Einführung in die Nachrichtentechnik

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1 Skript zur Vorlesung Einführung in die Nachrichtentechnik Wintersemester 003/004 Prof. Dr.-Ing. Gerhard P. Fettweis Technische Universität Dresden Fakultät Elektrotechnik Vodafone Stiftungslehrstuhl Mobile Nachrichtensysteme D-006 Dresden

2 Stand: 8. Oktober 003 Version:..0

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis Vorwort 7 Ziel der Vorlesung 8. Nachrichtenübertragungssysteme Begriffe Übertragungsmedien Eigenschaften Signalpegel Signaltheorie 3. Sinussignale Verallgemeinerte Funktionen Diracsche Deltafunktion Integration verallgemeinerter Funktionen Differentiation verallgemeinerter Funktionen Ausblendeigenschaft Rechnen mit dimensionsbehafteten Größen Fouriertransformation Definitionen Eigenschaften Lineare zeitinvariante Systeme 4 4. Definitionen Übertragungsfunktion Impulsantwort Faltung als Grundoperation der Nachrichtentechnik Definition Eigenschaften Beispiel Zeit- und Frequenzbetrachtung Fouriertransformation der Rechteckfunktion Zeit- und Frequenzbegrenzung Raised-Cosine-Filter Zentraler Grenzwertsatz Wintersemester 003/004

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 5 Analog-Digital-Umsetzung Motivation Zeitdiskretisierung Dirac-Kamm-Funktion Abtastung sampling Abtasttheorem Signalrekonstruktion Digital-Analog-Umsetzung Wertediskretisierung Quantisierungskennlinien Quantisierungsfehlersignal Signal-Rausch-Abstand Überabtastung oversampling Rauschformende AD-Wandler Bandpaßsignale Auf- und Abwärtsmischung von reellen Basisbandsignalen Auf- und Abwärtsmischung von komplexen Basisbandsignalen Allgemeines Bandpaßsignal Äquivalentes Tiefpaßsignal Analoge Modulation Einleitung Modulationsarten Amplitudenmodulation Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Leistungsbilanz AM-Modulatoren AM-Demodulatoren Varianten der Amplitudenmodulation Phasen- und Frequenzmodulation (Winkelmodulation) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Leistungsbilanz WM-Modulatoren WM-Demodulatoren Vergleich von Amplituden- und Winkelmodulation Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 8 Digitale Modulation 7 8. Einleitung Modulationsarten BPSK binary phase shift keying Beschreibung im Zeitbereich Sender Phasendiagramm Beschreibung im Frequenzbereich Empfänger Datenübertragung über gestörte Kanäle Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit QPSK quaternary phase shift keying Weitere ASK/PSK-Verfahren Frequency Shift Keying, Frequenzumtastung Literaturverzeichnis 90 A Formelsammlung 9 A. Definitionen A. Fouriertransformation A.3 Anmerkung zur Faltung B Ergänzungen 96 B. Kurzzeitspektrum B. Kausalität B.3 Verzerrungsfreiheit von LTI-Systemen B.4 Unterabtastung B.5 Analytisches Signal B.6 Hilberttransformation B.7 Probleme mit Spiegelfrequenzen B.8. Nyquistktriterium C Übungen 99 C. Aufgaben C. Lösungen Wintersemester 003/004

6 6 INHALTSVERZEICHNIS D Prüfungen 5 D. Prüfung D. Musterlösung zur Prüfung D.3 Nachprüfung D.4 Musterlösung zur Nachprüfung Index 79 Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

7 7 Vorwort Dieses Skript gibt in gedrängter Form den Inhalt der Vorlesung Einführung in die Nachrichtentechnik wieder, ist an manchen Stellen ausführlicher als die Vorlesung und an anderen Stellen wiederum knapper gefaßt. Auf keinen Fall ist es als Ersatz des Vorlesungsbesuches anzusehen. Ebenso erhebt es aufgrund der Heterogenität des behandelten Stoffes keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Es wäre deshalb auch falsch, dieses Skript als Lehrbuch zu betrachten. Die erste Fassung dieses Skriptes wurde 996 von dem Studenten Michael Hosemann aus Vorlesungsmitschriften erarbeitet und 997 bis 999 von Dipl.-Ing. Achim Nahler überarbeitet. Die zweite komplette Überarbeitung erfolgte dann 999 bis 00 von Dipl.-Ing. Matthias Henker. Weitere Überarbeitung erfolgte durch Dipl.-Ing. Denis Petrovic. Die nächste Überarbeitung wird durch Dipl.-Ing. M.Sc. Peter Zillmann geschehen, der auch weiterhin für Hinweise, Anregungen und Kritik jederzeit offen ist. Wir wären Ihnen auch sehr dankbar, wenn Sie uns vorhandene Druckfehler und Unstimmigkeiten mitteilen würden. Sie können uns damit helfen, das Skript kontinuierlich zu verbessern. (Ansprechpartner: Dipl.-Ing. Peter Zillmann, Telefon: (463) 3588, Bücher für das Selbststudium Bücher zum Thema Signaltheorie und LTI-Systeme: [Hof98], [Fli9], [WS93], [Fet96] Bücher zum Thema Nachrichtentechnik: [Kam96], [Lük95], [Pro95], [Cou93] Wintersemester 003/004

8 8 ZIEL DER VORLESUNG Ziel der Vorlesung Die Aufgabe der Nachrichtentechnik besteht darin, Informationen von einem Sender zu einem Empfänger zu befördern. Die Nachrichtentechnik kann grob in zwei große Gebiete geteilt werden, in die Übertragungstechnik und in die Vermittlungstechnik. In dieser Vorlesung wird der Schwerpunkt auf Fragestellungen der Übertragungstechnik liegen. Da auch dieses Gebiet sehr heterogen ist, wird hier nur auf die wichtigsten und elementarsten Grundlagen eingegangen. Beispiele für nachrichtentechnische Anwendungen sind: Hörrundfunk und Fernsehen Telefon analog: AM-Radio (Mittelwelle), FM-Radio (UKW), digital: DAB (digital audio broadcasting), DVB (digital video broadcasting), Festnetz, Mobilfunk.. Nachrichtenübertragungssysteme Man kann Nachrichtenübertragungssysteme durch das in Abb.. dargestellte Modell beschreiben. Redundanzreduktion (Datenkompression) Redundanzerhöhung (höhere Fehlerrobustheit) Vorlesungsstoff Quelle Quellcoder Kanalcoder Modulator Multiplexer Kanal-Quellen-Anpassung Mediummehrfachnutzung Kanal Störung (Rauschen, Fading) Senke Kanaldecoder Quelldecoder Demodulator Demultiplexer Abb..: Allgemeines nachrichtentechnisches Übertragungssystem Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

9 . Begriffe 9. Begriffe Die Bausteine Quelle, Quellcoder, Kanalcoder, Modulator und Multiplexer werden unter dem Begriff Sender zusammengefaßt. Dementsprechend gehören zu dem Empfänger die Baugruppen Demultiplexer, Demodulator, Fehlerkorrekturelemente, Quelldecoder und eine Senke. Sender und Empfänger können sowohl stationär (z.b. Fernsehsender) als auch mobil (z.b. Handy) sein, sind aber immer leistungsbegrenzt. Der Kanal als Übertragungsmedium ist bandbreitenbegrenzt. Durch Störrauschen, Amplitudenschwankungen (fading, verursacht durch Bewegung und Abschattung), Interferenzerscheinungen, Zeit- (delay spread, verursacht durch Mehrwegeausbreitung) und Frequenzdispersion (Doppler spread, verursacht durch Bewegung von Sender, Empfänger und/oder Streuern/Reflektoren usw.) werden die gesendeten Informationen beeinflußt..3 Übertragungsmedien Die Wahl des Übertragungsmediums hängt sehr stark von den Anforderungen an den Übertragungskanal ab (z.b. bezüglich Frequenzbereich oder Signalbandbreite, aber auch hinsichtlich der gleichzeitigen Anzahl der Nutzer). Mögliche Übertragungsmedien sind Twisted Pair (verdrillte Kupferkabel), z.b. Telefonkabel (Endgeräteanschluß) Koaxkabel, z.b. Antennenkabel, Kabelfernsehen Hohlleiter, z.b. Antenneneinspeisung bei hohen Frequenzen (Giga-Hertz-Bereich) Lichtwellenleiter, z.b. Übertragung mit sehr hohen Datenraten Funkkanal. z.b. Mobilfunk, Hörrund- und Fernsehfunk Im Funkbereich unterscheidet man auch zwischen Indoor- und Outdoor-Anwendungen. Ein typisches Beispiel für Indoor-Anwendungen könnte die Versorgung aller Räume eines Bürogebäudes mit einem WLAN (wireless local area network) sein. Outdoor-Anwendungen sind z.b. die bundesweit verbreiteten zellularen Mobilfunknetze, derzeit GSM-900, DCS-800 (D-, D-, Eplus- und E-Netz) und zukünftig auch UMTS. Auch die Frequenz- bzw. Wellenlängenbereiche werden unterschieden, angefangen von den bekannten MW- und UKW-Bereichen bis hin zu den Millimeterwellen-Bereichen und weiter Infrarot-Bereichen der optischen Nachrichtentechnik. Wintersemester 003/004

10 0 ZIEL DER VORLESUNG.4 Eigenschaften Im folgenden werden einige Eigenschaften von Nachrichtenübertragungssystemen aufgezählt. Dabei wird keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit erhoben. Simplex/Duplex Ein Unterscheidungskriterium ist, ob Systeme im Simplex- oder Duplexmodus betrieben werden. Simplexbetrieb bedeutet, daß Nachrichten nur in eine Richtung übertragen werden (z.b. Rundfunk), während im Duplexbetrieb die Informationen in beide Richtungen übertragen werden (z.b. Telefonie). Single-Cast/Multi-Cast Es gibt Single-Cast-Systeme (Telefon: Quelle, Empfänger) und Multi-Cast- Systeme (Rundfunk: Quelle mit vielen Empfängern) Paket/Leitungs-Vermittlung Ein weiteres Merkmal ist, ob Nachrichten leitungsvermittelt (z.b. das gute alte Telefon) oder paketvermittelt (z.b. Datenübertragung im Internet IP-Protokoll) übertragen werden..5 Signalpegel Oftmals sind Signale mit großen Pegelunterschieden gegeben. Typische Werte für Signalleistungen P liegen zwischen ΜW und kw. Das entspricht einem Unterschied von 0 9. Aus diesem Grund ist eine logarithmische Skala vorteilhaft. Eine solche Skala ist die dbm-skala, bei der die Leistungspegel L P auf P ref mw normiert werden, also P Leistungst (.) P L P 0 log 0 dbm P ref L P 0 lg P P ref dbm mit P ref mw (.) abs. Leistung in [mw] rel. Leistung in [dbm] Tab..: Absolutleistung vs. dbm-pegel In der Tab.. sind einige absolute Leistungswerte und die dazugehörigen dbm-werte angegeben. W-Handy (D-Netz): P max W, äquivalente Darstellung als Pegel L Pmax 0 lg W mw dbm 0 lg 0 3 dbm 0 lg 0 lg0 3 dbm 33dBm. Im GSM-Standard ist spezifiziert, daß der Pegel an der Basisstation mindestens -0 dbm betragen muß, d.h. es können sich Pegeldifferenzen von bis zu 35 dbm bzw. 0 3 ergeben. 0.8 W-Handy (E-Netz): 9dBm. Da mit einer geringeren Leistung gesendet wird und bei.8 GHz wesentlich stärkere Dämpfungsverhältnisse vorliegen, ist im E-Netz eine größere Anzahl von Basisstationen gegenüber dem D-Netz erforderlich, was sich in den Infrastrukturkosten niederschlägt. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

11 .5 Signalpegel Auch Signalspannungen können im logarithmischen Maßstab angegeben werden. Als Bezugsspannung wird meist V verwendet und entspricht 0 dbu. (Wahl der Referenzzpannung: Welche Spannung ist notwendig, um an einem 600 Normwiderstand eine Leistung von mw entstehen zu lassen? V /600 mw) Die Wahl eines anderen Normwiderstandes bzw. Referenzspannung verschiebt die db-skala entsprechend. Ebenso lassen sich Verstärkungsfaktoren von Systemen äquivalent als Pegel angeben. Bezeichnen z.b. x und y den Ein- bzw. Ausgang eines Systems, so ergeben sich die Pegel zu g P Leistungy Leistungx Leistungsverstärkung (gain) bzw. g A Amplitudey Amplitudex Amplitudenverstärkung (.3) L gp 0 lgg P db L ga 0 lgg A db (.4) Besonders bei passiven Systemen werden oft Dämpfungs- statt Verstärkungsfaktoren angegeben. a P Leistungx Leistungy bzw. a A Amplitudex Amplitudey (.5) a P g P a A g A (.6) Leistungsdämpfung (attenuation) Amplitudendämpfung L ap 0 lga P db L aa 0 lga A db (.7) L ap L gp L aa L ga (.8) Oftmals sind die Pegelverhältnisse zwischen Nutz- und Störsignalen von Interesse. Das Verhältnis SNR 0 lg Nutzsignalleistung db (.9) Störsignalleistung gibt das Nutzsignal-/Störsignalleistungsverhältnis (signal-to-noise-ratio) an. Beachten Sie bitte, daß Pegelangaben in db immer Verhältnisse zweier Leistungen oder Amplituden (z.b. Verstärkungsfaktor, Signal-Rausch-Abstand) bezeichnen daß Pegelangaben in dbm (Referenz: Leistung P ref mw), dbw (Referenz: Leistung P ref W), dbu (Referenz: Spannung U ref mv) usw. immer absolute Leistungen oder Spannungen bezeichnen daß sich beim Rechnen mit Pegeln folgende Einheiten ergeben: db ± db db (.0) dbm ± db dbm (.) dbm dbm db (.) dbm dbm nicht definiert (.3) (.4) Wintersemester 003/004

12 3 SIGNALTHEORIE 3 Signaltheorie 3. Sinussignale Viele elektrotechnische und auch nachrichtentechnische Probleme lassen sich durch die folgenden Differentialgleichungen modellieren. U L Qt Qt 0 reibungsfreie Schwingungsgleichung (3.) C U L Qt R Qt Qt 0 dämpfungsbehaftete Schwingungsgleichung (3.) C Qt it Stromfluß im Schwingkreis (3.3) Dabei liefert die reibungsfreie Schwingungsgleichung mit dem Ansatz Qt Q 0 Λtφ allgemein die nichttriviale Lösung Qt Q 0 ±Ω 0tφ (3.4) mit Ω 0 /LC. Praktisch interessant ist hier nur der Realteil der Lösung, welcher ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist. Qt ±Ω 0tφ cosω 0 t φ (3.5) Da sich auch die Lösung der dämpfungsbehafteten Schwingungsgleichung aus einzelnen Sinusfunktionen (allg. harmonischen Funktionen) zusammensetzt, werden diese Funktionen als Basissignale in der Elektro- und Nachrichtentechnik verwendet. In der Physik wird meist mit der Kreisfrequenz Ω gearbeitet. In der Nachrichtentechnik benutzt man aus praktischen Gründen meist die Frequenz f, so daß sich mit der Substitution f Ω der Ausdruck Π Qt Q 0 cosπ f 0 t φ ergibt. 3. Verallgemeinerte Funktionen Ein sehr wichtiges Kriterium zur Klassifizierung von Signalen ist die Eigenschaft der absoluten Integrierbarkeit. Ein Signal st ist absolut integrierbar, wenn gilt stt < m s < (3.6) Viele interessante Signale sind aber nicht absolut integrierbar, wie beispielsweise die Sinussignale. Um auch diese Signale untersuchen und beschreiben zu können, wird der Begriff der verallgemeinerten Funktionen eingeführt [BS96]. In der Mathematik wird diese Theorie als Distributionentheorie bezeichnet [GZZZ95]. Es soll hier nur eine kurze für die Nachrichtentechnik relevante Einführung gegeben werden. Im Skript werden manchmal Funktionen als Signale bezeichnet, um den Sachverhalt zu verdeutlichen (auch wenn dies nicht ganz korrekt ist). Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

13 3. Verallgemeinerte Funktionen 3 Unter einer verallgemeinerten Funktion st wird mit verstanden (siehe Übung 4). st s 0 t, s t, s t, s n t (3.7) st lim n s n t (3.8) 3.. Diracsche Deltafunktion In der Physik wird üblicherweise die Masse m m 0 eines Körpers einem Punkt x x 0 des Raumes 3 zugeordnet (Schwerpunkt des Körpers), d.h. die gesamte Masse wird in einem Punkt konzentriert. Die entstehende Massendichte Ρx besitzt folgende Eigenschaften 3 Ρx 0 für x x 0 für x x 0 (3.9) Ρxx m 0 (3.0) D.h. es wird in vielen Fällen eine Funktion gesucht, die folgende Forderungen erfüllt Zitat aus dem Taschenbuch der Mathematik [BS96] 0 für x 0 x für x 0 (3.) xx (3.) Es gibt keine klassische Funktion y x mit den Eigenschaften (3.) und (3.).... Trotzdem arbeiten die Physiker seit etwa 930 erfolgreich mit dieser von dem großen theoretischen Physiker Paul Dirac eingeführten Diracschen Deltafunktion. Die Erfahrung der Geschichte der Mathematik zeigt, daß erfolgreiche formale Kalküle sich stets in einer geeigneten Formulierung streng rechtfertigen lassen.... An die Stelle der Diracschen Deltafunktion tritt die Schwartzsche Deltadistribution. Auch in der Elektrotechnik besitzt der Dirac-Impuls (wie die Diracsche Deltafunktion oft kurz bezeichnet wird) eine herausragende Bedeutung. Der Dirac-Impuls x ist ein beliebig schmales Signal mit der Fläche, welcher eine definierte Wirkung am Ausgang eines Systems hervorruft. Entscheidend ist dabei nicht der konkrete Verlauf des Signals x, sondern dessen Energieinhalt (Flächeninhalt). Der Dirac-Impuls x kann wie in Abb. 3. durch eine Funktionenfolgen-Approximation beschrieben werden. Wintersemester 003/004

14 4 3 SIGNALTHEORIE Dabei müssen folgende Bedingungen eingehalten werden:. Grenzwert x lim n n x 0 für x 0 für x 0 (3.3). Einheitsflächeninhalt 3. Symmetrie n xx (3.4) n x n x (3.5) n x n x n x n n n/π n n a) n x n rectnx x n n b) n x n triangnx x n c) n x n Π n nx x Abb. 3.: Funktionenfolgen-Approximation des Dirac-Impulses (n > 0) Der Dirac-Impuls ist ein Modell. Es ist praktisch nicht möglich z.b. einen Spannungsverlauf ut t zu erzeugen. Genausowenig läßt sich der Dirac-Impuls grafisch darstellen, so daß die in Abb. 3. gezeigte Symbolik gewählt wird. f x A 0 f x 0 x a) f x x 0 x 0 x b) f x A 0 x x 0 Abb. 3.: Grafische Darstellung des Dirac-Impulses Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

15 3. Verallgemeinerte Funktionen Integration verallgemeinerter Funktionen Aufgrund der Definition für verallgemeinerte Funktionen, ist es sinnvoll, das Integral über den Grenzwert der Funktionenfolge zu definieren Beispiel: Integration des Dirac-Impulses sxx s n xx lim n s n xx (3.6) x ΧΧ lim x n n ΧΧ (3.7) mit z.b. (n > 0) wird n x n Π nx (3.8) x ΧΧ lim n Π arctan nχ x (3.9) 0 für x < 0 für x 0 (da n x symm.) (3.0) für x > 0 Σx (3.) Die Funktion Σx (siehe Abb. 3.3) wird oftmals als Sprungfunktion oder Einheitssprung bezeichnet. Σ n x x Abb. 3.3: Sprungfunktion Σx Sie ist ebenfalls eine verallgemeinerte Funktion und kann beispielsweise durch Σx lim Σ n x lim n n Π arctan nx (3.) dargestellt werden (siehe Übung 4). Wintersemester 003/004

16 6 3 SIGNALTHEORIE 3..3 Differentiation verallgemeinerter Funktionen Analog zur Integration kann auch die Differentiation verallgemeinerter Funktionen definiert werden sx lim x n x s nx (3.3) Die Ableitung der Sprungfunktion liefert wieder den Dirac-Impuls: Σx x (siehe Übung 4). x 3..4 Ausblendeigenschaft Eine sehr interessante Eigenschaft des Dirac-Impulses ist die sogenannte Ausblendeigenschaft (siehe Übung 4). sx x x 0 x lim n sx n x x 0 x (3.4) sx 0 (3.5) 3..5 Rechnen mit dimensionsbehafteten Größen In den vorangegangenen Abschnitten wurde stets x als Argument des Dirac-Impulses bzw. Sprungfunktion verwendet. Dabei wurde x als dimensionslose Größe angenommen. In der Nachrichtentechnik wird aber meist mit dimensionsbehafteten Größen wie der Zeit t oder der Frequenz f gearbeitet. In solchen Fällen ist zu prüfen, ob derartige dimensionsbehaftete Größen als Argumente von Funktionen zulässig sind, so sind z.b. sin5 bzw. rect sehr wohl definiert, sin5 s bzw. rect Hz jedoch nicht. Hier müssen solche Größen normiert werden. Mögliche Substitutionen sind z.b. x t/t oder x f /F. In vielen Büchern wird mit t und f schon als dimensionslose Größe gearbeitet, d.h. t und f sind normierte Größen mit T s bzw. F Hz, auch wenn darauf nicht explizit hingewiesen wird. Im Skript soll auch im folgenden x als dimensionlos gelten, t und f dagegen dimensionsbehaftete Größen, die die Zeit bzw. die Frequenz repräsentieren. Für den zeitlichen Dirac-Impuls ergeben sich damit z.b. folgende Definitionen t lim T 0 T rect t T (3.6) lim T 0 lim T 0 T triang t T (3.7) T Π t T (3.8) Per Definition gilt auch hier tt bzw. f f und demnach ist die Dimension von t s und von f folglich s Hz. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

17 3.3 Fouriertransformation Fouriertransformation 3.3. Definitionen Die Idee der Fouriertransformation besteht darin, daß man ein Signal st als eine Überlagerung von Schwingungen A Π ft der (komplexen) Amplitude A und der Frequenz f versteht. Die Fouriertransformation wird in den Lehrveranstaltungen Systemtheorie und Mathematik ausführlich behandelt. Deshalb wird hier nur noch einmal die Definition in Erinnerung gerufen und auf einige für die Nachrichtentechnik wichtigen Eigenschaften eingegangen [BS96]. Die Fouriertransformation wird in der Elektrotechnik als (siehe auch Anhang A.) S f st Π ft t st (3.9) definiert. Dabei wird eine Funktion st im Zeitbereich in eine Funktion S f im Bild- oder Frequenzbereich überführt. Die Rücktransformation bzw. inverse Fouriertransformation ist definiert als 3.3. Eigenschaften st S f Π ft f S f (3.30) Die Beziehung zwischen Original- und Bildfunktion der Fouriertransformation (kurz: FT) ist eineindeutig. Hierfür wird im folgenden die Kurzschreibweise st S f benutzt. Außerdem werden mit Kleinbuchstaben meist Funktionen im Zeitbereich und mit Großbuchstaben meist Funktionen im Frequenzbereich bezeichnet. Die Integrale (3.9, 3.30) sind nicht immer konvergent, z.b. gelingt die Transformation der wichtigen Sinussignale nicht im Rahmen der klassischen Funktionen, so daß auch hier die Begriffe der verallgemeinerten Funktionen und Distributionen verwendet werden müssen. Andererseits gilt, wenn das Signal st absolut integrierbar ist (siehe Abs. 3.), so ist auch das Fourierintegral konvergent und die Fouriertransformierte S f ist stetig und strebt für f ± gegen 0. Aufgrund der Symmetrie der FT gilt dies auch umgekehrt. Umkehrbarkeit Nachweis: Es gilt st st (3.3) st f t st Π ft t Π ft f (3.3) In der Mathematik, sowie Physik werden manchmal geringfügig abweichende Definitionen verwendet. Wintersemester 003/004

18 8 3 SIGNALTHEORIE st Π f tt f t (3.33) t f st t t t (3.34) t st (3.35) Aufgrund der Symmetrie der FT gilt auch die Umkehrung S f S f. Linearität Es gilt allgemein a i s i t i a i S i f (3.36) i d.h. bei Berechnungen können Signale in Teilsignale zerlegt werden, um so leichter zum Ergebnis zu kommen. Nachweis: a i s i t Π ft t i i a i s i t Π ft t (3.37) a i S i f (3.38) i FT konjugiert komplexer Signale Es gilt s t S f (3.39) Nachweis: s t s t Π ft t st Π f t t S f Durch die Substitution t t erhält man ganz analog die Beziehung s t Π f t t (3.40) S f (3.4) s t S f (3.4) Durch die einfache Substitution t t im Fourierintegral erhält man den Zusammen- Spiegelung hang st S f (3.43) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

19 3.3 Fouriertransformation 9 Symmetrie Die Integrale der Fourier Hin- und Rücktransformation unterscheiden sich allein durch das Vorzeichen im Exponenten der Exponentialfunktion. Es gilt damit das Dualitätsprinzip, d.h. Hinund Rücktransformation sind bis auf das Vorzeichen vertauschbar. Beziehungen, die z.b. im Zeitbereich gelten, lassen sich auch auf den Frequenzbereich übertragen. Nachweis: St s f (3.44) st Substitution f t und Fouriertransformation ergibt St Π ft t S f Π ft f (3.45) St Π f t t s f (3.46) FT rein reeller Signale Für reellwertige Signale st gilt st s t und damit auch (siehe FT konjugiert komplexer Signale) S f S f (3.47) Daraus ergeben sich dann die Beziehungen S f S f S f S f (3.48) S f args f S f args f (3.49) X f X f X f f Abb. 3.4: Real- und Imaginärteil der Fouriertransformierten S f eines reellen Signals st Etwas anschaulicher ist folgende Betrachtung S f st Π ft t (3.50) st cos Π ft sin Π ft t (3.5) Wintersemester 003/004

20 0 3 SIGNALTHEORIE da st rein reellwertig ist, läßt sich folgern, daß gilt S f st cos Π ft t S f st sin Π ft t gerade Fkt. in f, da cos-term eine gerade Fkt. in f ist ungerade Fkt. in f, da sin-term eine ungerade Fkt. in f ist Beide Überlegungen zeigen daß sowohl der Realteil des Spektrums S f als auch das Betragsspektrum S f gerade Funktionen, und sowohl der Imaginärteil des Spektrums S f als auch der Phasengang args f ungerade Funktionen sind. Diese Eigenschaften werden noch einmal durch die Abb. 3.4 verdeutlicht. FT rein imaginärer Signale FT rein reeller Signale) Für rein imaginäre Signale st gilt st s t und damit auch (siehe S f S f (3.5) S f S f S f S f (3.53) S f args f S f args f Π (3.54) Auch hier ist folgende Betrachtung etwas anschaulicher S f st Π ft t (3.55) st cos Π ft sin Π ft t (3.56) da st rein imaginär ist, läßt sich folgern, daß gilt S f st sin Π ft t S f st cos Π ft t ungerade Fkt. in f, da sin-term eine ungerade Fkt. in f ist gerade Fkt. in f, da cos-term eine gerade Fkt. in f ist Hier sind der Imaginärteil des Spektrums S f und das Betragsspektrum S f gerade Funktionen, sowie der Realteil des Spektrums S f und der Phasengang args f ungerade Funktionen. Verschiebungssatz FT zeitverschobener Signale Eine Verschiebung des Signals st im Zeitbereich entspricht einer linear frequenzabhängigen Phasenverschiebung des Spektrums S f st t 0 Π ft 0 S f (3.57) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

21 3.3 Fouriertransformation Nachweis (Substitution t t t 0 ): st t 0 st t 0 Π ft t st Π f t t 0 t (3.58) Π ft 0 st Π ft t Π ft 0 S f (3.59) Verschiebungssatz FT frequenzverschobener Signale gilt auch die Umkehrung (siehe auch Modulation) Aufgrund der Symmetrie der FT Π f 0t st S f f 0 (3.60) Nachweis: S f f 0 st Π f f0t t st Π f0t Π ft t st Π f0t (3.6) Ähnlichkeitssatz Zeitdehnung oder -pressung Spektrum auf der Frequenzachse gedehnt und umgekehrt. sat Nachweis (Substitution t at und Fallunterscheidung a > 0, a < 0): sat Π ft t a Wird ein Signal zeitlich gestaucht, wird das a S f a, a 0 (3.6) st Π f t a t a S f a (3.63) Hinter dieser Aussage verbirgt sich die Tatsache, daß zeitlich schnell veränderliche Signale ein breites Spektrum und langsam veränderliche Signale ein schmales Spektrum besitzen. FT des Dirac-Impulses Die Fouriertransformation des Dirac-Impulses ergibt sich unmittelbar aus der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses: t t Π ft t Π f 0 (3.64) Der Dirac-Impuls besitzt also ein unendlich ausgedehntes konstantes Spektrum. Diese Eigenschaft schließt sich unmittelbar als Grenzwertbetrachtung an die vorher behandelte Eigenschaft der Zeitdehnung bzw. -pressung an. Aufgrund der Symmetrie der FT und des Verschiebungssatzes ergeben sich die folgenden Regeln: Π f 0t f t (3.65) f f 0 t t 0 Π ft 0 (3.66) Wintersemester 003/004

22 3 SIGNALTHEORIE Die überaus wichtigen Basissignale cos Π f 0 t und sin Π f 0 t sind nicht abso- FT von Sinussignalen lut integrierbar, da Es ist aber bekannt, daß man cos Π f 0 t t bzw. sin Π f 0 t t (3.67) cos Π f 0 t Π f 0t Π f 0t (3.68) sin Π f 0 t Π f 0t Π f 0t (3.69) schreiben kann. Damit erhält man die folgenden Transformationsregeln (siehe Abb. 3.5) cos Π f 0 t sin Π f 0 t f f 0 f f 0 (3.70) f f 0 f f 0 f f 0 f f 0 (3.7) Mit Hilfe der Rücktransformation lassen sich die gemachten Aussagen leicht überprüfen. S f S f A (S f 0) A (S f 0) f 0 f 0 f f 0 f 0 f st A cos Π f 0 t st A sin Π f 0 t Abb. 3.5: Spektrum der Kosinus- bzw. Sinusfunktion Faltungssatz Eine Multiplikation zweier Signale im Zeitbereich entspricht einer Faltung der beiden korrespondierenden Spektren im Frequenzbereich. Aufgrund der Symmetrie der FT gilt dies auch umgekehrt Nachweis: siehe Glgn. ( ) s t s t S f S f (3.7) s t s t S f S f (3.73) Modulation Die Multiplikation eines Signals st mit einem Sinussignal entspricht einer Verschiebung des entsprechenden Spektrums S f im Frequenzbereich st Π f 0t S f f 0 (3.74) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

23 3.3 Fouriertransformation 3 st cos Π f 0 t st sin Π f 0 t S f f 0 S f f 0 (3.75) S f f 0 S f f 0 (3.76) Der Nachweis erfolgt mit Hilfe der Korrespondenzen für Sinussignale und des Faltungssatzes st Π f 0t S f f f 0 (3.77) sowie der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses (siehe Abs. 3..4, Faltung bezüglich f, siehe auch Anmerkungen zur Faltung Abs. A.3) Die eben aufgezeigte Korrespondenz S f f f 0 S f Ν Ν f 0 Ν (3.78) S f f 0 (3.79) S f f f 0 S f f 0 (3.80) wird im weiteren Verlauf immer wieder auftauchen und ist für das Verständnis einiger Zusammenhänge sehr hilfreich. Wintersemester 003/004

24 4 4 LINEARE ZEITINVARIANTE SYSTEME 4 Lineare zeitinvariante Systeme 4. Definitionen Gegeben ist das in Abb. 4. gezeigte System H mit einem Eingang x und einem Ausgang y. x H y Abb. 4.: System H Es werden zunächst einige Begriffe zur Beschreibung von Systemen erläutert: Kausalität Ein System ist kausal, wenn für jeden beliebigen Zeitpunkt t 0 mit t 0 < t die Systemreaktion yt 0 unabhängig vom weiteren Verlauf von xt ist. Die Systemreaktion wird immer ausschließlich von zurückliegenden Werten des Eingangssignals bestimmt (Ursachen-Wirkungs-Prinzip, siehe auch Übung ). Zeitinvarianz Ein System ist zeitinvariant, wenn die Übertragungsfunktion zeitunabhängig ist, d.h. aus xt yt folgt bei einer beliebigen Zeitverschiebung um Τ des Eingangssignals selbige Zeitverschiebung des Ausgangssignals: xt Τ yt Τ. Linearität Ein System ist linear, wenn mit x t y t und x t y t auch x tx t y ty t und a x t a y t (a ) gilt. Quellenfreiheit Ein System ist quellenfrei, wenn aus xt 0 yt 0 folgt (aus xt 0 für t < t 0 folgt yt 0 für t < t 0 ). Lineare Systeme sind immer quellenfrei. Im weiteren Verlauf dieses Abschnittes werden Systeme untersucht, die die Eigenschaften Linearität und Zeitinvarianz erfüllen. Derartige Systeme werden lineare zeitinvariante Systeme (linear time invariant systems), kurz LTI-Systeme, genannt. LTI-Systeme müssen nicht kausal sein, jedoch sind praktisch realisierbare Systeme immer kausal. 4. Übertragungsfunktion Das LTI-System H wird durch das harmonische (komplexe) Eingangssignal xt Π f 0t mit der Frequenz f 0 angeregt. Das System H befindet sich im eingeschwungenen Zustand (Einschwingvorgänge sind ausreichend abgeklungen). Das Ausgangssignal sei y f0 t. Also Π f 0t y f0 t (4.) Wegen der Zeitinvarianz gilt auch Π f 0tΤ y f0 t Τ (4.) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

25 4. Übertragungsfunktion 5 und aufgrund der Linearität Zum Zeitpunkt t 0 wird dann und mit der Substitution t Τ: Π f 0Τ Π f 0t a Π f 0Τ y f0 t (4.3) a Π f 0Τ y f0 0 Π f 0Τ Π f 0t y f0 0 Π f 0t Durch Fouriertransformation in den Frequenzbereich ergibt sich (4.4) (4.5) f f 0 y f0 0 f f 0 (4.6) Daraus folgt, daß ein LTI-System bei sinusförmiger Erregung der Frequenz f 0 stets ein sinusförmiges Ausgangssignal mit selbiger Frequenz f 0 generiert (Eigenfunktion von LTI-Systemen [Fli9]). Diese Ausgangsschwingung ist jedoch mit einem komplexen Faktor y f0 0 gewichtet, d.h. das Eingangssignal wird nur in der Amplitude und Phase verändert. Trägt man für alle Frequenzen f f 0 die Wichtungsfaktoren y f0 0 über der Frequenz f auf, so ergibt sich die Übertragungsfunktion des LTI-Systems H im Frequenzbereich. Sie wird üblicherweise mit H f bezeichnet. Dabei gilt H f 0 y f0 0 mit < f 0 < (siehe Abb. 4.). 0.8 H f X f Y f H f X f f g 0 f g f f g 0 f g f Abb. 4.: Spektren der Betragsübertragungsfunktion H f, sowie des Ein- und Ausgangssignals X f und Y f Es sei X f die Fouriertransformierte von xt, d.h. das Eingangssignal xt läßt sich als Überlagerung meist unendlich vieler Sinussignale darstellen. Unter Ausnutzung der Linearität ergibt sich damit folgender Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eines LTI-Systems Y f H f X f (4.7) Die einzelnen Spektralanteile von X f ergeben unterschiedlich gewichtet das Spektrum Y f. Ein LTI- System kann keine Sinussignale mit Frequenzen, die nicht im Eingangssignal enthalten sind, erzeugen. Die Funktion H f ist die komplexe Wichtungsfunktion des Eingangssignalspektrums, wird als die Übertragungsfunktion des LTI-Systems H bezeichnet, kann in Amplitudenfrequenzgang (Betrag H f ) und Phasengang (Phase arg H f ) zerlegt werden. Wintersemester 003/004

26 6 4 LINEARE ZEITINVARIANTE SYSTEME 4.3 Impulsantwort Die Betrachtung im Zeitbereich ergibt yt H f X f (4.8) hθ Π f Θ Θ xτ Π f Τ Τ Π ft f (4.9) hθxτ Π f tθτ Τ Θ f (4.0) mit Hilfe der Substitution ϑ Θ Τ folgt hϑ ΤxΤΤ Π f tϑ f ϑ (4.) und mit Hilfe der Korrespondenz Π f Τ t Τ (siehe Tab. A.) folgt weiter und unter Ausnutzung der Ausblendeigenschaft ergibt sich letztlich yt hϑ Τ xτ t ϑ Τ ϑ (4.) ht Τ xτ Τ h xt (4.3) Das Signal ht ist die inverse Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion H f und wird als Impulsantwort bezeichnet, denn das System H erzeugt bei einer Erregung mit dem Dirac-Impuls xt t genau die Impulsantwort yt ht am Ausgang. yt ht ΤxΤΤ (4.4) ht Τ ΤΤ (4.5) ht (4.6) Zusammenfassend kann gesagt werden, daß ein lineares und zeitinvariantes (LTI-)System vollständig durch seine Impulsantwort ht bzw. seine Übertragungsfunktion H f ht beschrieben wird. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

27 4.4 Faltung als Grundoperation der Nachrichtentechnik Faltung als Grundoperation der Nachrichtentechnik 4.4. Definition In Glg. (4.3) wurde die Beziehung zwischen Ein- und Ausgangssignal eines LTI-Systems H wie folgt herausgearbeitet yt ht Τ xτ Τ (4.7) h xt (4.8) Dieses Integral wird als Faltungsintegral oder kurz als Faltung bezeichnet und besitzt in der Systemtheorie und Nachrichtentechnik eine herausragende Bedeutung (siehe auch die Anmerkungen im Anhang A.3). Das Ausgangssignal yt ergibt sich aus der Faltung des Eingangssignals xt mit der Impulsantwort ht des Systems H. Gleichzeitig wurde in den Glgn. ( ) der Faltungssatz der Fouriertransformation nachgewiesen (siehe Glgn. 3.7, 3.73). Das Übertragungsverhalten eines LTI-Systems kann damit nun wahlweise im Frequenz- oder Zeitbereich erfolgen. Beide Darstellungen sind äquivalent Eigenschaften Die Faltung ist kommutativ: g h h g, assoziativ: f g h f g h, Y f H f X f (4.9) yt h xt ht xt distributiv: f g h f g f h und aus g h 0 folgt g 0 oder h 0 ht Τ xτ Τ (4.0) Diese Eigenschaften kann man durch einfache Substitutionen der Integrationsvariablen nachweisen, z.b. Kommutativität x t Τx Τ Τ x Τ x t Τ Τ mit Τ t Τ (4.) x Τ x t Τ Τ (4.) x Τx t ΤΤ mit Τ Τ (4.3) Wintersemester 003/004

28 8 4 LINEARE ZEITINVARIANTE SYSTEME Beispiel Eine weitere Eigenschaft der Faltung soll am Beispiel der Faltung zweier Rechteckfunktionen herausgearbeitet werden (siehe Abb. 4.3 und Übung ). x Τ, x t Τ yt x t x t x x T t T t t T T 0 T Τ T 0 T t a). Fall: t < T yt 0 x Τ, x t Τ yt x t x t x x T t T T t t T 0 T b). Fall: T t < 0 yt T t Τ T 0 T t x Τ, x t Τ yt x t x t x x T T t T 0 T t t T c) 3. Fall: 0 t < T yt T t Τ T 0 T t x Τ, x t Τ yt x t x t x x T T 0 T t T Τ t t T d) 4. Fall: T t yt 0 T 0 T t Abb. 4.3: Faltung zweier Rechteckfunktionen rectt/t rectt/t Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

29 4.5 Zeit- und Frequenzbetrachtung 9 yt rectt/t x t rectt/t x t (4.4) rectτ/t rectt Τ/T Τ (4.5) T rectt Τ/T Τ T rectτ t/t Τ (4.6) T T 0 für t < T tt/ t T t für T t < 0 T/ T/ t T t für 0 t < T tt/ 0 für T t (4.7) Die Faltung zweier Signale yt x x t bewirkt eine zeitliche Signalspreizung. Ist x t nur in einem Interval der Länge T ungleich null und das Signal x t im Intervall der Länge T ungleich null, so ist das Ausgangssignal yt nur im Intervall der Länge T T ungleich null. Weitere Beispiele befinden sich in den Übungen, 3, 4 und Zeit- und Frequenzbetrachtung In diesem Abschnitt sollen Zusammenhänge zwischen dem Zeit- und Frequenzverhalten von Signalen untersucht werden Fouriertransformation der Rechteckfunktion Die Fouriertransformation der Rechteckfunktion st rectt/t ergibt sich zu S f rectt/t Π ft t (4.8) T T Π ft t Π f Π f T Π f T (4.9) und unter Ausnutzung der Beziehung sin x x x sinπ f T T sinπ f T Π f Π f T (4.30) T siπ f T (4.3) Dabei wird die Funktion six sinx/x als Spaltfunktion bezeichnet (siehe Abb. 4.4 und auch Definition im Anhang A.). Wintersemester 003/004

30 30 4 LINEARE ZEITINVARIANTE SYSTEME sit/t t Π Π t/t Abb. 4.4: Spaltfunktion sit/t 4.5. Zeit- und Frequenzbegrenzung 3 Die meisten Signale sind zeitbegrenzt, schon allein durch den Umstand, daß ein Signalgenerator zuerst eingeschaltet und später wieder ausgeschaltet wird und daher das Ausgangssignal während der Aus - Zeit Null, also zeitbegrenzt, ist. Es soll nun die Frage betrachtet werden, ob Signale erzeugt werden können, die sowohl zeit- als auch frequenzbegrenzt sind. Dabei soll von einem zeitbegrenzten Signal ausgegangen werden. Es soll st 0 für t > T / gelten. Es wird dann st rectt/t xt (4.3) S f T siπ f T X f (4.33) Dabei bewirkt die Faltung von X f mit der Spaltfunktion siπ f T eine spektrale Verbreiterung. Da si f einen Pegelabfall proportional / f besitzt, folgt daraus, daß S f ein unendlich ausgedehntes Spektrum darstellt. Die Impulsantwort bzw. Übertragungsfunktion eines LTI-Systems kann nur entweder zeit- oder frequenzbegrenzt sein, aber niemals beides zugleich 4. Das bedeutet, daß ein zeitlich begrenztes Signal ein unendlich ausgedehntes Spektrum besitzt und umgekehrt. S f f g 0 f g f Abb. 4.5: Quasibandbegrenztes Signal 3 siehe auch Zeitdauer-Bandbreite-Produkt [Kam96] und Anwendung auf bandbegrenzte nichtperiodische Funktionen [Hof98] 4 Die oben gemachten Ausführungen sollen nicht als Beweis, sondern als praktische Veranschaulichung des Sachverhaltes dienen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

31 4.5 Zeit- und Frequenzbetrachtung 3 Das Spektrum S f eines zeitlich begrenzten Signals kann zwar für f gegen Null streben, aber nicht identisch Null werden. Deshalb ergibt sich in der Praxis das folgende Bild (siehe Abb. 4.5). Das Spektrum S f des Signals verschwindet ab einer gewissen Grenzfrequenz f g im Rauschen, ist also kleiner als der Rauschpegel. Dieser Rauschteppich entsteht beispielsweise durch thermisches Rauschen von Bauelementen. Derartige Signale werden als quasibandbegrenzt bezeichnet. In der Praxis werden diese quasibandbegrenzten Signale wie bandbegrenzte Signale behandelt. Zeitbereich endliche Signaldauer unendlich ausgedehntes Signal Frequenzbereich unendlich ausgedehntes Spektrum bandbegrenztes Spektrum Raised-Cosine-Filter Es ist wünschenswert, wenn Signale sowohl zeit- als auch frequenzbegrenzt sein könnten. Im vorherigen Abschnitt wurde jedoch festgestellt, daß dies nicht möglich ist. Ein idealer Tiefpaß hat die Übertragungsfunktion H f rect f / f g, wobei f g die Grenzfrequenz ist. Die Impulsantwort ht ergibt sich durch die Fouriertransformation zur Spaltfunktion ht f g siπ f g t. Diese Impulsantwort ist weder kausal noch zeitbegrenzt. Durch Verschieben und Abschneiden kann Kausalität und Zeitbegrenzung erreicht werden 5. Die Spaltfunktion hat aber noch den entscheidenden Nachteil, daß ihre Einhüllende nur proportional /t abfällt, was für viele praktische Anwendungen nicht ausreichend ist. In vielen Anwendungen wird daher das Raised-Cosine-Filter H rc (siehe Abb. 4.6) verwendet. In den folgenden Gleichungen sind die Übertragungsfunktion und Impulsantwort angegeben. f für f g < Α H rc f cos Π 4Α f g Α für Α f f g < Α (4.34) 0 für Α f f g h rc t f g siπ f g t cosπα f gt 4Α f g t (4.35) Dieses Filter ist ebenfalls frequenzbegrenzt, hat jedoch im Gegensatz zum idealen Tiefpaß einen weichen, kosinusförmigen Übergang zwischen Durchlaß- und Sperrbereich. Der Grenzfall Α 0 ist dabei wieder der ideale Tiefpaß. Durch diesen weniger abrupten Übergang zwischen Durchlaß- und Sperrbereich wird ein stärkeres Abklingen der Impulsantwort h rc t erreicht. Die Einhüllende fällt in Abhängigkeit von Α unterschiedlich stark ab (für Α 0 mit /t und für Α mit /t 3 ). Dieser Abfall ist für Α > 0 stark genug, daß für die meisten Anwendungen eine ausreichende Begrenzung in Zeit und Frequenz erreicht werden kann. 5 Um Signale bei der Filterung nicht unnötig zu verzerren (erschwerte Detektion), wird besonders in der Nachrichtentechnik die Linearphasigkeit von Filtern gefordert. Dies führt zu der äquivalenten Forderung der symmetrischen Impulsantwort des Filters. Da nur kausale Systeme realisierbar sind, muß diese Impulsantwort entsprechend zeitlich verschoben werden. Wintersemester 003/004

32 3 4 LINEARE ZEITINVARIANTE SYSTEME H f f g ht f g 0 f g f f g f g t a) Übertragungsfunktion H f und Impulsantwort ht des idealen Tiefpaßfilters H rc f f g h rc t f g 0 f g f f g f g t b) Übertragungsfunktion H rc f und Impulsantwort h rc t des Raised Cosine Filters (Α 0.3) Abb. 4.6: Vergleich von idealen Tiefpaß- und Raised Cosine Filter In dem folgenden Beispiel soll noch gezeigt werden, wie durch Verschieben und Abschneiden Kausalität und Zeitbegrenzung erreicht werden kann. ht h rc t 5T g rect t 5T g mit T g / f g (4.36) 0T g h rc t 5T g für 0 < t < 0T g damit kausal (4.37) 0 sonst damit zeitbegrenzt Dieses Ausschneiden wird in der Signalverarbeitung als Fensterung bezeichnet und erlaubt die Beschreibung von zeitlich nur begrenzt beobachtbaren Vorgängen. So ist zum Beispiel für die Berechnung der Fouriertransformierten eine Integration über die Zeit < t < notwendig, jedoch praktisch unmöglich. Eine Messung des Signalverlaufs kann nur in einem endlichen Zeitraum erfolgen. Die dabei zu erwarteten Effekte werden in Übung 6 behandelt. 4.6 Zentraler Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz besagt, daß die Verteilungsfunktion F n der Summe von n unabhängigen Zufallsgrößen X i für n gegen eine Normalverteilung konvergiert. Dazu existieren eine Reihe von Sätzen, die alle unter unterschiedlichen Voraussetzungen Aussagen über die Konvergenz treffen [BHPT95], [BS96]. Eine recht allgemeine Form des zentralen Grenzwertsatzes ist der Satz von Ljapunov, der hier kurz wiedergegeben werden soll. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

33 4.6 Zentraler Grenzwertsatz 33 Satz von Ljapunov Voraussetzungen: Sei X i unabhängig, nicht unbedingt identisch verteilt Μ i EX i endlich Σ i EX i Μ i endlich > 0 B n lim n Σ 0 mit B n 3 und und n i b i b i EX i Μ i 3 Σ n n die zu X n i X i gehörende normierte Zufallsgröße, dann gilt: i Σ i Z X i Μ i (4.38) Σ i lim F nz z, 0, n Π z t t (4.39) D.h. die Verteilungsfunktion F n z konvergiert asymptotisch gegen die normierte Normalverteilung z, Μ, Σ Μ 0, Σ z, 0,. Mit n Z X Μ i (4.40) n i Σ i i folgt X n Σ i Z Μ i (4.4) i Die Zufallsgröße X n i X i ist ebenfalls asymptotisch normalverveilt mit EX n i Μ i und D X n i Σ i. n i Die Deutung des zentralen Grenzwertsatzes besteht dann in folgendem: Kann eine Zufallsgröße als Summe einer großen Anzahl voneinander unabhängiger Summanden aufgefaßt werden, von denen jeder zur Summe nur einen unbedeutenden Beitrag liefert, so ist diese Zufallsgröße annähernd normalverteilt [BS79]. Wintersemester 003/004

34 34 5 ANALOG-DIGITAL-UMSETZUNG 5 Analog-Digital-Umsetzung 5. Motivation Die uns umgebenden Signale sind meist sowohl wert- als auch zeitkontinuierlich. Derartige Signale werden allgemein als analoge Signale bezeichnet. Die direkte Verarbeitung dieser analogen Signale erfolgt mittels analoger Systeme (siehe Vorlesung Systemtheorie). Da jedoch digitale Systeme weniger anfällig gegen Störungen, universell einsetzbar, parameterisierbar und rekonfigurierbar sind, und oft mehr Möglichkeiten der Signalmanipulation bieten, ist es in vielen Fällen sinnvoll, die Verarbeitung analoger Signale mittels digitaler Systeme zu realisieren. Dazu ist eine Analog-Digital- bzw. Digital- Analog-Umsetzung der Signale notwendig. Derartige Umsetzungen sind auch notwendig, wenn digitale Signale mit Hilfe analoger Signale übertragen werden sollen, z.b. über eine Funkschnittstelle (siehe Abb. 5.). Analoges Signal ADC Digitales System z.b. Μ-Prozessor DAC Analoges Signal Quelle/Senke Quelle/Senke Digitales Signal DAC Analoges System z.b. Funkkanal ADC Digitales Signal Abb. 5.: Hauptanwendungen von AD- bzw. DA-Wandlern Dieser Abschnitt soll sich besonders mit dem Problem der Analog-Digital-Umsetzung beschäftigen. Dabei gilt es zu klären, wie und welche Signaleigenschaften sich durch solche Umsetzungen verändern, und ob es gelingt, das analoge Signal wieder zu rekonstruieren. Im Hinblick auf praktische Realisierungen sind Fehlerquellen zu analysieren und in der Entwicklung von Umsetzern/Wandlern (converters) zu berücksichtigen. Ein digitales Signal zeichnet sich durch die Eigenschaften zeitdiskret und wertdiskret aus. In vielen Anwendungen werden digitale Signale aus analogen Signalen gewonnen, indem mit Hilfe eines Analog- Digital-Wandlers (oder Analog-Digital-Umsetzers: ADU; analog-to-digital converter: ADC) das zeitund wertkontinuierliche (analoge) Signal in ein zeit- und wertdiskretes (digitales) Signal gewandelt wird. Die Diskretisierung des Definitionsbereiches (also der Zeit) wird als Abtastung (sampling) bezeichnet, während die Diskretisierung des Wertebereiches als Quantisierung (quantization) bezeichnet wird. Die Vorteile der digitalen Signalverarbeitung sind insbesondere: Die Verarbeitung ist technologie- und temperaturunabhängig. Die Verarbeitung von Signalen in digitalen Systemen ist meist deutlich einfacher bzw. bestimmte Signalmanipulationen sind nur mit Hilfe digitaler Signalverarbeitung realisierbar. Die Signale sind einfach speicherbar. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

35 5. Zeitdiskretisierung Zeitdiskretisierung Zeitkontinuierliche Signale st sind Zeitfunktionen, denen zu jedem Zeitpunkt t genau ein Funktionswert zugeordnet ist. Zeitdiskrete Signale sn sind Folgen, in denen jedem Argument n genau ein Element zugeordnet ist. Dabei wird jedem Argument n ein gewisser Zeitpunkt t zugeordnet. Der Übergang st sn, der idealerweise ohne Informationsverlust erfolgen soll, wird als Zeitdiskretisierung oder Abtastung bezeichnet. 5.. Dirac-Kamm-Funktion Um die Abtastung besser beschreiben zu können, wird eine neue Funktion, die Dirac-Kamm-Funktion T t, eingeführt. Diese Funktion setzt sich aus äquidistant zeitverschobenen Dirac-Impulsen zusammen und ist wie folgt definiert Tt n t nt (5.) Da die Dirac-Kamm-Funktion eine periodische Funktion mit der Periode T ist, kann man sie in eine Fourierreihe entwickeln (siehe Übung 6) Tt n T Π n T t (5.) Damit läßt sich ihre Fouriertransformierte sehr leicht angeben T t T T n f n T (5.3) f (5.4) T Es wird deutlich, daß das Spektrum einer Dirac-Kamm-Funktion im Zeitbereich einer Dirac-Kamm- Funktion im Frequenzbereich entspricht. Tt T f (5.5) T 5.. Abtastung sampling Unter Abtastung versteht man die Entnahme einzelner Funktionswerte (samples) eines zeitkontinuierlichen Signals. Die Abtastwerte werden zu einer Folge zusammengefaßt. st n sn mit n t n < t n (5.6) Dabei kann die Abtastung zu beliebigen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten erfolgen, jedoch soll hier nur die äquidistante Abtastung betrachtet werden, da sie eine herausragende praktische Bedeutung besitzt. snt sn mit T Abtastperiode (5.7) Wintersemester 003/004

36 36 5 ANALOG-DIGITAL-UMSETZUNG st T 0 T s s t st n rect tnt T 0 0 T T 3T 4T t T 0 Abb. 5.: Eingangssignal st und Ausgangssignal s s t des realen Abtasters Der Vorgang der Abtastung kann modelliert werden, indem alle Funktionswerte st nt ausgeblendet (zu Null gesetzt) werden. Da durch dieses Ausblenden von Funktionswerten der Flächeninhalt stt gegen Null strebt, müssen die (verbleibenden) Abtastwerte entsprechend gewichtet werden. Ausgangspunkt soll eine reale Abtast- bzw. Torschaltung mit der Toröffnungszeit T 0 sein (siehe Abb. 5.). Das abgetastete Signal kann somit beschrieben werden durch s s t st n T rect t nt mit T 0 < T (5.8) T 0 T 0 Der Faktor T /T 0 ist notwendig, damit die Fensterfunktion sowohl dimensionslos (einheitenlos), als auch ihr Flächeninhalt unabhängig von Abtastrate /T und Toröffnungszeit T 0 konstant bleibt. Wenn man nun die Dauer des Abtastimpulses immer kürzer macht und schließlich T 0 0 strebt, so ergibt sich dann das Modell des idealen Abtasters 6 (siehe Abbn. 5.3 und 5.4) s s t st n T t nt (5.9) Mit der oben eingeführten Dirac-Kamm-Funktion kann nun die Abtastung beschrieben werden als s s t st n Dabei bezeichnet T die Abtastperiode bzw. f s /T die Abtastrate. T t nt st T T t (5.0) Das Abtastsignal s s t bleibt trotz Abtastung zeitkontinuierlich und kann damit zur Beschreibung der Abtastung der Fouriertransformation unterzogen werden. Die Multiplikation des Signals st mit der Dirac- Kamm-Funktion T T t im Zeitbereich wird zur Faltung der Spektren S f und T Tt. Damit wird mit Glg. (5.5) s s t st T Tt (5.) 6 In älteren Versionen des Skriptes wurde der in der Literatur übliche Weg beschritten, den Faktor T im Zeitbereich wegzugelassen (er erschien dann dafür im Frequenzbereich als /T). Es ergibt sich dort s s t st n t nt (siehe auch die Prüfungen ). Am Prinzip ändert sich dadurch natürlich nichts, aber die Arbeit mit dimensionsbehafteten Größen, wie der Zeit t und der Frequenz f, wird durch den hier gewählten Weg erleichtert (siehe Abs. 3..5). Da im Skript konsequent mit dimensionsbehafteten Größen gearbeitet wird, ist es nur so möglich, st und s s t und später S f und S s f miteinander zu vergleichen und in ein Diagramm zu zeichnen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik