis 0 =, danach verringert sie sich wieder bis 2. Signal ist nur periodisch mit Periode, wenn 2π m ω 0 =, m, gilt. Menge aller exp. Signale der Periode (harmonisch verwandte Signale) (2 / ) [ n ] e i π n Φ =, = 0, ± 1, Es gilt Φ + [ n] = Φ[ n], d.h. es gibt nur verschiedene Signale der Periode.

4 Beispiel disrete Sinusfolgen Fourier-Reihe für periodische Signale Exponentielle Signale sind Eigenfuntionen von LTI-Systemen iω0n [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x n = e y n = h n x n = h x n = = = 0 ( ) iω n iω0n iω0 [ ] = [ ] = ( ω0) [ ] = h e e h e H x n Darstellung eines -periodischen Signals als Linearombination von harmonische verwandten Signalen heißt Fourierreihe (Synthesegleichung) 1 1 x[ n] = a Φ [ n] = a e = 0 = 0 Berechnung der Spetraloeffizienten 1 1 (Analysegleichung) i (2 π / ) n a = x[ n] e = 0 i (2 π / ) n Jedes -periodische disrete Signal läßt sich als disrete Fourierreihe darstellen.

5 Darstellung aperiodischer Signale Vorgehensweise (Disrete Fourier- Transformation, DFT) endliches Signal der Länge wird periodisch fortgesetzt Berechnung der Fourierreihe für die resultierende periodische Folge Rücgewinnung des aperiodischen Signals durch Anwendung der Synthesegleichung und Setzen aller Werte außerhalb [0, -1] auf 0. Vorsicht DFT beschreibt nicht die tatsächliche Fouriertranformation des aperiodischen Signals (diese enthält unendlich viele Frequenzen), sondern eine disrete Abtastung derselben. Trotzdem läßt sich das disrete Signal exat aus der DFT reonstruieren. Bedeutung Für Signale der Länge 2 p existiert ein extrem schneller Algorithmus zur Berechnung der DFT FFT, Fast Fourier Transform Frequenzgang von Systemen Frequenzgang Fouriertransformierte der Impulsantwort. Faltungseigenschaft der DFT y[ n] = x[ n] h[ n] Y ( ω) = X ( ω) H ( ω) d.h. ein LTI-System wirt auf ein Eingangssignal durch Abschwächen oder Verstären einzelner Spetralanteile (Filterung). Ebenso wie die Impulsantwort charaterisiert der Frequenzgang ein LTI- System vollständig. Tiefpaß Hochpaß Bandpaß