Musterlösung. 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 8 (unterschiedlich gewichtet, total 67 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Prof. L. Guzzella Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 8 (unterschiedlich gewichtet, total 67 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Alle Lösungen, ausser die Antworten bei Multiple-Choice Aufgaben, sind zu begründen. Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe (Modellieren, Linearisieren) Punkte Lenzi (Elbert) Ein leerer Tank mit Masse m steht auf einer linearen Feder mit Federsteifigkeit k. Der Tank befindet sich bei y = in Ruhelage und kann sich nur vertikal bewegen. Die Feder ist auch so definiert, dass es für die Federkraft gilt: F feder (y ) =. Eine Pumpe fördert automatisch mit einem variablen Volumenstrom V in (t) = V max C y(t) Wasser (Dichte ρ) in den Tank. Die Pumpen-Elektronik variiert nämlich den Volumenstrom linear in Funktion der Tankposition y(t), die durch einen Sensors gemessen wird. Der Schlauch ist flexibel mit dem Tank verbunden und dessen Gewicht ist bereits bei m berücksichtigt. Mit einem am Boden des Tankes angebrachten Auslassventil kann der ausfliessende Volumenstrom beliebig eingestellt werden und gilt als Input u(t) = V out (t) des Systems. g y y(t) V in P ump V out k Sensor Abbildung : Der Wassertank beim Füllen a) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Differentialgleichungen, welche die vertikale Bewegung des Tankes beschreiben. Benutzen Sie als Zustände z = y(t), z 2 = ẏ(t) und z 3 = m tank (t). Input und Output des Systems sind dementsprechend u(t) = V out (t) und w(t) = y(t). Geben Sie die Gleichungen in der Standardform an, d.h. als ein System von nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung ż(t) = f(z(t), u(t)), w(t) = q(z(t), u(t)), z(t) R 3, u(t), w(t) R b) (2 Punkte) Der Tank soll in einem Abstand y e im Gleichgewicht gehalten werden, so dass die gesamte Masse auf einen konstanten Wert m e bleibt. Wie gross müssen Sie das Eingangssignal u wählen, damit dies erreicht wird? Welche Werte z e, z 2e und z 3e haben in diesem Gleichgewicht die Zustandsgrössen z, z 2 und z 3? Wie gross ist die Ausgangsgrösse im Gleichgewicht w e? c) (4 Punkte) Linearisieren Sie die Systemgleichungen um diesen Gleichgewichtspunkt (auf eine Normierung wird verzichtet). Stellen Sie die Systemgleichungen in der Standardform dar (Zustandsraumdarstellung mit den Matrizen {A, b, c, d}).

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Lösung a) Die Differentialgleichung für die erste Gleichung lautet: ż = ẏ(t) = z 2 Für die Zweite wird der Impulserhaltungssatz gebraucht: m tank (t)ÿ(t) = m tank (t) g k y(t) ÿ(t) = g k y(t) m tank (t) ÿ(t) = z 2 = g k z z 3 Die Dritte wird aus dem Massenerhaltungssatz hergeleitet: m tank (t) = m + V in (t) ρ V out (t) ρ ṁ tank = + V in ρ V out ρ ṁ tank = ż 3 = ρ (v max C z (t) u(t)) Zusammengefasst: ż (t) ż(t) = ż 2 (t) ż 3 (t) = z 2 (t) g k z (t) z 3 (t) ρ (v max C z (t) u(t)), w(t) = z (t) () b) Um das Wasserniveau konstant zu halten müssen z 3 = m tank = m e und ż 3 (t) = ṁ tank =. und aus: wird die Bedingung für y e berechnet: g k y e m e = Das nötige Input u e hat also den Wert: p e = g m e k u e = v max C y e = v max C g m e k Die drei Zustände und der Ausgang erreichen diese Gleichgewichtswerte: z e z 2e z 3e = g m e k m e, w e = p e = g m e k

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I c) Die Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} des linearen Systems erhalten wir mit Hilfe der Jacobi-Matrizen A = f z f 2 f z 2 f 2 f z 3 f 2 z f 3 z 2 f 3 z 3 f 3 z z 2 z 3 [ q c = z q z 2 z=ze,u=ue, b = f u f 2 u f 3 u z=ze,u=ue ] q, d = q z 3 z=ze,u=ue u z=ue,v=ue Aus der Gleichung () können die Funktionen f, f 2, f 3 und q wie folgt entnommen werden: f (t) = z 2 (t) f 2 (t) = g k z (t) z 3 (t) f 3 (t) = ρ (v max C z (t) u(t)) q(t) = z (t) Damit erhalten wir für die Systemmatrizen des linearisierten Systems: A = k z 3e ρ C b = ρ c = [ ] d = k z e z 2 3e

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Aufgabe 2 (Frequenzbereich, Zeitbereich) 8 Punkte Elbert (Lenzi) Gegeben sind 4 Übertragungsfunktionen offener Regelkreise (L (s), L 2 (s), L 3 (s), L 4 (s)), die Nyquistdiagramme dieser offenen Regelkreise (Diagramme A, B, C und D), sowie die Sprungantworten der daraus resultierenden geschlossenen Regelkreise (Sprungantworten bis 4). Ordnen Sie jeder Übertragungsfunktion das entsprechende Nyquistdiagramm des offenen Regelkreises, sowie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises zu. Verwenden Sie für die Lösung die vorbereitete Tabelle. Eine Begründung der Antworten ist nicht notwendig. Punktevergabe: Pro richtige Zuordnung: + Punkt Pro falsche Zuordnung: Punkt Minimalpunktzahl der Aufgabe: Punkte Übertragungsfunktion Tabelle für Lösung L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = s+ ( e 3s e 3s +.5 s +.5s) s s+ s Nyquistdiagramm (offener Regelkreis) Sprungantwort (geschlossener Regelkreis) Nyquistdiagramm A Nyquistdiagramm B.5.5 Im ω Im ω Re Re

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Nyquistdiagramm C Nyquistdiagramm D.5.5 Im ω = Im ω = Re Re Sprungantwort Sprungantwort Amplitude [-].5 Amplitude [-] Time [s] 5 5 Time [s] Sprungantwort 3 Sprungantwort Amplitude [-].5 Amplitude [-] Time [s] 5 5 Time [s]

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Lösung 2 Übertragungfunktion Paare L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = s+ e 3s e 3s ( +.5 s +.5s) s s+ s Nyquistdiagramm C D A B (offener Regelkreis) Sprungantwort (geschlossener Regelkreis) Erklärungen: System Es handelt sich um ein Tiefpass erster Ordnung in Serie mit einer Totzeit. Es gilt lim ω (L (jω) =, das heisst die Kreisverstärkung konvergiert für hohe Frequenzen gegen null. Dazu passt nur Nyquistdiagramm C. Betrachtet man zusätzlich lim ω (T (jω) = 2 so kommt man auf Sprungantwort 3. System 2 Es handelt sich um eine reine Totzeit. Die Verstärkung ist für alle Frequenzen gleich L 2 (jω), wobei die Phase mit steigender Frequenz immer weiter abnimmt. Daher passt nur Nyquistdiagramm D. Bildet man den geschlossenen Regelkreis, so wird der Sprung nach ablauf der Totzeit am Ausgang ausgegeben. Allerdings wird durch die Subtraktion des Ausgangssignals am Eingang ein weiterer Sprung in negative Richtung verursacht. Dieses Verhalten führt zu einem periodischen Signal mit einer Periode von der doppelten Totzeit. Es passt nur Sprungantwort 2. System 3 Es handelt sich um einen PID-Regler in Serie mit einem Integrator. Der D-Anteil wird durch den zusätzlichen Integrator kompensiert, daraus ergibt sich ein direct-feedthrough-verhalten mit lim ω (L 3 (jω) = 2. Das Nyquistdiagramm endet nicht im Ursprung, daher passt nur Nyquistdiagramm A. Auf einen Sprung im Eingangsignal wird der geschlossene Regelkreis instantan reagieren, daher passt nur Sprungantwort. System 4 Es handelt sich um ein PT- Element in Serie mit einem Integrator. Betrachtet man den offenen Regelkreis, so ergibt sich bei niedrigen Frequenzen lim ω (L 4 (jω) = und bei hohen Frequenzen lim ω (L 4 (jω) =. Daher passt nur Nyquistdiagramm B. Für den geschlossenen Regelkreis gilt lim ω (T 4 (jω) = und lim ω (T 4 (jω) =. Somit passt nur Sprungantwort 4.

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 3 (Reglerauslegung) 8 Punkte Moser (Zsiga) Sie müssen einen Regler für eine Strecke P (s) auslegen. Ihre Kollegin hat durch Messungen bereits den Amplituden- und Phasengang der Strecke P (s) bestimmt und in einem Bode-Plot dargestellt (Abbildung 2). ( ) Der gesuchte Regler soll ein PI-Regler mit der Struktur C(s) = k p + T i s sein. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar. Abbildung 2: Amplituden- und Phasengang der Strecke P (s). a) (2 Punkte) Sie wissen noch nicht genau welche Spezifikationen an des Regelsystem zu stellen sind und legen daher zuerst einen PI-Regler mit der Methode von Ziegler/Nichols (ZN) aus. Bestimmen Sie die zugehörigen Parameter k p,zn und T i,zn. b) (5 Punkte) Mit Ihrer Kollegin haben Sie nun folgende Spezifikationen gefunden, welche das Regelsystem erfüllen muss: Phasenreserve ϕ = 6 Durchtrittsfrequenz ω c = 2 rad /s Bestimmen Sie die Parameter k p und T i des PI-Reglers, sodass das Regelsystem die geforderten Spezifikationen erfüllt. c) ( Punkt) Ihre Kollegin hat herausgefunden, dass sich die Strecke durch eine geschicktere Positionierung des Sensors als ein Tiefpass erster Ordnung ausreichend beschreiben l ässt. Beurteilen und begründen Sie, ob es immer noch möglich ist einen Regler mit der Methode nach Ziegler/Nichols auszulegen.

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Lösung 3 a) Um die Reglerparameter nach der Methode von Ziegler/Nichols zu bestimmen muss aus dem Bode-Diagramm zuerst die kritische Verstärkung k p und die kritische Frequenz ω der Strecke P (s) bestimmt werden. Die kritische Frequenz ist diejenige Frequenz bei der die Phase der Strecke den Wert 8 annimmt. Aus dem Phasenverlauf liest man ab ω = 2 rad/s. Damit folgt für die kritische Periode T = 2 π ω = 2 π 2 = π. Die kritische Verstärkung bei ω = 2 rad/s beträgt k p = P (2 j) = = 3 db = db Damit folgt für die Reglerparameter nach Ziegler/Nichols: k p,zn =.45 k p = = 4.2 T i,zn =.85 T =.85 π =.267. b) Mit der Bedingung an die Phasenreserve müssen bei der gegebenen Durchtrittsfrequenz ω c = 2 rad /s folgende zwei Gleichungen erfüllt sein: L(jω c ) = (P (jω c ) C(jω c )) = P (jω c ) + C(jω c ) = 2 (2) L(jω c ) = P (jω c ) C(jω c ) = P (jω c ) C(jω c ) = (3) Die Strecke P (s) hat bei der verlangten Durchtrittsfrequenz ω c = 2 rad /s eine Phase von P (jω c ) = 9. Aufgrund der geforderten Phasenreserve von 6 muss L(jω c ) eine Phase von 2 aufweisen. Damit muss der Regler C(s) folgende Bedingung erfüllen [ ( )] C(jω c ) = k p + j ω c T i [ ( )] = k p j ω c T i ( ) = atan ω c T i = 3 (4) Aus Gleichung (4) folgt T i = 3 2 =.866 Gemäss Gleichung (3) umgerechnet in db muss gelten P (jω c ) db + C(jω c ) db = db (5) Bei der gewünschten Durchtrittsfrequenz ω c = 2 rad /s hat die Strecke eine Verstärkung von P (jω c ) db = db. Es muss also gelten C(jω c ) db = db bzw. C(jω c ) = 3.6. Weiter gilt ( ) 2 C(jω c ) = k p 2 + = k p ω c T i Damit folgt k p = = (6)

10 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I c) Nein, die Methode nach Ziegler/Nichols lässt sich nicht anwenden. Ein Tiefpass erster Ordnung kann mit einem reinen P-Regler nicht grenzstabil gemacht werden. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass der Tiefpass erster Ordnung für keine Frequenz eine Phase von 8 erreicht. Eine detailliertere Antwort findet sich im Buch Analysis and Synthesis of Single-Input Single-Output Control Systems, 3rd edition, Lino Guzzella, QuickCheck.2.3.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Aufgabe 4 (Laplace-Transformation) Punkte Zsiga (Moser) Die folgenden beiden Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden. a) Eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion Σ(s) sei gegeben: Σ(s) = s + Die Strecke wird mit dem Eingangssignal u(t) angeregt: u(t) = 2 sin(2t) h(t) i) (3 Punkte) Berechnen Sie das resultierende Ausgangssignal y(t) im Zeitbereich. ii) ( Punkt) Wie gross ist das Verhältnis der Amplitude der Systemantwort im eingeschwungenen Zustand zur Amplitude der Anregung? Bestimmen sie dieses Verhältnis auf zwei verschiedene Wege. Hinweis: a sin(x) + b cos(x) = R cos(x α), R = a 2 + b 2 b) Ein lineares zeitinvariantes SISO-System wird mit dem Signal u(t) = sin(t) angeregt. Die Systemantwort im Zeitbereich ist gegeben durch: y(t) = h(t) ( a t e 2t + b e 2t + c e.8t + d cos(t) + e sin(t) ) i) ( Punkt) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion Σ(s) des Systems (Sie müssen den Ausdruck für Σ(s) nicht soweit wie möglich vereinfachen). ii) ( Punkt) Wie lautet der statische Verstärkungsfaktor des Systems? Die Koeffizienten sind: iii) iv) a =, b = 58, c = , d = 5 53, e = 7 53 ( Punkt) Wo liegen die Pole des Systems? (2 Punkte) Ihr Kollege bittet Sie, die langsamste Dynamik des Systems zu vernachlässigen und das System als System 2. Ordnung zu approximieren. Berechnen Sie das vereinfachte System Σ approx (s) und die Anstiegszeit t 9 des vereinfachten Systems (Hinweis: Das System hat keine endlichen Nullstellen). v) ( Punkt) Ist die Approximation, die Ihr Kollege vorschlägt (das Vernachlässigen der langsamsten Dynamik) sinnvoll für das System Σ(s)? Begründen sie ihre Antwort.

12 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 4 a) i) Die Laplace-Transformation des Eingangssignals kann mit der Tabelle bestimmt werden: U(s) = 4 s Für die Systemantwort Y (s) gilt: Y (s) = Σ(s) U(s) = s + 4 s Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung kann dieser Ausdruck in einfach transformierbare Terme zerlegt werden. Der Ansatz Y (s) = A s Bs s C s + führt zu folgendem Koeffizientenvergleich: A(s + ) + Bs(s + ) + C(s 2 + 4) 4 s 2 : B + C = s : A + B = s : A + 4C = 4 Mit den sich daraus ergebenden Koeffizienten A = B = C =.8 kann die Systemantwort Y (s) wie folgt umgeschrieben werden: Y (s) =.4 2 s s s s + Die Rücktransformation dieser Terme mittels der Tablelle ergibt: y(t) = h(t) (.4 sin(2t).8 cos(2t) +.8 e t) ii) Erster Weg: Im eingeschwungenen Zustand (t ) geht der Ausdruck e t gegen Null. Unter Verwendung des Hinweises ergibt sich für die Amplitude der Systemantwort: R = =.8944 Da die Amplitude der Anregung R 2 = 2 ist, ergibt sich für das Verhältnis: k = R R 2 =.4472 Zweiter Weg: Durch Einsetzen der Frequenz der Anregung in die Übertragungsfunktion Σ(s) ergibt sich ebenfalls: k = Σ(2j) = 2j + =.4472

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 b) i) Es gilt Σ(s) = Y (s) U(s) Die Anregung U(s) im Frequenzbereich kann mit der Tabelle bestimmt werden: U(s) = s 2 + Die Systemantwort Y (s) im Frequenzbereich ergibt sich mittels der Tabelle zu: Y (s) = a (s + 2) 2 + b s Durch Ausklammern von s 2 + c s ds s e s 2 + ergibt sich für das System Σ(s): Σ(s) = a(s2 + ) (s + 2) 2 + b(s2 + ) + c(s2 + ) s + 2 s ds + e ii) Aus der Systemantwort im Zeitbereich ist ersichtlich, dass ein endlicher Grenzwert existiert. Daher darf der Endwertsatz angewendet werden. Es gilt: k = lim y(t) = lim t s + s s Y (s) = a 4 + b 2 + c.8 + e iii) Durch Einsetzen der gegebenen Koeffizienten ergibt sich k =.39. Die Pole von Σ(s) lauten: Π,2 = 2, Π 3 =.8 iv) Durch Vernachlässigen des Pols Π 3 =.8 ergibt sich für das approximierte System: Σ approx =.39 4 s 2 + 4s + 4 Die Eigenfrequenz beträgt ω = 2 rad /s und die Dämpfung beträgt δ =. Die Anstiegszeit kann damit wie folgt approximiert werden: ω c = ω 4δ 4 + 2δ 2.97 rad /s t 9 =.7 ω c =.75 s v) Nein, diese Approximation ist für dieses System nicht sinnvoll. Da die Pole nah beieinander liegen beeinflusst die vernachlässigte Dynamik das Systemverhalten. Zudem kann man die schnellste Dynamik vernachlässigen beim Reglerentwurf, nicht aber die langsamste (= dominante) Dynamik.

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 5 (Erreichbare Regelgüte) 7 Punkte Shafai (Wang) In einem Entwicklungsteam diskutieren Sie über die Möglichkeit, einen Regler für eine Regelstrecke mit dem folgenden Zustandsraummodell zu entwickeln. [ d 3 dt x(t) = 5 ] x(t) + [ ] u(t), x() = (7a) y(t) = [ a ] x(t). (7b) Der Parameter a charakterisiert den Sensor und kann im Intervall 5 a 5 eingestellt werden. Abbildung 3 zeigt den Aufbau des Regelkreises. Die tiefste vorkommende Frequenz im Rauschsignal n(t) ist ca. 4 rad/s. Der Entwurf des Reglers C(s) ist nicht Gegenstand dieser Aufgabe. r(t) C(s) u(t) P (s) y(t) n Abbildung 3: Regelkreis mit Ein- und Ausgangssignalen. a) (2 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion P (s) der Strecke mit Eingang u(t) und Ausgang y(t) in Abhängigkeit des Sensorparameters a. Bestimmen Sie anschliessend die Pole und Nullstellen der Strecke. b) (3 Punkte) Als Regelungstechniker müssen Sie nun den Sensorparameter so einstellen, dass es regelungstechnisch möglich wird, einen Regler C(s) sinnvoll zu entwerfen. Bestimmen Sie den kleinsten Wert für den Sensorparameter a, der noch eingestellt werden darf und empfehlen Sie eine zugehörige Durchtrittsfrequenz ω c für den Regelkreis. c) (2 Punkte) Sie erfahren, dass die Modellierungsunsicherheit der Strecke duch die Übertragungsfunktion W 2 (s) = 3 s + s + 2 (8) begrenzt wird. Welche Konsequenz hat diese Unsicherheit für den Reglerentwurf? Lösung 5 a) Mit Hilfe der Systemmatritzen lässt sich die Übertragungsfunktion der Strecke wie folgt bestimmen:

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 P (s) = c (s I A) b [ s + 3 = [ a ] s 5 ] [ ] = [ a ] [ s 5 (s + 3)(s 5) s + 3 ] [ ] = = s (a 3) (s + 3)(s 5) Es ergibt einen stabilen Pol π = 3 rad/s, einen instabilen Pol π + = 5 rad/s und eine Nullstelle ζ + = a 3. Diese Nullstelle ist positiv (nicht-minimalphasig), da a [5, 5] eingestellt werden darf. b) Die Durchtrittsfrequenz muss sinnvollerweise im Intervall π + ω c ζ + liegen. Es ist empfohlen ω c 2 π + zu wählen. Dies ergibt eine untere Grenze von 2 π + = rad/s für ω c. Eine obere Grenze für ω c ist durch die Empfehlung ω c <. ω n gegeben. Da für das Rauschsignal erwartet wird, dass ω n 3 rad/s, erhalten wir eine obere Grenz von 3 rad/s für ω c. Mit diesen Angaben ergibt sich für die Durchtrittsfrequenz einen zulässigen Intervall von rad/s ω c 3 rad/s. Eine weitere Empfehlung betrifft die Lage der nicht-minimalphasigen Nullstelle: ζ + 2 ω c. Den oben erhaltenen Audruck für die Nullstelle eingesetzt, erhalten wir a 3 2 ω c. (9) Diese Ungleichung nach dem Sensorparameter a aufgelöst, erhalten wir a 2 ω c + 3. () Für ω c = rad/s (untere Grenze im zulässigen Bereich) erhalten wir a 23 und für ω c = 3 rad/s (obere Grenze im zulässigen Bereich) erhalten wir a 63, der ausserhalb des zulässigen Bereichs für die Einstellung des Sensors liegt. Somit ist a = 23 der kleinst mögliche Wert, der eingestellt werden darf. Die zugehörige Durchtrittsfrequenz beträgt ω c = rad/s. c) Die Unsicherheit bei s = π + = 5 rad/s ausgewertet, muss kleiner als sein ( W 2 (π + ) < ), sonst existiert kein stabilisierender Regler. Diese Bedingung ist erfüllt, da W 2 (π + = 5) = =.72 <. ()

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 6 (Bode-Diagramm/Nyquist) 8 Punkte Wang (Shafai) Abbildung 4 stellt das Bode-Diagramm eines unbekannten linearen Systems dar. 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 4: Bode-Diagramm a) ( Punkt) Für die Regelung des unbekannten Systems soll ein P-Regler C(s) = k p mit dem Verstärkungsfaktor k p = eingesetzt werden. Bestimmen Sie mit Hilfe des Bode- Diagramms die Verstärkungsreserve (in db) und Phasenreserve (in Grad) des geschlossenen Regelsystems. b) (3 Punkte) Mit der Serieschaltung aus welchen Elementen kann die Übertragungsfunktion des Systems P (s) approximiert und damit das System modelliert werden? Bestimmen Sie die Parameter für ihre ausgewählten Elemente. Hinweis: P (jω) ω= =.2 c) (2 Punkte) Die Übertragungsfunktion des Systems P (s) kann bei niedrigen frequenzen durch G(s) =.5 (2s+)s approximiert werden. Skizzieren Sie den Frequenzgang der Strecke G(jω) qualitativ unten im zur Verfügung gestellen Nyquist-Diagramm (Abbildung 5). d) (2 Punkt) Um die Sprungantwort des Regelsystems zu verbessern, wird ein PD-Regler C(s) = k p ( + τs τs+ ) mit τ (τ > ) als Tuning-Parameter eingesetzt. In Abbildung 6 sind im Nyquist-Diagramm die Kreisverstärkung des Systems L(jω) = P (jω)c(jω) für zwei verschidene Werte von τ (. und ) angegeben. Beurteilen Sie, ob die zugehörigen geschlossenen Regelkreise stabil sind.

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Nyquist Diagram 5 Imaginary Axis Real Axis Abbildung 5: Nyquist-Diagramm (Vorlage zur Frage c)) Lösung 6 a) As shown in the figure below, the gain margin of the system is around 25dB and the phase margin of the system is around 75. b) From the Bode diagram, one can clearly see that at low frequencies, the magnitude drops with -2dB/dec and the phase is approximately 9. Therefore an open integrator is needed to model the plant. Moreover at high frequencies, the magnitude drops with - 6dB/dec and the phase shifts from 9 to 27. This indicates two first order elements are also needed for the modeling. Therefore, the transfer function of P (s) will have the form: P (s) = k s (τ s + ) 2, where k and τ are two parameters to be found. Parameter τ can be found by looking at the phase part. At around 2 rad/s the phase reaches 8, which is the half way of the phase transition. This suggests τ = /2 s =.5 s. Paramter k needs to be found with the hint given. Insert s = jω ω=, one can get: k P (j) = j (.5j + ) 2 =.2 Solving the equation gives k = ±.25. However, judging from the phase diagram, only.25 is possible. c) To draw the Nyquist diagram, one needs to use the its boundary values. Inserting s = jω, G(s) can be rewritten as G(jω) = 4ω ω 4ω 3 j

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I The boundary values can be calculated as: Re(G(jω)) Im(G(jω)) ω = + ω ω + ω = + Connect the information given in the table above, one can get the Nyquist diagram as shown below: d) The open-loop gain: L(s) =.5 (2s + )s k p( + τs τs + ) has three poles: p =.5, p 2 = and p 3 = /τ. According to the Nyquist stability criterion, the critical point s = + j should be encircled.5 time. This is satisfied by both of the systems. Therefore, both of them are stable.

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 μ =. μ = Imaginary Axis 2-2 Imaginary Axis Real Axis Real Axis Abbildung 6: Nyquist-Diagramm (zur Frage d))

20 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Bode Diagram Gm = 24. db (at 2 rad/s), Pm = 76 deg (at.246 rad/s) 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 2 Nyquist Diagram 5 Imaginary Axis Real Axis

22 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 7 (Systemanalyse, Blockschaltbild) 8 Punkte Bornatico (Shafai) Gegeben ist das folgende Signalflussbild mit Eingang r(t), Ausgang y(t) und Zustände x i (t). r(t) x (t) + + y(t) x 2 (t) δ 4 x 3 (t) a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Systemmatrizen {A,B,C,D}. Für die folgende Teilaufgaben sei das folgende System gegeben mit α, β R. αβ 2 α + 3 A = 3 α B = C = [ 3 ] D = β 2 b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Stabilität des Systems in Funktion der Parametern α und β. c) ( Punkt) Nehmen Sie β = an. Für welche Werte des Parameters α ist das System vollständig beobachtbar? Begründen Sie Ihre Aussage. d) ( Punkt) Nehmen Sie β = an. Für welche Werte des Parameters α ist das System vollständig steuerbar? Begründen Sie Ihre Aussage. e) (2 Punkte) Leiten Sie die Übertragungsfunktion Σ(s) des Systems für α = β = her. Lösung 7 a) Systemmatrizen für das Signalflussbild A = 4δ B = 4 C = [ ] D = (2) 4

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 b) Die Stabilität kann anhand der Eigenwerte λ i der Systemmatrix A bestimmt werden λ αβ 2 det(λi A) = det λ + α 3 (3) λ + 2 β Die Eigenwerte sind somit = (λ αβ)(λ + α 3)(λ + 2 β) λ = αβ λ 2 = 3 α λ 3 = β 2. (4) Das System ist asymptotisch Stabil falls α > 3 β < 2 oder, vereinfacht αβ < c) Das System ist vollständig beobachtbar falls O 3 Rang 3 hat. { α > 3 β <. (5) C O 3 = C A = C A 2 β= = 3 3αβ 4 β + 4 (6) 3α 2 β 2 α(3β 4) + β + 6 6αβ + (β 2)(β + 4) (7) 6 4α 8 Die Beobachtbarkeitsmatrix hat Rang 3 falls α 6. d) Das System ist für keinen Wert von α vollständig steuerbar. R 3 = [ B A B A 2 B ] α + 3 = (8) Die Steuerbarkeitsmatrix R 3 hat somit Rang rank(r 3 ) = { falls α = 3 sonst. (9) e) Die Übertragungsfunktion lautet: Σ(s) = C (si A) B = C Adj(sI A) B det(si A) (2) und wird berechnet anhand von s 2 det(si A) = det s 2 = (s )(s 2)(s + ) (2) s +

24 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I ( ) [Adj(sI A)] = ( ) + s 2 det((si A) ) = det = (s 2)(s + ) (22) s + [Adj(sI A)] 3 = ( ) 3+ det((si A) 3 ) = det ( ) s 2 = (23) Es ergibt sich somit: C Adj(sI A) B = [ 3 ] (s 2)(s + ) # # 4 # # # # # = 2(s 2)(s + ) (24) Die Übertragungsfunktion lautet nach der Pol-Nullstellen-Kürzung (s 2), (s + ) Σ(s) = 2 (s ) (25)

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 Aufgabe 8 (Multiple-Choice) 8 Punkte Alle (Shafai) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet ( Punkt). Falsch beantwortete Fragen geben je einen Punkt Abzug. Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. a) {x e = π 2, u e = π} ist eine Gleichgewichtslage des Systems ẋ = π sin(x) 2 cos(u) u. Richtig Falsch b) Die Differentialgleichung δẋ = 5 δx + 2 δu beschreibt das linearisierte System des nichtlinearen Systems ẋ = x 3 2x 2 + x + ln u um den Gleichgewichtspunkt {x e = 2, u e =.5}. Richtig Falsch c) Eine Regelstrecke P (s)( = κ e s T ) mit reiner Totzeit T und Verstärkung κ wird mit einem PI-Regler C(s) = k p + T i s mit k p =.8 und T i =.7 geregelt. Die Reglerparameter wurden nach Ziegler/Nichols ausgelegt. Die Totzeit der Strecke beträgt also T = s und die Verstärkung κ =.25. Richtig Falsch d) Mit der Absicht, das Bode-Diagramm eines Systems experimentell zu bestimmen, wurde die eingeschwungene Antwort y(t) = 4 cos 2 (3 t +.5) auf das periodische Eingangssignal u(t) = 2 cos(3 t +.5) gemessen. Daraus kann abgeleitet werden, dass es sich um ein asymptotisch stabiles, lineares System handelt. Richtig Falsch e) Die Differentialgleichung ẏ(t) = 3 a y(t) + t u(t) mit u(t), y(t), a R beschreibt ein lineares, dynamisches SISO System mit dem Eingang u(t) und dem Ausgang y(t). Richtig Falsch f) Eine instabile Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion s (s+2) (s 2) kann durch einen I-Regler C(s) = T i s ) stabilisiert werden. Richtig Falsch g) Für ein System mit Totzeit, dessen Kreisverstärkung L(s) = s(s ) e sτ ist, kann das Stabilitätskriterium von Nyquist immer noch angewendet werden und das geschlossene Regelsystem ist nur dann asymptotisch stabil, wenn L(jω) den Nyquist-Punkt (, j).5-mal im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Richtig Falsch h) Ein Regelsystem mit der Sensitivität S(s) = s+2 s+3 besitzt die Kreisverstärkung L(s) = s+2. Richtig Falsch Seien Sie also vorsichtig!

26 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 8 a) Falsch. Die Bedingung für eine Gleichgewichtslage ist x e =. Diese Bedingung ist erfüllt, da ẋ e = π sin(x e ) 2 cos(u e ) u e = π sin( π 2 ) 2 cos(π) π = π + 2π = π. b) Richtig. Die Systemparameter A und b in der linearisierten Differentialgleichung δẋ = A δx + b δu erhalten wir durch partielle Differentiation der Funktion f(x, u) = x 3 2x 2 + x + ln u nach x resp. u und deren Auswertung an der Gleichgewichtslage wie folgt: A = b = f(x, u) x=xe,u=u x e = 3 x 2 e 4 x e + = 5 f(x, u) x=xe,u=u u e = = 2 u e c) Richtig. Gemäss Ziegler/Nichols folgt k p = 4 und T = 2. Für die Strecke P(s) gilt also Real{P (jω )} = κ und Imag{P (jω )} = woraus folgt κ =.25 und T = s. d) Falsch. Wegen Quadrierung des Eingangssignals handet es sich um ein nichtlineares System. e) Richtig. Die Differentialgleichung ist in Bezug auf Ein- und Ausgangsgrösse linear. Sie ist allerdings nicht zeitinvariant. f) Falsch. Das charakteristische Polynom des geschlossenen Regelkreises ist s 4 4s 2 + T i. Durch Substitution x = s 2 erkennt man, dass die Pole für beliebige T i einen positiven Realteil besitzen. g) Rischtig. h) Richtig. Der Zusammenhang zwischen Kreisverstärkung und Sensitivität eines Regelsystems lautet: S(s) = +L(s). Es kann einfach gezeigt werden, dass für L(s) = s+2 eine Sensitivität S(s) = s+2 s+3 reesultiert.