Taschenbuch der Elektrotechnik

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1 Taschenbuch der Elektrotechnik Grundlagen und Elektronik von Ralf Kories, Heinz Schmidt-Walter überarbeitet Taschenbuch der Elektrotechnik Kories / Schmidt-Walter schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Harri Deutsch 2006 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Inhaltsverzeichnis: Taschenbuch der Elektrotechnik Kories / Schmidt-Walter

2 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz u e T u a Abbildung 6.: Ein System mit Ein- und Ausgangssignalen Häufig abstrahiert man in der Nachrichtentechnik vom inneren Aufbau eines Netzwerkes und betrachtet nur Eingangs- und Ausgangsgrößen (in den meisten Fällen sind das Spannungen). Man spricht dann von einem System. Die Funktion des Systems beschreibt man symbolisch durch eine Transformation des Eingangssignals in ein Ausgangssignal. u a = T(u e ) 6. Lineare Systeme Viele Systeme lassen sich in guter Näherung als lineare Systeme beschreiben. Für diese gilt T (α u e )=α T(u e ) (6.) Das Ausgangssignal ist dem Eingangssignal proportional. T (u + u 2 )=T(u )+T(u 2 ) (6.2) Jedes der beiden Eingangssignale kann gedanklich getrennt durch das System geführt werden, als ob das jeweils andere nicht vorhanden wäre (siehe Abb. 6.2). u u T + + T T(u +u 2 ) + + T(u +u 2 ) u 2 u 2 T Abbildung 6.2: Superpositionsprinzip bei linearen Systemen Die in Gleichung (6.2) und Abbildung 6.2 dargestellte Vorgehensweise bezeichnet man als Superpositionsprinzip oder als den Überlagerungssatz. Lineare Systeme reagieren auf ein harmonisches Eingangssignal mit einem harmonischen Ausgangssignal gleicher Frequenz, in der Regel mit anderer Amplitude und Phasenlage. HINWEIS: Systeme, die auf harmonische Eingangssignale mit nichtharmonischen Ausgangssignalen reagieren, bezeichnet man als nichtlineare Systeme. Am Ausgang erscheinen also Signalanteile anderer Frequenz als der des Eingangssignals.

3 6. Lineare Systeme Übertragungsfunktion, Amplituden- und Phasengang Das Verhalten eines linearen Systems bei harmonischen Eingangssignalen verschiedener Frequenz beschreibt die Übertragungsfunktion G(ω ). Übertragungsfunktion = Ausgangsgröße Eingangsgröße Unabhängige Variable der Übertragungsfunktion ist die (Kreis-)Frequenz der harmonischen Eingangssignale. G(ω )= u a u e nur für harmonische Signale (6.3) Diese Gleichung ist problematisch für Signale mit Nullstellen, deshalb ist die folgende geeigneter u a (ω )=G(ω ) u e (ω ) (6.4) Die Übertragungsfunktion ist im allgemeinen komplexwertig. Darin drückt sich aus, daß sie außer der Amplitude auch die Phase des Eingangssignals beeinflußt. BEISPIEL: Die Abbildung zeigt einen Tiefpaß. R Abbildung 6.3: Tiefpaß als u e C u a Spannungsteiler Seine Übertragungsfunktion lautet G(ω )= u a = /jω C u e /jω C + R = + jω RC Die Übertragungsfunktion wird auch als (komplexer) Frequenzgang bezeichnet. Sie läßt sich nach Betrag und Phase zerlegen. G(ω )= G(ω ) e jϕ (ω ) (6.5) Man bezeichnet G(ω ) bzw. G( f ) als Amplituden-Frequenzgang oder nur Amplitudengang eines Systems. ϕ (ω ) heißt Phasen-Frequenzgang oder nur Phasengang.Häufig wählt man für G(ω ) eine Darstellung in logarithmischer Form. Man definiert das Verstärkungsmaß A(ω )=20log 0 G(ω ) (db) (6.6) Zur Kennzeichnung, daß es sich um ein Verhältnis von Größen handelt, verwendet man die Verhältniseinheit Dezibel,dB. ÜBERTRAGUNGSFUNKTION: transfer function, transfer factor FREQUENZGANG: frequency response AMPLITUDENGANG: amplitude/frequency characteristic PHASENGANG: phase response, phase/frequency characteristic

4 262 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Typische Werte Verstärkung Verstärkungsmaß v = G(ω ) A(ω ) 0dB 2 3dB / 2 3dB 2 6dB 4 2 db 0 20 db 0, 20 db BEISPIEL: Welche Verstärkung hat ein System mit 4 db? A(ω )=20log 0 G(ω ). Aus der Tabelle entnimmt man 4dB = 20dB 6dB v = 0 2 = 5; G(ω )=0 A(ω ) 20 = = 5 HINWEIS: Mitunter findet man auch die Bezeichnungen Betrags-Charakteristik für G(ω ), Verstärkungs-Charakteristik für A(ω ) und Phasen-Charakteristik für ϕ (ω ). HINWEIS: In der Nachrichtentechnik findet sich mitunter die Darstellung G(ω )=e (Ã(ω )+jb(ω )) = e Ã(ω ) e jb(ω ) (6.7) Ã(ω ) heißt Dämpfungsmaß, B(ω ) Phasenmaß eines Systems. Die Übertragungsfunktion wird häufig als Bode-Diagramm dargestellt. Man trägt dabei das Verstärkungsmaß über den Logarithmus der Frequenz auf. Die Phase wird separat dargestellt. A(f)/dB f ϕ(f) f Abbildung 6.4: BODE-Diagramm zur Übertragungsfunktion des Tiefpasses aus dem vorhergehenden Beispiel DÄMPFUNGSMASS: attenuation factor PHASENMASS: phase factor

5 6.2 Filter Filter Filter- oder Siebschaltungen sind Netzwerke mit geeigneten Übertragungsfunktionen, um Anteile eines Signalgemisches frequenzabhängig zu behandeln. Man unterscheidet Tiefpaßfilter (TP) Hochpaßfilter (HP) Bandpaßfilter (BP) Bandsperren (BS) Allpässe (AP) Signale im Durchlaßbereich sollen das Filter weitgehend unverfälscht passieren. Signale im Sperrbereich sollen weitgehend unterdrückt werden Tiefpaß TP Abbildung 6.5: Symbole in Blockschaltbildern für Tiefpässe -A ~ /db A/dB Abbildung 6.6: Prinzipieller Dämpfungsverlauf und Amplituden-Frequenzgang beim Tiefpaß. Der Sperrbereich ist schraffiert f Bei der Grenzfrequenz ist die Amplitude des Signals um den Faktor / 2 = 0,707 kleiner als bei Gleichspannung. Das bedeutet, das Verstärkungsmaß ist auf 3 db gefallen, oder das Dämpfungsmaß hat den Wert 3 db. Der Durchlaßbereich reicht von Gleichspannung bis zur Grenzfrequenz. Der Sperrbereich beginnt für Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz. f TIEFPASSFILTER: low-pass filter HOCHPASSFILTER: high-pass filter BANDPASSFILTER: band-pass filter BANDSPERRE: band-stop filter ALLPASS: all-pass filter TIEFPASS: low-pass filter GRENZFREQUENZ: critical frequency DURCHLASSBEREICH: pass-band SPERRBEREICH: stop-band

6 264 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Hochpaß HP Abbildung 6.7: Symbole in Blockschaltbildern für Hochpässe -A ~ /db A/dB f Abbildung 6.8: Prinzipieller Dämpfungsverlauf und Amplituden-Frequenzgang beim Hochpaß. Der Sperrbereich ist schraffiert Bei der Grenzfrequenz ist die Amplitude des Signals um den Faktor / 2 = 0,707 kleiner als bei sehr hohen Frequenzen. Das bedeutet, das Verstärkungsmaß ist auf 3 db gefallen, oder das Dämpfungsmaß hat den Wert 3 db. Der Durchlaßbereich beginnt für Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz. Der Sperrbereich reicht von Gleichspannung bis zur Grenzfrequenz. f Bandpaß BP Abbildung 6.9: Symbole in Blockschaltbildern für Bandpässe Der Bandpaß hat eine untere Grenzfrequenz u und eine obere Grenzfrequenz o. Die Mittenfrequenz f 0 ist das arithmetische Mittel zwischen beiden Grenzfrequenzen. f 0 = u + o 2 Die Bandbreite B ist die Differenz der beiden Grenzfrequenzen. Die relative Bandbreite bezieht die Bandbreite auf die Mittenfrequenz. B rel = B f 0 00% GRENZFREQUENZ: critical frequency DURCHLASSBEREICH: pass-band SPERRBEREICH: stop-band MITTENFREQUENZ: centre frequency, im Amerikanischen: center frequency BANDBREITE: bandwidth

7 6.2 Filter 265 Die Güte Q bezieht die Mittenfrequenz auf die Bandbreite Q = f 0 B Der Formfaktor F ist eine Maßzahl für die Steilheit der Bandfilterflanken. Er vergleicht die 3 db- und die 20 db-bandbreite F = B 3dB B 20dB Je dichter dieser Wert bei Eins liegt, desto steiler sind die Filterflanken. -A ~ /db 0-3 B 3dB 3-20 B 20dB 0 u u f 0 f f f Abbildung 6.0: Prinzipieller Dämpfungsverlauf und Amplituden-Frequenzgang beim Bandpaß HINWEIS: Als Mittenfrequenz wird auch das harmonische Mittel beider Grenzfrequenzen bezeichnet. f 0 = u o Bandsperre BS Abbildung 6.: Symbole in Blockschaltbildern für Bandsperren Bandsperren verhalten sich umgekehrt wie Bandpässe. Bandsperren werden auch eingesetzt, um genau eine (Stör-) Frequenz stark zu dämpfen. Solche Filter heißen notch filter Allpaß Allpässe weisen einen konstanten Amplituden-Frequenzgang auf. Die Dämpfung ist für jede Frequenz gleich. Allerdings wird die Phase frequenzabhängig gedreht. GÜTE: quality factor FORMFAKTOR: shape factor. Nicht verwechseln mit dem Formfaktor von Wechselgrößen! BANDSPERRE: stop-band filter

8 266 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz 6.3 Einfache Filter 6.3. Tiefpaß R Abbildung 6.2: Tiefpaß erster Ordnung u e C u a Die Abbildung stellt einen Tiefpaß erster Ordnung dar. Die (komplexwertige) Übertragungsfunktion lautet G(ω )= /jω C /jω C + R = + jω RC (6.8) HINWEIS: Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion betrachtet man das Netzwerk als Spannungsteiler. Der Amplituden-Frequenzgang ist der Betrag der Übertragungsfunktion G(ω ) = +(ω RC) 2 (6.9) Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung ϕ (ω )=ϕ ua ϕ ue ϕ (ω )=arctan ( ) Im{G(ω )} = arctan(ω RC) (6.0) Re{G(ω )} Amplituden- und Phasengang sind als BODE-Diagramm in Abbildung 6.3 dargestellt. Für die spezielle Kreisfrequenz ω g = /RC gilt G(ω g ) = 2 = 3dB = ω g /2π heißt Grenzfrequenz oder Eckfrequenz des Tiefpasses. Die Phase bei der Grenzkreisfrequenz ϕ (ω g )=arctan( )= π 4 bzw. ( 45 ) Bei der Grenzfrequenz ω g ist die Verstärkung des Tiefpasses um 3 db geringer gegenüber der Gleichspannungsverstärkung. Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal beträgt dann π 4 bzw. (45 ). ÜBERTRAGUNGSFUNKTION: transfer function GRENZFREQUENZ: critical frequency

9 6.3 Einfache Filter 267 A(f)/db ϕ(f) f f Abbildung 6.3: BODE-Diagramm des Tiefpaßfilters Anstiegszeit Aus der Grenzfrequenz eines Tiefpaßfilters läßt sich seine Reaktion im Zeitbereich auf einen Spannungssprung abschätzen. S(t) 90% 0% Abbildung 6.4: Zur Definition der Anstiegszeit t a t Die Anstiegszeit ist das Zeitintervall, in dem ein Signal von 0 % auf 90 % des Wertes im eingeschwungenen Zustand steigt. Zwischen Anstiegszeit t a und Grenzfrequenz besteht folgende Beziehung t a 3 2 ω g (6.) BEISPIEL: Ein Oszillograph mit einer Grenzfrequenz von 30 MHz hat eine Anstiegszeit t a /( )s 0ns. von etwa ANSTIEGSZEIT: rise time

10 268 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Frequenznormierung Alle Tiefpässe, die die Struktur in Abbildung 6.2 aufweisen, haben Übertragungsfunktionen, die bis auf den Parameter ω g in der Form übereinstimmen. Um alle Tiefpässe dieser Art gemeinsam beschreiben zu können, führt man eine Frequenznormierung auf die Grenzfrequenz durch. Normierung: Ω := ω ω g = f (6.2) Entnormierung: ω = Ω ω g ; f = Ω (6.3) Ω bezeichnet man als normierte Frequenz. Sie ist ohne Einheit. Damit ist die normierte Grenzfrequenz jedes Tiefpasses Ω =. Die Übertragungsfunktion des Tiefpasses lautet damit in normierter Form G(Ω)= + jω Der normierte Amplituden-Frequenzgang G(Ω) = + Ω 2 Die Abbildung 6.5 zeigt den Frequenzgang in normierter Darstellung. A( Ω)/dB Ω ϕω ( ) Ω Abbildung 6.5: BODE-Diagramm des Tiefpasses in frequenznormierter Darstellung FREQUENZNORMIERUNG: frequency normalization

11 6.3 Einfache Filter Verstärkungsmaß in der Näherung Betrachtet man das Verstärkungsmaß des Tiefpaßfilters in normierter Form A(Ω)=20log 0 = 20log + Ω 2 0 ( ω + ω g für Kreisfrequenzen, die groß gegen die Grenzfrequenz sind, dann ist Ω deutlich größer als. Somit ergibt sich in der Näherung A(Ω) 20log 0 Ω = 20log 0 Ω für Ω Unterhalb der Grenzfrequenz ist das Verstärkungsmaß in guter Näherung konstant. Bei einer Verzehnfachung der Frequenz sinkt das Verstärkungsmaß um 20 db ab. Man spricht von einer Steilheit von 20 db/dekade oder von 6dB/Oktave. Bei der Grenzfrequenz Ω g = beträgt das Verstärkungsmaß 3dB. ) 2 A/dB dB/Dekade Abbildung 6.6: Verstärkungsmaß des Tiefpasses in der Näherung Ω Hochpaß C Abbildung 6.7: Hochpaß u R erster Ordnung e u a Die Abbildung zeigt einen Hochpaß erster Ordnung. Die (komplexwertige) Übertragungsfunktion lautet G(ω )= R /jω C + R = jω RC + jω RC (6.4) HINWEIS: Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion betrachtet man das Netzwerk als Spannungsteiler.

12 270 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Der Amplituden-Frequenzgang ist der Betrag der Übertragungsfunktion G(ω ) = (ω RC) +(ω RC) 2 (6.5) In normierter Darstellung lauten die Übertragungsfunktion und der Amplituden-Frequenzgang G(Ω)= jω + jω ; G(Ω) = Ω + Ω 2 Der Phasen-Frequenzgang des Hochpasses ist ϕ (ω )=arctan In normierter Darstellung ( ) ϕ (Ω)=arctan Ω ( ) ( ) ( ) Im{G(ω )} ω g = arctan = arctan Re{G(ω )} ω RC ω (6.6) (6.7) (6.8) Amplituden- und Phasengang sind als BODE-Diagramm in Abbildung 6.8 dargestellt. A( Ω)/dB Ω ϕω ( ) Abbildung 6.8: BODE-Diagramm für Ω den Hochpaß Für die spezielle Kreisfrequenz ω g = /RC gilt G(ω g ) = 2 = 3dB = ω g /2π heißt Grenzfrequenz oder Eckfrequenz des Hochpasses. Die Phase bei der Grenzkreisfrequenz ϕ (ω g )=arctan()= π 4 bzw. 45 GRENZFREQUENZ: critical frequency

13 6.3 Einfache Filter 27 Bei der Grenzfrequenz ω g ist die Verstärkung des Hochpaß um 3 db niedriger als die Verstärkung bei sehr hohen Frequenzen (ω ω g ). Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal beträgt dann π 4 bzw Verstärkungsmaß in der Näherung A/dB 20dB/Dekade Abbildung 6.9: Verstärkungsmaß des Hochpaßfilters in der Näherung Ω Die normierte Grenzfrequenz des Hochpaßfilters ist Ω g =. Bei einer Verzehnfachung der Frequenz steigt das Verstärkungsmaß um 20 db an. Oberhalb der Grenzfrequenz ist es annähernd konstant Filter höherer Ordnung C C 2 R R 2 Abbildung 6.20: Tiefpaßfilter zweiter Ordnung in Kettenschaltung Schaltet man zwei Filter so zusammen, daß das Ausgangssignal des ersten das Eingangssignal des folgenden Filters ist (Kettenschaltung), so erhält man ein Filter höherer Ordnung. Die Filter-Ordnung ergibt sich aus der Zahl der unabhängigen Energiespeicher (Kapazitäten, Induktivitäten). Mit Filtern höherer Ordnung lassen sich steilere Filterflanken erzielen. R L C Abbildung 6.2: LRC-Tiefpaßfilter zweiter Ordnung Das LRC-Filter in Abbildung 6.2 stellt ein Tiefpaßfilter 2. Ordnung dar. Die Übertragungsfunktion lautet G(ω )= jω C = jω C + R + jω L + jω RC ω 2 LC (6.9)

14 272 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Wie beim Reihen-Schwingkreis läßt sich eine Resonanzfrequenz ω r definieren. Darauf wird die Übertragungsfunktion frequenznormiert. ω r = L C ; Ω = ω ω r In normierter Form lautet die Übertragungsfunktion Die Größe G(Ω)= C + jr L Ω Ω 2 D = R 2 C L (6.20) bezeichnet man als Dämpfungsgrad (siehe auch.2.6). Unter Verwendung dieser Größe lautet die normierte Übertragungsfunktion G(Ω)= + 2jDΩ Ω 2 (6.2) Die Form des Amplituden-Frequenzgangs und des Phasengangs wird wesentlich durch den Dämpfungsgrad D bestimmt. Die Abbildung 6.22 zeigt das BODE-Diagramm des LRC-Filters mit dem Dämpfungsgrad als Parameter. A/dB 20 0 D= D= D=0.05 Ω = ω ω 0-90 D= -80 Abbildung 6.22: BODE-Diagramm des LRC-Filters in der vorherigen Abbildung bei verschiedenen Dämpfungsgraden DÄMPFUNGSGRAD: damping ratio

15 6.3 Einfache Filter 273 Bei niedrigen Dämpfungsgraden zeigt das Tiefpaßfilter ausgeprägtes Resonanzverhalten und gleicht eher einem Bandpaßfilter. Der Verlauf der Phase ist um so steiler, je niedriger die Dämpfung ist Bandpaß Die Abbildung 6.23 stellt einen Serienresonanzkreis geschaltet als Bandpaß dar. L C Abbildung 6.23: Beispiel für einen u e R u a RLC-Bandpaß Bei der Betrachtung als komplexer Spannungsteiler ergibt sich die Übertragungsfunktion G(ω )= R R + jω L + jω C = jω RC jω RC ω 2 LC + Zweckmäßigerweise normiert man die Frequenz auf die Resonanzfrequenz ω 0 = / LC des Schwingkreises jω RC G(Ω)= LC jω RC mit Ω = ω Ω 2 ω + 0 LC Unter Verwendung der Größe D = R 2 C wird die normierte Übertragungsfunktion L G(Ω)= 2jDΩ 2jDΩ Ω 2 + (6.22) D ist dabei der Dämpfungsgrad. Der normierte Amplituden-Frequenzgang ist G(Ω) = 2DΩ 4D 2 Ω 2 +( Ω 2 ) 2 (6.23) Bei der Resonanzfrequenz ω 0 des Schwingkreises, die zugleich die Mittenfrequenz des Bandpasses ist, wird die Übertragungsfunktion G(Ω = )= G(ω = ω 0 ) = Bei der unteren und der oberen Grenzfrequenz des Bandpasses ist das Ausgangssignal um 3 db niedriger als bei der Mittenfrequenz. G(Ω 3dB )! = G(Ω 3dB ) =! G(Ω = ) 2 2

16 274 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Im weiteren sind die Indizes für die Grenzfrequenzen weggelassen. G(Ω) = 2DΩ! = 4D 2 Ω 2 +( Ω 2 ) 2 2 Diese Forderung führt auf die Gleichung 4D 2 Ω 2 =( Ω 2 ) 2 Die Gleichung hat vier Lösungen, von denen nur zwei auf positive Frequenzwerte führen ω u = D 2 + D; ω o = D D Die normierte Bandbreite des Filters beträgt offenbar 2D. D = R 2 C L ; B = R 2πL ; Q = R L C (6.24) Je kleiner der Widerstand R, desto schmalbandiger ist das Filter. Der normierte Phasen-Frequenzgang ist ( ) ( ) Im(G(Ω)) Ω 2 ϕ (Ω)=arctan = arctan Re(G(Ω)) 2DΩ (6.25) Die Abbildung 6.24 zeigt das BODE-Diagramm des Bandpaßfilters für verschiedene Dämpfungsfaktoren. G(Ω ) Ω ϕ ( Ω ) Ω Abbildung 6.24: BODE-Diagramm des Bandpaßfilters für verschiedene Dämpfungsfaktoren D HINWEIS: Bei diesem Filter ist die Mittenfrequenz w 0 das harmonische Mitel der unteren und der oberen Grenzfrequenzen ω u und ω o. In normierter Schreibweise: Ω u Ω o = ( D 2 + D) ( D D)=

17 6.4 Formelzeichen Realisierungen von Filtern Elektrische Filter können sehr unterschiedlich realisiert werden. Einige Möglichkeiten zeigt die folgende Aufzählung. RC-Filter sind nur aus Widerständen und Kondensatoren aufgebaut. Ihr Nachteil ist die hohe Dämpfung. LRC-Filter realisieren durch zusätzliche Induktivitäten resonanzfähige Netzwerke mit steileren Filterflanken als reine RC-Filter. Reaktanz-Filter bestehen ausschließlich aus Induktivitäten und Kapazitäten. Bis auf die unvermeidlichen Verluste in Spulen und Kondensatoren treten keine ohmschen Komponenten auf. Die Folge sind hohe Güten bzw. Filtersteilheiten. Einsatz hauptsächlich in der HF-Technik. aktive Filter kompensieren die Verluste von Filtern durch (Operations-) Verstärker. Durch geeignete Schaltungen lassen sich Induktivitäten gänzlich vermeiden. Der Einsatz aktiver Filter bei hohen Frequenzen ist durch die Grenzfrequenz der Verstärker begrenzt. SC-Filter (switched-capacitor filters) sind eine Abart aktiver Filter. Widerstände werden durch hochfrequentes Laden und Entladen eines Kondensators simuliert. Der Vorteil liegt in der Möglichkeit, die Filterparameter durch die Frequenz des Schaltsignals zu beinflussen. Quarz- und Keramik-Filter sind verlustarme mechanische Resonatoren. Güte und Stabilität ist bei Quarzfiltern sehr hoch. mechanische Filter waren in der Vergangenheit das einzige Mittel, sehr steile Filter aufzubauen. Sie fanden in der Telefontechnik weite Verbreitung. SAW-Filter (surface acoustic wave filters) wandeln elektrische Signale in akustische Oberflächenwellen eines Subtrats um. Durch geeignete Abgriffe auf der Kristalloberfläche lassen sich Filtereigenschaften nach Belieben einstellen. Nutzbar auch bei hohen Frequenzen. Digitale Filter arbeiten numerisch auf abgetasteten Signalen. Sie unterliegen keinerlei Alterungs-, Fertigungs- oder Temperaturtoleranzen. Durch Fortschritte bei der Fertigung von Digitalschaltkreisen verschieben sich der nutzbare Frequenzbereich kontinuierlich nach oben und die Preise nach unten. 6.4 Formelzeichen A(ω ) Verstärkungsmaß (db) Ã(ω ) Dämpfungsmaß (db) B Bandbreite (Hz) B rel relative Bandbreite ( ) B 3dB 3 db Bandbreite (Hz) B(ω ) Phasenmaß D Dämpfungsgrad ( ) F Formfaktor (Filter) f 0 Mittenfrequenz, Resonanzfrequenz Grenzfrequenz o obere Grenzfrequenz u untere Grenzfrequenz ϕ (ω ) Phasenfrequenzgang G(Ω) frequenznormierte Übertragungsfunktion

18 276 6 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz G(ω ) Übertragungsfunktion G(ω ) Amplituden-Frequenzgang Im() Imaginärteil Ω normierte Frequenz ( ) Ω 3dB normierte Frequenz, bei der der Betrag der Übertragungsfunktion um 3 db gesunken ist Ω o obere normierte Grenzfrequenz Ω u untere normierte Grenzfrequenz ω 0 Resonanz-Kreisfrequenz (s ) ω g Grenzkreisfrequenz ω o obere Grenzkreisfrequenz ω u untere Grenzkreisfrequenz Q Güte ( ) Re() Realteil T Transformation durch ein System t a Anstiegszeit u a Ausgangsspannung u e Eingangsspannung v Spannungsverstärkung 6.5 Weiterführende Literatur CZICHOS (HRSG.) HÜTTE: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, 29. Auflage Teil G Elektrotechnik Springer Verlag 99 DORF (HRSG.): The Electrical Engineering Handbook, Sections I & II CRC press 993 FRICKE, VASKE: Elektrische Netzwerke, 7. Auflage Teubner Verlag 982 HERING, BRESSLER, GUTEKUNST: Elektronik für Ingenieure VDI Verlag 992 LÜKE: Signalübertragung Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme, 5. Auflage Springer Verlag 992 PHILIPPOW: Grundlagen der Elektrotechnik, 9. Auflage Verlag Technik 992 SEIFERT: Elektrotechnik für Informatiker Springer Verlag Wien 988 SIMONYI: Theoretische Elektrotechnik, 9. Auflage Deutscher Verlag der Wissenschaften 989