Vorlesung 6. Übertragungsfunktion der linearen Regelkreisglieder Textuell: FederPendel. DGL: als Sprungantwort

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1 Textuell: FederPendel yste FederPendel Dreh- Magnet Feder c Masse l Däpfer d lf ld ollwertgeber Regler Winkelsensor Regelungstechnische Begriffe: PT-Glied it Verstärkung Kp, Däpfung D, Zeitkonstante T DGL: als prungantwort T ϕ + DT ϕ + ϕ K W Beschreibung als Übertragungsfunktion als Frequenzgang

2 Das Blockschaltbild des FederPendel lautete: M ag Magnet W Regler U ag M ag Magnet Moentenbilanz ϕ U ag Regler Winkelsensor ϕ ess Man kann das Übertragungsverhalten zwischen Ausgang ϕ und Eingang W auch durch grafische Blockzusaenfassung finden. w? ϕ

3 Die gefundenen linearen Beziehungen lauten:. Regler: U ag K pr ( W ϕess). Magnet: Mag K ϕ + KU Uag ϕ 3. ensor: ϕ ϕ ess K ess Aber in die Blöcke können keine Gleichungen eingesetzt werden! Bilde daher die Verstärkungen! 3

4 Dafür uss in Ausgangs-/Eingangsdarstellung ugeschrieben werden: Ausgang Verstärkung Eingang > Ausgang Eingang Verstärkung Xe K p Xa 4

5 Ausgangs-/Eingangsdarstellung. Regler: U ag K pr ( W ϕess). für w: U U ag ag ( t) ( t) W ( t) K K pr W ( t) W pr K pr U ag. für ϕ: U U ϕ ag ag ess ( t) ( t) ( t) K K pr pr ϕ ess ϕ ess ( t) -K pr U ag 5

6 Ausgangs-/Eingangsdarstellung. Magnet: Mag K ϕ + KU Uag ϕ. Mag( t) K ϕ ϕ( t) Mag( t) ϕ( t) K ϕ ϕ Kϕ M ag. Mag( t) K U Uag( t) Mag( t) Uag( t) K U Uag K U M ag 6

7 Ausgangs-/Eingangsdarstellung 3. ensor: ϕ ess ( t ) K ϕ ( t ) ess ϕess( t) ϕ( t) K ess ϕ (t) K ess ϕ ess(t) 7

8 in die Blöcke eingesetzt folgt: Mag( t) K ϕ( t) ϕ M ag K ϕ W U ag K PR ( t) K W ( t) pr U ag M Mag( t) K Uag( t) ag U K U ϕ ess M ag c l f? + ϕ + d l ϕ l ϕ d ϕ U ag -K PR K Mess U ag ( t) K ϕ ( t) pr ess ϕ ess ( t ) K ϕ ( t ) ess 8

9 Die Differentialgleichung läßt sich nicht in Ausgangs- /Eingangsdarstellung schreiben: Bilanz: M ag c l f + ϕ + d l ϕ l ϕ d Da die zeitliche Ableitung ein Operator ist, läßt sich ϕ nicht faktorisieren! M ag ϕ( t) [? ] > ϕ( t) M ag [? ] 9

10 Abhilfe schafft die Laplace-Transforation der Differentialgleichung! 0

11 Laplace-Transforation einer Zeitfunktion f(t): F st ( ) f ( t) e dt 0 ist dabei eine koplexe Zahl δ+i, die sogenannte Bildvariable. Grossschreibung Bildfunktion F(), Kleinschreibung Zeitfunktion f(t) Rechenvorteile durch Transforation der Zeitfunktion bzw der ganzen Differentialgleichung in den Bildbereich Kurzschreibung: f ( t) o F( )

12 Rechenvorteile durch logarithieren (60er Jahre it Logarithentabellen) Y (.374 Taschenrechner ) o _ Tabelle _ lny ln( ) ln ln _ Tabelle _ 0.37 o Y e.374

13 Beispiele für die Laplace-Transforation einer Zeitfunktion f(t): f(t) F() / t / e αt /(s-α) te αt /(s-α) sint /(s - ) x(t) X() allgeeine For 3

14 Rechenvorteile durch Anwendung der Laplace-Transforation auf eine Zeitfunktion f(t): f f Die Differentiationsregel ( t) F( ) f ( + 0) ( t) dt F( ) f ( + 0) Die Ableitung wird i Bildbereich durch eine Multiplikation it der Bildvariable ersetzt, die Integration durch eine Division durch die Bildvariable! 4

15 5 Vorlesung 6 Die Differentialgleichung läßt sich dait in Ausgangs- /Eingangsdarstellung schreiben, wenn sie Laplacetransforiert wird. Ablauf:. Die Lapacetransforation wird für jeden Ter in der Gleichung einzeln angewendet (Linearität). 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t l t l d t l c t M t f d f ag ϕ ϕ ϕ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( l dl cl M F d f ag ϕ ϕ ϕ. DGL in Funktion f(t)0 wandeln: + + ϕ ϕ ϕ d f ag l l d l c M Bilanz Pendel:

16 Ausgangs-/Eingangsdarstellung : M ag ϕ( ) [ ] cl + dl + l M ( ) Ugefort für die Ausgangsgrösse: ϕ( ) > ( ) cl ϕ( ) M ( ) f M ag f ϕ( ) dl ag d ( ) ag [ ] cl + dl + l [ ] cl + dl + l f d ϕ( ) l f d d ϕ( ) 0 ϕ() [ cl + dl l ] f d + () M ag Gesuchte Blockdarstellung 6

17 in die Blöcke eingesetzt folgt: M ag () K ϕ ϕ() W() K PR U ag () K U M ag () [ cl + dl l ] f d + ϕ() U ag () ϕ ess () -K PR K Mess ϕ() Ergebnis: Jeder Block hat jetzt einen Verstärkungsfaktor. Da aber alle Variablen als Bildfunktionen betrachtet werden üssen, heissen die Verstärkungsfaktoren nun Übertragungsfunktion! 7

18 Der Begriff der Übertragungsfunktion G(): Wird die ein lineares yste beschreibende algebraische Gleichung oder Differentialgleichung eleentweise Laplacetransforiert und bildet an den Ter Ausgangsvariable zu Eingangsvariable, so erhält an die Übertragungsfunktion G() des ystes: o faktorisieren: Aus-/Eingang: 3 sec X ( t) X ( t).5v a + a X e( t) 3 sec X [ 3 + ].5V X ( ) ( ) sec a X X ( ) ( ).5V 3 sec a e X a ( ) + X a ( ).5 + G( ) V e X e ( ) Übertragungs -funktion 8

19 Beziehungen der Übertragungsfunktion G(): Bildungsgesetz: X X e ( ) ( ) a G( ) Blockbeziehung: Lineare Ein-/Ausgangszuordnung: Inverse Zuordnung: X X G() X e () ( ) G( ) X ( ) a ( ) X a ( ) G( ) e e X a () 9

20 Lösen von Diffentialgleichungen ittels Übertragungsfunktion G() und Laplace-Tabellen (Beispiel):. G ( ) X e ( ) X a ( ) prungsignal: X e ( t) σ ( t) o X ( ) e 0

21 Lösen von Diffentialgleichungen ittels Übertragungsfunktion G() und Laplace-Tabellen:. G ( ) X e ( ) X a ( ) PT-yste: 3sec X ( t) + X ( t).5v a a.5 G( ) + 3 X e ( t)

22 Lösen von Diffentialgleichungen ittels Übertragungsfunktion G() und Laplace-Tabellen: 3. G ( ) X e ( ) X a ( ) Ausgangssignal: Berechnung über Korrespondenz- Tabelle:.5 X ( ) G( ) a ( + 3) _ Tabelle 3 o X ( t).5( e t ) a

23 Lineare Regelkreisglieder P Xa () t Kp Xe() t () s Kp Xe() s Xa () s () s Xa G () s Xe Kp 3

24 Lineare Regelkreisglieder PT T X a() t + Xa() t Kp Xe() t () s + Xa() s Kp Xe() s T Xa G () s Kp + T 4

25 Lineare Regelkreisglieder PT T X a() t + DT X a() t + Xa( t) Kp Xe() t ( T + DT + ) Xa() s Kp Xe() s G Kp + DT + T () s 5

26 Lineare Regelkreisglieder I T () () n X a t Xe t X a ( t) K I X e( t) dt Tn Xa() s Xe() s Xa( s) K I Xe( s) G () s T n K I 6

27 Lineare Regelkreisglieder DT Tv X a() t + Xa() t TD Xe( t) () s + Xa() s T Xe() s Tv Xa D G () s TD + Tv 7

28 Lineare Regelkreisglieder PDT Tv X a() t + Xa() t Kp ( TD X e() t + Xe()) t () s + Xa() s Kp ( T Xe() s Xe()) Tv Xa D + s G () s + TD Kp + Tv 8

29 Lineare Regelkreisglieder PDT Tv X a() t + DvTv X a() t + Xa() t Kp ( T X e T v X a D () t + D T X e() t + Xe()) t () s + D T X a() s + Xa() s v v D D Kp ( T D X e () s + D T X e() s + Xe()) s D D G + D T + D Tv + T + T D D D () s Kp v v 9

30 P G () s Kp 30

31 PT G () s Kp + T 3

32 PT G Kp () s + DT + T 3

33 I G () s K I 33

34 DT Vorlesung 6 G () s T D + Tv 34

35 PDT Vorlesung 6 G () s Kp + TD + Tv 35

36 PDT Vorlesung 6 G + () s Kp D D D + D T D Tv v + T + T v 36

37 Vorteile der Arbeit it der Übertragungsfunktion Beschreibung des ysteverhaltens ist it eine Ter öglich, ob nun rein statisch durch Verstärkung oder durch DGL it gegebener Eingangssignalfunktion Xe(s) kann der Ausgangsgrößenverlauf berechnet werden Xa(s) Xa(t) tabilitätsuntersuchung it verschiedenen Verfahren ist öglich (Hurwitz, Nyquist) Der Frequenzgang kann durch i direkt berechnet werden. Regelkreise können aus der Gesatübertragungsfunktion berechnet X ( ) U ( ) werden. Aus der Vorgabe folgt für den W ( ) X d ( ) Regler! 37

38 38 Beispiel für Frequenzgang von PT-Übertragungsfunktion () T s G + ( ) ( ) ( ) ( ) i T i T i T i T i F + + ( ) T T i T i F + + ( ) ( ) Re T i F + ( ) ( ) I T T i F + )) ( ( I )) ( ( Re ) ( T i F i F i F A + + ) arctan( )) ( Re( )) ( I( arctan ) ( ) ( T i F i F i F α Vorlesung 6

39 Beispiel für Frequenzgang von PT-Übertragungsfunktion G() s + 5 A F( i) + 5 α( ) F( i) arctan( 5) 39

40 D Übung: Übertragungsfunktionen in Blockschaltbild eintragen ϕ W k ϕ chraube w K K W + 3 Hebel U 4 K dt Verstärker Hebel u Ventil Ventil K P P. Federbalg K Pe + K U p Pe + ϑ K 5 T ϑ Ofen Theroeter P Kϑ ϑ U ϑ 40

41 Übung: Lösung Ventil ϕ w chraube Hebel k + K 3 Verstärker K 4 Hebel K u K Pe Ventil K U. Federbalg K P p K5 Ofen + T Theroeter K ϑ ϑ 4