Grundlagen der Nachrichtentechnik. 5. Digitale Modulationsverfahren komplett auf Folien teilweise mit Folienunterstützung

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1 Grundlagen der Nachrichtentechnik I. Kontinuierliche Signale u. Systeme. Fouriertransformation. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen 3. Eigenschaften v. Übertragungskanälen III. Diskretisierung v. Quellensignalen II. Analoge Übertragung. Analoge Modulationsverfahren. Empfängerstrukturen 3. Einfluss von Rauschen IV. Digitale Übertragung. Abtasttheorem. Struktur e. Datenübertragungssystems. Pulsamplitudenmodulation. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung 3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation 3. Rauschangepasstes Empfangsfilter 4. Pulscodemodulation 4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit 5. Prinzip des Zeitmultiplex 5. Digitale Modulationsverfahren komplett auf Folien teilweise mit Folienunterstützung Grundlagen der Nachrichtentechnik: Inhalt

2 . Äquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen. BP-TP-Transformation. Hilberttransformation.3 Analytische Signale Inhalt Kapitel Seite

3 Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer. Äquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen konj. komplex X BP (jω) X BP (j(ω + )) = X TP (jω) ω X TP (jω) Tiefpass 0 ω x TP (t) = x BP (t) e jω t x TP (t) = x TP (t) h TP (t) e jω t x BP (t) h TP (t) x TP (t) = x TP (t) + j x TP (t) Leistung: E{x BP (t) } = E{x TP (t) } = Universität Bremen. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

4 Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer X BP (jω) Alternative Struktur (Quadraturfilter) X + X TP (jω) BP (jω) = X + (j(ω + )) H + (jω) ω ω 0 ω = + Konstruktion des Filters H + (jω) ω ω ω H + (jω) = H g (jω) + H u (jω) H u (jω) = j [ jh u (jω) ] x BP (t) Quadratur-Netzwerk h BP (t) ĥ BP (t) reelle Impulsantwort j e jω t x TP (t) Universität Bremen. Äquivalente Tiefpass-Darstellung

5 Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer Impulsantwort eines einseitigen Bandpasses H TP (jω) H + BP (jω) ω ω h + (t) = h TP (t) e jω }{{} reell t = h TP (t) cos( t) + j [ h TP (t) sin( t)] h BP (t) = h TP (t) cos( t) Bandpass-Impulsantwort ĥ BP (t) = h TP (t) sin( t) hilberttransformierender Bandpass (90 -Phasendrehung) Universität Bremen. Äquivalente Tiefpass-Darstellung 3

6 x TP (t) Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer Tiefpass-Bandpass Bandpass-Umsetzung h TP (t) e +jω t x + BP (t) Re{ } x BP (t) X TP (jω) X + BP (jω) XBP (jω) 0 ω ω Re{x + BP (t)} ω Re{x(t)} = [x(t) + x (t)] F{Re{x(t)}} = [X(jω) + X ( jω)] = Ra{X(jω)} Universität Bremen. Äquivalente Tiefpass-Darstellung 4

7 reelles Zeitsignal:. Hilberttransformation x(t) X(jω) mit Re{X(jω)} = Re{X( jω)}, Im{X(jω)} = Im{X( jω)} Phasendrehung um 90 (genauer: -90 für ω > 0, 90 für ω < 0, da Phase ungerade) Hilberttransformation: ˆx(t) = H{x(t)} ˆX(jω) = sgn(ω) e jπ/ X(jω) = jx(jω) für ω > 0 0 für ω = 0 jx(jω) für ω < 0 Interpretation als lineares System (Hilberttransformator) mit der Übertragungsfunktion H H (jω) = jsgn(ω) Bandbegrenzung: H HB (jω) HH ( j ) j HHB ( j ) j g -j g -j. Hilberttransformation Seite

8 Impulsantwort des bandbegrenzten Hilberttransformators: ω g h HB (t) = j sgn(ω) e jωt dω = π π ω g = + π ω g 0 sin(ωt) dω = [ cos(ωt) πt ω g ω g ] ωg ω=0 j sgn(ω) [cos(ωt) +j sin(ωt)]dω }{{} ungerade 0 = cos(ω gt) πt = f g cos(ω gt) ω g t Impulsantwort des idealen Hilberttransformators: h H (t) = πt[ lim cos(ω ] g t) ω g }{{} 0 h H (t) = { /πt für t 0 0 für t = 0 Hilberttransformation im Zeitbereich: H{x(t)} = x(t) h H (t) = π x(τ) t τ dτ Cauchy- Hauptwert: [ t ɛ x(τ) lim ɛ 0 t τ dτ + t+ɛ ] x(τ) t τ dτ. Hilberttransformation Seite 3

9 Impulsantwort eines bandbegrenzenden Hilberttransformators Grenzwert bei t 0: lim t 0 cos(ω g t) πt = lim t 0 ( cos(ω g t))/ t πt/ t = π lim t 0 (ω g sin(ω g t)) = 0. Hilberttransformation Seite 4

10 Beispiel: Hilberttransformation eines Rechteckimpulses { für T r(t) = t T H{r(t)} = 0 sonst. π T/ T/ T/ T/ t τ dτ = lim t τ ε 0 r(τ) t τ dτ = π T/ T/ t τ dτ dτ = {ln t τ }T/ T/ = ln t + T/ t T/ für t > T t ε T/ [ ] t τ dτ + t τ dτ t + T/ = lim ln ε ε 0 ε t T/ T/ t+ε = ln t + T/ t T/ für t T.5 H{r(t)} = π ln t+t/ t T/ Hilberttransformation Seite 5

11 Einige Sätze der Hilberttransformation Linearität: Zeitinvarianz: Umkehrung: H{a x (t) + a x (t)} = a H{x (t)} + a H{x (t)} ˆx(t) = H{x(t)} ˆx(t ϑ) = H{x(t ϑ)} x(t) = H{ˆx(t)} = H{H{x(t)}} Orthogonalität: x(t) H{x(t)} dt = 0 Filterung y(t) = x(t) h(t), ŷ(t) = H{x(t)} h(t) ŷ(t) = H{y(t)} H{x(t) h(t)} = H{x(t)} h(t) = x(t) H{h(t)} gerade Zeitfunktion: ungerade Zeitfunktion: x(t) = x( t) H{x(t)} = H{x( t)} x(t) = x( t) H{x(t)} = H{x( t)}. Hilberttransformation Seite 6

12 Korrespondenzen der Hilberttransfomation x(t) H{x(t)} Voraussetzungen cos( t) sin( t) > 0 sin( t) cos( t) > 0 δ 0 (t) /(πt) sin(ω g t) { ω g t für t < T 0 sonst cos(ω g t) ω g t π ln t+t/ t T/ s(t) cos( t) s(t) sin( t) S(jω) = 0 für ω Weitere Korrespondenzen siehe Anhang in K.D. Kammeyer, Nachrichtenübertragung, Teubner 996. Hilberttransformation Seite 7

13 Hilberttransformierte der Rechteck- und Dreieckschwingung a) Rechteckschwingung t/t 0.5 b) Dreieckschwingung t/t Hilberttransformierte t/t Hilberttransformierte t/t. Hilberttransformation Seite 8

14 .3 Analytische Signale Zusammenfassung Quadraturnetzwerk-Ausgangssignale zu einem komplexen Signal: z(t) = x (t) + jh{x (t)} = x (t) + j ˆx (t) Spektrum eines komplexen Signals mit der Eigenschaft Im{ } = H{Re{ }} Mit F{x (t)} = X (jω) und F{ˆx (t)} = j sgn(ω) X (jω) folgt F{z(t)} = X (jω) + j [ j sgn(ω)x (jω)] = X (jω) = allgemein: analytisches Signal zum reellen Signal x(t): { X(jω) für ω > 0 F{x(t) + j ˆx(t)} =: F{x + (t)} = 0 für ω < 0 Spektrum bei negativen Frequenzen wird ausgelöscht. [ + sgn(ω)] }{{} für ω > 0 0 für ω < 0.3 Analytische Signale Seite 9

15 Auch die komplex zusammengefasste Impulsantwort eines Quadraturnetzwerks ist ein analytisches Signal: h + (t) = h (t) + j ĥ(t) = h 0 (t) cos( t) + j h 0 (t) sin( t) = h 0 (t) e jt H + (jω) = H 0 (j(ω )) = 0 für ω < 0, (falls ω g < ) Graphische Veranschaulichung des Spektrums eines analytischen Signals: konjugiert X( j ) X ^ ( j )/ j a) b) - - jx ^ ( j ) X( j ) + jx ^ ( j ) c) - d) -.3 Analytische Signale Seite 0

16 .4 Äquivalente Tiefpassdarstellung reeller Bandpass-Signale reelles Bandpass-Sig.: X BP (jω) = X BP ( jω) analytisches Signal: x + BP (t) = x BP(t) + j ˆx BP (t) X + BP (jω) = { XBP (jω), ω > 0 0, ω < 0 Verschiebung des Spektrums um nach links, d.h. zur Frequenz ω = 0 Definition der komplexen Einhüllenden: X T P (jω) = / X + BP (j(ω + )) Zeitbereich: x T P (t) = / x + BP (t) e jt PSfrag replacements Bildung der komplexen Einhüllenden im Spektralbereich: Graphische Veranschaulichung X BP (jω) X + BP (jω) a) b) ω B X T P (jω) ω c) ω.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung Seite

17 Schaltungstechnische Realisierung der komplexen Einhüllenden zwei äquivalente Strukturen von Quadraturmischern: replacements x BP (t) Quadraturstruktur: h BP (t) ĥ BP (t) PSfrag replacements.e jt e jt Tiefpass-Struktur: h T P (t) x BP (t) x T P (t) s(t) x T P (t) s(t) x + BP (t) x(t) h T P (t) j Herleitung der Tiefpass-Struktur: Es sei h + (t) = h BP (t) + j ĥbp(t) = h T P (t) e jt x T P (t) = [x BP (t) h + (t)] e jω0t = [ h T P (τ) e jω0τ x BP (t τ) dτ ] e jt x T P (t) = h T P (τ) e jω0(t τ) x BP (t τ) dτ }{{} x T P (t) = h T P (t) x(t) =: x(t τ).4 Äquivalente Tiefpassdarstellung Seite

18 Bedingung für reelle komplexe Einhüllende : Für reelle Zeitsignale gilt die konjugiert gerade Symmetrie des Spektrums, also X T P (jω)! = X T P ( jω), d.h. X BP(j( + ω))! = X BP (j( ω)) Ist das Spektrum eines Bandpass-Signals bezüglich der Mittenfrequenz konjugiert gerade, d.h. weist es einen geraden Betrag und eine ungerade Phase bezüglich auf, so ist das zugehörige Tiefpass-Signal im Zeitbereich reell, d.h. es liegt der Spezialfall einer reellen komplexen Einhüllenden vor. Spektrum eines symmetrischen Bandpass-Signals: XBP( j ) arg{ X ( j )} BP n - - -n.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung Seite 3

19 .5 Komplexwertige Systeme Anwendung der Betrachtungen zur komplexen Einhüllenden auf die Impulsantwort eines Bandpassfilters: h T P (t) := h+ BP (t) e jt = [h BP(t) + j ĥbp(t)] e jt i.a.komplex h T P (t) = h (t) + j h (t) h (t) = Re{h T P (t)}, h (t) = Im{h T P (t)} Im Gegensatz zur Signal-Definition wird bei Systemen der Faktor eingeführt, um im Tiefpass- wie im Bandpass-Bereich die gleiche spektrale Bewertung zu erreichen. (Andernfalls würde bei der Kaskadierung von Systemen der Verstärkungsfaktor akkumulieren!) äquivalente Basisband- Darstellung eines Bandpass-Systems: x t BP( ) h t BP( ) y t BP( ) x t Bandpaßsystem TP( ) h t y t TP( ) komplexes Basisbandsystem TP( ).5 Komplexwertige Systeme Seite 4

20 komplexes Eingangssignal: komplexe Impulsantwort: Komplexe Faltung x T P = x (t) + jx (t) h T P (t) = h (t) + jh (t) } jeweils zwei reelle Signale y T P (t) = x T P (t) h T P (t) = [x (t) + jx (t)] [h (t) + jh (t)] = x (t) h (t) x (t) h (t) + j[x (t) h (t) + x (t) h (t)] Schaltungsstruktur: Vier paarweise gleiche reelle Faltungen x '(t) h ' (t) + h "(t) + y ' (t) h "(t) x "(t) h '(t) y "(t).5 Komplexwertige Systeme Seite 5

21 Übertragungsfunktion eines komplexwertigen Filters: (analog: F{ } diskret: Z{ }) h T P (t) = h (t) + jh (t) H(jω) = F{h (t)} + jf{h (t)}, H( jω) H (jω) h T P (k) = h (k) + jh (k) H(z) = Z{h (k)} = Z{Re{h(k)}} = Z{ [ h(k) + h (k) ] } = Z{h (k)} }{{} +j Z{h (k)} }{{} komplexwertig reellw. Syst. reellw. Syst. [ analyt.fkt. von z {}}{ H(z) + H (z ) ] Z{h (k)} = Z{Im{h(k)}} = Z{ j[ h(k) h (k) ] } = j[ H(z) H (z ) }{{} analyt.fkt. von z Beispiel: H(z) = z z a H (z ) = [ z ] z = z a z a Z{Re{h(k)}} = Ra{H(z)} = [ H(z)+H (z ) ] Z{Im{h(k)}} = Ia{H(z)} = [ H(z) H (z ) ] j ].5 Komplexwertige Systeme Seite 6

22 Entsprechende Beziehung für die Fourier-Übertragungsfunktion: (analog/diskret) F{Re{h(t/k)}} = Ra{H(jω/e jω )} = [ H(jω/e jω ) + H ( jω/e jω ) ] F{Im{h(t/k)}} = Ia{H(jω/e jω )} = [ H(jω/e jω ) H ( jω/e jω ) ] j Anwendungen komplexwertiger Systeme in der Nachrichtentechnik: Systemtheorie der Bandpass-Signale und -Systeme Mathematische Beschreibung (Simulation) von Bandpasskanälen in der äquivalenten Tiefpass- (Basisband-) Ebene Realisierung digitaler Modulationsverfahren in der komplexen Signalraumebene Günstige schaltungstechnische Realisierung von Sendern u. Empfängern im Tiefpassbereich (moderne digitale Strukturen) Korrektur nichtidealer Bandpasskanäle durch komplexwertige Basisbandentzerrer usw..5 Komplexwertige Systeme Seite 7