Klausur. Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik

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1 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matrikel-Nr.: Hinweise zur Bearbeitung: Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Es sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Bei jeder Aufgabe können maximal 30 Punkte erreicht werden, so dass die Gesamtpunktzahl 120 Punkte beträgt. Beschriften Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer, und nummerieren Sie die Lösungsblätter durch. Lösungsblätter ohne Beschriftung können nicht bewertet werden. Fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an. Die Aufgabenblätter sind am Schluss der Klausur mit abzugeben. Erlaubte Hilfsmittel sind Bücher, eigene Aufzeichnungen, Vorlesungs- und Übungsunterlagen; Taschenrechner sind nicht zugelassen! Aufgabe Bearbeiter Punkte

2 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 2 von 8 Aufgabe Entwurf mechatronischer Systeme und Laplace-Transformation a) Erläutern Sie kurz den Begriff Funktionsorientierter Entwurf am Beispiel der Verladebrücke. b) Welchen Vorteil erreicht man durch die Anwendung der Laplace-Transformation beim Lösen der Differentialgleichungen von dynamischen Systemen? Welche Voraussetzungen muss das System dazu erfüllen? c) Ein wichtiges Übertragungsglied im Laplace-Bereich ist das Verzögerungsglied 2. Ordnung. Geben Sie dessen allgemeine Differentialgleichung an, und zeichnen Sie ein elektrisches System, das solches Verhalten aufweist. Kennzeichnen Sie die Eingangsund die Ausgangsgröße und bestimmen Sie die Übertragungsfunktion dieses Systems. 1.2 Aufstellen von Differentialgleichungen Eine Spezialfirma möchte eine neue Version ihres Tonbandgeräts auf den Markt bringen siehe Bild 1). Dabei soll auf die sonst verwendete Tonwelle Capstan) verzichtet werden, die bei den Vorgängergeräten für einen gleichmäßigen Bandtransport gesorgt hat. Dadurch verspricht man sich einen geringeren Verschleiß des Tonbandes und eine größere Zuverlässigkeit. Die Funktion soll nun direkt durch die beiden Antriebe der Bandteller erfüllt werden. Während der Antriebsmotor des Bandtellers 2 das Band zieht, erzeugt der des Bandtellers 1 ein Gegenmoment Bremsmoment), sodass sowohl eine konstante Bandgeschwindigkeit, als auch eine konstante Bandspannung erreicht wird. Dazu müssen die beiden Antriebe sehr genau geregelt werden. Bild 1: Prinzipskizze des Tonbandgeräts Speziell beim Bandanlauf gibt es jedoch bisher Probleme, weshalb ein Modell der Systemdynamik erstellt werden soll. Um die Elastizität des Tonbandes abzubilden, wird ein lineares Feder-Dämpfer-System eingefügt. Weiterhin wird im ersten Schritt von konstanten Radien und konstanten Massenträgheiten ausgegangen. Letztere berücksichtigen sowohl die Trägheiten der Teller als auch die der Antriebswellen. Das zugrundeliegende

3 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 3 von 8 mechanische Ersatzbild ist in Bild 2 abgebildet. Nehmen Sie an, dass Feder und Dämpfer beim Einschalten des Geräts zum Zeitpunkt ) entspannt sind und dass zwischen Band und Teller keine Relativbewegung entsteht. Bild 2: Mechanisches Ersatzbild Bezeichnungen: Index Verdrehwinkel der Bandteller Antriebsmomente Massenträgheitsmomente Federkonstante Dämpfungskonstante Dicke des Tonbandes Radien der Spulen Kernradius der Bandteller maximaler Radius der Spulen Eingangsspannungen der Antriebe elektrischer Widerstand elektrische Induktivität induzierte Spannungen elektrische Ströme in den Ankerkreisen Motorkonstante Index zur Kennzeichnung von linker ) und rechter ) Spule Bei den Antriebsmotoren handelt es sich um zwei identische Gleichstrommotoren siehe Bild 3). Für diese gelten folgende Zusammenhänge : Bild 3: Elektrisches Ersatzbild der Antriebe a) Schneiden Sie das mechanische Ersatzsystem Bild 2) frei und tragen Sie alle relevanten Kräfte und Momente ein. b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Bandteller her und charakterisieren Sie die entstandenen Differentialgleichungen hinsichtlich Linearität, Verkopplung und Ordnung. c) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die Antriebsmotoren auf. d) Bei der Validierung des Modells anhand von Messungen wurde festgestellt, dass die Annahme von konstanten Radien nur für sehr kurze Zeit bzw. sehr kurze Bandlängen ausreichend genau ist. Aus diesem Grund soll das Modell erweitert werden. Geben Sie einen formelmäßigen Zusammenhang für die Radien und in Abhängigkeit von bzw. und der Banddicke an. Gehen Sie dabei von den Anfangsradien bzw. aus. Welche zuvor konstanten Größen sind durch die Änderung der Radien noch betroffen?

4 ut) [V] Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 4 von 8 Aufgabe Linearisierung Gegeben sei ein mechatronisches System, das durch folgende nichtlineare Differentialgleichung beschrieben wird. ) ) Hinweis: Die Ableitung des Kotangens berechnet sich zu gilt: ).. Weiterhin a) Am Eingang des Systems wird ein konstantes Signal aufgeschaltet. Bestimmen Sie die Ruhelage. b) Linearisieren Sie das System mit der Taylorreihenentwicklung bis zur 1. Ordnung) um diese Ruhelage. c) Welches Übertragungsverhalten weist das linearisierte System auf? Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion. 2.2 Digitale Signalverarbeitung Der analoge Spannungsausgang siehe Bild 4) eines Sensors soll abgetastet und digital weiterverarbeitet werden Spannungsbereich: 0-7,5 ) t [s] Bild 4: Analoges Sensorsignal

5 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 5 von 8 Es wird eine Abtastfrequenz von gewählt. Weiterhin stehen im Rechner zur Verfügung, um den Spannungsbereich aufzulösen. a) Schlagen Sie ein geeignetes ADU-Verfahren vor und begründen Sie Ihre Wahl. b) Wie groß ist der kleinste wahrnehmbare Unterschied bzw. das Quantisierungsintervall) bei der Wertdiskretisierung und wie groß ist der maximale Fehler? c) Zeichnen Sie das wert- und zeitdiskrete Signal für den dargestellten Zeitbereich in Bild 4 ein. Falls Sie kein Quantisierungsintervall errechnen konnten, nehmen Sie es zu an. d) Das digitale Signal wird wie nachfolgend angegeben weiterverarbeitet und anschließend mit einem Halteglied 0. Ordnung) wieder ausgegeben. Zeichnen Sie das Signal, das nach der Digital-Analog-Umsetzung DAU) vorliegt, ebenfalls in Bild 4 ein. e) Für ein anderes Filter sei folgende Differenzengleichung gegeben: Berechnen Sie die ersten vier Werte der Ausgangsfolge des Filters bei einer Anregung durch einen Sprung. f) Ist das Filter BIBO-stabil? Begründen Sie Ihre Antwort.

6 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 6 von 8 Aufgabe Blockschaltbild Ein mechatronisches System wird durch folgendes Blockschaltbild beschrieben. Bild 5: Blockschaltbild a) Vereinfachen Sie das Blockschaltbild und bestimmen Sie dadurch die Führungsübertragungsfunktion und die Störübertragungsfunktion. Bitte kennzeichnen Sie dabei jeweils Parallel- und Reihenschaltungen, Mit- und Gegenkopplungen sowie Verlegungen von Summations- und Verzweigungsstellen! b) Gegeben Sie die Differentialgleichungen für das verkoppelte System an, das durch das Blockschaltbild in Bild 6 beschrieben wird Eingang: ; Systemgrößen:, ). Bild 6: Blockschaltbild eines verkoppelten Systems 3.2 Bode-Diagramm und Frequenzgang a) Gesucht ist das Bode-Diagramm für ein System mit folgender Übertragungsfunktion: Teilen Sie in Standardübertragungsglieder auf und benennen Sie diese. Zeichnen Sie anschließend den Betrags- und Phasenverlauf für in das untenstehende Diagramm Bild 7) ein.

7 Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 7 von 8 b) Nachdem alle Einschwingvorgänge abgeklungen waren, wurde am Ausgang des Systems ein harmonisches Ausgangsignal gemessen. Die Anregung wurde jedoch nicht aufgezeichnet. Bestimmen Sie anhand des Bode- Diagramms aus a) überschlägig welches Eingangssignal im Zeitbereich vorgelegen hat ). Falls Sie kein Diagramm zeichnen konnten, verwenden Sie das eines PT-2 Gliedes mit, und. Bild 7: Bode-Diagramm

8 yt) Klausur Grundlagen der Mechatronik und Systemtechnik Name: Matr.-Nr.: Seite 8 von 8 Aufgabe Zeitantwort Auf den Eingang eines mechatronischen Systems wird das Zeitsignal geschaltet. Es gilt: Das Ein-/Ausgangsverhalten des Systems wird durch die folgende Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich beschrieben. Berechnen Sie die Antwort des Systems im Zeitbereich mithilfe der Partialbruchzerlegung. 4.2 Endwertsatz und Sprungantwort Gegeben seien die folgenden drei Übertragungsfunktionen: 1) 2) 3) a) Untersuchen Sie jeweils welchem stationären Endwert das Ausgangssignal bei einer Sprunganregung entgegen strebt. b) Skizzieren Sie die zeitlichen Verläufe der Sprungantwort für die drei Systeme im untenstehenden Koordinatensystem Bild 8). Ermitteln Sie dazu zunächst die charakteristischen Größen der Übertragungsglieder. Bitte beschriften Sie die Ordinate und die drei Kurven t [s] Bild 8: Sprungantworten