Praktikum Moderne Methoden der Regelungstechnik

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1 Praktikum Moderne Methoden der Regelungstechnik Optimale Regelung Stand: x 2 0 x 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Zeitoptimale Regelung Versuchsaufbau Theorie Definition der Systemgrößen Zeitoptimale Regelung Zeitsuboptimale Regelung Hausaufgabe Durchführung Literatur Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 2

3 1 Zeitoptimale Regelung 1.1 Versuchsaufbau Falls Sie bereits am Praktikum Computergestützter Regelungsentwurf teilgenommen haben, so kennen Sie bereits die wesentlichen Hardware- und Software-Elemente des Versuchsaufbaus. Andernfalls erhalten sie im folgenden Abschnitt einen kurzen Überblick. Der Versuch besteht aus einem auf einer Schiene geführten Wagen (Abb. 1), der von einem Elektromotor angetrieben wird. Die aktuelle Position wird von einem optischen Encoder ermittelt. Die Geschwindigkeit wird numerisch aus der Positionsmessung abgeleitet. Ziel des Versuchs ist es, den Wagen an eine gewünschte Sollposition zu fahren, wofür verschiedene Regelungsmethoden verwendet werden sollen. Der Regler wird auf einem echtzeitfähigen dspace-system implementiert, welches über ein Terminal Board (Abb. 2) und ein Power Module (Abb. 3) mit dem Versuch verbunden ist. Wagen Schiene Sensorrad Antriebsrad Abbildung 1: Wagen in der Schienenführung Das Terminal Board stellt die Verkabelungs-Schnittstelle zwischen Wagen, Power Module und dspace- Karte her, auf der das Reglermodell ausgeführt wird. Für den Versuch werden ein Encoder-Eingang sowie ein analoger Ausgang des Boards benötigt. Der Encoder misst die Drehung der Zahnräder des Wagens auf der Schiene und ermöglicht dadurch eine Positionsmessung. Über den analogen Ausgang wird das Ausgangssignal der dspace-karte, also die Stellgröße des Reglers, an das Power Module weitergegeben. Dort wird das analoge Spannungssignal verstärkt und am E-Motor angelegt. Das Power Module dient zur Strom-/Spannungsversorgung des E-Motors. Das dspace-controller-board ist ein Produkt der dspace GmbH und trägt die Bezeichnung DS1104 R&D Controller Board. Die Karte ist ein eigenständiges Echtzeit-System, d.h. sie wird nicht vom Betriebssystem eines PCs aus gesteuert. Das DS1104-Board muss allerdings (im Gegensatz zu einigen anderen dspace-karten) an den PC angeschlossen bleiben und kann nicht ohne ihn betrieben werden. Nach dem Reglerentwurf kann das Reglermodell auf die dspace-karte geladen werden, von wo aus dann der E-Motor angesteuert wird. Mittels der Software Control Desk ist es möglich, Daten vom Versuch aufzuzeichnen sowie während der Versuchsdurchführung interaktiv Reglerparameter zu verändern. Eine interaktive Verbindung zwischen DS1104 und dem Simulink-Modell besteht hingegen nicht. Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 3

4 Nullpunkt-Taster für den Encoder dspace-karte im PC Terminal Board Abbildung 2: Terminal Board (Der Nullpunkt-Taster ist nur für den 2. Versuch mit dem inversen Pendel relevant) Abbildung 3: Power Module Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 4

5 x w dẋ w m F M Abbildung 4: System Wagen Für Modellbildung, Reglerentwurf und Simulation wird die Software MATLAB / Simulink mit der Control System Toolbox sowie dem MATLAB Coder verwendet. Für die Implementierung des Reglers auf der dspace-karte wird zunächst ein Simulink-Modell des Reglers erstellt, wobei die gewohnten Sensor-Eingänge bzw. Stellgrößen-Ausgänge durch spezielle DS1104-Input/Output-Blöcke ersetzt werden. Danach erfolgt eine Auto-Codierung, d.h. per Mausklick wird das Modell automatisch in ausführbaren C-Code umgewandelt. Der Code wird dann mit Control Desk einfach auf die dspace-karte überspielt. Bei der Modellbildung müssen bestimmte Grundeinstellungen (feste Integrations-Schrittweite etc.) berücksichtigt werden, was uns hier aber nicht weiter interessieren soll. 1.2 Theorie Definition der Systemgrößen Ausgangspunkt für die Modellierung ist in Abb. 4 dargestellt. Die relevanten Systemgrößen seien wie folgt benannt: x w Position des Wagens ẋ w Geschwindigkeit des Wagens F M Motorkraft u Spannung am Motor m Masse des Wagens d viskose Dämpfungskonstante w Führungsgröße (Sollwert für x w ) x d Abweichung vom Sollwert: x d = w x w Die Beziehung zwischen Spannung und Motorkraft sei beschrieben durch F M = k 1 ẋ w + k 2 u (1) Zeitoptimale Regelung Ein spezieller Ansatz in der optimalen Regelungstheorie ist die zeitoptimale Regelung. Bei dieser wird versucht, die Zustandsgrößen möglichst schnell einem stückweise konstanten Sollsignal w folgen zu lassen, wobei davon ausgegangen wird, dass die Stellgröße auf den Wert U m beschränkt ist. Konkret soll dies hier am Beispiel der im Praktikumsversuch betrachteten Lageregelung eines Wagens Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 5

6 erörtert werden. Das Wagen-System lässt sich durch die Gleichungen ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 1 T x 2 k T u (2a) (2b) mit U m u U m, x 1 = x d und x 2 = ẋ d. beschreiben, wobei T und k in der Hausaufgabe zu ermittelnde Konstanten sind. Ziel ist es nun, einen zeitoptimalen Regler zu entwerfen, der den Wagen möglichst schnell in die Wunschposition x w = w überführt. Da es sich hier um ein steuerbares System mit zwei reellen Eigenwerten handelt, können wir die aus der Vorlesung bekannte Vorgehensweise anwenden. Die Grundidee der zeitoptimalen Regelung ist, stets die maximale Voltzahl U m oder +U m als Stellsignal vorzugeben. Was aber noch nicht von vornherein klar ist, ist die Frage, wie oft und wann zwischen +U m und U m hin- und hergeschaltet werden muss. Um diese Frage zu beantworten, wird die Schaltfunktion s k (t) benötigt, die mathematisch mit Hilfe der Hamilton-Funktion gebildet wird und die Umschaltzeitpunkte exakt festlegt. Mit ihr lässt sich die optimale Steuerfunktion aufstellen: U m für s k (t) < 0 u(t) = +U m für s k (t) > 0 Leider ist diese Schaltfunktion oft weder analytisch noch numerisch leicht zu berechnen. Für Systeme 2. Ordnung mit reellen Eigenwerten lässt sich das optimale Regelungsgesetz aber anderweitig bestimmen. Hierfür betrachtet man das System in der Zustandsebene, also in der x 1 x 2 -Ebene, und berechnet, welchen Trajektorien der Wagen dort folgt, ausgehend von einem bestimmten Anfangszustand. Die Trajektorien lassen sich in diesem Fall am einfachsten berechnen, indem man die beiden DGLs aus (2) durcheinander teilt: ẋ 2 = dx 2 = 1 T x 2 k T u (4) ẋ 1 dx 1 x 2 Nach Integration und Einsetzen von ±U m ergibt sich als Lösung T x 2 kt U m ln ku m x 2 + C für u = U m x 1 = (5) T x 2 + kt U m ln ku m + x 2 + C für u = +U m wobei C eine Integrationskonstante ist. Für verschiedene, beispielhaft gewählte Konstanten C ergibt sich folgendes Diagramm, in dem die Trajektorien die Zustandsänderungen visualisieren, wenn die maximale Spannung anliegt: Die Pfeile geben jeweils die Laufrichtung entlang der Trajektorien an. Wie man sieht, kann von einer langsamen Geschwindigkeit x 2 ausgehend nur ein endliches Maximum ku m erreicht werden, was ja auch Sinn macht, da irgendwann die Reibungskraft gleich der Antriebskraft ist. Besonders interessant sind die roten Nulltrajektorien, die in den Ursprung führen. Sie genügen den Gleichungen T x 2 kt U m ln 1 x2 ku m für x2 0 S 0 (x 2 ) = (6) T x 2 + kt U m ln 1 + x2 ku m für x2 > 0 (3) Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 6

7 x 2 ku m u = U m 0 x 1 u = U m P 1 P 2 Abbildung 5: Trajektorien im Zustandsraum. Die Schaltlinie S 0 (x 2 ) ist blau dargestellt, die u = ±U m entsprechenden Trajektorien in grün (U m ) und orange ( U m ) Nun bleibt noch die Frage nach dem zeitoptimalen Weg, ausgehend z.b. vom Startpunkt P 1. Es erscheint logisch, dass erst einmal mit +U m voll beschleunigt wird und dann rechtzeitig vor dem Ziel mit U m voll abgebremst wird, so dass der Wagen exakt im Ursprung bei x d = 0, ẋ d = 0 zum Stehen kommt. Folglich muss also die Spannung umgeschaltet werden, sobald bei P 2 die S 0 -Trajektorie erreicht wird. Dass tatsächlich auch nur exakt eine Umschaltung notwendig ist, um zeitoptimal zu regeln, lässt sich mit dem Satz von Feldbaum beweisen (siehe Vorlesung). Ohne aufwändig eine Schaltfunktion herzuleiten, lässt sich für diesen Fall also auf ganz einfache Weise ein optimales Regelgesetz formulieren (Achtung Vorzeichen, da x 1 = w x w ist): U m für x 1 S 0 (x 2 ) < 0 u(t) = +U m für x 1 S 0 (x 2 ) > 0 Wie man sieht, wird für die optimale Regelung die Zustandsgröße x 2 benötigt. Da x 2 = ẋ d und x d = w x w ist, gilt für ein konstantes w auch x 2 = ẋ w. Es gibt zwei Möglichkeiten um dem Regler x 2 = ẋ w zur Verfügung zu stellen: 1. x 2 = ẋ w wird direkt zurückgeführt, 2. x 2 wird mit einem DT1-Filter aus der Position x w gewonnen: X 2 (s) = s st F ilt +1 X w(s) Die theoretisch exakte Ableitung X 2 (s) = sx w (s) ist wegen des Kausalitätsgesetzes nicht realisierbar und aufgrund der Verstärkung von hochfrequenten Messstörungen auch nicht sinnvoll. (7) Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 7

8 x 2 ku m a 0 a x 1 P 1 P 3 Abbildung 6: Suboptimale Regelung mit Ruhezone. Die Schaltlinien sind blau dargestellt. Die violetten Linien repräsentieren die linearen Trajektorien, entlang denen der Wagen ausrollt, wenn u = 0. Die Ruhezone {x 1 [ a, a]; x 2 = 0} is grau eingezeichnet Zeitsuboptimale Regelung Anstatt des optimalen Regelgesetzes werden oft auch suboptimale Ansätze verwendet. Einer davon soll im Praktikum näher betrachtet werden, nämlich der sog. Dreipunktregler. Hier wird anstatt einer scharfen Spannungsumschaltung bei x 1 S 0 (x 2 ) = 0 folgendes Regelgesetz verwendet: U m für x 1 S 0 (x 2 ) < a u(t) = 0 für a x 1 S 0 (x 2 ) a +U m für x 1 S 0 (x 2 ) > a Dadurch ergibt sich um die Nulltrajektorie herum eine Ruhezone, in welcher der Wagen entlang von linearen Trajektorien ausrollt. In Abb. 6 ist beispielhaft solch eine lineare Trajektorie eingezeichnet. (8) 1.3 Hausaufgabe 1. Stellen Sie für den Wagen die Differentialgleichung ẍ w = f(ẋ w, u) auf und geben Sie T und k als Funktionen von d, m, k 1 und k 2 an. Welche physikalische Bedeutung haben Konstanten k 1, k 2, T und k? 2. Wie verändern sich die Trajektorien in Abb. 5 und 6, wenn die Dämpfung variiert wird? Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 8

9 3. Ermitteln Sie durch Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion G(s) von u auf x w. 4. Zeichnen Sie das Strukturbild eines Regelkreises mit einem Regler R(s), der die Eingänge x d und ẋ w besitzt, wobei G(s) in einen PT1- und einen Integrator-Block aufgeteilt werden soll (um ẋ w als Signal im Diagramm sichtbar zu machen). 5. Überlegen Sie, worin jeweils der Vorteil und der Nachteil besteht, ẋ d durch einen DT1-Filter oder durch Rückführung von ẋ w zu gewinnen (abgesehen von der Signalglättung). 6. Zeichnen Sie das Strukturbild des Reglers für den Fall der zeitoptimalen Regelung mit direkter Rückführung von ẋ w. Die Reglereingänge sind ẋ w und x d. Benutzen Sie die Funktion σ(x) = { 1 für x < 0; 1 für x 0} für die Fallunterscheidung. S 0 (ẋ d ) und σ können Sie jeweils als Funktionsblöcke einzeichnen. 7. Was sind die Nachteile und Vorteile der Regelung mit Ruhezone? 8. Zeichnen Sie in Abb. 6 den Weg des Wagens entlang der Trajektorien ein, sowohl für Startpunkt P 1 als auch für P Durchführung Mit dspace und Control Desk haben Sie bereits im Wintersemester-Praktikum gearbeitet. Sie müssen in diesem Praktikum keine Experimente erstellen, diese sind bereits vorbereitet. Öffnen Sie mit Control- Desk das zugehörige Projekt im Ordner \OptimalCont_TimeOpt_vFB\ und starten Sie die Messungen durch Klicken auf Go Online. 1. Für a = 0 schaltet das Steuersignal ständig um. Erklären Sie warum? 2. Was ist der optimale Wert für a in diesem Experiment? 3. Wann ist das Steuersignal Null? Was bedeutet das? 4. Erklären Sie den Unterschied zwischen zeitoptimaler und zeitsuboptimaler Regelung? 5. Erstellen Sie 2 Zeitplots und 2 Phasenportraits, jeweils für die zeitoptimale und die zeitsuboptimale Regelung, wobei im 2. Fall ein optimales a gewählt werden soll. 6. Fassen Sie die Ergebnisse zusammen und nennen Sie Anwendungsbeispiele, in denen dieser Regelalgorithmus nicht funktioniert. 1.5 Literatur O. Föllinger: Optimale Regelung und Steuerung D. E. Kirk: Optimal Control Theory Technische Universität München Lehrstuhl für Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann 9