Signale und Systeme II

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme II Lösung zur Modulklausur SS 201 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 09:00 h 10:30 h (90 Minuten) Ort: C-SR I und C-SR II Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme II

2 Aufgabe 1 (33 Punkte) Aufgabe 1 (33 Punkte) (a) Für das Spektrum von c 1 (t) gilt C 1 (jω) F {c 1 (t)} Aπ δ 0 (ω + ω 0 ) + δ 0 (ω ω 0 ), woraus für c 2 (t) und dessen Spektrum C 2 (jω) folgt: c 2 (t) H {c 1 (t)} H {A cos(ω 0 t)} C 2 (jω) C 1 (jω)h(jω) jπaδ 0 (ω + ω 0 ), ω < 0 jπaδ 0 (ω ω 0 ), ω > 0 0, sonst jπa δ 0 (ω + ω 0 ) δ 0 (ω ω 0 ) F {A sin(ω 0 t)} c 2 (t) A sin(ω 0 t). (7 P) (b) Laut Blockschaltbild gilt x(t) v 1 (t)c 1 (t) + v 2 (t)c 2 (t) X(jω) 1 2π V 1(jω) C 1 (jω) + 1 2π V 2(jω) C 2 (jω) 1 2π V 1(jω) Aπ δ 0 (ω + ω 0 ) + δ 0 (ω ω 0 ) + 1 2π V 2(jω) jaπ δ 0 (ω + ω 0 ) δ 0 (ω ω 0 ) A V 1 (j(ω + ω 0 )) + V 1 (j(ω ω 0 )) + ja V 2 (j(ω + ω 0 )) V 2 (j(ω ω 0 )). 2 2 Die Skizze des Spektrums ist in Abbildung 1 dargestellt. (8 P) (c) Die erneute Modulation im oberen Pfad des Demodulators bewirkt: Signale und Systeme II 2

3 Aufgabe 1 (33 Punkte) y 1 (t) x(t)c 1 (t) (8 P) Y 1 (jω) 1 2π X(jω) C 1(jω) 1 2π X(jω) Aπ A2 + ja2 A2 + ja2 δ 0 (ω + ω 0 ) + δ 0 (ω ω 0 ) V 1 (j(ω + 2ω 0 )) + V 1 (jω) + V 1 (jω) + V 1 (j(ω 2ω 0 )) V 2 (j(ω + 2ω 0 )) + V 2 (jω) V 2 (jω) V 2 (j(ω 2ω 0 )) V 1 (j(ω + 2ω 0 )) + 2V 1 (jω) + V 1 (j(ω 2ω 0 )) V 2 (j(ω + 2ω 0 )) V 2 (j(ω 2ω 0 )). Die Skizze des Spektrums ist in Abbildung 1 dargestellt. (d) Die erneute Modulation im unteren Pfad des Demodulators bewirkt: y 2 (t) x(t)c 2 (t) ( P) Y 2 (jω) 1 2π X(jω) C 2(jω) 1 2π X(jω) jaπ ja2 + jja2 ja2 + A2 δ 0 (ω + ω 0 ) δ 0 (ω ω 0 ) V 1 (j(ω + 2ω 0 )) V 1 (jω) + V 1 (jω) V 1 (j(ω 2ω 0 )) V 2 (j(ω + 2ω 0 )) V 2 (jω) V 2 (jω) + V 2 (j(ω 2ω 0 )) V 1 (j(ω + 2ω 0 )) V 1 (j(ω 2ω 0 )) V 2 (j(ω + 2ω 0 )) + 2V 2 (jω) V 2 (j(ω 2ω 0 )). Die Skizze des Spektrums ist in Abbildung 1 dargestellt. (e) Die Grenzfrequenz des Tiefpassfilters muss so eingestellt werden, dass die spektralen Anteile von Y 2 (jω) um ±2ω 0 unterdrückt werden, also, ω 2 < ω c < 2ω 0 ω 2, da ω 2 > ω 1. Für den Verstärkungsfaktor gilt B 2 A 2. Signale und Systeme II 3

4 Aufgabe 1 (33 Punkte) A/2 X(jω) Realteil Imaginärteil 2ω 0 ω 0 ω 2 ω 0 ω 0 ω 1 ω 0 ω 2 ω 0 ω 0 + ω 1 ω 0 + ω 2 2ω 0 ω A 2 /2 A 2 /2 Y 1 (jω) 2ω 0 ω 2 2ω 0 2ω 0 + ω 1 ω 0 A 2 / ω 1 A 2 / A 2 /2 ω 1 ω 0 2ω 0 ω 1 2ω 0 2ω 0 + ω 2 ω A 2 /2 Y 2 (jω) 2ω 0 ω 2 2ω 0 2ω 0 + ω 1 ω 0 ω 2 A 2 / A 2 /2 A 2 / ω 2 ω 0 2ω 0 ω 1 2ω 0 2ω 0 + ω 2 ω Abbildung 1: Spektren zu Aufgabe 1. Signale und Systeme II

5 Aufgabe 2 (35 Punkte) Aufgabe 2 (35 Punkte) (2 P) (a) Das Volumen der Verbund-Wahrscheinlichkeistdichte muss gleich eins sein. f v1 v 2 (v 1, v 2 ) dv 1 dv 2 1 K T 2 (8 P) (b) Zur Bestimmung der Randdichten wird das folgende Integral gelöst: f v1 (v 1 ) f v2 (v 2 ) f v1 v 2 (v 1, v 2 ) dv 2 K v1 dv 2, 0 v 1 T 0 T K dv 2 T < v 1 2T v 1 T 0, sonst. K v 1, 0 v 1 T K (2T v 1 ) T < v 1 2T 0, sonst. f v1 v 2 (v 1, v 2 ) dv 1 { K T, 0 v2 T 0, sonst. f v1 (v 1 ) f v2 (v 2 ) T 1 T 1 T 2T v 1 T v 2 Abbildung 2: Randdichte f v1 (v 1 ) Abbildung 3: Randdichte f v2 (v 2 ) (2 P) (c) Nein, sind sie nicht da f v1 (v 1 ) f v2 (v 2 ) f v1 v 2 (v 1, v 2 ). (1) (d) Der folgende mathematische Zusammenhang muss für Mittelwert und Varianz gelöst Signale und Systeme II 5

6 Aufgabe 2 (35 Punkte) werden: m x m (2) x 1 x f x (x) dx x 2 f x (x) dx 5 σx 2 m (2) x (m x ) 2 1 Außerdem können sowohl Mittelwert als auch Varianz direkt über einen Vergleich der Definition einer Gaußverteilung bestimmt werden. ( P) (e) Es handelt sich hier um eine Gaußverteilung. Die folgenden signifikante Funktionswerte können bestimmt werden: f x (x m x ) 0, 798 f x (x 0) 0, 108 f x (x 2) 0, fx(x) x (f) Die Autokorrelations- und Kreuzkorrelationsfolge ist bestimmt durch: Signale und Systeme II 6

7 Aufgabe 2 (35 Punkte) s yy (κ) E {y(n)y(n + κ)} E {(s(n) + b(n))(s(n + κ)b(n + κ))} E {s(n)s(n + κ)} + E {b(n)s(n + κ)} + E {s(n)b(n + κ)} + E {b(n)b(n + κ)} s ss (κ) + s bs (κ) + s sb (κ) +s bb (κ) }{{}}{{} 0 0 s ss (κ) + s bb (κ) s sy (κ) E {s(n)y(n + κ)} s ss (κ) + s sb (κ) }{{} 0 s ss (κ) (3 P) (g) Die Transformation der Autokorrelations- und der Kreuzkorrelationsfolge in den Frequenzbereich gibt die zugehörigen Leistungsdichtespektren. S yy (e jω ) F {s yy (κ)} S ss (e jω ) + S bb (e jω ) S sy (e jω ) F {s sy (κ)} S ss (e jω ) ( P) (h) Folgender Zusammenhang soll vorausgesetzt werden S ss (e jω ) Sŝŝ (e jω ). Des weiteren kann angenommen werden, dass Es folgt Sŝŝ (e jω ) H(e jω ) 2 S yy (e jω ). H(e jω ) 2 S ŝŝ(e jω ) S yy (e jω ). H(e jω ) 2 Sŝŝ (e jω ) S ss (e jω ) + S bb (e jω ) S ss (e jω ) S ss (e jω ) + S bb (e jω ) Signale und Systeme II 7

8 Aufgabe 3 (32 Punkte) Aufgabe 3 (32 Punkte) (3 P) (2 P) (5 P) (a) Durch die Dimensionen der Matrizen A, B, C und D lassen sich die Anzahl der Eingänge, Zustände und Ausgänge bestimmen. Da die Matrix A eine Dimension von 2x2 hat, folgt N 2. Da die Matrix B die Dimension 2x1 hat, hat das System nur einen Eingang L 1. Da die Matrizen C und D jeweils nur zwei Zeilen haben, ergibt für die Anzahl der Ausgänge R 2. (b) Nein, es existiert kein verzögerungsfreier Pfad zwischen den Ein- und Ausgängen, da die Matrix D lediglich Nullen enthält. (c) Folgender Signalflussgraph ergibt sich: 0, 25 v 1 (n) x 1 (n + 1) x 1 (n) 0, 5 y 1 (n) 1 0, 5 z 1 0, 5 1 0, 5 z 1 x 2 (n + 1) x 2 (n) 0, 5 y 2 (n) (d) Es gilt Da D eine Nullmatrix ist, folgt: Durch Einsetzen der MatrixA folgt: H(z) C zi A 1 B + D. H(z) C zi A 1 B 1 z 0, 25 0, 5 H(z) C B 1 z Durch die Matrixinversion und Einsetzen der Matrix B folgt: 1 z H(z) z + 0, 5 C 1 Durch Einsetzen von C folgt: H(z) 1 z + 0, 5 0, 5z 0, 5 0, 5z + 0, 5 (2 P) (e) Ja, das System ist stabil, da alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Signale und Systeme II 8

9 Aufgabe 3 (32 Punkte) (f) Es gilt für eine Übertragungsfunktion in Pol-Null-Stellen-Form mit N N Nullstellen, N P Polstellen und einem Verstärkungsfaktor K: H(z) K N N κ1 N P κ1 (z z 0,κ ) (z z,κ ) Für H 1 (z) folgt somit: Durch die Bedingung H 1 (0) 2β folgt: z β H 1 (z) K 1 (z + 0, 5)(z 0, 5) z β K 1 z β H 1 (z) z 0.5β 0.5 z 1 0.5β z 2 1 0, 25 z 2 Für H 2 (z) folgt in Analogie zur Bestimmung von H 1 (z): Durch die Bedingung H 2 (0) β folgt: z + β H 2 (z) K 2 (z + 0, 5)(z 0, 5) z + β K 2 z + β H 2 (z) 0, 25 0, 25 z + 0, 25β 0, 25 z 1 + 0, 25β z 2 1 0, 25 z 2 (3 P) (5 P) (g) H 1 (z) beschreibt einen Hochpass, da die Nullstelle auf dem Einheitskreis in der rechten Halbebene liegt. H 2 (z) beschreibt hingegen einen Tiefpass, da die Nullstelle auf den Einheitskreis in der linken Halbebene liegt. (h) Durch die Transformation in den Zeitbereich folgt durch Umformungen: y 1 (n) 0, 25 y 1 (n 2) + 0, 5 v(n 1) 0, 5β v(n 2) y 2 (n) 0, 25 y 1 (n 2) + 0, 25 v(n 1) + 0, 25β v(n 2) Signale und Systeme II 9