120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 42 (unterschiedlich gewichtet, total 58 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Guzzella, Nüesch, Ochsner Prüfungsbedingungen Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 42 (unterschiedlich gewichtet, total 58 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht werden, wenn die Lösung vollständig richtig ist, d.h. es gibt keine Teilpunkte für halbrichtige Lösungen. Nicht eindeutige Lösungen werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die Lösungen sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Geben Sie die Lösungen ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern an. Viel Erfolg!

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3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Thema: Signale und Systeme Beschreibung: Abbildung zeigt das Blockschaltbild eines Systems Σ. Klassifizieren Sie die Subsysteme Σ : u y und Σ 2 : u y 2. b d dt x (t) x (t) c y (t) u(t) x 2 (t) y 2 (t) a(t) Abbildung : Blockschaltbild des Systems Σ. Alle Signale sind skalare Grössen. Die Parameter b und c sind konstant und a(t) und ist ein zeitabhängiger Parameter. F ( Punkt) Kreuzen Sie die Eigenschaft(en) an, welche das System Σ korrekt beschreiben. SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch F2 ( Punkt) Kreuzen Sie die Eigenschaft(en) an, welche das System Σ 2 korrekt beschreiben. SISO Linear Zeitinvariant Dynamisch

4 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit (v = km/h) auf der Autobahn. F3 ( Punkt) Der Fahrer benützt den Tempomaten um die Geschwindigkeit auf km/h zu halten. Kreuzen Sie die wichtigste Aufgabe an, welche der Tempomat in dieser Situation wahrnimmt. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection) F4 ( Punkt) Nun benützt der Fahrer den Tempomaten um das Fahrzeug auf 2 km/h zu beschleunigen. Kreuzen Sie dich wichtigste Aufgabe an, welche der Tempomat in dieser Situation wahrnimmt. Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke Folgeregelung (reference tracking) Störungsunterdrückung (disturbance rejection)

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Thema: Systemmodellierung Beschreibung: Abbildung 2 zeigt schematisch den Antriebsstrang eines Hybridfahrzeugs. Um die Fahrdynamik des Fahrzeugs zu modellieren, stehen drei Kandidaten für die relevante Zustandsvariable zur Verfügung: Das Drehmoment des Verbrennungsmotors T e (t), die Drehzahl des Verbrennungsmotors ω e (t), und das Drehmoment des Elektromotors T m (t). Die drei Dynamiken sind beschrieben durch die Zeitkonstanten.2s (T e ), 5s (ω e ), und.s (T m ). Getriebe Rad Elektromotor Verbrennungsmotor Abbildung 2: Schematische Darstellung des Antriebsstrangs eines Hybridfahrzeugs. F5 ( Punkt) Sie sollen nun den Antriebsstrang als System erster Ordnung modellieren. Kreuzen Sie die Zustandsvariable mit der relevanten Dynamik an. T e (t) ω e (t) T m (t) F6 (2 Punkte) Die gesamte Widerstandskraft, welche auf das Rad wirkt, sei proportional zur Geschwindigkeit des Fahrzeugs (F r (t) = k v(t), mit v(t) Fahrzeuggeschwindigkeit). Der Radius des Rades ist R und die Masse des Fahrzeugs beträgt m. Der Parameter γ beschreibt das Übersetzungsverhältnis (Dehrzahl des Verbrennungsmotors dividiert durch die Drehzahl des Rades). Die Drehmomente T e (t) und T m (t) sind bekannt. Alle Drehträgheiten können vernachlässigt werden. Leiten Sie die Differentialgleichung für die Fahrzeuggeschwindigkeit her. dv(t) dt =

6 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung3zeigt den Wert der Ableitung dx (t)/dt als Funktion der Zustandsvariablen x (t) und x 2 (t). Die Ableitung dx 2 (t)/dt ist gegeben als dx 2 (t)/dt = x 2. Das System hat keine Eingangsgrösse x x Abbildung 3: Ableitung dx (t)/dt als Funktion der Zustandsvariablen x (t) und x 2 (t). F7 ( Punkt) Bestimmen Sie die Anzahl Gleichgewichtspunkte des Systems und kreuzen Sie die entsprechende Antwort an. 2

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Beschreibung: Abbildung 4 zeigt dx/dt als Funktion des Zustands x und des Eingangs u. Das System ist nichtlinear und erster Ordnung. Nun wird das System um den Gleichgewichtspunkt x =.5,u = linearisiert. 2 dx/dt 2 u=- u= u=.5.5 x Abbildung 4: Ableitung dx/dt als Funktion von x und u. F8 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche Differentialgleichung aus der Linearisierung resultiert. dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx+5δu dδx/dt = δx 5δu dδx/dt = δx+5δu

8 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Basierend auf dem normierten Modell einer Regelstrecke (normiert mit den Werten y und u ) haben Sie einen Regler ausgelegt. Nun möchten Sie diesen Regler in Simulink implementieren und mit dem originalen (nicht normierten) Modell der Strecke testen. Abbildung 5 zeigt 4 mögliche Implementationen für diesen Test. e n (t) Variante y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 2 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 3 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) e n (t) Variante 4 y (t) Normierter Regler u (t) u n (t) Modell y n (t) Abbildung 5: Mögliche Implementationen mit dem normierten Regler und dem nicht normierten Modell der Regelstrecke. F9 ( Punkt) Kreuzen Sie die korrekte Implementation für diesen Test an. Variante Variante 2 Variante 3 Variante 4

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Thema: Analyse linearer Systeme Beschreibung: Für die folgenden zwei Fragen ist die RC-Schaltung aus Abbildung 6 gegeben. u(t) = U (t) R C y(t) = U C (t) Abbildung 6: RC-Schaltung als Tiefpassfilter. Die RC-Schaltung dient als Tiefpassfilter. Der Eingang u(t) ist die Quellspannung U (t). Der Ausgang y(t) ist die Spannung U c (t) über dem Kondensator. Die resultierende Differentialgleichung lautet: u(t) = R C dy(t) dt +y(t) () Der Widerstand wurde als R =.5Ω gemessen. Abbildung 7 zeigt die Systemantwort y(t) auf einen Input u(t) der folgenden Form: u(t) = a+b h(t) h(t) = { if t <, if t. (2) y(t) [V] t [s] Abbildung 7: Systemantwort.

10 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F (2 Punkte) Wie gross ist die Kapazität C des Kondensators? C = F F ( Punkt) Wie lauten die Werte der Parameter a und b des Eingangssignals in Gleichung (2)? a = V b = V

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Beschreibung: Betrachten Sie das folgende System 2. Ordnung, wobei: ẋ(t) = A x(t)+b u(t), (3) A = [ ], b = α [ ], α R. (4) F2 ( Punkt) Für welche Werte von α ist das System nach Lyapunov asymptotisch stabil? α F3 ( Punkt) Kann das System, welches durch die Gleichungen (3) und (4) gegeben ist, als Antwort auf einen Impuls am Eingang schwingen? Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Antwort zutrifft: Ja, unabhängig von α. Nein. Nur wenn α >. Nur wenn α <. F4 (2 Punkte) Nehmen Sie nun an, dass das Eingangssignal u(t) für die nachfolgende Aufgabe gleich null ist (u(t) = ). Weiter sei auch der Parameter α gleich null (α = ). Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage(n) des Systems und kreuzen Sie nachfolgend die richtige Antwort an: [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ [ ] γ x e = ǫ γ = ǫ = γ = ǫ R γ,ǫ {} γ R ǫ = γ,ǫ R

12 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Betrachten Sie das System in Abbildung u - y Abbildung 8: Signalflussbild. F5 ( Punkt) Das System in Abbildung 8 soll auf Stabilität nach Lyapunov überprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend die richtige Aussage an: Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil Aufgrund der Nichtlinearität kann mit unseren Mitteln keine Aussage über Lyapunov Stabilität gemacht werden F6 ( Punkt) Weiter soll das System aus Abbildung 8 auf Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit usw. überprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage(n) auf das System zutrifft/zutreffen: Das System ist komplett steuerbar Das System ist komplett beobachtbar Das System ist potentiell stabilisierbar Das System ist detektierbar

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Beschreibung: Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit und die Steuerbarkeit des Systems 2. Ordnung, welches mit den folgenden Zustandsraummatrizen beschrieben ist: [ ] [ ] 2 A =, b =, c = [ ], d =. (5) F7 ( Punkt) Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Antwort zutrifft. Das System in Gleichung (5) ist... nur vollständig beobachtbar. nur vollständig steuerbar. sowohl vollständig beobachtbar als auch vollständig steuerbar. weder vollständig beobachtbar noch vollständig steuerbar.

14 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Laplace-Transformation Beschreibung: Folgende Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} eines Systems ist gegeben: A = [ ] 2, b = [ ] 2, c = [.5.5 ], d =. (6) F8 ( Punkt) Die Lyapunov Stabilität soll geprüft werden. Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage auf das System mit der Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} aus Gleichung (6) zutrifft. Das System ist: Lyapunov stabil Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov instabil F9 (2 Punkte) Nun soll die BIBO Stabilität geprüft werden. Ist das System mit der Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} aus Gleichung (6) BIBO stabil oder nicht? BIBO stabil nicht BIBO stabil Beschreibung: Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es um ein System 2. Ordnung mit den folgenden Zustandsraummatrizen: A = [ ], b = 2 [ ], c = [ ], d =. (7) F2 ( Punkt) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems. Σ(s) =

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibung: Gegeben ist ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ordnung, welches die Dynamik einer Regelstrecke beschreibt. Sie wollen die Lösung dieser Differentialgleichungen im Zeitbereich bei bekanntem Eingangssignal u(t) berechnen. Tabelle zeigt verschiedene Transformationen und Berechnungen dazu. Tabelle : Transformationen und Berechnungen Label A B C c (s I A) b+d c e A t x()+ t c ea (t ρ) b u(ρ)dρ+d u(t) Controller Canonical Form aus Übertragungsfunktion Y(s) e s t ds D 2 π j E F Partialbruchzerlegung und Standardsignale Σ(s) U(s) F2 (2 Punkte) Kreuzen Sie nachfolgend an, mit welcher/welchen Abfolge(n) von Transformationen und Berechnungen Sie zum gewünschten Resultat kommen können C E A F E B F D B Beschreibung: Die Differentialgleichung eines Systems ist wie folgt gegeben: dy(t) dt = u(t) (8) 2 Das System ist ursprünglich in Ruhe (y() = ). Am Eingang wird ein Impuls δ(t) angelegt. F22 ( Punkt) Wie lautet der Ausgang des Systems im Zeitbereich? y(t) =

16 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 9 zeigt die Impulsantwort von vier verschiedenen Systemen 2. Ordnung. 2 System.8 System 2 y [-] t [s] System 3 y [-] t [s] System 4 y [-] y [-].5 5 t [s] t [s] Abbildung 9: Impulsantworten der Systeme 4. F23 (2 Punkte) Kreuzen Sie nachfolgend diejenigen Systeme aus Abbildung 9 an, welche BIBO stabil sind: System System 2 System 3 System 4 F24 (2 Punkte) Ordnen Sie die Impulsantworten in Abbildung 9 den Polpaaren A, B, C oder D in Abbildung zu Polpaar A, B, C oder D System System 2 System 3 System 4

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 A B.5.5 Im. Im Re. C Re. D.5.5 Im. Im Re Re. Abbildung : Pole der Systeme, deren Impulsantworten in Abbildung 9 dargestellt sind. F25 (2 Punkte) Was kann man anhand von Impulsantworten über die Lyapunov Stabilität eines linearen Systems aussagen? Kreuzen Sie nachfolgend die korrekten Aussagen an. (Tipp: BIBO Stabilität beschreibt das I/O Verhalten, Lyapunov Stabilität hingegen ist eine Systemeigenschaft.) Über die Lyapunov Stabilität kann keine Aussage gemacht werden. Wenn der Ausgang für t nicht divergiert und nicht zu Null konvergiert, dann ist das System Lyapunov stabil. Wenn der Ausgang fürt divergiert, dannist das System Lyapunov instabil. WennderAusgangfürt zunullkonvergiert, dannistdassystemlyapunov asymptotisch stabil.

18 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Frequenzantworten Beschreibung: Abbildung zeigt den Frequenzgang der komplementären Sensitivität T(s) eines Regelkreises. 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung : Frequenzgang von T(s). F26 ( Punkt) Der Sollwert ist ein periodisches Signal von der Form r(t) = m cos(ω t+φ). Bis zu welcher Frequenz ω max gilt für die Phase ϕ zwischen Regelgrösse y(t) und Sollwert r(t) ϕ > 9? ω max = F27 ( Punkt) Ab welcher Frequenz ω min wird der Einfluss des Rauschens n(t) auf die Regelgrösse y(t) um mindestens 9% reduziert? ω min =

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Beschreibung: Abbildung 2 zeigt den Frequenzgang einer Regelstrecke. Sie wollen die Parameter des Modells der Regelstrecke identifizieren, wobei Sie für die Übertragungsfunktion folgende Form annehmen: Σ(s) = k s ζ s π (9) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 2: Frequenzgang der zu identifizierenden Strecke. F28 (2 Punkte) Welche Werte haben die Parameter k, ζ und π in Gleichung (9)? k = ζ = π =

20 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 3 zeigt den Frequenzgang der Strecke P(s). 8 Bode Diagram 6 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 3: Frequenzgang der Strecke P(s). F29 ( Punkt) Welchen Wert hat P(j ω) bei der Frequenz ω = 4 rad /s? P(j 4) =

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Beschreibung: Abbildung 4 zeigt die Sprungantwort einer beliebigen Regelstrecke. 6 Step Response 5 4 Amplitude Time (seconds) Abbildung 4: Sprungantwort einer Regelstrecke. F3 ( Punkt) Was ist die minimale Ordnung n des Systems, dessen Sprungantwort in Abbildung 4 dargestellt ist? n F3 (2 Punkte) Was ist der relative Grad r des Systems, dessen Sprungantwort in Abbildung 4 dargestellt ist? Kreuzen Sie die richtige Antwort an. -2 -

22 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Analyse und Spezifikationen geschlossener Regelkreise Beschreibung: Abbildung 5 zeigt die Nyquistdiagramme der Kreisverstärkung von drei unterschiedlichen linearen Systemen (A, B und C). Abbildung 6 zeigt drei Verläufe des Regelfehlers e(t) (I, II und III) des geschlossenen Regelkreises als Antwort auf einen Einheitssprung des Sollwerts (r(t) = h(t)). Imaginary Axis A - - Real Axis Imaginary Axis B - - Real Axis Imaginary Axis C - - Real Axis Abbildung 5: Nyquistdiagramme der Kreisverstärkung der Systeme A, B und C. I II III e [-].5 e [-].5 e [-] t [s] 5 5 t [s] 5 5 t [s] Abbildung 6: Verläufe (I, II, III) des Regelfehlers e(t) als Antwort auf einen Sprung des Sollwerts. F32 (2 Punkte) Ordnen Sie den Systemen A, B und C die korrekten Regelfehlerverläufe I, II und III zu. A B C

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 Beschreibungn: Abbildung 7 zeigt den Betragsverlauf des Bodediagramms einer Kreisverstärkung L(s). Abbildung 8 zeigt drei mögliche Ausgangssignale y(t) der komplementären Sensitivität T(s) des selben Systems auf eine periodische Anregung am Sollwert (r(t) = sin(.2 t)). 2 Magnitude [db] 2 2 Frequency [rad/s] Abbildung 7: Betragsverlauf des Bodediagramms einer Kreisverstärkung L(s). y(t) [-] 2 a b c t [s] Abbildung 8: Zeitbereichsantwort des zugehörigen geschlossenen Regelkreises T(s). F33 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche Systemantwort Sie erwarten. a b c keine der gezeigten

24 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 9 zeigt das Bodediagramm der komplementären Sensitivität T(s), der Kreisverstärkung L(s), und der Sensitivität S(s) eines Regelsystems. Phase [deg] Magnitude [db] T(s) L(s) S(s) Frequency [rad/s] Abbildung 9: Bodediagramm von T(s), L(s) und S(s). F34 ( Punkt) Bestimmen Sie die Verstärkungsreserve des Regelsystems in Abbildung 9. γ =

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 F35 ( Punkt) Bestimmen Sie die Phasenreserve des Regelsystems in Abbildung 9. ϕ = F36 ( Punkt) Bestimmen Sie die minimale Kreisverstärkungsdifferenz (minimum return difference) des Regelsystems in Abbildung 9. µ min =

26 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Eine Regelstrecke besitzt einen instabilen Pol, sowie einen Pol im Ursprung. Abbildung 2 zeigt das Nyquistdiagramm dieser Regelstrecke. Sie möchten die Regelstrecke mit einem proportionalen (P) Regler stabilisieren. Imaginary Axis Nyquist Diagram.5.5 Real Axis Abbildung 2: Nyquistdiagramm der instabilen Regelstrecke für ω [, ). F37 (2 Punkte) Geben Sie den Bereich für die Verstärkung des Reglers k p an, welcher zu einem stabilen geschlossenen Regelkreis führt. k p

27 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 Beschreibung: Abbildung 2 zeigt das Nyquistdiagramm der Kreisverstärkung eines Regelsystems. Die Kreisverstärkung hat einen Pol im Ursprung aber keinen instabilen Pol. Die Modellunsicherheitsschranke ist gegeben als W 2 (jω) =, ω [, ). Imaginary Axis Nyquist Diagram.5.5 Real Axis Abbildung 2: Nyquistdiagramm der Kreisverstärkung für ω [, ). F38 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussage(n) korrekt ist (sind). Das nominale geschlossene Regelsystem ist stabil Das mit Unsicherheit behaftete Regelsystem ist stabil Keine der Aussagen ist korrekt

28 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Reglerauslegung Beschreibung: Wir haben fünf unterschiedliche Regler (A bis E) für eine Regelstrecke getestet. Abbildung 22 zeigt wie die Regler implementiert wurden und Tabelle 2 listet die Parameterwerte der Regler auf. Abbildung 23 zeigt die Sprungantworten (r(t) = h(t)) des Regelkreises mit allen fünf Reglern. r k p T i s u p u i u P(s) d y T d s u d Abbildung 22: Blockschaltbild des Regelkreises. Tabelle 2: Reglerparameter Controller k p T i T d A 6 B 4 C 6 5 D 6 2 E y(t)[ ] t [s] Abbildung 23: Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises. I II III IV V

29 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 27 F39 (2 Punkte) Ordnen Sie die Sprungantworten (I bis V) den Reglern (A bis E) zu. A B C D E

30 Seite 28 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Eine unbekannte Regelstrecke wird mit einem proportionalen Regler(C(s) = 7.5) geregelt. Da dieser Regler nicht gut funktioniert möchten Sie einen neuen Regler auslegen. Ihr Assistent hat die Frequenzantwort der Regelstrecke ausgemessen und für Sie Abbildung 24 erstellt. Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Abbildung 24: Frequenzantwort der unbekannten Regelstrecke. F4 (2 Punkte) Bestimmen Sie mithilfe der Frequenzantwort der Regelstrecke und der ÜbertragungsfunktiondesReglers(C(s) = 7.5)diet 9 ZeitunddasrelativeÜberschiessen ˆǫ des geschlossenen Regelkreises. Tipp: Faustregeln benützen. t 9 = ˆǫ =

31 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 29 F4 (2 Punkte) In einem ersten Versuch möchten Sie mit der Zieger-Nichols Methode einen PID-Regler auslegen. Leider können Sie im Moment keine neuen Messungen machen und müssen deshalb die kritischen Parameter aus Abblidung 24 entnehmen. Bestimmen Sie die kritische Verstärkung k p und die Periode der kritischen Schwingung T der Regelstrecke. k p = T = Beschreibung: Sie erhalten von Ihrer Kollegin ein Modell für eine Regelstrecke: P(s) = (s+2). Nun möchten Sie einen Regler mithilfe einer Streckeninversion (plant inversion) auslegen. Die Kreisverstärkung des Regelkreises soll eine Durchtrittsfrequenz von rad/s, einen Betragsabfall von 2 db/dek (über allen Frequenzen) und keinen statischen Nachlauffehler aufweisen. F42 (2 Punkte) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Regler C(s) an, die zur gewünschten Kreisverstärkung führt. C(s) =