Musterlösung. 8 (unterschiedlich gewichtet, total 59 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik II Prof. Dr. L. Guzzella Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: 0 Minuten 8 unterschiedlich gewichtet, total 59 Punkte Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben. Falsche Antworten bei den Multiple-Choice Aufgaben geben Punkteabzug. Detaillierte Angaben sind bei den entsprechenden Aufgaben zu finden. Erlaubte Hilfsmittel: 0 A4-Blätter 40 Seiten Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Eigene elektronische Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Für die nuerischen Auswertungen erhalten Sie von uns einen Taschenrechner Zur Beachtung: Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe Relative Gain Array 5 Punkte Die Teilaufgaben b und c können unabhängig von a gelöst werden. Betrachten Sie eine MIMO-Regelstrecke mit der folgenden Übertragungsmatrix: s + Gs = 3 7 s + s s a Punkte Bestimmen Sie die RGA-Matrix dieser Regelstrecke RGA: Relative Gain Array für den Gleichgewichtszustand steady-state. b Punkte Bestimmen Sie die beste Paarung der Ein- und Ausgangsgrössen für eine dezentrale Regelung kanalweise SISO-Regelung einer Regelstrecke, die im Gleichgewichtszustand die folgende RGA-Matrix besitzt:. 0.8 RGA = Beschreiben Sie den Nachteil einer alternativen Paarng für die Regelung. c Punkt Würden Sie sich für eine MIMO-Regelung oder für eine kanalweise SISO-Regelug der Regelstrecke in b entscheiden? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung a Punkte The relative gain array RGA of a non-singular square matrix G is defined as RGAG = G. G T where. denotes element-by-element multiplication.

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 To find the steady-state RGA, s 0, and so /5 T RGAG0 = G / 0 /5 T 4/5 6/5 7 T = G0. /5 /0 7/ detg /5 3/5 7 = 5 /5 4/5 6/ /5 /0 7/ 7 7/ 0 /5 /5 3/5 7 = 5 8/5 6/5 7/5 6/5 / /5 0 4/ = b Punkte The RGA of a plant is a matrix of ratios, where each ratio is defined as RGAG ij = gain from u i to y j with all other loops open gain from u i to y j with all other loops closed with perfect control. For decentralized control, it is preferential to pair the input u i with output y j, corresponding to RGA ij = on the RGA. This means that the gain from u i to y j is unaffected by the closing of other loops. Therefore, for G0 the best pairings are y u, y u, and y 3 u 3 corresponding to the following bold entries of the RGA RGAG0 = Alternative pairings correspond to negative relative gains or zero relative gains on the RGA. For the latter case it is obvious that there is no interaction between the pairs and therefore another pairing is needed. In the former case, by considering the numerator and denominator of the relative gain ratio, there must be a difference in sign between the gains when other loops are open and when they are closed. This means that if the system is configured with a negative feedback loop when other loops are open, a positive feedback loop could occur when they are closed, leading to an unstable system. c Punkt A SISO control approach is suitable for the system with the appropriate selection of input-output pairings, i.e., y u, y u, and y 3 u 3. The reason for this is that the corresponding elements of the RGA matrix are approximately equal to one with the exception of the last which is not much greater than one. RGA = RGA = RGA 33 = >

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II For the case of element RGA 33, the value of means that the gain for y 3 u 3 will be halved when all other loops are closed. This result would be considered in the design of a suitable SISO controller.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Aufgabe Analyse eines MIMO-Systems 8 Punkte Ein System dritter Ordnug ist ohne Festlegung der Sensoranordung durch die folgenden Systemmatritzen gegeben beachten Sie, dass die C-Matrix fehlt!: 0 3 A = B = 0 D = 0 0 [ ] a Punkt Beurteilen Sie die Stabilität dieses Systems. b 3 Punkte Zwei Sensoranrdnungen sind möglich, die nachfolgend mit den beiden Systemmatritzen C und C bezeichnet werden. C = [ ] C = [ ] Wählen Sie diejenige Sensoranordnug aus, die sich für eine Regelung besser eignet. Begründen Sie Ihre Antwort. c 3 Punkte Bestimmen Sie die Überttragungsmatrix Ps des Systems, das durch die Auswahl Ihrer Sensorandordnung in b resultiert. d Punkt Schreiben Sie die Matlab-Befehle für die Berechnung der Punkte a bis c. Lösung a Punkt Für die Beurteilung der Stabilität des Systems werden die Eigenwerte von A, d.h. die Wurzeln des charakteristischen Polynoms berechnet. s 3 detsi A = det 0 s + 0 = ss + s =! 0 0 s λ, = 0 doppelt, λ 3 = Das System ist instabil, da zwei Pole bei bei Null λ, = 0 sind. b 3 Punkte Die Auswahl der Sensoranordnung wird durch die Beobchtbarkeit des Systems entschieden. Falls das System nicht vollständig beobachtbar ist, dann können nicht alle Zustandsgrössen des Systems beobachtet werden. Das würde eine Limitierung für die Qualität der Regelung zur Folge haben. Das System mit C ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix O vollen Rang hat, Im vorliegenden Fall lautet die Beobachtbarkeitsmatrix, O = [C T, A T C T, A T C T ] T = Offensichtlich hat O nicht vollen Rang, RangO = < 3. T.

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Das System mit C ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix O vollen Rang hat, Im vorliegenden Fall lautet die Beobachtbarkeitsmatrix, O = [C T, A T C T, A T C T ] T = Offensichtlich hat O vollen Rang, RangO = 3. Deshalb wird die Sensorkonfiguration mit C ausgewählt. c 3 Punkte Die Übertragungsmatrix Ps eines MIMO-Systems wird analog zur Übertragungsfunktion eines SISO-Systems berechnet, Ps = C si A B + D. Für das gegebene System ergibt sich, s 3 Ps = C 0 s + 0 B + D 0 s T s + s 0 0 = C detsi A s + 3 s s B + D 3s s + s s + s s + 3 3s = s s + C 0 s D 0 s s + s = = = s s + [ ] s + 4s + 3 s s + D s + s s + 3s [ ] s + s + 3 s + 9 s s + ss + 3s + + 3s s + 3 s + 9 s s s + s 3s + 3 ss +. T [ ] d Punkt Die nachfolgende Tabelle zeigt die Zuordnung der Befehle.. Teilaufgabe a b c Matlab-Befehle eig obsv, rank ss, tf

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 Aufgabe 3 MIMO-Systeme, Singularwerte 6 Punkte Bei dieser Aufgabe sind beide Teilaufgaben unabhängig voneinander lösbar. a 3 Punkte Gegeben sei das abgebildete MIMO-System Ps, bestehend aus den drei Subsystemen P s, P s und P 3 s. u t u t P s y t P s P s 3 y t Das erste Subsystem P s ist gegeben durch folgende Systemmatrizen: A = [ ] [, B = 0 ] [ 0, C = 3 ] [ 0 0, D = 0 ] P s und P 3 s sind gegeben durch folgende Übertragungsfunktionen: P s = 3 s +, P 3s = s+ s s+3s+ Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion Ps des gesammten Systems. b 3 Punkte Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion: Ps = s+4 s s+s+ Bestimmen Sie die Singularwerte der Übertragungsfunktion Ps bei der Frequenz ω = rad/s.

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Lösung 3 a 3 Punkte Zuerst wird die Übertragungsfunktion des Subsystems P s berechnet: P s = C si A B + D s + 0 P s = C B 0 s D P s = s+ 0 B D 3 s+3 P s = s D s+ s s+ s+ 0 0 P s = P s = s+ s+ s+3 s+ s s+s+3 4 s+ s s+s+3 Die gesammte Übertragungsfunktion setzt sich folgendermassen zusammen: P, s P, s Ps = 7 P, s P, 3 s P, s P, 3 s + P s P, 3 s Eingesetzt erhält man: Ps = s+ s+3 s+ 4 s+ 4s s+ s+3 b 3 Punkte Die Übertragungsfunktions Ps hat an der Stelle ω = rad/s folgenden Wert: P j = j 5 3 j Die Singularwerte einer Matrix P berechnen sich zu σ i {P } = λ i { P T P }. Berechnen der Hessematrix H = P T P: H = P T jp j = +j 5 3+j 0 j 5 3 j 0 = 3 0 Der Eigenwert einer skalaren Grösse ist gleich dem Wert selber: 0 deth λi = 0 λ 3 0 = 0 Der Eigenwert ist also: λ = 3 0 Für den Singularwert erhält man schliesslich: σ{p j} = 3 λ = 0 =

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 Aufgabe 4 MIMO-Systeme, Pole und Nullstellen 6 Punkte Gegeben sei folgende MIMO-Übertragungsmatrix: s s + s + s + 3 Ps = s + s +. a Punkte Bestimmen Sie die Pole des MIMO-Systems und deren Vielfachheit. b Punkte Bestimmen Sie die Nullstellen des MIMO-Systems und deren Vielfachheit. c Punkt Was ist die minimale Systemordnung dieses Systems? d Punkt Wieviele Singularwerte hat das System bei jeder Frequenz? Lösung 4 a Punkte Die Pole eines MIMO-Systems sind die Nullstellen des kleinsten gemeinsamen Nenners aller Minoren von Ps. Minoren sind die Determinanten aller möglichen Submatrizen einer Matrix. In diesem Beispiel also: s s +, s + s + 3, s +, s +, s s + s + s + s + 3 s + = s + 4 s + s + 3 Der kleinste gemeinsame Nenner ist also: s + s + s + 3 und hat die Nullstellen -, - und -3, wobei - eine -fache Nullstelle ist. Die Pole des MIMO-Systems Ps sind also: -, -, -, -3. b Punkte Die Nullstellen eines MIMO-Systems Ps sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers der Zählerpolynome der maximalen Minoren, nachdem diese normiert wurden, damit sie das Pole-Polynom als Nenner haben. Im Falle einer quadratischen Matrix gibt es nur einen maximalen Minor, die Determinante der Matrix Ps: 3 s + 4 detps = s + s Sie muss noch mit s+ erweitert werden, damit sie das Pole-Polynom als Nenner hat: s + s + 4 s + s + s Die Nullstellen des Systems sind also die Nullstellen des Polynoms s+ s+4. Die drei Nullstellen des Systems sind: -4, -. c Punkt Da das System 4 Pole hat, ist die minimale Systemordung 4. Beachten Sie, dass sich Nullstellen und Pole im MIMO Fall nur kürzen lassen, falls sie auf dem gleichen Input-Output Pfad wirken. Dies ist bei diesem System nicht der Fall, deshalb hat man einen Pol und eine Nullstelle bei -. Pole und Nullstellen, die sich im MIMO Fall kürzen lassen fallen mit der bei den Teilaufgaben a und b verwendeten Methode raus.

10 Seite 0 Sessionsprüfung Regelungstechnik II d Punkt Die Anzahl der Singularwerte eines Systems mit q Eingängen und p Ausgängen ist: minp, q, also die kleinere der beiden Dimensionen. Hier ist p = q =, also hat das System für jede Frequenz nicht verschwindende Singularwerte.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite Aufgabe 5 LQ-Regulator 6 Punkte Gegeben ist eine Strecke durch ẋ = 3x ẋ = 3x x + u y = 4x x. a 3 Punkte Lösen Sie das LQ-Regulator Problem für die gegebene Strecke für folgendes Gütekriterium: J = 0 7x + 3x + 4 u dt. Gesucht ist die stabilisierende Reglerverstärkungsmatrix K. b Punkte Geben Sie die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises mit obiger Strecke und dem LQ-Regulator K an. c Punkt Wie ändert sich die Bandbreite des Regelsystems qualitativ, wenn für die Auslegung des LQ-Regulators statt dem Gütekriterium J das neue Gütekriterium J verwendet wird? J = 0 70x + 30x u dt Begründen Sie Ihre Antwort. Hinweis: Diese Aufgabe kann ohne explizites Berechnen der Bandbreite gelöst werden. Lösung 5 a 3 Punkte Die stabilisierende Reglerverstärkungsmatrix K für das LQ-Regulatorproblem ist: K = R B T Φ, wobei Φ = Φ T Φ Φ = die Lösung der algebraischen Ricatti-Gleichung Φ Φ 3 ΦBR B T Φ ΦA A T Φ Q = 0 ist. Die Gewichtungsmatrizen aus dem Gütekriterium J lauten: 7 0 Q = R = Ausgeschrieben lautet sie für vorliegendes Problem: Φ Φ 0 4 Φ Φ 3 Φ 0 Φ Φ Φ Φ Φ 3 Φ Φ Φ Φ = 3 Φ Φ

12 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II Es resultieren vier Gleichungen: Φ 6Φ 7 = 0 6 Φ Φ 3 3Φ + Φ 3Φ 3 = 0 7 Φ Φ 3 3Φ 3 3Φ + Φ = 0 8 Φ 3 + 4Φ 3 6Φ 3 = 0 9 Aus 6 folgt Φ = 3 ±4. Aus 9 folgt Φ 3 = ± 6Φ + 7. Für Φ kommt folglich nur die Lösung Φ = 7 in Frage, das für die zweite Lösung Φ = die Diskriminante von Φ 3 negativ würde. Da die Matrix Φ positiv definit sein muss, gilt Φ 3 > 0. Es folgt: Φ = 7 Φ 3 = 5 Aus 7, welche identisch zu 8 ist, ergibt sich Φ = Φ Φ 3 + Φ 3Φ 3 3 = Für die Reglerverstärkungsmatrix folgt also K = = b Punkte Die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises folgen aus: detλi A BK = 0 λ 3 det = 0 4 λ + 7 λ + 7λ + = 0 λ = 3, λ = 4. c Punkt Das neue Gütekriterium J führt zu der gleichen Reglerverstärkungsmatrix K wie das ursprüngliche Gütekriterium J, da J = 0 J. Folglich ändert sich die Bandbreite nicht.

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 Aufgabe 6 Beobachter/Vorsteuerung 6 Punkte Für eine Strecke, gegeben durch ihre Zustandsraumdarstellung ẋ = x ẋ = 0.5x + u y = x + x, mit zugehöriger Übertragungsfunktion Ps = s + ss +, wurde ein Zustandregler ausgelegt. Die gefundene stabilisierende Reglerverstärkungsmatrix K lautet K =. a Punkte Da die Zustandsvariablen nicht direkt gemessen werden können, muss ein Beobachter ausgelegt werden. Der Kunde spezifiziert, dass die Eigenwerte der Dynamik des Beobachtungsfehlers bei λ =, und λ = liegen. Geben Sie die Beobachterverstärkungsmatrix L an. b Punkte Berechnen Sie die Durchtrittsfrequenz des vorliegenden Regelsystems. c Punkte Das Regelsystem wurde mit einer Vorsteuerung gemäss Abbildung erweitert. Leider wurde festgestellt, dass die Dynamik des Beobachtungsfehlers durch das Referenzsignal rt beeinflusst wird. i Erweitern Sie Abbildung mit einem zusätzlichen Pfad und einer Verstärkungsmatrix, so dass das Problem gelöst wird. ii Geben Sie die Werte der neu eingeführten Verstärkungsmatrix an. r + e L ˆx u -K B x y C + + A-BK-LC A Abbildung : Blockschaltbild mit unvollständiger Vorsteuerung.

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Lösung 6 a Die Dynamik des Beobachtungsfehlers x = x ˆx ist gegeben durch: 0 l ẋ = A L C x = 0 l l x = l l l x. l Es gilt also die Matrix L = zu finden, so dass die Eigenwerte der Matrix A LC bei λ = und λ = liegen. detλi A LC = λ + l + l l λ + + l = λ + + l + l λ + = λ + l l + l l + λ + l + λ + λ! = 0 Einsetzen der Zahlenwerte ergibt die beiden Gleichungen: l + = l l + 3 = 0. Aus 0 folgt: l =. Aus folgt damit: l = 3 3 l = 3. Die gesuchte Beobachterverstärkungsmatrix lautet also: L = 3. b Die Bedingung für die Durchtrittsfrequenz lautet: Ljω c = Pjω c Cjω c! =. Die Übertragungsfunktion Ps ist gegeben, jene des Reglers muss zuerst berechnet werden: Cs = K si A BK LC L. Die Matrix A BK LC ist: 0 A BK LC = 0 0 =

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Die Inverse von si A BK LC wird: si A BK LC = Es folgt für Cs: s+ 0 5 s+4s+ Cs = K si A BK LC L = = Damit wird Ls zu: Ls = = s+ 0 5 s+4s+ s + s + 4s +. s + ss + 4 ss + 4. s+4 s + s + 4s + Die Durchtrittsfrequenz folgt also aus:! Ljω c = 4 ωc + 4ω c j =! 3 s+4. ω 4 c + 6ω c 6 = 0 4 = ω 4 c + 6ω c ωc = 6 ± Die einzige positive, reelle Lösung ist: ω c = = 0.97 rad/s. = 8 ± 0. c i Der fehlende Pfad ist in Abbildung eingezeichnet. G r + e L ˆx u -K B x y C + + A-BK-LC A Abbildung : Blockschaltbild mit Vorsteuerung. ii Die statische Vorsteuerung im Skript mit Γ bezeichnet beträgt gemäss Abbildung Γ =. Die Matrix G, die den geschätzten Zustand unabhängig von r macht, folgt aus: G = L + B Γ = = 5.

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 7 Reglerauslegung Punkte Bemerkung: Die Teilaufgaben a und b sind unabhängig voneinander lösbar. Gegeben Sei die Regelstrecke Ps mit Ps = e s. Sie möchten einen Regler entwerfen, so dass das folgende Übertragungsverhalten des Regelsystems resultiert Ts = e s. a i Punkt Wie lautet die Übertragungsfunktion des Reglers? ii iii iv PunktUm was für einen Regler handelt es sich? Punkte Zeichnen Sie das detaillierte Signalflussbild des kompletten Regelsystem und bestimmen Sie alle darin theoretisch auftretenden Elemente. Punkt Berechnen Sie den entsprechenden Regler für das System ohne Totzeit. v 3 Punkte Wie beurteilen Sie die beiden Regelsysteme mit und ohne Totzeit im Bezug auf Folgeverhalten, Störungsunterdrückung und Verhalten bei Messrauschen? Begründen Sie ihre Antworten! b Dieselbe Regelstrecke Ps = e s wird nun mit dem folgenden PI-Regler Cs = 0. + s geregelt. Die Strecke weise zudem die folgende Stellgrössenbeschränkung auf 0. if ut 0. u b t = ut if ut < if ut 0. i Punkte Die Sollgrösse r aus dem folgenden Diagram wird nun ins Regelsystem eingespiesen. Zeichnen Sie die daraus resultierenden Stellgrössen u, u b und die Ausgangsgrösse y ins selbe Diagram und beschriften Sie die entscheidenden Stellen mit den entsprechenden Zahlenwerten. ii Punkte Welche Problematik tritt auf und wie kann diese behoben werden? Zeichnen Sie das komplette Regelsystem mit der entsprechenden Gegenmassnahme.

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 r Zeit [s] Lösung 7 a i Die Übertragungsfunktion des Reglers lässt sich mit Hilfe der Gleichung Cs = Ts Ps Ts bestimmen. Somit wird Cs = e s e s e s = e s. ii iii Es handelt sich um einen Smith Prädiktor. Die Übertragungsfunktion des gesamten Reglers mit dem internen Regler C r wird Cs = C r + C r e s = e s, Diese Gleichung kann nur erfüllt werden wenn der interne Regler eine unendliche Verstärkung hat C r =. Das Regelsystem sieht dann folgendermassen aus

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II r d y e s n e s Abbildung 3: Regelsystem mit Smith Prädiktor iv Der entsprechende Regler für das System ohne Totzeit lautet C = =. v Das Übertragungsverhalten des Messrauschens ist für das System mit Totzeit Y s = Ts = e s Ns und für das System ohne Totzeit Y s = Ts =. Ns Beide Regelsysteme weisen somit keine Rauschunterdrückung auf, da für beide System gilt Tjω =. Das Übertragungsverhalten von Störungen ist für das System mit Totzeit Y s Ds = Ts = e s. Der Betrag von Ss wird Sjω = cosω + sinω. und somit resultiert für viele Frequenzen entweder fast keine Dämpfung der Störungen oder sogar eine Verstärkung. Das System ohne Totzeit weist wegen Y s Ds = Ts = 0 eine perfekte Störungsunterdrückung auf. Das Folgeverhalten ist sowohl beim System mit Totzeit wegen Ts = e s als auch beim System ohne Totzeit wegen Ts = perfekt. b i Die Signalverläufe sind in der folgenden Abbildung ersichtlich.

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite r u u b y Zeit [s] Abbildung 4: Signalverlauf mit Integrator Windup. ii Die Stellgrössenbeschränkung kann zu einen Windup des Integrators führen. Dieses Problem kann mit einer Anti-Reset Windup Schaltung behoben werde. k ARW - r u u b e s y 0.

20 Seite 0 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Aufgabe 8 Reglerdesign, Parameterstudie 0 Punkte Bestimmen Sie in den folgenden Teilaufgaben, wie sich die Parameter jeweils verändern =, > oder < einfügen an den mit... markierten Stellen. Pro Parameter gibt es Punkt, bei falschen Antworten wird jeweils ein Punkt von der Gesamtpunktezahl der Aufgabe abgezogen. Die gesamte Aufgabe gibt in keinem Fall weniger als 0 Punkte. Geben Sie jeweils nur eine mögliche Lösung an! Die Antworten müssen nicht begründet werden. a 3 Punkte Die Strecke Ps wird mit dem PID Regler C s = k p + T + T i s d s geregelt. Wenn die gleiche Strecke mit dem Regler C s = k p + T + T i s d s geregelt wird, hat das Regelsystem eine höhere Phasenreserve aber die gleiche Durchtrittsfrequenz. Es gilt somit: k p... k p T i... T i T d... T d b Punkt Das folgende Diagramm zeigt die Sprungantworten eines Regelsystems mit einem prädiktiven PI Regler mit einer Totzeit von s. Für die Sprungantwort y wurde der interne Regler C r s = k p + T i s und für Sprungantwort y der interne Regler C r s = k p + T i s verwendet..5 r y y Das k p wurde konstant gehalten. Es gilt somit: T i... T i

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite c 3 Punkte Folgendes Nyquist Diagramm zeigt die Frequenzgänge der Regelstrecke Ps, sowie der zugehörigen offenen Regelkreise L s mit dem PID Regler C s = k p + T + T i s d s und L s mit dem Regler C s = k p + T + T i s d s. Die Punkte Pjω c und L jω c = L jω c sind eingekreist. 0.5 L jω L jω Pjω 0 Im -0.5 ω c Re Es gilt somit: k p... k p T i... T i T d... T d Tipp: Urteilen Sie anhand der geschlossenen Gleichungen für die Spezifikation des Durchtrittspunktes closed-form cross-over specification.

22 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik II d 3 Punkte Gegeben Seien die Regelstrecken P s = und P s+ 3 s =. Für.s+ 3 beide Regelstrecken wird je ein PID Regler C s = k p + T + T i s d s respektive C s = k p + T + T i s d s mit der Aström-Hägglund Methode nach der robusteren Variante µ = 0.7 ausgelegt. Es gilt somit: k p... k p T i... T i T d... T d Pro memoria: Tabelle : Aström-Hägglund Parameter µ = 0.7 µ = 0.5 α 0 α α α 0 α α k p /kp T i /T T d /T a Die Aström-Hägglund Reglerparameter berechnen sich mit x = α 0 e α κ+α κ mit κ = P0 k p und x = { k p /k p, T i /T, T d /T, a } wobei k p die kritische Verstärkung und T die kritische Periode ist. Lösung 8 a 3 Punkte Es sind alle jene Lösungen möglich, die bei der Durchtrittsfrequenz den Betrag der Reglers nicht verändern und einen Phasengewinn erzielen. Die Lösung muss also folgende zwei Gleichung erfüllen k p + T d ω c = k p T i ω c + T d ω c T i ω c T d ω c T i ω c < T d ω c T i ω c Die Lösung muss also mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllen: T i > T i und k p < k p T d > T d und k p < k p b Punkt Das System mit dem Regler C r ist gerade grenzstabil, der Regler C r ist hingegen asymptotisch stabil. Das bedeutet das beim Regler C r der I-Teil reduziert wurde um den Frequenzgang vom Nyquistpunkt wegzudrehen. Es gilt somit: T i < T i.

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 c 3 Punkte Der einzige Unterschied zwischen den beiden Regelkreisen ist der Durchtrittswinkel Ψ. Es gilt ψ > ψ. Betrachtet man folgende Gleichungen aus dem Kapitel.4 im Buch k p = cos ϕ ϕ P r P T d = T i [ tan ψ ϕ P r P tan ϕ ϕ P r P ω c r P = [ T d ωc ] tan ϕ ϕ P ω c ϕ P tan ϕ ϕ P r P ] ϕ P kommt in der Gleichung für k p der Eintrittswinkel ψ nicht vor, daher gilt: k p = k p Für den Term tan ψ ϕ P in der Gleichung für T d gilt aufgrund des Nyquist Diagramms: tanψ ϕ P < tan ψ ϕ P < 0. r Für den Term P rp ϕ P tan ϕ ϕ P in der Gleichung für T d gilt wegen r p r p < 0, ϕ P < 0 und tanϕ ϕ P < 0: r P ϕ P tan ϕ ϕ P < 0 r P und somit gilt T d > T d. In Gleichung für T i gilt für den Term tan ϕ ϕ P ω c < 0 somit gilt T i < T i. d 3 Punkte Eine reine Veränderung der Zeitkonstante verändert die Form der Nyquistkurve nicht daher gilt für die kritische Verstärkung k p und für κ k p, = k p, κ = κ. und somit für den Vektor x elementweise x = x. Für die kritische Periode gilt aufgrund der Veränderung der Zeitkonstante Somit gilt T < T. k p = k p + T i < T i T d < T d.