Zusammenfassung der 4. Vorlesung

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1 Zusammenfassung der 4. Vorlesung Lösung von Regelungsaufgaben Modellbildung dynamischer Systeme Experimentell und analytisch Modellierung im Zeit- und Bildbereich Lineare Systeme Lineare Systeme Superpositionsprinzip Linearisierung nichtlinearer Systeme Linearisierung des dynamischen Verhaltens (Taylorreihen-Entwicklung)

2 Zusammenfassung der 4. Vorlesung Linearisierung nichtlinearer Systeme Linearisierung des statischen Verhaltens (statische Kennlinie) - Graphische Linearisierung (nichtlineare Funktion wird durch Tangente im Arbeitspunkt ersetzt) - Analytische Linearisierung (Taylorreihen- Entwicklung im Arbeitspunkt und Vernachlässigung der höheren Ableitungen) Modellierung mit Hilfe von Testsignale Sprungfunktion, Übergangsfunktion

3 Sprungantwort.4 Sprungfunktion (t) K h( ) lim h( t) S t Systemverstärkung Sprungantwort h(t)

4 Impulsfunktion und Impulsantwort für 0 Dirac scher Deltaimpuls d(t) u(t) ( t ) ( t t ) 0 Recheckimpuls mit normierter Impulsfläche 0 Symbolische Darstellung t 0 t.5 Dirac scher Deltaimpuls (t) Gewichtsfunktion g(t)

5 Dirac sche Deltafunktion / 0 (t) - t t Die Deltafunktion ist eine Distribution oder verallgemeinerte Funktion Ein von Null verschiedener Funktionswert ergibt sich nicht durch Einsetzen eines Argumentes, sondern durch eine Rechenvorschrift. Ausblendeigenschaft (t)dt 0 0 f(t) (t t )dt f(t )

6 Ausblendeigenschaft des Deltaimpulses Das Integral über das Produkt einer Funktion f(t) mit dem Deltaimpuls d(t) blendet alle Funktionswerte bis auf f(0) aus: f () t () t dt f (0) ( t ) f(t) 0 t Ausblendeigenschaft des verschobenen Deltaimpulses: f () t ( tt ) dt f ( t ) 0 0 ( t t ) 0 f(t) t 0 t

7 Messung der Gewichtsfunktion "Kurzer Hammerschlag" dynamisches System y(t) = g(t) Praktische Messung einer Näherung der Gewichtsfunktion mit Hilfe eines Impulshammers

8 Faltungsintegral Definition: Eigenschaften: Beschreibt die Beziehung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal im Zeitbereich. Bestimmung des Ausgangssignals für beliebige Eingangssignale. u(t) g() t Achtung: t ist eine Konstante Gewichtsfunktion enthält die gesamte Information über das dynamische Verhalten eines linearen Systems.

9 Woher kommt der Begriff Faltungsintegral? Betrachtung des Terms g(-) (g(t-) für t = 0) 0.8 g(-) 0.8 Beispiel für g() g(-) g() (sec) g(-) = 0 für > 0, g(-) = g() für (sec) g(-) erhält man durch umklappen (falten) von g()

10 Modellbildung mit Hilfe von Differentialgleichungen Unterscheidung: Übertragungsmodell (Klemmenmodell) Zustandsgrößenmodell (Zustandsmodell) Die Zustandsgrößen beschreiben den Energiegehalt der im System enthaltenen Speicherelemente. Beispiel: Feder-Dämpfer-Masse-System Feder: Speicher für potentielle Energie Masse: Speicher für kinetische Energie

11 Zustandsraummodell System von Differentialgleichungen -ter Ordnung

12 u Technisches Übertragungssystem Beispiel: Pneumatischer Speicher y Druck, Volumen Speicherkapazität u Modell des technischen Übertragungssystems y? Durchfluß Strömungswiderstand Eingangsgröße: u(t) = p e (t) Ausgangsgröße: y(t) = p(t) q(t) [p e(t) p(t)] W p(t) C Gesetze: Durchfluß = Druckgefälle / Strömungswiderstand Druckänderung = Durchfluß / Speicherkapazität V q(t)

13 Beispiel: Pneumatischer Speicher () 3 m Pa Pa m 3 / s Proportionalübertragungsglied y(t) mit = p(t) Verzögerung (Zeitkonstante). Ordnung u(t) = p e (t) Anwendung der Laplace-Transformation PT -System TsY() s Y() s U() s Y()( s Ts) U() s Y() s U() s st yt () t/ T L s( st ) yt () L U() s st ( e ) ( t) /s für u(t) = (t) Tabelle A., Korrespondenz 6

14 Beispiel: Pneumatischer Speicher (3) PT -System T Zeitkonstante Sprungantwort Gewichtsfunktion

15 Beispiel: RC-Glied Eingangsgröße: u(t) = Eingangsspannung Ausgangsgröße: y(t) = u C (t) Gesetze: Maschensatz u(t) = u R (t) + u C (t) Spannungsabfall am Widerstand u R (t) = R i(t) Kondensatorspannung u C (t) = /C w i(t)dt Aus u (t) C C i(t) i(t) Cu (t) C und damit aus R C C C u(t) u (t) u (t) u(t) RCu (t) u (t)

16 Beispiel: RC-Glied () s y(t) = u C (t) PT -System Sprungantwort Gewichtsfunktion

17 PT-System (System mit Ausgleich) Differentialgleichung: Ty(t) y(t) K u(t) S Blockschaltbild des Systems. Ordnung Kenngrößen: Zeitkonstante T Systemverstärkung K S h( )

18 Pneumatisches System. Ordnung q (t) [p (t) p (t)] q (t) [p (t) p (t)] W e W p (t) [q (t) q (t)] p (t) C C q (t) p (t) [ ]p (t) p (t) p (t) e CW CW CW CW p (t) [p (t) p (t)] CW gekoppelte Differentialgleichungen. Ordnung

19 Pneumatisches System. Ordnung () Setzt man u(t): p e(t) x(t): p(t) x(t): p(t) y(t) und T: CW T: CW T : CW erhält man ein Zustandsraummodell: x (t) [ ]x (t) x (t) u(t) T T T T x (t) [x (t) x (t)] T y(t) x (t)

20 bzw. in Matrizendarstellung: Pneumatisches System. Ordnung (3)

21 Übertragungsmodell Pneumatisches System. Ordnung (4) x (t) [x (t) x (t)] T nach x (t) auflösen liefert: x(t) Tx(t) x(t) Einsetzen in x (t) [ ]x (t) x (t) u(t) T T T T liefert T y(t) y(t) und x (t) T y(t) y(t)

22 Pneumatisches System. Ordnung (5) Reihenschaltung zweier PT -Systeme PT -System p (t) p (t) PT -Verhalten waagerechte Tangente Blockschaltbild PT -Verhalten Kenngröße: Systemverstärkung K S

23 Matlab Convolution Demo h(t-)