Diplomhauptprüfung / Masterprüfung

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1 Diplomhauptprüfung / Masterprüfung "Regelung linearer Mehrgrößensysteme" 6. März 2009 Aufgabenblätter Die Lösungen sowie der vollständige und nachvollziehbare Lösungsweg sind in die dafür vorgesehenen Lösungsblätter einzutragen. Nur diese werden bewertet. Bitte verwenden Sie nur dokumentenechtes Schreibgerät. Bitte tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf dem ersten Lösungsblatt ein, und geben Sie am Ende der Prüfung die Lösungsblätter ab.

2 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 2 von Aufgabe Gegeben ist das zeitdiskrete Mehrgrößensystem mit dem reellen Parameter α x = x u, y = x α 1 3 k + 1 k k k k a) Für welche Werte des Parameters α ist das System stabil? Das System soll für α = 0 mithilfe von MATLAB weiter untersucht werden. Die Ausführung der MATLAB-Befehlssequenz Phi=[ ;0-1 2;0-1 2]; H=[1 0;1 4;1 3]; lambda=eig(phi); for index=1:3, r(index)=rank([lambda(index)*eye(3)-phi,h]); end; ergab den Vektor r=[3 3 3] als Ergebnis. Was bedeutet dies? Berechnen Sie für α = 0 die invarianten Nullstellen des Systems. Analog zum zeitkontinuierlichen Fall aus der Vorlesung kann auch für zeitdiskrete Systeme ein Entkopplungsregler nach Falb-Wolovich berechnet werden. Kann das gegebene System mit einem solchen zeitdiskreten Entkopplungsregler stabil geregelt werden? b) Für α = 0 soll für das gegebene System eine Zustandsrückführung entworfen werden, die bei sprungförmigen Führungsgrößen eine endliche Einstellzeit des Systems erzielt. Berechnen Sie die gesuchte Zustandsrückführung mithilfe der Modalen Regelung. Hinweis: Unter der Annahme λ1 < λ2 < λ3 gilt für die Linkseigenvektoren des ungeregelten Systems: W T w T = w2 = T w

3 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 3 von 10 c) Betrachtet wird nun ein allgemeines, zeitdiskretes Mehrgrößensystem mit xk+ 1 = Φ xk + H uk, y = Cx + Du. k k k Die Nullstellenrichtung im Zustandsraum x N bzw. im Eingangsraum u N ist die Lösung der Gleichung Φ ηi H x x = = N ( η ) 0 N P C D u N u N k Weisen Sie nach, dass das zeitdiskrete System auf die Eingangsfolge ( uk) = ( unη ) mit der Zustandsfolge ( xk ) = ( xη 0 k ) reagiert, wenn für den Anfangszustand x = x gilt. 0 N = an. Der An- Geben Sie die Ausgangsfolge( k ) fangszustand des Systems sei x0 = xn. k y zur Eingangsfolge ( uk) ( unη ).

4 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 4 von Aufgabe Für das dynamische Mehrgrößensystem aus Abbildung 1 soll eine Regelung entworfen werden. 2 u1 y u 2 y 2 Abbildung 1 a) Geben Sie die Übertragungsmatrix Gs () des Systems an. Entwerfen Sie eine vollständige Entkopplung R() s für das System. Die Übertragungsfunktionen der Eingrößenregler GK1 () s und GK 2 () s sind dabei als bekannt anzunehmen. Im Folgenden wird das Mehrgrößensystem mit der Übertragungsmatrix 1 2 ( s+ 1)( s+ 10) s+ 1 Gs () = 1 0 ss ( + 3) betrachtet, für das eine Entkopplungsregelung entworfen werden soll. Dazu müssen die Eingrößenregler GK1 () s und GK 2 () s parametriert werden. b) Für GK1 () s stehen die folgenden Übertragungsfunktionen zur Auswahl: K(1 + s) K(10 + s) GA() s = K GB() s = GC() s = s s In Abbildung 2 sind die Bodediagramme der zugehörigen offenen Regelkreise F () s = G () s G () s für K = 1 abgebildet. o1 K1 11 Ordnen Sie den Bodediagrammen (I, II, III) die jeweils verwendete Reglerübertragungsfunktion ( GA( s), GB( s), GC( s ) ) zu. Erläutern Sie ihre Zuordnung. Wählen Sie eine geeignete Übertragungsfunktion für GK1 () s aus und bestimmen Sie den Verstärkungsfaktor K so, dass der Regelkreis stationär genau und möglichst schnell wird. Dabei soll eine Phasenreserve von 60 eingehalten werden.

5 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 5 von 10 Abbildung 2 K c) G 2 () s soll mithilfe des Wurzelortskurvenverfahrens entworfen werden. Für eine bestimmte Reglerübertragungsfunktion ist die Wurzelortskurve in Abbildung 3 dargestellt. K Wie lautet G 2 () s, wenn die Pole des geschlossenen Kreises an den durch die schwarzen Quadrate markierten Stellen der komplexen Ebene liegen sollen? Abbildung 3

6 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 6 von 10 Abbildung 4 d) Das System wird nun mit den entworfenen Reglern GK1 () s und GK 2 () s und verschiedenen Entkopplungseinrichtungen betrieben. Die Verläufe der Ausgangssignale bei zeitversetzter Sprunganregung der Eingänge sind in Abbildung 4 dargestellt. Ordnen Sie den Ausgangssignalen I-III die verwendeten Regeleinrichtungen zu: Betrieb mit GK1 () s und GK 2 () s ohne Entkopplung Betrieb mit GK1 () s und GK 2 () s und stationärer Entkopplung Betrieb mit GK1 () s und GK 2 () s und vollständiger Entkopplung Ein zeitkontinuierliches Eingrößensystem mit der Übertragungsfunktion Ts e t Gs () = ss ( + 1) soll durch einen zeitdiskreten Regler so geregelt werden, dass der geschlossene Regelkreis bei sprungförmiger Anregung endliche Einstellzeit besitzt und die Stellgröße nach endlicher Zeit auf einen konstanten Wert einschwingt. e) Kann die Abtastzeit T A völlig frei gewählt werden oder sind dabei besondere Bedingungen zu beachten? Wenn ja, welche? Geben Sie für T t = ln 2 und die größtmögliche Abtastzeit T A die z-übertragungsfunktion in der Form G ( z) = z des Systems Pz ( z) d an. z Qz ( z) Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion des gesuchten Reglers für T t = ln 2 und PRz ( z) d die größtmögliche Abtastzeit T A in der Form R ( z) = z. z QRz ( z)

7 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 7 von Aufgabe Betrachtet wird das zeitkontinuierliche dynamische System x = 2 u+ z, x = x + u+ z, y = x x, das durch die Störgröße z beeinflusst wird. a) Stellen Sie das System in Vektor-Matrix-Notation dar. b) Welche Bedingungen müssen die Elemente der Zustandsrückführung T u = r x = rx r x erfüllen, damit im geregelten System die Störgröße z keinen Einfluss auf y hat? T T Hinweis: Verwenden Sie die Störübertragungsfunktion = ( + ) 1 Gz () s c si A br e. Im Folgenden wird das System x x = + u + z, y = [ 0 1] x betrachtet. Für dieses System ist eine vollständige Störungsunterdrückung durch Zustandsrückführung wie im Aufgabenteil b) nicht möglich. Es soll daher für dieses System eine PI- Zustandsregelung nach Abbildung 5 entworfen werden. Abbildung 5 c) Bestimmen Sie die Reglerelemente r 1, r 2, r P und r I so, dass sämtliche Eigenwerte des geschlossenen Kreises bei 3 liegen und die Stellgröße u bei Führungsgrößensprüngen zunächst ihren stationären Endwert annimmt (für t = 0 sei x = 0, y = 0 und e = 0 ).

8 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 8 von 10 Im Folgenden wird nun das System x = x u, y = x betrachtet. Da die Zustandsgröße x 2 dieses Systems nicht messtechnisch erfasst werden kann, muss sie zur Realisierung einer Zustandsrückführung durch einen Beobachter geschätzt werden. d) Geben Sie zu diesem System die Gleichungen eines reduzierten Beobachters mit dem Pol -5 an. Zeichnen Sie ein Signalflussbild des Systems einschließlich des Beobachters, das nur aus skalaren Integratoren, skalaren Verstärkungsgliedern und Summationen bestehen darf. e) Nennen Sie zwei in der Vorlesung behandelte alternative Regelungskonzepte zur Regelung des gegebenen Systems, bei denen auf die Rekonstruktion der Zustandsgröße 2 x verzichtet werden kann.

9 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 9 von Aufgabe Durch physikalische Modellierung eines komplexen technischen Systems ergab sich ein Zustandsraummodell der Ordnung n = 19, das für den nachfolgenden Reglerentwurf zunächst vereinfacht werden soll. a) Erläutern Sie stichwortartig die prinzipielle Vorgehensweise bei der Ordnungsreduktion nach Litz. b) Ein Kommilitone hat mithilfe von MATLAB die Übersicht der Eigenwerte und der zugehörigen Dominanzmaße erstellt, die in Tabelle 1 abgedruckt ist. Wählen Sie anhand dieser Informationen die dominanten Eigenwerte so aus, dass ein reduziertes Systemmodell fünfter Ordnung erstellt werden kann. k λ k D k S k j j j j j j j j j j Tabelle 1 c) Die Zustandsgrößen des ursprünglichen Modells haben eine konkrete physikalische Bedeutung. Gilt dies auch immer für die Zustandsgrößen des reduzierten Modells?

10 Regelung linearer Mehrgrößensysteme 6. März 2009 Seite 10 von 10 d) Was versteht man unter einem robusten Regler? Warum werden beim Entwurf robuster Regelungen üblicherweise Polbereiche statt fester Polkonfigurationen vorgegeben? Welches Ziel versucht man beim Verfahren nach Konigorski durch Einsatz eines numerischen Optimierungsverfahrens zu erreichen? Was versteht man unter dem Begriff Multi-Modell-Ansatz? Kann man beim Entwurf robuster Ausgangsrückführungen mithilfe des Verfahrens von Konigorski stets davon ausgehen, dass der resultierende Regler robust und stabil ist?

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