Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: G 2 (s) = 2 (s +1)(s +6) 3 (s +7)(s +2)

Transkript

1 Aufgabe 1: Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 1 s + (s +3) 3 (s +4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) =σ(t) W (s) = 1 s Die Übertragungsfunktion des Kreises lautet: F w (s) = G 1 (s)g (s) 1+G 1 (s)g (s)g 3 (s) = Y (s) W (s) Bis auf G (s) sind alle Laplace-Funktionen bekannt; somit ergibt sich: G (s) = Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s) Daraus folgt eingesetzt: G (s) = (s +1)(s +6) 3 (s +7)(s +)

2 Aufgabe : Strukturbild-Reduktion Das vorgegebene Strukturbild läßt sich im ersten Schritt vereinfachen durch eine Neuordnung der Additionsstellen: Fasst man danach alle freigelegten Strukturen zusammen, so erhält man: Durch Vertauschung von Verzweigungspunkt und Summationsstelle ergibt sich dann: Im Resultat wird die Gesamtübertragungsfunktion G(s) ermittelt: G 1 G c G(s) = 1+G 6 G c G 1 G 4, wobei die Hilfsgröße G c im Verlauf der Reduzierung entsteht als: G 3 G c (s) = G a (s) G b (s) = (G + G 5 ) 1+G 3

3 Aufgabe 3: Ortskurve und Nyquist a) G(s) = K 1+T ps e Tts G(jω)= K 1+jωT p e jωtt 1.) Übertragungsverhalten der Person: Nyquist Diagram Gp Imaginary Axis Real Axis ω =0 G p (jω) = K = ω = G p (jω) =0.) Totzeitverhalten des Systems: Nyquist Diagram Totzeitglied Imaginary Axis Real Axis ω =0 G t (jω) =1 ω = π T t G t (jω) =1

4 3.) Ortskurve des Gesamtsystems: Nyquist Diagram Gesamte Strecke Imaginary Axis Real Axis ω =0 G(jω) = arg(g(jω)) = arg(g p )+arg(g t )= arctan(t p ω) T t ω = π (bei π liegt der kleinste Wert.) Mit der Näherung: arctan(t p ω)=t p ω folgt: ω = π T p+t t =1.37 K G(jω) = = ω T p b) Bedingungen: G(j/omega) =1und arg(g(jω)) = π Durch Veränderung von K ändert sich ω nicht. ω k =1.37 K k = 1+T 1+ p ωk = T p π (T t+t p) =1.08

5 Aufgabe 4: Wurzelortskurve Aus der WOK kann man direkt die Polstellen s 1, = 5 ± j und die Nullstelle s 3 = 4 der Regelstrecke ablesen. Die Polstellen liegen rechts von der j-achse, die Regelstrecke ist also instabil und der Regler muss sie deshalb stabilisieren. Die instabilen Polstellen können jedoch nicht mit entsprechenden Nullstellen kompensiert werden, sondern mit Hilfe des Reglers müssen die Äste der WOK in die linke Halbebene angezogen werden. Da die WOK-Äste in den Polstellen beginnen und in den Nullstellen enden und die Regelstrecke zwei instabile Pollstellen besitzt, muss der Regler dann selber zwei Nullstellen (bezeichnet als s 4 und s 5 ) haben. Damit er als ein PID-Regler realisierbar ist, muss er auch mindestens eine Polstelle (dann in Null) haben. Seine Struktur ergibt sich somit als: R(s) = (s + s 4)(s + s 5 ) s Um die Anforderungen an den Regelkreis aus der Aufgabestellung (Übergangszeit und Überschwingweite) zu erfüllen, sollte der geschlossene Regelkreis ein dominantes konjugiert komplexes Polpaar besitzen. Da der geschlossene Regelkreis mit dem PID-Regler drei Polstellen besitzt und eine davon auf jedem Fall auf der reelen Achse liegt (zwischen der Nullstelle s 3 und s 6 =0), müssen folglich die Nullstellen s 4 und s 5 konjugiert komplex sein. Die Lage dieser Polstellen kann man mit Hilfe der vorgegebenen Anforderungen beschränken. Der Sektor, in dem die Polstellen s 4 und s 5 liegen müssen, wird durch die Geraden mit dem Winkel ψ und durch den Halbkreis mit dem Radius ω 0 begrenzt. ω ψ ω δ Der Winkel ψ wird mit Hilfe der geforderten Überschwingweite m0 berechnet:

6 ψ = arccos d 0, wobei: d 0 = L 1+L und Für m0 =0. ergibt sich ψ =6.85. L = lg m Den Abstand zum Anfang des Koordinatensystems ω 0 berechnet man als: ω 0 = log(1 d ) d Für eine Übergangszeit t u =3Sekunden ist ω 0 = t u Der folgende Graph zeigt detailliert den Bereich, in dem die kritischen Stellen s 4 und s 5 liegen müssen. Sie sollen außerdem rechts von der Nullstelle s 3 liegen, damit sie mit steigender Verstärkung K des Regelkreises dominant werden (die dritte Polstelle des geschlossenen Regelkreises bewegt sich von der Polstelle s 6 =0nach links zur Nullstelle s 3 ).

7 Wurzelortskurve jω σ Als eine mögliche Lösung werden als Polstellen s 3,4 = ± 3j gewählt. Die Übertragungsfunktion der offenen Regelkreises lautet: G(s) =K (s +4)(s +4s + 13) s(s 10s + 9) Die neu geordneten kritischen Stellen des Systems sind: s 1, =5± j s 3 =0 s 4 = 4 s 5,6 = ± 3j Der Regelkreis besitzt nun 3 Polstellen (s 1,s,s 3 ) und 3 Nullstellen (s 4,s 5,s 6 ), es gilt also n =3und m =3. Die Konstruktion der zugehörigen WOK ist in folgenden Schritten beschrieben.

8 I. WOK auf der reellen Achse Auf der reellen Achse liegt eine Pol- und eine Nullstelle und der Teil der reellen Achse dazwischen. Weil n = m, streben mit wachsendem K keine Wurzelortsäste ins Unendliche, sondern sie enden alle in den vorhandenen Nullstellen. II.Wurzelschwerpunkt Gegenstandslos, da keine Wurzelortsäste ins Unendliche führen. III. Asymptotenwinkel Gegenstandslos, da keine Wurzelortsäste ins Unendliche führen. IV. Verzweigungspunkte Gegenstandslos, da keine Teile der WOK die reelle Achse verlassen. V. Verzweigungswinkel Gegenstandslos, da es keine Verzweigungspunkte gibt. VI. Schnitt der WOK mit der j-achse Dazu ist es erforderlich, die Gleichung zu lösen. Für den offenen Regelkreis lautet sie: KP O (jω)+q O (jω)=0 K(jω +4)( ω +4jω + 13) + jω( ω 10jω + 9) = 0 K( jω 3 8ω +9jω + 5) jω 3 +10ω +9jω =0 Aus dieser komplexen Gleichung erhält man zwei Bestimmungsgleichungen (eine für den Realteil und eine für den Imaginärteil): 8Kω +5K +10ω =0 ω 3 ( K 1) + ω(9k + 9) = 0 Von mehreren existierenden Lösungen für dieses Gleichungssystem ist nur diejenige für ω>0 und K>0 interessant: K =1.61 und ω =5.39 rad/sek.

9 Die WOK schneidet die imaginäre Achse also in den Punkten ±5.39j. VII. Anstieg der WOK-Äste in den kritischen Punkten Der Anstieg berechnet sich für die konjugiert komplexen Polstellen s,3 und die Nullstellen s 5,6 wie folgt. Der Anstiegwinkel ϕ s aus der Polstelle s beträgt: ϕ s = ( (s s 1 ) (s s 3 )+ (s s 4 )+ (s s 5 )+ (s s 6 )) + π 1 1 Für die Winkel gilt: Damit ist der Anstiegswinkel ϕ s : (s s 1 )=1.80 (s s 3 )=90.00 (s s 4 )= 8.13 (s s 5 )=35.54 (s s 6 )=1.53 ϕ s =1.89 rad = Der Anstiegwinkel ϕ s4 in die Nullstelle s 4 beträgt: ϕ s4 = ( (s 4 s 1 ) (s 4 s ) (s 4 s 3 )+ (s 4 s 5 )+ (s 4 s 6 )) + π 1 1 Für die Winkel gilt: (s 4 s 1 ) = (s 4 s ) = (s 4 s 3 ) = (s 4 s 5 )=90.00 (s 4 s 6 )=56.31 Damit ist der Anstiegswinkel ϕ s4 : ϕ s4 =1.98 rad = Die vollständige WOK ist in folgender Zeichnung dargestellt. Damit der Regelkreis stabil ist, muss die Verstärkung K > 1.61 betragen. Damit der Regelkreis die Anforderungen erfüllt, muss die Verstärkung noch größer sein, damit die Polstellen des geschlossenen Regelkreises unter den beiden Geraden liegen und sich den Nullstellen s 5 und s 6 annähern.

10 Wurzelortskurve jω σ

11 Aufgabe 5: Reglerentwurf Das Übertragungsverhalten der Regelstrecke G(s) = B(s) A(s) dem Nennerpolynom A(s) ist bekannt. mit dem Zählerpolynom B(s) und Das Übertragungsverhalten des noch unbekannten Reglers G R (s) = Q(s) P (s) istsozubestimmen, dass der geschlossene Kreis stabil arbeitet. Mit den genannten Hinweisen findet man das Nennerpolynom des geschlossenen Kreises F W (s) als: N W (s) = A(s)P (s) +B(s)Q(s) Dabei muss für das Zählerpolynom Q(s) des Reglers gelten, dass Grad Q(s) =Grad A(s), um instabile Streckenpole zu kompensieren. Es ist somit ein stabiles Nennerpolynom N W (s) des geschlossenen Kreises zu finden. Im vorliegenden Fall ergibt sich hier: N W (s) = (a 1 s + a 0 )(p 1 s + p 0 ) b 0 (q 1 s + q 0 ) Zur Herleitung eines realen Reglers gemäß dem Hinweis, dass Grad Q(s) Grad P (s), muss p 1 0gelten. O.B.d.A. kann jedoch p 0 =0gewählt werden. Damit ergibt sich als Nennerpolynom des geschlossenen Kreises: N W (s) = a 1 p 1 s + (p 1 + b 0 q 1 )s + b 0 q 0 Dieses Polynom der Form N W (s) =m s + m 1 s + m 0 soll nur negative Nullstellen besitzen. Dies ist entsprechend dem Hurwitz-Kriterium bei einem Polynom. Ordnung bereits der Fall, wenn sämtliche Koeffizienten m,m 1,m 0 positiv sind. Durch Vorgabe zweier stabiler Nennerpole für N W (s) und damit verbundener positiver Koeffizienten m,m 1,m 0 lassen sich durch Koeffizientenvergleich die Polynome des gesuchten Reglers bestimmen: p 1 = m a 1, q 1 = a 1m 1 m a 1 b 0, q 0 = 1 b 0

12 Beispiel (nicht klausurrelevant): Vorgabe des stabiles Polpaares p 1, = 1 ± j 3 des geschlossenen Kreises erfordert das 4 Nennerpolynom N W (s) =s + s +1mit m 0 =1,m 1 =1,m =1. Der Koeffizientenvergleich liefert für p 1 = 0.5, weiter für q 1 = 0.65 und für q 0 = 0.5.