Linearisierung. Vorlesung 4. Realität: nichtlinear. Wunsch: Vorteil: Anwendung einfacher Rechenmethoden (lineare DGL, lineare Gleichung) A=F(Y)

Transkript

1 Realität: nichtlinear Y AF(Y) A Wunsch: im Betriebspunkt linear Y K A Vorteil: Anwendung einfacher Rechenmethoden (lineare DGL, lineare Gleichung) 1

2 Beispiel für Nichtlineare Systemkomponente: Ventil in Wasserleitungssystem Öffnung Ventil Leitung Behälter Volumenstrom Druck 2

3 A F(Y ) Verlauf von Ventilquerschnitt A bei Öffnung Y 3

4 Verlauf von Volumenstrom Q bei Öffnung Y Animation unter: WINFACT 4

5 Sprungantworten in verschiedenen Bereichen von Y Sprungfunktion Y(t) Y*σ(t) Sprungantwort Q(t) 5

6 Betriebspunkte Vorlesung 4 Betriebspunkt- Sprungantworten Q(t) mit Y0.1 6

7 Sprungantwort-Auswertung im Betriebspunkt mit Y0.9 T X a K P Q Y X X a e Y m m sec 1 sec 1 7

8 Sprungantwort-Auswertung im Betriebspunkt mit Y0.6 T 3 m 0.57 sec 1 X a K P Q Y X X a e Y 0.6 m 3 sec 1 8

9 Sprungantwort-Auswertung im Betriebspunkt mit Y0.3 T X a K P Q Y X X m 0.3 Y a e m 3 sec 1 sec 1 9

10 In der successiven Sprungantwortauswertung ist die Bestimmung der Dynamik (hier PT1-Glied mit Auswertung T) und die Bestimmung der Statik (hier verschiedene Verstärkungen K) vermischt. Besser ist es, die Modellteile Statik und Dynamik zu trennen und eine rechnerische in der Kennliniendarstellung vorzunehmen. 10

11 Rechnerische in der Kennliniendarstellung: Aufteilung des Systems in Statisches System und Dynamisches System Y A Q Ventil Leitung T Q( t) + Q( t) 1.0* A( t) 11

12 Linearisieren der Kennlinie: 1. Betriebspunkt festlegen! A 0 Vorlesung Regelungstechnik Y 0 Prof 12

13 Linearisieren der Kennlinie: 2. Führe im Betriebspunkt ein neues Achsenkreuz für A und Y ein! A A 0 Y Vorlesung Regelungstechnik Y 0 Prof 13

14 Linearisieren der Kennlinie: 3. Bestimme die Steigung der Kennlinie im Betriebspunkt! A A 0 Y Vorlesung Regelungstechnik Y 0 Prof 14

15 Linearisieren der Kennlinie: 3. Bestimme die Steigung der Kennlinie im Betriebspunkt! A Y Y A 1 0 Y Y 1 A A A 0 Y A 1 Y 1 Vorlesung Regelungstechnik Y 0 Prof 15

16 Linearisieren der Kennlinie: 4. Die Beziehung für die Abweichung A vom Betriebspunkt lautet: A A A * Y Y Y 0 Y 16

17 Linearisieren der Kennlinie: 5. ALTERNATIV: Taylor-Entwicklung einer Funktion bis zum 1. Glied : A A Y Y 0 0 Y A + Y *( 0 ); A A * Y Y Y 0 17

18 Linearisieren der Kennlinie: 5. ALTERNATIV: Taylor-Entwicklung einer Funktion bis zum 1. Glied : A A 0 A A A0 + Y 0 *( Y Y0 ); Y Vorlesung Regelungstechnik Y 0 Prof Y 18

19 Linearisieren der Kennlinie: 6. Ergebnis: für Y Y A A > Y 1.91 A 1.91* Y 19

20 Linearisierte Darstellung: Vorlesung 4 Y A Q Ventil Leitung Y Q 1.91* Y 1.91 A T Q ( t ) + Q ( t ) 1.0 * A ( t ) > T Q( t) + Q( t) 1.91* Y ( t) 20

21 Linearisieren einer Kennfelddarstellung: Ottomotor: M/Nm α/% M f ( n, α) n/ 1/min 21

22 Linearisieren einer Kennfelddarstellung: 1. Betriebspunkt und Achsenkreuz festlegen M/Nm M M 0 n α 0 n 0 n/ 1/min 22

23 K n Vorlesung 4 Linearisieren einer Kennfelddarstellung: 2. Steigung für Eingang n bestimmen 120Nm 75Nm M M1 MNm 0 α n n1 n1 min min 0min M/Nm M 1 M M 0 n α 0 n 1 n 0 n/ 1/min 23

24 Linearisieren einer Kennfelddarstellung: 3. Steigung für Eingang αbestimmen M M K α 60% 50% M 95Nm 75Nm 0 Nm n 2 α 0 α α 2 0 % M/Nm M M 2 M 0 n α 0 α 2 n 0 n/ 1/min 24

25 Linearisieren von Funktionen: Beispiel Windkraftanlage M ( U, α) 4.5 U rad Nm 2 m * 2 sec 2 α 25

26 Lösung: Nutzung der Beziehung M M U M * U + 0 U 0, α0 U 0, α α * α und partielle Differentiation im Betriebspunkt M 0, U 0, α 0 mit U 0 5m/s und α 0 1rad. 26

27 Lösung: M U M α Nm 4.5 2U α 45 U 0, α0 0 0 radm 2 s 2 Nm 4.5 U U 0, α0 0 radm 2 s 2 Nm m s Nm rad 27

28 Lösung: Nm Nm M 45 * U * m rad s α 28

29 Lösung: U 45 M α

30 1. Übung Kennlinie D Bestimme AK* Y im Betriebspunkt Y 0 0.3cm! Querschnitt A in cm^2 Öffnung Y in cm 30

31 2. Übung Kennfeld D Bestimme M mag K ϕ * ϕ mag +Ku* U mag im Betriebspunkt ϕ mag,0 0 rad U mag,0 5V Mmag / Nm ,5 rad rad -0,5 rad rad Umag / Volt

32 Lösung Mmag / Nm Arbeitspunkt +0,5 rad 0 rad -0,5 rad Im Arbeitspunkt ergeben sich folgende Steigungen:.für die Tangente an die 0 rad-linie: 0.15Nm 0.03Nm K U V 0V Nm V -1 rad.für den Übergang von der 0 rad auf die +0.5 rad-linie bei konstantem U mag : Umag / Volt Nm 0.15Nm Kϕ rad 0rad Nm rad 32