Musterlösung. 8 (unterschiedlich gewichtet, total 62 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik II (5-59-) Prof. Dr. L. Guzzella Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Minuten 8 (unterschiedlich gewichtet, total 6 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben. Falsche Antworten bei den Multiple-Choice Aufgaben geben Punkteabzug. (Detaillierte Angaben sind bei den entsprechenden Aufgaben zu finden.) Erlaubte Hilfsmittel: A4-Blätter (4 Seiten) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Eigene elektronische Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Für die nuerischen Auswertungen erhalten Sie von uns einen Taschenrechner Zur Beachtung: Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe (MIMO-System, RGA: Relative Gain Array) 5 Punkte Betrachten Sie die folgende symmetrische Matrix der Übertragungsfunktionen eines MIMO- Systems a G(s) = e s s + a s + a s + a s + wobei a {,, } a) ( Punkte) Berechnen Sie das RGA für das System, wenn es sich im Gleichgewichtszustand befindet. b) ( Punkte) Wie würden Sie die Paarung der Ein- und Ausgangsgrössen für eine (kanalweise) SISO-Behandlung des Systems in Abhängigkeit von a wählen? c) ( Punkt) Welches Problem erwarten Sie, wenn das RGA nur für den Gleichgewichtszustand berechnet wird?

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 Lösung a) ( Punkte) Das RGA ist durch eine -Matrix mit den folgenden Elementen gegeben, die für die Frequenz ω = (resp. s = ) in Abhängigkeit von a berechnet sind. [RGA] = [RGA] = G G G G G G = a a [RGA] = [RGA] = [RGA] = a a a b) ( Punkte) Für a = ist RGA =. Die Paarung der Ein- und Ausgangsgrössen für eine SISO-Behandlung lauten: u für y und u für y. Für a = ist RGA =. Die Paarung der Ein- und Ausgangsgrössen für eine SISO-Behandlung lauten: u für y und u für y. Für a = ist RGA = In diesem Fall wird keine Paarung der Ein- und Ausgangsgrössen für eine SISO-Behandlung empfohlen. Für die Regelung des Systems muss ein MIMO-Verfahren eingesetzt werden! c) ( Punkt) Für andere Frequenzen s kann die Kreuzkopplung der Ein- und Ausgangsgrössen wichtig werden, so dass eine kanalweise Regelung des Systems nicht mehr möglich ist.

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe (Systemanalyse eines MIMO-Systems) 7 Punkte Durch Input-Output-Messungen (Messung der Übertragungsfunktionen) eines Systems ist das folgende Zustandsraummodell aufgestellt worden: ẋ (t) = 8x (t) + u (t) ẋ (t) = x (t) x 3 (t) + 3u (t) ẋ 3 (t) = x (t) y (t) = x 3 (t) y (t) = x 3 (t). a) ( Punkte) Handelt es sich bei diesem Zustandsraummodell um eine Minimalrealisierung? b) (3 Punkte) Sie haben alle Ihrer Messungen und Berechnungen verloren. Finden Sie die Matrix der Übertragungsfunktionen des Systems. c) ( Punkte) Bestimmen Sie die Pole und Nullstellen des Systems. Lösung a) ( Punkte) Das in der Aufgabe gegebene lineare System kann geschrieben werden als ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t), mit den Systemmatrizen 8 A =, B = 3, C = [ ], D = [ ]. Das Zustandsraummodell ist nur dann eine Minimalrealisierung, falls die Realisierung sowohl vollständig steuerbar als auch vollständig beobachtbar ist. Das System ist vollständig steuerbar, falls die Steuerbarkeitsmatrix R volen Rang hat. 4 4 R = [B, AB, A B] = Die Steuerbarkeitsmatrix R hat vollen Rang: Rank(R) = 3. Das System ist vollstänig beobachtbar, falls die Beobachtbarkeitsmatrix O vollen Rang hat. O = [C T, A T C T, (A T ) C T ] T = Die Beobachtbarkeitsmatrix O hat NICHT den vollen Rang: Rank(O) =. Deshalb ist sie Realisierung nicht eine minimale Realisierung. T.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 b) (3 Punkte) Die Übertragungsmatrix P(s) eines MIMO-Systems wird analog zur Übertragungsfunktion eines SISO-Systems berechnet, P(s) = C (si A) B + D. Für das gegebene System ergibt sich, s 8 P(s) = C (s ) B + D s T s(s ) = C det(si A) 8s s s B + D 8 s s(s ) s(s ) 8s 8 = s(s(s ) ) C s s 3 + D s s(s ) = = s(s + )(s ) s(s + )(s ) = [ ] (s + )(s ) 6. (s + )(s ) [ ] s + 6s s(s ) 4s 3s + D 6s [ ] c) ( Punkte) Die Pole des Systems sind die Nullstellen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nennerpolynome der Minoren der Übertragungsmatrix., (s + )(s ),, 6 (s + )(s ), Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nennerpolynome ist das Polylnom p(s) = (s + )(s ) Deshalb sind die Pole des Systems - und. Die Nullstellen von P(s) sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers der Zähler der Maximal-Minoren von P(s) nach der Normalisierung, so dass das Nennerpolynom jeweils dem Polynom für die Berechnung der Pole des Systems entspricht. Der Maximal-Minor einer quadratischen Matrix ist die Determinante der Mattrix, die in diesem Fall gleich ist. Deshalb hat das System keine Nullstellen.

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 3 (PID Reglerdesign) Punkte Gegeben Sei folgende Regelstrecke P(s) = s ( + s) 3 a) Entwerfen Sie nun einen PID-Regler. Bestimmen Sie die Reglerparameter gemäss der Aström-Hägglund Regeln. Die Aström-Hägglund Paramter können aus der Tabelle herausgelesen werden. Wählen sie den Parametersatz, welcher den robusteren Regler ergeben sollte. Tabelle : Aström-Hägglund Parameter µ =.7 µ =.5 α α α α α α k p /kp T i /T T d /T a Pro memoria: Die Aström-Hägglund Reglerparameter berechnen sich mit x = α e α κ+α κ mit κ = P() k p und x = { k p /k p, T i /T, T d /T, a } wobei k p die kritische Verstärkung und T die kritische Periode ist.

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 b) Die reale Strecke P r weist eine Stellgrössenbeschränkung auf. Ergänzen Sie in Abbildung das komplette Regelsystem (mit dem PID-Regler inklusiv Sollgrössengewichtung aus a)) mit einer geeigneten Gegenmassnahme zum Problem mit der Stellgrössenbeschränkung im Regelbetrieb. Bemerkung: Der Aktuator beinhaltet keine Sensoren. P r (s) u P(s) y Abbildung : Regelstrecke mit Stellgrössenbeschränkung. Lösung 3 a) Der statische Übertragungsfaktor der Strecke ist P() = Zur Bestimmung der kritischen Frequenz ω wird der imaginäre Teil vom Frequenzgang P(jω) gleich Null gesetzt. { } { jω Im {P(jω jω } )} = Im ( + jω ) 3 = Im ( 3ω + j(3ω ω 3 = 7ω 3 5ω =. ) Die kritische Frequenz wird somit 5 ω =.845 rad/s 7 und dementsprechend die kritische Periode T T = π 7 ω = π 7.43 s. 5

8 Seite 8 Sessionspru fung Regelungstechnik II Die kritische Versta rkung kp berechnet sich mit kp = = P (jω ) p ( ω ) + (3ω ω 3 ) 8 = ω Der Parameter κ wird somit κ= 7 = =.875 P () kp 8 Fu r die Berechnung des Vektors x wird der robustere Datensatz mit µ =.7 gewa hlt. x {.7,.4,.3,.7} Die Reglerparameter werden somit kp =.7 kp.34, Ti =.4 T.6 s, Td =.3 T.69 s und a =.7. b) Um ein Aufintegrieren des Reglers bei einer Sa ttigung der Aktuatoren zu verhindern, wird eine Anti-Reset-Windup-Massnahme gema ss Abbildung eingefu hrt. -a ` -b -b -h 6 - kp karw ¾ R? - kp - h Ti -h 6 h ¾ 6 -? h ` 6 Pr (s) ` u - - P (s) - h- kkpp.td - d dt - T 6 i ` ` Abbildung : Regelsystem mit Stellgro ssenbeschra nkung und Anti-Reset-Windup. ` y-

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 Aufgabe 4 (Modellprädiktive Regler) Punkte Gegeben sei das folgende Regelsystem mit einem Modellprädiktiven (model predictive) Regler. r s +.5 s + d y s + e s s + e s Abbildung 3: Modellprädiktives Regelsystem mit perfektem Modell. a) ( Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion i) von der Sollgrösse r zur Ausgangsgrösse y. ii) von der Störgrösse d zur Ausgangsgrösse y. b) ( Punkte) Zeichnen Sie den Regler in der Abbildung 3 neu in der Struktur eines Smith Prädiktors (Smith predictor). c) (3 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des internen Reglers C r des Smith Prädiktors so, dass der Smith Prädiktor und der Regler in Abbildung 3 äquivalent sind. Um was für einen Regler handelt es sich bei C r? d) (3 Punkte) Zeichnen Sie jeweils den Verlauf des Ausgangssignal y des Regelsystems in Abbildung 3 auf einen Einheitssprung der Sollgrösse r und der Störgrösse d. Verwenden Sie dafür die zwei nachfolgenden Abbildungen..5 r- -.5 d Zeit [s] Abbildung 4: Sprungantwort der Sollgrösse r Zeit [s] Abbildung 5: Sprungantwort der Störgrösse d.

10 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Lösung 4 a) ( Punkte) Da die Strecke und das Modell perfekt übereinstimmen, hebt sich der Feeback- Pfad gerade auf. Es muss also nur der Feedforward-Pfad betrachtet werden. Die Übertragungsfunktion von r nach y wird somit T(s) = s +.5 s + s + e s =.5 s + e s Dies ist gerade die komplementäre Empfindlichkeit. Die Übertragungsfunktion von d nach y ist die Sensitivität und lässt sich einfach bestimmen mit S(s) = T(s) =.5 s + e s =.5 s + e s..5 s + b) ( Punkte) Das Regelsystem mit dem Smith Prädiktor ist in Abbildung 6 dargestellt. r d y C r s + e s e s s + Abbildung 6: Smith Prädiktor mit perfektem Modell. c) (3 Punkte) Anhand der beiden Reglerstrukturen, lässt sich folgende Gleichung herleiten Somit C r + C r s+ C r ( = s +.5 s +.5 s + ) = s +.5 s + Dies lässt sich umschreiben zu.5 s C r (.5 s + ) = s +.5 s +. Aufgelöst nach C r C r = s +.5 s. Es handelt sich somit um einen PI-Regler mit k p = und T i = s.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite d) (3 Punkte) Die zwei Sprungantworten lassen sich einfach aus den Beziehungen in Teilaufgabe a) ableiten..5 r- -.5 d Zeit [s] Abbildung 7: Sprungantwort der Sollgrösse r Zeit [s] Abbildung 8: Sprungantwort der Störgrösse d.

12 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 5 (MIMO-Systeme, Singularwerte) 7 Punkte a) (3 Punkte) Gegeben sei das folgende lineare, gekoppelte MIMO-System, bestehend aus den drei Subsystemen P, P und P 3, mit den beiden Eingängen u und u und dem Ausgang y. u t ( ) u t ( ) P s ( ) P s ( ) P s 3( ) + y( t) Die Subsysteme P und P 3 haben folgende Übertragungsfunktionen: P (s) = 7s + 5 P 3 (s) = s + s 9 Das Subsystem P sei gegeben durch die Zustandsraumdarstellung: A = ( 5 ) (, B = ), C = ( 3 ), D = ( ). Bestimmen Sie die Übertragungsfuktion P(s) des gesammten Systems. b) (4 Punkte) Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion P(s): P(s) = ( s+3 s 9 ) () Bestimmen Sie die Singularwerte von P(s) bei der Frequenz ω = 3rad/s.

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 Lösung 5 a) (3 Punkte) Zuerst wird die Übertragungsfunktion des Subsystems P (s) berechnet: P (s) = C (si A ) B + D () ( ) s + P (s) = C B 5 s + D (3) ( ) s P (s) = C det(si A ) B 5 s + + D (4) P (s) = (s + )(s ) 5 ( 3 ) ( ) s B 5 s + + D (5) P (s) = s 9 ( s + 3 3s + 7 ) ( ) + ( ) (6) P (s) = (s + 3)(s 3) ( s + 6 6s + 4 ) (7) P (s) = ( ) s+3 (8) 6s+4 s 9 Die gesammte Übertragungsfunktion setzt sich dann folgendermassen zusammen: P(s) = ( P, (s) P (s) (P, (s) + P 3 (s)) ) (9) Eingesetzt erhält man: P(s) = ( s+3 s 9 ) b) (4 Punkte) Die Singularwerte σ i {M}, i =,...,k einer Matrix M sind die positiven Quadratwurzeln der k grössten Eigenwerte λ i { M T M} der Hermiteschen Matrix M T M: σ i {M} = λ i { M T M} i =,...,k. () Berechnung der Singularwerte an der Stelle s = j ω mit ω = 3 rad/s: ( j M = P(3 j) = ) 3 9 Die Hermitesche Matrix ist dann: + j 9 7 M T M = j 7 8 Das charakteristische Polynom: λ 9 8 λ = λ = 9 8, λ = () Und damit die Singularwerte: σ = 9 λ = 8, σ = λ = (3) ()

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 6 (LQG/LTR) 9 Punkte Betrachten Sie das folgende System: ẋ(t) = x(t) +.5 u(t) y(t) = 4 x(t) Mit Hilfe der LQG/LTR-Methode wurde ein Regler entworfen. Die Pole des geschlossenen Regelsystems sind in einem der vier Diagramme in der Abbildung 9 dargestellt. a) closed loop system poles b) closed loop system poles Im Im 3 Re c) closed loop system poles 3 Re d) closed loop system poles Im Im 3 Re 3 Re Abbildung 9: Polverteilungen für vier verschiedene Regelsysteme. a) (6 Punkte) Bestimmen Sie (Mit der Angabe der detaillierten Rechnung!) diejenige Polverteilung a), b), c), or d) in der Abildung 9, die dem Regelsystem angehört und dessen Regler mit Hilfe der LQG/LTR-Methode mit r = und q = 5 entworfen wurde. b) (3 Punkte) Zeichnen Sie ein detailliertes Signalflussdiagramm des resultierenden Regelsystems und geben Sie die Zahlenwerte der entsprechenden Verstärkungsblöcke an.

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Lösung 6 a) Entwurf des LQG/LTR-Reglers für die folgenden Systemvariablen: a =, b =.5, c = 4, r =, q = 5 (3 Punkte) Benutzen wir die Variablen a,b,c und r in der algebraische Riccati-Gleichung r Φ b b Φ Φ a a Φ c c = dann erhalten wir die folgenden Lösungen für die Verstärkung Φ: Φ 4 + Φ 6 = Φ + 8 Φ 6 4 = (Φ + 4) = (Φ + 4) = 6 5 Φ = 4 ± 6 5 Mit der einzigen positiven Lösung Φ = lautet der Verstärkungsfaktor der Zustandsrückführung k k = r b Φ =.5 ( ) = ( + 5).474. (3 Punkte) Benutzen wir die Variablen a,b,c und q in der algebraische Riccati-Gleichung q Ψ c c Ψ Ψ a a Ψ b b = dann erhalten wir die folgenden Lösungen für die Verstärkung Ψ: 6 Ψ + Ψ 5 4 = Ψ + 6 Ψ = (Ψ ) = (Ψ ) = Ψ = ± 6 = 5 ± 45 6 Mit der einzigen positiven Lösung = 5 ± Ψ =

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II lautet der Verstärkungsfaktor des Beobachters l l = q c Ψ = 5 ( 4) = (5 3 5).854. (3 Punkte) Die Pole des Regelsystems sind die Eigenwerte von ( ) a b k l c a b k l c det {( ) ( )} s a b k = s l c a b k l c = a a b k a c l + b c k l ( a + b k + c l) s + s Setzen wir die Zahlenwerte für a, b, c, k und l ein, so erhalten wir das Polynom. Ordnung s + s, welches die folgenden zwei Nullstellen besitzt: s.34 s.4. Das Diagramm mit der richtigen Polverteilung s.34 und s.4 ist somit c). b) Das detailliertes Signalflussdiagramm des resultierenden Regelsystems: r(t) + + _.854 x(t) s s x(t) -4 y(t) Abbildung : Das detailliertes Signalflussdiagramm des resultierenden Regelsystems.

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 Aufgabe 7 (Kalman Filter) 8 Punkte Betrachten Sie das System ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t), wobei A = ( ) B = ( ) C = ( ). Nehmen Sie an, dass es am Ein- und Ausgang des Systems unkorrellierte weisse Rauschen, n u und n y, mit den Intensitäten R u = ru, r u > und R y = 4 gibt. Entwerfen Sie ein Kalman-Filter gemäss folgenden Schritten: a) (4 Punkte).Betimmen Sie die Lösung P der entsprechenden Riccati-Gleichung. Hinweis: Die Vorzeichen der Elemente der Matrix P sind: ( ) + sign(p) = + b) ( Punkt) Berechnen Sie die Verstärkungsmatrix L des Kalman-Filters. c) ( Punkte) Berechnen Sie die Eigenwerte des Kalmanfilters. d) ( Punkt) Skizzieren Sie den Verlauf der Real-Teile der Eigenwerte des Kalman-Filters aus c)in Ahängigkeit von r u. Verwenden Sie dazu das in der Abbildung zur Verfügung gestellte Koordinatensystem. Realteil der Eigenwerte r u Abbildung : Koordinatensystem für die Darstellung der Real-Teile der Eigenwerte des Kalman- Filters in Abhägigkeit von r u

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Lösung 7 a) (4 Punkte) Die Riccati-Gleichung für die Bestimmung des Kalman-Filters ist A P + P A T P C T wobei ( ) p p P =. p p 3 R y C P + B R u B T =, Durch Einsetzen der Sytemmatrizen, erhalten wir ( r u + p p /4 p ru ) + p p p /4 p 3 ru + p p p /4 p 3 ru p /4 = Aus der Gleichung r u p /4 = ( ). und der Kenntnis des Vorzeichens von p (p < ) resultiert die folgende Lösung: p = r u. Durch Einsetzen von p in die Gleichung r u + p p /4 p = erhalten wir für p die folgenden zwei Lösungen: r u + p p /4 + r u = p 8 p = 4 r u + 6 r u (p 4) = 4 r u + 6 r u + 6 p = 4 ± 4 r u + 6 r u + 6 = 4 ± ( r u + 4) = 4 ± ( r u + 4) Aber da P positiv-semidefinit sein muss, muss für p die positive Lösung p = 4 + ( r u + 4) = 8 + r u ausgewählt werden. Durch Einsetzen von p und p in die letzte Gleichung ergibt r u + p p p /4 p 3 =, woraus dann p 3 resultiert: p 3 = r u + p p p /4 = r u r u + (4 + r u ) r u = (r u + r u ). Somit latet die Lösung zur Matrix-Riccati-Gleichung: ( ) 8 + ru r P = u r u (ru. + r u )

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 b) ( Punkt) Die Verstärkungsmatrix des Kalman-Filters ist dann gegeben durch L = P C T L = R y ( 8 + ru r u ) r u (ru + r u ) ( ) 4 = ( ) 4 + ru c) ( Punkte) Die Eigenwerte des Kalman-Filters können wie folgt berechnet werden: d) ( Punkt) det(s I A + L C) = [( ) ( ) s det + s ( s + det (4 + r ) u) r = u s s(s + (4 + r u)) r u = ( 4 + ru r u s + ( + r u ) s r u = s, = ( + ru ) ± ( + ru ) 4 ru s, = ( + ru ) ± ( ru ) s = ( + ru ) + ( ru ) s = ( + ru ) ( ru ) = r u r u ) ( )] = = ( + ru ) ± ( ru ) = = Re(eigenvalues) r u Abbildung : Skizze der Real-Teile der Eigenwerte des Kalman-Filters in Abhägigkeit von r u

20 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 8 (MULTIPLE-CHOICE MIMO Systeme) 8 Punkte Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet ( Punkt). Falsch beantwortete Fragen geben entsprechend Punkteabzug ( Punkt). Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. a) Ein Regelkreis neigt zum Schwingen und ist weniger robust, wenn die maximale komplementäre Sensivität max T(jω) gross ist. ω Richtig. Falsch. b) Kennt man einen Pol eines MIMO Systems P(s), dann ist dieser immer auch ein Pol einer der SISO Einträge von P(s). Richtig. Falsch. c) Jede Nullstelle eines MIMO Systems P(s) ist auch eine der Nullstelle einer der SISO Einträge von P(s). Richtig. Falsch. d) Ein Regelsystem ist (closed-loop) stabil, falls es die Bedingung für robuste Regelgüte erfüllt. Richtig. Falsch. e) Die RGA [ Matrix ] eines Systems habe für alle Frequenzen ungefähr folgende Struktur: RGA. Das System hat daher eine gute SISO-Regelbarkeit. Richtig. Falsch. f) Der grösste Singularwert der Matrix M = Richtig. Falsch. [ ] beträgt σ 4 max {M} = 4. g) Die Singularwertverläufe eines MIMO-Systems sagen etwas über die Amplitude und die Phase des Systems bei jeder Frequenz aus. Richtig. Falsch. h) Eine Anti-Reset-Windup Massnahme ist nur nötig, falls der Regler integrierendes Verhalten hat. Richtig. Falsch.

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite Lösung 8 a) Richtig. b) Richtig. c) Falsch. d) Falsch. e) Richtig. f) Richtig. g) Falsch. h) Richtig.