b) Ist das System zeitvariant oder zeitinvariant? (Begründung!) c) Bestimmen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation die Übertragungsfunktion

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1 Aufgabe 1: Systemanalyse Ein dynamisches System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t) werde durch die folgenden gekoppelten Gleichungen beschrieben, wobei y 1 (t) eine Zwischengröße ist: y 1 (t) = t 0 {u(τ) by(τ)} dτ ẏ(t) +2y(t) = au(t) +y 1 (t 1) a) Ist das System linear oder nichtlinear? (Begründung!) b) Ist das System zeitvariant oder zeitinvariant? (Begründung!) c) Bestimmen Sie mit Hilfe der LAPLACE-Transformation die Übertragungsfunktion G(s) = Y (s), falls diese definiert ist. U(s) d) Skizzieren Sie ein Strukturbild des Systems unter Verwendung einfacher Übertragungsglieder (keine Differenzier-Glieder!). e) Die Dynamik des beschriebenen Systems soll mit Hilfe eines P -Reglers verbessert werden. Kann die Stabilität des geschlossenen Kreises mit Hilfe des HURWITZ-Kriteriums oder mit Hilfe einer speziellen Fassung des NYQUIST-Kriteriums für beliebige Parameter a und b nachgeprüft werden? (Begründung!) f) Skizzieren Sie die Ortskurve des Systems für a = b =0.

2 Aufgabe 2: Modellbildung und Reglerentwurf Gegeben sei das folgende Tanksystem mit den Füllhöhen h 1 (t),h 2 (t), den Zuflüssen bzw. Abflüssen q 0 (t),q 1 (t),q 2 (t) und den Tankgrundflächen A 1,A 2 : q 0 h 1 A 1 q 1 h A 2 2 q 2 Zur Vereinfachung sei angenommen, daß die ausströmenden Mengen proportional zur Füllhöhe sind. Es soll gelten: q 1 (t) = k 1 h 1 (t), q 2 (t) = k 2 h 2 (t) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = H 2(s) Q 0 (s). a) Entwerfen Sie mit Hilfe des Betragsoptimums einen idealen PID-Regler. a) Der ideale PID-Regler wird nun durch den Nennerfaktor (1+T N s)zueinem realen PID-Regler erweitert. Welchen Sinn hat der Nennerfaktor und wie wird T N gewählt?

3 Aufgabe 3: Ortskurve und Nyquist Gegeben sei der folgende Regelkreis: W (s) Y (s) - j - - V (s) - s - s s +1 6 U(s) a) Geben Sie F 0 (jω) an, und skizzieren Sie die zugehörige Ortskurve. b) Für den Fall V (s) = U(s) = K geben Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums den Bereich für den Parameter K an, in welchem der geschlossene Regelkreis stabil ist. c) Als Übertragungsglieder V (s) und U(s) werden nun Totzeitglieder eingesetzt: V (s) =U(s) =e Ts. Skizzieren Sie in diesem Fall die Ortskurve zu F 0 (jω) für T =1. d) Für welche Totzeiten T ist die Stabilität des Regelkreises gesichert?

4 Aufgabe 4: Wurzelortskurve Gegeben sei der folgende Regelkreis: w(t) W (s) - 6 x(t) - F 0 (s) t - X(s) mit: F 0 (s) = k s 2 + s (s +0.5) (s 2 +3s +3.25) a) Berechnen Sie schrittweise den Verlauf der Wurzelortskurve mit Hilfe der entsprechenden Regeln, und zeichnen Sie die Wurzelortskurve sodann. b) Für welche Werte von k ist der geschlossene Regelkreis stabil? c) Für den geschlossenen Regelkreis wird ein reeller Pol bei s = 5.5 verlangt. Mit welchem k-wert ist diese Forderung zu erfüllen? d) Wo liegen die restlichen Pole des geschlossenen Regelkreises, wenn die Reglereinstellung aus Teil c) verwendet wird?

5 Aufgabe 5: Regelung eines Motors In einer gebraucht gekauften Maschine mit einem ungeregelten, permanenterregten Gleichstrommotor (Feldfluß Φ F ist konstant) sollen die Drehzahländerungen bei Lastmomentschwankungen durch eine Regelung verringert werden. Da Datenblätter zum Motor fehlen, wird eine Sprungantwortuntersuchung durchgeführt. Lediglich die Daten auf dem Typenschild des Motors und der durch Messung ermittelte Anschlußwiderstand des Motors stehen zur Verfügung: Nenndrehzahl : 3000 U/min Nennspannung : 80 V Nennstrom : 6.8 A Nennleistung : 450 W Nenndrehmoment : 1.5 Nm Anschlußwiderstand : 1 Ω Als Sprung wird die halbe Nennspannung auf den noch ungeregelten Motor aufgeschaltet, und sowohl der Drehzahlverlauf als auch der Ankerstromverlauf werden gemessen. Es ergeben sich die in Abbildung 1 und Abbildung 2 angegebenen Verläufe von Drehzahl und Strom, wobei als Lastdrehmoment (einschließlich des Reibungsmomentes) konstant die Hälfte des Nenndrehmomentes auf den Motor wirkt. a) Bestimmen Sie alle zur Modellbildung notwendigen Parameter aus den angegebenen Daten und den Verläufen von Strom und Drehzahl. Zur Drehzahlregelung wird der Motor um einen Leistungssteller mit einer Steuerspannung von 0 10V als Eingang (10V Steuersignal ˆ= Motornennspannung) und einen Tachogenerator mit einem Spannungssignal zwischen 0 und 10V als Ausgang (10V ˆ= Motornenndrehzahl) erweitert. b) Entwerfen Sie einen PI-Regler durch Minimierung der quadratischen Regelfläche, wobei der Leistungssteller als ein VZ1-Glied mit einer Zeitkonstanten von 1ms zu berücksichtigen ist. Wählen Sie die Zeitkonstante des PI-Reglers dabei so, daß die größte Streckenzeitkonstante kompensiert wird.

6 40 I/A t/s Abbildung 1: Ankerstromverlauf U/min t/s Abbildung 2: Drehzahlverlauf