3. Beschreibung dynamischer Systeme im Frequenzbereich

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1 3. Laplace-Transformation 3. Frequenzgang 3.3 Übertragungsfunktion Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

2 3. Übertragungsfunktion Neben der Lösung im Zeitbereich kann alternativ die Lösung im Frequenzbereich berechnet und falls nötig in den Zeitbereich zurück transformiert werden. u (t) Dynamisches y(t) System x & = f(x,u) Differential funktion Es gibt im Frequenzbereich sehr aussagekräftige Methoden zur Untersuchung von Stabilität und Dämpfung. Diese können zur Auslegung von Reglern verwendet werden. Die Anwendung der Transformation in den Frequenzbereich setzt Linearität voraus! Übertragungsfunktion u (t) G(s) y(t) U (s) Y(s) = G(s) U(s ) Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

3 3. Laplace-Transformation In der Regelungstechnik wird die Laplace-Transformation verwendet: F (s) = F(s) = L [ f(t) ] f(t) e st dt Die Zeitfunktion f(t) ist in dem Bereich t definiert < Die Integration ordnet der Zeitfunktion f(t) eindeutig eine Bildfunktion F(s) zu; mit einer komplexe Variablen. s = σ + iω Aus der einseitigen Laplacetransformierten eines Signals, das für t definiert ist, lässt sich das Signal durch Rücktransformation eindeutig zurückgewinnen: f(t) = πi σ+ i σ i F(s) e st ds Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3

4 3. Laplace-Transformation Aufgabe: Berechne die Bildfunktion (Laplace-Transformierte) für die Rampenfunktion! Rampenfunktion t < f(t) = t t f(t) Laplace-Transformation: t F(s) = f(t) e st dt st e L = = s s s s s st st st st { f(t) } L{ t} = e dt = t e dt = t ( ) ( ) e dt = e dt = o 443 s Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 4

5 3. Laplace-Transformation Eigenschaften Die Transformation vom Zeitbereich in den Laplace-Bereich lässt sich mit folgender Abbildungsvorschrift schreiben: f (t) F(s) Es gelten folgende Sätze für die Laplace-Transformation: Verschiebungssatz f (t T ) e st F(s) Dämpfungssatz e at f(t) F(s a) Differenziationssatz d dt k d dt k f(t) f(t) s F(s) s k F(s) Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 5

6 3. Laplace-Transformation Eigenschaften Es gelten folgende Sätze für die Laplace-Transformation: Integrationssatz Faltungssatz Grenzwertsätze: Unter der Voraussetzung, dass die Grenzwerte existieren, gilt: t t f ( τ)dτ F(s) s f f = f (t τ) f ( τ) τ (s) F (s) d lim f(t) t + lim f(t) t = s F lims F(s) = s lims F(s) Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 6

7 3. Laplace-Transformation Aufgabe: x Bestimme die Bildfunktion G(s) für die Dgl. m && x + k x& + c x = F Nutze den Differenziationssatz Es gilt: x & = d dt x(t) m && x + k x& + c x = F d d d m x(t) + k x(t) + c x(t) = F(t) dt dt dt m s s X(s) + k s X(s) + c X(s) = F(s) m s X(s) + k s X(s) + c X(s) = F(s) ( m s + k s + c) X(s) = F(s) d dt f(t) Ausgang : s F(s) f( ) Eingang : u(t) = F(t) y(t) = x(t) Übertragungsfunktion X(s) (s) = = F(s) m s G im Bildbereich U(s) = F(s) im Bildbereich G(s) = + k s + c Y(s) = X(s) Ausgang X(s) Eingang U(s) Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 7

8 3. Laplace-Transformation Aus der einseitigen Laplacetransformierten eines Signals, das für t definiert ist, lässt sich das Signal durch Rücktransformation eindeutig zurückgewinnen: f(t) = πi σ+ i σ i F(s) e st ds Partialbruchzerlegung Systeme mit einfachen reellen Polen Die Pole des Nennerpolynoms sind reell und verschieden Z(s) K K Kn Kn F(s) = = + + L+ + (s p) (s p) L (s pn ) (s pn) (s p) (s p) (s pn ) (s p Durch Rücktransformation der Bildfunktion erhält man die Zeitfunktion : L p t pt pn t p t [ ] F(s) = f(t) = K e + K e + L+ K e + K e n n n n ) Ergänzungsfolien Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 8

9 3. Laplace-Transformation Berechnung der Systemantwort mittels der Übertragungsfunktion Beispiel: RC-Glied i R i 3 i u e C u a Sprungantwort des Systems?. Lösung im Zeitbereich Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner,. Lösung im Zeitbereich mit Laplace-Transformation Laplace-Trafo Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 9

10 3. Frequenzgang Gegenüber der Eingangsschwingung hat die Ausgangsschwingung wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz; veränderlich sind seine Amplitude und seine Phasenverschiebung. Eingangsschwingung (t) = û sin( ω t) u Ausgangsschwingung y(t) = ŷ sin( ωt + ϕ) Engang mit Amplitude A und Frequenz f Eingang Ausgang Engang mit Amplitude A und Frequenz f/3 Eingang Ausgang Engang mit Amplitude A und Frequenz f/6 Eingang Ausgang Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

11 3. Frequenzgang Definition: Der Frequenzgang G(jw) beschreibt wie die Übertragungsfunktion G(s) Übertragungsfunktion u (t) G(s) y(t) U (s) Y(s) = G(s) U(s ) wie die Gewichtsfunktion g(t) das Übertragungsverhalten eines linearen, zeitinvarianten Systems G(jw) bestimmt die Signalübertragungseigenschaften eines Systems für harmonische Signale und kann z.b. experimentell bestimmt werden G(jw) ist die Fourietransformierte der Gewichtsfunktion G(jw) ist eine Randfunktion der komplexen Übertragungsfunktion G(s) = G(s) s = jω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

12 3. Frequenzgang Graphische Darstellung dient dazu, die Eigenschaften oder das Verhalten eines technischen Systems (z.b. Stabilität, Resonanzfrequenzen) darzustellen. für festes ω ist der Frequenzgang eine komplexe Zahl Betrag und Phase des Frequenzgangs werden über aufgetragen ω Ortskurve Bode-Diagramm Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

13 3. Frequenzgang Ortskurve ist die von einem parameterabhängigen komplexen Zeiger in der komplexen Zahlenebene beschriebene Bahn: z = Re(z) + iim(z) mit der imaginären Einheit i (oder j). Der Parameter t ist dabei Element eines Intervalls der reellen Zahlen. Bode-Diagramm ist ein Betrags- und Phasendiagramm. Die -Achse ist bei beiden Diagrammen logarithmisch skaliert. Die Phase wird linear (in Grad) aufgetragen; für den Betrag verwendet man ebenfalls eine logarithmische Skalierung, das Dezibel-Maß (): (jω) : = log G ω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3

14 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 Differentialgleichung: u = RC u& + u e a a u e C i u a Laplace-Trafo: d dt f(t) s F(s) U (s) = RC s U (s) U (s) e a + a Übertragungsfunktion G(s) = U a(s) U (s) e = + RC s = + T s Allgemein: G(s) = K + st K = + jωt Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 4

15 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 i u e C u a Die Komplexe Zahl im Nenner will man wegbekommen: K jωt K jωtk = = + jωt jωt + ω T dann erhält man Real- und Imaginär-Teil: K Re{ G(j )} = Im + ω T jωtk + ω T ω { } = Damit errechnet sich Betrag und Phase: K = = ϕ( ω) = arctan( ωt) = arctan( ωt) + ω T Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 5

16 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 i Ortskurve K G(jω ) = = arctan( ωt) + ω T u e C u a Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen: { G(jω ) } K { G(j ) } Re = G (jω ) = K Im ω = G (jω ) = { G(jω ) } Im = { G(jω ) } Re = G (jω ) = G(jω ) = 9 45 Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 6

17 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 i Bode-Diagramm K G(jω ) = = arctan( ωt) + ω T u e C u a Bezeichnet ω = T die Knick- bzw. Eckfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen: G(j K, ω ω K ) =, ω ω ω j ω ω bzw. logk, ω ω = ω logk log ω ω ω, Für Frequenzen unterhalb der Eckfrequenz liegt die Betragskennlinie parallel zur --Linie im Abstand von K und für große Frequenzen fällt sie mit /Dekade. Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 7

18 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 i Bode-Diagramm u e C u a Bei der Knickfrequenz ω = ω schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um 3 von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = ω bzw. ω =,5 ω beträgt die Abweichung nur noch. Die Eckfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners + T s. Die Polstelle ist beschreibt. T und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckfrequenz ω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 8

19 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 Bode-Diagramm K G (s) =, K =, T = + st u e C i u a ω =, ω =, ω =,5 ω = ω = ω = ω = : = log = 6. = 5,98 = 5.5 = 3, = -.97 = -4, = -33,98 = log K + T ω = log + ω log(k) = 6, ω =,5 ω ω = = 3, = Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 9

20 3. Frequenzgang RC-Glied: Darstellung im Frequenzbereich i R i 3 Bode-Diagramm K G (s) =, K =, T = + st u e C i u a = arctan( ωt) Die Phasenverschiebung beträgt bei kleinen Frequenzen, bei großen Frequenzen 9 und bei der Knickfrequenz 45. Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickfrequenz bei beginnt und eine Dekade nach der Knickfrequenz bei 9 endet. ω =, = -,57 ω =, = -5,7 ω =,5 = - 6,57 ω = = -45 ω = = ω = = -84,9 ω = = -89,43 Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer

21 Reflexion Zusammenfassung der Inhalte Dies nehme ich aus diesem Kapitel mit Die folgenden Punkte sind mir noch unklar Mit diesen Themen möchte ich mich intensiv auseinandersetzen Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer