LTI-Systeme in Frequenzbereich und Zeitbereich

Transkript

1 LTI-Systeme in Frequenzbereich und Zeitbereich LTI-Systeme Frequenzgang, Filter Impulsfunktion und Impulsantwort, Faltung, Fourier-Transformation Spektrum, Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Übungen Literatur und Quellen Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 1

2 Übertragungsfaktor Sinusförmige Erregung mit komplexen Amplituden Vierpoltheorie I 1 U 1 RLC- Netzwerk U 2 I 2 Übertragungsfaktor für komplexe Amplituden U U uˆ j( ϕ2 ϕ1) = e fürω fix uˆ Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

3 Frequenzgang Verallgemeinerung für alle Frequenzkomponenten U U 2 1 ( jω) ( j ) ω = H ( jω) Frequenzgang H j ( ) ( j ) H( j ) e b ω ω = ω Phasengang ( jω) ( ω) Im H b( ω) = arctan Re H j Dämpfungsgang in db (Dezibel) adb ω = 10 H( ω) ( ) 20 log j db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

4 Fourier-Transformation Fourier-Transformation + j ( ω) = ( ) ω X j x t e t dt Inverse Fourier-Transformation 1 2π j ( ) = X ( ω) x t + ωt j e dω x t dt X jω dω 2π Parsevalsche Gleichung ( ) = ( ) Signalenergie Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 4

5 Fourier-Paar Zeitbereich F Frequenzbereich 1 Zweiseitiger Rechteckimpuls 0,8 X ( jω ) x T ( t) 1 für t < T 2 = 0 sonst 0,6 0,4 ωt = T si T t 0,2 0 0,2 0, ωt 2π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 5

6 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Rechteckimpuls si-funktion t f T 1 F B 1 = 1/T 1 t f T 2 B 2 = 1/T 2 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Im Beispiel T B = 1 Allgemein konstant Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 6

7 (Filter-)Frequenzgang Eingang x(t) RLC- Netzwerk Ausgang y(t) Fourier- Transformation F Frequenzgang F 1 X ( jω) ( jω) ( jω) = ( jω) H X Y Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich Filter Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 7

8 Idealer Tiefpass Wunsch H TP ( jω ) H TP ( jω ) ω D 0 ω D ω Realität H TP ( jω ) 1 Durchlassbereich Toleranzschema Tiefpassentwurf 1 δ D δ S 0 Durchlasstoleranz δ D Übergangsbereich Sperrbereich Sperrtoleranz δ S ω Durchlasskreisfrequenz ω D ω S Sperrkreisfrequenz Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 8

9 Standardapproximationen Butterworth-TP 1 H( jω ) 0,133 Potenz-TP ω /ω D 0,1 Schaltung für den Butterworth- bzw. den Chebyshev-TP 5. Ordnung Chebyshev-TP H( jω ) 1 0, ω/ω D 0,1 Schaltung für den Cauer-TP 5. Ordnung Cauer-TP H( jω ) 1 0,133 Elliptischer TP ω /ω D 0, Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 9

10 Messung des Frequenzgangs Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich ( jω) = ( jω) ( jω) Y H X RLC-Netzwerk Zeitbereich x(t) Frequenzgang y(t) = h(t) H(jω) Frequenzbereich X ( jω) = 1 ω Y( jω) = H( jω) Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 11

11 Impulsfunktion - Messproblem Testsignal zur Messung des Frequenzganges n = 4 n x 1 n ( t) n X ( ω) 1 n j konstant n = 1 n = 2 t F n = 4 n = 2 ω 0 1/2 1/2 Flächennormierte Rechteckimpulse n = 1 Amplitudennormierte si-impulse! Parsevalsche Gleichung Signalenergie Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 12

12 Impulsfunktion Ausblendeigenschaft + ( ) δ ( ) d = ( 0) x t t t x Impulsfunktion, (Diracsche) Delta-Funktion weißes Spektrum δ(t) t δ ( t) Fourier-Paare 1 ω 0 0 ( ) 1 t 2π δ ω 1 ω Impulsfunktion: Signal mit hoher Energie und kurzer Dauer Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 13

13 Beispiel RC-Tiefpass DGL Eingang u e (t) RC-Tiefpass Ausgang R u a (t) C Zeitkonstante τ = RC Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung d 1 1 t τ τ ( ) + ( ) = ( ) a a e d u t u t u t Zu Beginn energiefrei! Erregung mit Rechteckimpuls ( ) = ( ) u t U x t e q T a Lösung bekannt 0 für t < 0 u t = U 1 e für 0 t < T t τ ( ) q ( ) t τ ( t T) q ( ) τ U 1 e e für t T Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 14

14 Beispiel RC-Tiefpass Ausgangssignal Eingangssignals Ausgangssignal Folge von flächennormierten Rechteckimpulsen Folge von Lade- und Entladekurven n n = 8 4 1/ /2 1 t/τ 1/2 0 1/2 1 2 t/τ Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 15

15 Beispiel RC-Tiefpass Prüfsteine Messung für T 0 ( ) ht 1 e t τ für t > 0 = τ 0 für t < 0 Theorie 2 Prüfsteine a) Fourier-Paar? Impulsantwort Frequenzgang ( ) ( j ) ht H ω b) DGL? Impulsantwort löst DGL bei Erregung mit der Impulsfunktion, wenn das System zu Beginn energiefrei ist Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 16

16 Beispiel RC-Tiefpass Prüfsteine a) Fourier-Paar? 1 + j F ht t t H τ τ τ 1 1 j jω + ωτ τ ω t t τ jωt τ { ( )} = e e d = e d = = = ( jω) b) Lsg. d. DGL? d 1 t τ 1 1 t τ 1 e + e = δ ( t) für t 0 d t τ τ τ τ Ausblendeigenschaft integrieren (dimensionslos rechnen) t t τ 1 x τ e + e dx δ ( x) dx τ = 0 0 t τ τ e 1 t Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 17

17 LTI-System Eingangs-Ausgangsgleichungen LTI-System Zeitbereich x(t) h(t) y(t) = f ( x(t), h(t) ) =??? F F Frequenzbereich X(jω) H(jω) Y(jω) = X(jω) H(jω) Systemfunktionen: Impulsantwort und Frequenzgang Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich Eingangs-Ausgangsgleichung im Zeitbereich? Und was ist überhaupt ein LTI-System? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 18

18 LTI-System Eingangs-Ausgangsgleichung { } Systemoperator yt () = T x( t) Impulsantwort Superpositionsprinzip { δ ( )} ht () = T t + + ( τ) δ ( τ) dτ = ( ) δ ( τ) dτ = ( ) x t x t t x t Eingangssignal kann als Linearkombination von Impulsfunktionen dargestellt werden Eingangs-Ausgangsgleichung yt ( ) = T x( τ) δ ( t τ) dτ = x( τ) T{ δ ( t τ) } dτ = x( τ) ht ( τ) dτ wg. Linearität wg. Zeitinvarianz Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 19

19 LTI-System Faltung + + τ τ τ τ τ dτ Faltungsintegral xt ( ) ht ( ) = x( ) ht ( ) d = xt ( ) h( ) Eingangs-Ausgangsgleichung im Zeitbereich Theorie Prüfstein: Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich? + + jω xt ( ) ht ( ) x( τ) ht ( τ) dτ e t dt= jωt = x( τ) ht ( τ) e dt dτ = H jω xτ e dτ = H jω X jω H ( jω) e jωτ jωτ ( ) ( ) ( ) ( ) Faltungssatz der Fourier-Transformation Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 20

20 LTI-System Eingangs-Ausgangsgleichungen Systemvoraussetzungen: linear, zeitinvariant Systemfunktionen: Impulsantwort, Frequenzgang LTI-System Zeitbereich F x(t) h(t) F y(t) = x(t) h(t) Frequenzbereich X(jω) H(jω) Y(jω) = X(jω) H(jω) Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 21

21 Zusammenfassung Mind Map Toleranzschema Butterworth-TP Chebyshev-TP Cauer-TP Tiefpass Filter LTI- System Eigenschaften linear zeitinvariant stabil kausal Faltung im Zeitbereich Eingangs-Ausgangs- Gleichungen Systemfunktionen Impulsantwort Frequenzgang Produkt im Frequenzbereich Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 22

22 Übung 2.1 Fourier-Paar a) Skizzieren Sie das Signal x(t) = A für t [ T,T] und 0 sonst. b) Geben Sie die Fourier-Transformierte zu (a) analytisch an. c) Skizzieren Sie das Spektrum zu (a). d) Geben Sie die Frequenz zur ersten Nullstelle im Spektrum ( f > 0) an, wenn die gesamte Impulsdauer 1 µs ist Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 23

23 Übung 2.2 Filter a) Nennen Sie drei Standardapproximationen für Tiefpassfilter. b) Ordnen Sie die Standardapproximationen in (a) nach steigender Breite des Übergangsbereichs bei gleicher Filterordnung Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 24

24 Übung 2.3 Filter a) Nennen Sie vier Prototypen für selektive Filter. b) Skizzieren Sie für jeden Prototypen den idealtypischen Betragsgang. Geben Sie in den Skizzen alle relevanten Parameter an Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 25

25 Übung 2.4 Toleranzschema a) Geben Sie die Bezeichnungen der Bereiche, und an. b) Ergänzen Sie die Achsenbeschriftungen des Toleranzschemas mit den Formelzeichen für,,. c) Geben Sie zu den Formelzeichen in (b) die Begriffe (Namen) an Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 26

26 Übung 2.5 LTI-System a) Welche grundlegenden Eigenschaften charakterisieren ein LTI-System? b) Nennen Sie die beiden (System-)Funktionen mit denen das Übertragungsverhalten eines LTI- Systems beschrieben wird. Und in welchem Zusammenhang stehen die beiden Funktionen? c) Wie wird bei einem LTI-System das Eingangssignal auf das Ausgangssignal abgebildet? d) Wie hängen bei einem LTI-System die Spektren an Ein- und Ausgang zusammen? e) Warum bilden RLC-Netzwerke a stets LTI-Systeme. a Streng genommen muss zu Beginn Energiefreiheit vorausgesetzt werden. f) Wenn ein LTI-System mit einem sinusförmigen Signal erregt wird, was kann dann über das Signal am Ausgang ausgesagt werden b? b Streng genommen muss der eingeschwungene Zustand vorausgesetzt werden Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 27

27 Übung 2.6 Bode-Diagramm des Butterworth-TP Der Butterworth(BW)-TP wird auch Potenzfilter genannt, weil der Frequenzgang im Wesentlichen eine Potenzfunktion in ω enthält. Für den BW-TP N-ter Ordnung gilt: H 1 ( jω) 2 = 2 ω 1+ ω0 N Bode-Diagramm Der Dämpfungsgang des BW-TP wird im Bode-Diagramm stückweise durch Geraden approximiert. Zeigen Sie den Zusammenhang indem Sie folgende Punkte bearbeiten: a) Welche Rolle spielt der Parameter ω 0 b) Schätzen Sie den Dämpfungsgang für ω << ω 0 ab. c) Schätzen Sie den Dämpfungsgang für ω >> ω 0 ab. Dämpfung in db = N d) Zeigen Sie, dass die Dämpfung im Sperrbereich mit 6 N db pro Oktave (Frequenzverdoppelung) steigt. 0 1/4 1/ ω/ω Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 28

28 Übung 2.7 Impulsfunktion a) Was versteht man unter der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion δ(t)? b) Wie wirkt sich eine um t 0 nach rechts verschobene Impulsfunktion in (a) aus? c) Was ist das Ergebnis, wenn man eine Funktion x(t) mit der Impulsfunktion δ(t) faltet? d) Was ist das Ergebnis, wenn man eine Funktion x(t) mit einer verschobenen Impulsfunktion δ(t t 0 ) faltet? e) Wie kann man sich die Wirkung der Impulsfunktion bei RLC-Netzwerken anschaulich erklären? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 29

29 Übung 2.8 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. RLC-Netzwerke setzen sich aus Widerständen R, Spulen L und Kondensatoren C zusammen. Die Impulsantwort und der Frequenzgang sind äquivalent weil sie die gleiche Information über das System liefern. 1 RLC-Netzwerke werden üblicherweise vereinfachend als LTI-Systeme betrachtet. 2 Die Signalenergie kann auch im Frequenzbereich bestimmt werden. 3 Verdoppelt man die Zeitdauer des Rechteckimpulses, so verdoppelt sich auch die Bandbreite. 4 Die Sperrtoleranz typischer Filter ist kleiner als die Durchlasstoleranz. 5 Bei gleichen Vorgaben im Toleranzschema liefert der Entwurf für den Butterworth-TP eine größere oder mindestens gleiche Filterordnung als für den Cauer-TP. 6 Dass die Faltungsoperation kommutativ ist, kann man mit der parsevalschen Gleichung beweisen Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 30

30 Übung 2.9 Lückentext: Ergänzen Sie sinngemäß. Hinweis: Die Artikel der/die/das wurden im Text weggelassen. Die Impulsfunktion wird auch Dirac-Stoß genannt. 1 Die Parsevalsche Gleichung verknüpft des Signals mit dem Betragsquadrat des Spektrums. 2 Die Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich ist. 3 4 Die Impulsfunktion wird durch definiert. Die funktionale Beschreibung der LTI-Systeme erfolgt durch die beiden Systemfunktionen und. 5 Die Eingangs-Ausgangsgleichung im Zeitbereich ist. 6 Der Rechteckimpuls und bilden ein Fourier-Paar Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 31

31 Übung 2.10 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Der Begriff Filter bezieht sich auf die Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion. Der Dämpfungsgang des Butterworth-TP N-ter Ordnung steigt im Sperrbereich näherungsweise mit 6 N db pro Oktave. 1 Die Impulsantwort von RLC-Netzwerken wird auch Diracstoß genannt. 2 An der Stelle der 3dB-Grenzfrequenz beträgt der Betrag des Spektrums LTI-Systeme sind linear und transient-invariant. 4 Die Impulsfunktion ist die mathematische Idealisierung eines Signals langer Dauer und großer Energie. 5 Der Betragsgang des Butterworth-TP wird im Bode-Diagramm durch Geradenstücke approximiert. 6 Der ideale Tiefpass besitzt einen linearen Phasenverlauf im Durchlassbereich Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 32

32 Literatur und Quellen GIROD B., RABENSTEIN R., STENGER A. (2007) Einführung in die Systemtheorie. Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik. 4. Aufl. Wiesbaden: Teubner OPPENHEIM A. V., WILLSKY A. S., NAWAB S. H. (1997) Signals & Systems. 2nd ed., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall WERNER M. (2008) Signale und Systeme. Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen und Lösungen. 3. Aufl., Wiesbaden: Vieweg+Teubner WERNER M. (2010) Nachrichtentechnik. Eine Einführung für alle Studiengänge. 7. Aufl., Wiesbaden: Vieweg+Teubner Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 33