Zusammenfassung Regelungstechnik I

Transkript

1 Zusammenfassung Regelungstechnik I Morgenegg, Moy, Habermacher auf Basis Schoch Definitionen. Blockschaltbil Regler C Strecke P Vorsteuerung F Führungsgrösse r Regelfehler e Stellgrösse u Ausgangsgrösse y Störung Messrauschen n.3 System-Klassifikationen Definition System: Ausgangsgrössen sin Nutzbar ohne as System selber zu zerstören. Mit hin variables von Systemen kann nichts angefangen weren. statisch: ohne Erinnerung, y(t) = cos(t) u(t) ynamisch: mit Erinnerung, y(t) = cos(y(t)) + u(t) t zeitkontinuierlich: y(t) = y(t) + u(t), t R t zeitiskret: y((k + ) τ) = y(k τ) + u(k τ), τ R, k {0,,, } stabil: y(t) = y(t) t instabil: y(t) = y(t) t ohne Verzögerung: y(t) = 3 u(t) t mit Verzögerung: y(t) = 3 u(t δ), δ > 0 t zeitinvariant: y(t) = 3 y(t) + u(t) t zeitvariant: y(t) = cos(t) y(t) + u(t).h. Koeffizienten sin zeitabhängig. t linear: y(t) = y(t) + u(t) t nicht-linear: t y(t) = y (t) u(t).h. es kommen nichtlineare Terme in x, y oer u vor. Ornung: statisch: 0 ynamisch: Grösse von A, höchste Ableitung Steuerung Feeforwar, open loop control keine Rückkopplung keine Störungsunterrückung (nur Folgeregelung). Lineare Systeme Regelung Feeback, close loop control negative Rückkopplung von Strecke zu Regler Folgeregelung & Störungsunterrückung möglich System hat neue Dynamik (kann instabil weren).4 Moellierung von ynamischen Systemen Grunlegene Richtlinien. Systemgrenzen efinieren (Inputs, Outputs,...). Reservoire efinieren (Masse, Energie, Informationen) un ie azugehörigen Variabeln 3. DGLs aufstellen für alle relevanten Reservoire (reservoircontent) = Σinflows Σoutflows t 4. Algebraische Relationen zwischen en einzelnen Reservoiren aufstellen als Funktionen von en Variabeln. Üblicherweise nicht lineare Beziehungen 5. Unbekannte System-Parameter bestimmen mit Experimenten, Design- Spezifikationen oer System-Optimierung 6. Das Moel mit Experimenten verifizieren Σ(α u + β u ) = α Σ(u ) + β Σ(u ), α, β R Serieschaltung Parallelschaltung Kreisschaltung Σ Σ = Σ Σ Σ = Σ + Σ Σ = Σ Σ Σ y = Σ Σ u y = (Σ + Σ ) u y = u Σ Σ.5 Mechanik Impulssatz: p = m r OS = Σ F i Drallsatz: L = ΘS ϕ + m r OS r OS = Σ r OP F P + Σ M Spinsatz: Θ S ϕ = Σ r SP F P + Σ M Feerkraft: F = k (x x 0 ) Achtung! Sauber freischneien!

2 System-Repräsentation un Transformation Taylorreihen-Entwicklung: x a(t) = x(a) + x (a)! (t a) + x (a)! (t a) + Stanarform: z(t) = f(z(t), v(t)) t w(t) = g(z(t), v(t)) Die Stanarform ist ungegeignet, a Einheiten un nicht-linearitäten vorhanen sin. b z(t): Zustansvariablen, v(t): Eingang (zu regelne Grässe), w(t): Ausgang (messbare Grässe) = g 0 u x i=x i,0,u=u 0. Bestimmung es Gleichgewichtspunktes Für en GGP gilt stets: t z(t) = 0 Annahme: Der Gleichgewichtspunkt ist in Ruhe, also keine Geschwinigkeit un keine Beschleunigung. Daraus lassen sich z i,0, v 0 un w 0 bestimmen. Es ist möglich, ass eine Beingung für as Eingangssignal resultiert,.h. v(t) ist ann eine Funktion von z i. Das hat zur Folge, ass, je nach Eingangssignal, ein anerer Gleichgewichtspunkt resultiert..4 Lineare, normierte Zustansraum-Darstellung. Normierung z i (t) = z i,0 x i (t) v(t) = v 0 u(t) w(t) = w 0 y(t) Die Werte für z i,0, v 0 un w 0 sin oft so gewählt, ass ie normierten Variabeln nicht > weren. Meist wir um en Gleichgewichtspunkt normiert. Falls as nicht möglich ist, weil ann ein Wert = 0 wäre, kann z.b. bei einer Geschwinigkeit ie maximale Geschwinigkeit als Wert benützt weren. In Matrixschreibweise: z(t) = T x(t), T = iag{z,0,, z n,0 }, z i,0 R, z i,0 0 Die DGL lässt sich also neu wie folgt schreiben:.3 Linearisierung t x(t) = T f(t x(t), v 0 u(t)) = f 0 (x(t), u(t)) y(t) = w 0 g(t x(t), v 0 u(t)) = g 0 (x(t), u(t)) x i (t) = x e + δx i (t) u(t) = u e + δu(t) y(t) = y e + δy(t) Die Linearisierung ermöglicht Ausagen über as Systemverhalten in naher Umgebung vom Gleichgewichtspunkt zu machen, folglich wir stets um en Gleichgewichtspunkt es normierten Systems (x e, y e, u e) linearisiert. t δx(t) = f 0 x x i=x i,0,u=u 0 δx(t) + f 0 u x i=x i,0,u=u 0 δu(t) δy(t) = g 0 x x i=x i,0,u=u 0 δx(t) + g 0 u x i=x i,0,u=u 0 δu(t) Für vereinfachte Darstellung wir as δ nicht mehr geschrieben: x(t) = A x(t) + b u(t) t y(t) = c x(t) + u(t).4. Systemkoorinaten Koorinaten können beliebig gewählt weren, as Input-Output-Verhalten wir aurch nicht beeinflusst: x = T x, T R n n, et(t ) 0 Zustansraumarstellung in neuen Koorinaten: t x(t) = T A T x(t) + T b u(t) y(t) = c T x(t) + u(t).5 Allgemeine Formel für as Output-Signal y(t) = c e A t t [ ] x(0) + c e A (t ρ) b u(ρ) ρ + u(t) 0

3 3 Analyse von Linearen Systemen - Teil Sei x(0) = x 0 = 0, ann beträgt er Output bei t = τ ca. 63.% es Inputs. 3. Systeme. Ornung 3..3 Rampenantwort t x(t) = τ x(t) + k τ u(t) r(t) y(t)/(k*u 0 ) y(t) = x(t) τ > 0 ist eine Zeitkonstante, k > 0 eine Verstärkung Die meisten System sin gebrochen,.h. = 0 (ein System mit 0 ist echt gebrochen). Das hat zur Folge, ass kein sofortiger Effekt ohne Dynamik vom Eingangssignal u(t) im Ausgangssignal y(t) sichtbar ist. 3 y (t), x 0 0 r(t) 3.. Impulsantwort y (t), x 0 =0 δ(t) y(t)/(k*u 0 ) 0 t 0 3 t/τ r(t) = t h(t) y r(t) = e t/τ x 0 + k (t + (e t/τ ) τ) y (t), x Harmonische Antwort y (t), x 0 =0 c(t) y(t) 0 t δ(t) = für t = 0 δ(t) = 0 für t y δ (t) = e t/τ (x 0 + u 0 k τ ) t/τ y (t), x 0 =0 3.. Schrittantwort, Sprungantwort 0 t t/τ y (t), x 0 0 c(t) Anregung h(t) y(t)/(k*u 0 ) y (t), x 0 0 y (t), x 0 =0 c(t) = cos(ω t) h(t) y c(t) = e t/τ x 0 + [cos(ω t)+ ω τ sin(ω t) e t/τ k ] +ω τ k y s(t ) = +ω τ (cos(ω t)+ ω τ sin(ω t)) 0 t 0 h(t) = 0, t < 0 y h (t) = x 0 e t/τ + u 0 k ( e t/τ ) h(t) =, t 0 Für first Orer Element gilt: Steigung bei t=0 ist k. Dafür irekt Laplace-Trafo benutzen. τ t/τ 3. Stabilität Gleichgewichtspunkt: t x(t) = 0 Lyapunov Stabilität: Analysiert as Verhalten er Trajektorie in er Nähe eines Gleichgewichtspunktes x 0, wobei u(t) = 0 un x(0) 0 Bezieht sich auf as interne Systemverhalten 3

4 Boune Input Boune Output (BIBO) Stabilität: Analysiert as Verhalten bei x(0) = 0 un u(t) M < t Bezieht sich auf as Input-Output-Verhalten. alle nicht steuerbare Zustansvariablen sin asymptotisch stabil Nichtlineare Systeme: Ist as linearisierte System vollstänig steuerbar, ist es as nichtlinearisierte ebenfalls. 3.. Lyapunov Stabilität Stabilitätsprinzip Wenn ie Linearisierung eines nichtlinearen System um einen isolierten Gleichgewichtspunkt x 0 asymptotisch stabil (instabil) ist, ann ist ieser Gleichgewichtspunkt auch im nichtlinearen System asymptotisch stabil (instabil) x(t) = 0 = A x(t) t eta 0: x = 0 eta = 0: -viele Lösungen, x Kern(A) Stabilitätsarten: (λ i sin ie Eigenwerte er Matrix A) asymptotisch stabil: lim t x(t) = 0 Alle Eigenwerte haben Re(λ i ) < 0 stabil: x(t) < t [0, ] Alle Eigenwerte haben Re(λ i ) 0 un A ist iagonalisierbar instabil: lim t x(t) = Min. Eigenwert hat Re(λ i ) > 0 Ausnahme: mehrfache Eigenwerte λ i mit Re(λ i ) = 0 un A nicht iagonalisierbar: instabil Achtung Benutze en Blockmatrixtrick! Trick: Für x Matrizen gilt: et(a λi) = λ spur(a) λ + et(a) 3.. BIBO-Stabilität Siehe späteres Kapitel für genauere Infos 4. Beobachtbarkeit Beeutung: Welche Anfangsbeingungen x(0) können rekonstruiert weren, wenn nur er Ausgang y benützt wir? O n = c c A c A... c A n Rn n Rang(O n) = n et(o n) 0 λ i 0 i = System vollstänig beobachtbar wenn Rang voll ist. Beobachtbarer Teilraum: wir urch ie Zeilenvektoren von O n aufgespannt, ie nicht 0 sin nach em Gauss-Verfahren. Es lässt sich nicht einfach bestimmen, welche Variablen nicht beobachtbar sin. Detektierbarkeit: genau ann, wenn. vollstänig beobachtbar, oer. alle nicht beobachtbaren Zustansvariablen sin asymptotisch stabil System vollstänig stabilisierbar: genau ann wenn sowohl potentiell Stabilisierbar als auch Detektierbar 4 Analyse von Linearen Systemen - Teil 4. Steuerbarkeit Beeutung: In welchen Teil es Zustanraumes können ie Zustansvariabeln x gebracht weren, wenn nur er Eingang u benützt wir? R n = (b A b A b A n b) R n n Rang(R n) = n et(r n) 0 λ i 0 i = System vollstänig steuerbar wenn Rang vollstänig ist. Steuerbarer Teilraum: wir urch ie Spaltenvektoren von R n aufgespannt, ie nicht 0 sin nach em Gauss-Verfahren. Von R n lässt sich allerings nicht einfach bestimmen, welche Variable nicht steuerbar ist. Potentiell stabilisierbar: genau ann, wenn. vollstänig steuerbar, oer 4.3 Zustansraummoell minimaler Ornung Im ZmO sin alle nicht beobachtbaren un nicht steuerbaren Variabeln gestrichen woren, es ist also vollstänig steuer- un beobachtbar, amit auch Lyapunov stabil. Transformiert man ein ZmO in en Frequenzbereich, finen folglich keine Kürzungen statt. Minimale Realisierungen von Systemen in Zustansraumarstellung können wie folgt erzeugt weren:. System in Frequenzbereich transformieren. gemeinsame Pole un Nullstellen kürzen (Elimination von nicht steuerbaren un/oer nicht beobachtbaren Zustansgrössen) 3. Rücktransformation in en Zeitbereich, am einfachsten mit Frobenius-Form 4.4 Signalflussbil [ ] Mit A = 0, b = [ ] 0 4, c = [ 0] = 0 ergibt sich folgenes Bil: 5 4

5 5. Eigenschaften Linearität : L{a f (t) + b f (t)} = a F (s) + b F (s) Ähnlichkeit : L{ a f( t )} = F (s a) a. Verschiebungssatz : L{f(t a)} = e a s F (s), a 0. Verschiebungssatz : L {F (s) e a s } = H(t a) f(t a) Dämpfung : L{f(t) e a t } = F (s a), a 0 Differentiation t : L{ n x(t) t n } = s n n X(s) i= sn i (i ) x(t) t (i ) t=0 Differentiation s : L{t f(t)} = s F (s) t Integration t : L{ 0 s F (s) Integration s : L{ t f(t)} = F (σ)σ s Faltung t : L{f (t) f (t)} = F (s) F (s) Faltung s : L{f (t) f (t)} = F (s) F (s) Grenzwerttheorem : lim t 0 + f(t) = lim s s F (s), nur bei Konvergenz! Grenzwerttheorem : lim t f(t) = lim s 0 + s F (s), nur bei Konvergenz! Umwanlung: Frequenzbereich: 3s s+3 = 3 9 s+3 Zeitbereich Wichtigste Transformationen: f(t) = 0, t < 0 f(t) F (s) Impulse δ(t) Schritt h(t) s Rampe r(t) = h(t) t s h(t) t n e a t n! (s+a) n+ ω c(t) = h(t) sin(ω t) s +ω s c(t) = h(t) cos(ω t) s +ω ω h(t) sinh(ω t) s ω h(t) cosh(ω t) s s ω Transformation von Stanarelementen: Stanarelement Σ(s) y(t) Offener Integrator s Tiefpass. Ornung e (s+a) a t Tiefpass. Orung (s+a) t e a t t Faltungsintegral ist efiniert als: f g = f(t τ) g(τ)τ 0 in bung gezeigt: L{h(t) t sin(ωt)} = ω s (s +ω ) Merkregel bei er Differentiation in t: s ist absteigen, ie Punkte auf y(0) sin zunehmen 5 s 6s+ = 5 s(s 6)+ 5.3 Übertragungsfunktion 5 Laplace Transformation - Teil 5. Definition L{x} = X = x(t) e s t x 0 Zeitbereich (TD) SP ẋ(t) = A x(t) + b u(t) y(t) = c x(t) + u(t) I/0 y (n) (t) + + a 0 y(t) = b m u (m) (t) + + b 0 u(t) Frequenzbereich (FD) Y (s) = [c (s I A) b + ] U(s) Y (s) = bm sm + +b 0 s n + +a s +a 0 U(s) Die Übertragungsfunktion Σ(s) lässt sich also wie folgt berechnen: 5

6 aus DGL mit Ableitungsregeln (alle Anfangsbe. = 0) Σ(s) = b(s) a(s) = b ms m + +b s+b 0 s n +a n s n + +a s+a 0 aus Zustansraumarstellung: Σ(s) = Y (s) U(s) = c (s I A) b + = c Aj(s I A) et(s I A) b + niemals vergessen! Evt. Totzeiten erst im Nachhinein über Delay-Element berücksichtigen. berlege, wie u ie Determinante entwickeln willst! Berechnung er Inversen: A = et(a) Aj(A) Die Ajungierte lässt sich wie folgt berechnen: [Aj(A)] ij = ( ) i+j et(a ji ) (man beachte ie vertauschten Inizes!!) A ji R (n )x(n ) geht aus A R nxn hervor, inem ie j-te Zeile un ie i-te Kolonne aus A entfernt weren. Besipiel: Suche Position,3, ann streiche 3. Zeile,. Spalte, bile Determinante er uebrig bleibenen Matrix Beachte, ass meistens nicht alle Werte er Inversen un folglich er Ajungierten berechnet weren müssen, wie im folgenem Beispiel ] illustriert: ] [0 ] [ 0 (s + 7) 0 (s + 3) [ 0 Durch ie beien mit Null besetzten Stellen in en beien Vektoren weren ie Elemente mit * gekennzeichnet überflüssig un müssen un sollten somit nicht berechnet weren!! Immer für Systeme. Orung einfacher Fall benutzen: A = [ a a a a ] A = [ ] a a a a a a a a 3. Resiuen ρ i bestimmen 4. Einzelne Brüche rücktransformieren Faktorisierung Die Systemantwort im Frequenzbereich lässt sich urch Faktorisierung schreiben als: Y (s) = Σ(s) U(s) = ξ(s) (s π ) ϕ (s π ) ϕ (s π p) ϕp Y(s) hat p Pole π i mit Vielfachheit ϕ i Sin Kürzungen möglich, hat as System nicht beobachtbare oer nicht steuerbare Variablen. Es ist allerings nicht möglich zu bestimmen, ob as System nun nicht vollstänig steuer un/oer beobachtbar ist. Das kann nur urch as Analysieren er internen Beschreibung gemacht weren. Partialbruchzerlegung p ϕi ρ Y (s) = i,k i= k= (s π i ), ρ k i,k C ρ i,k = lim s πi (ϕ i k)! [ (ϕ i k) s (ϕ i k) {Y (s) (s π i) ϕ i} Rücktransformation { } L b (s+a) = b t n n e a t, a, b C Resultat y(t) = L {Y (s)} = L { p i= ϕi ϕi k= k= ρ i,k (k )! t(k ) e π i t ] } ρ i,k p { } ϕi = (s π i ) k i= k= L ρi,k (s π i ) k p y(t) = i= Vereinfachung: y(t) = b i e i a t b i e i a t = b sin (a t) 5.5 Stabilität The Companion oer Frobenius Form: Eine mögliche minimale Realisierung es Systems lautet mit er Wahl er steuerbaren Stanarform (controller canonical form): asymptotisch stabil: alle Pole π i von Σ(s) haben einen negativen Realteil grenzstabil: kein Pol π i von Σ(s) hat einen positiven Realteil un ie Pole π j Vielfachheit ϕ j = instabil: sonst mit Realteil 0 haben 6 Laplace Transformation - Teil II 6. Pole un Nullstellen π j = Polstelle ξ i = Nullstellen 6.. BIBO-Stabilität, betrachte Pole von Σ(s) 5.4 Inverse Laplace-Transformation Vorgehen Um as System in en Zeitbereich zurückzutransformieren, geht man wie folgt vor:. Nenner in Faktoren zerlegen. Pole un Vielfachheiten bestimmen y δ (t) ist ie Impuls-Antwort es Systems π i sin ie Pole von Σ(s) stabil: Re{π i } < 0, i y 0 δ (t) t < instabil: sonst Falls Lyapunov instabil aber BIBO-stabil er Zustan x essen Pol instabil ist, ist nicht beobachtbar oer steuerbar, hat aber auch keinen Einfluss auf as IO-Verhalten. BIBO instabil beeutet, ass as System auf ein beschränktes Eingangssignal eine unbeschränkte Antwort gibt (Rampe). 6

7 Pole: Schrittantwort: 6.. Pole Bezüglich es zeitlichen Verhaltens es Ausgangssignals y(t) haben ie Pole folgene Beeutung: Beim asymptotisch stabilen System verschwinen alle Eigenantwortanteile un alle transienten Anteile er erzwungenen Systemantwort asymptotisch Beim instabilen System treten exponentiell bzw. polynominal zunehmene Antwortanteile auf Beim grenzstabilen System können mit Eingangssignalen mit beschränkten Amplituen unbeschränkt wachsene Systemantworten erzeugt weren Einfluss von Polen auf Boe-Diagramm stabile Pole: jeer stab. Pol bewirkt eine Phasenverschiebung von 90 instabile Pole: jeer instab. Pol bewirkt eine Phasenverschiebung von +90 Einfluss von Polen auf Nyquist-Diagramm stabile Pole: jeer stab. Pol bewirkt eine Drehung um 90 (Uhrzeigersinn) instabile Pole: jeer instab. Pol bewirkt eine Drehung um Nullstellen Im internen Beschreib sin ie Nullstellen iejenigen Frequenzen, bei welchen ein nicht-triviales Eingangssignal u = e ζ i t un eine nicht-triviale Anfangsbeingung x (0) existiert, so ass er Ausgang y (t) = 0, t Nicht minimalphasige Nullstellen, also solche mit Re(ζ i ) > 0, haben zur Folge, ass as System lügt,.h. as Verhalten er Systemantwort geht kurzzeitig in ie falsche Richtung. Einfluss von Nullstellen auf Boe-Diagramm Schrittantwort: δ < : y(t) = h(t) e δ 0t cos(ω t) + δ 0 ω e δ 0t sin(ω t) δ > : y(t) = h(t) e δ 0t cosh(ω t) + δ 0 ω e δ 0t sinh(ω t) mit δ 0 = δ ω 0, ω = ω 0 δ, ω = ω 0 δ Falls δ <, hat ie Schrittantwort ein Maximum bei t <, un zwar bei t = π. Der Über- ω 0 δ schuss beträgt ann: ŷ = y(t ) = + ˆɛ = + e δ δπ/. Für δ [0.4, 0.8] kann als gute Näherung (Fehler < 4%) angenommen weren: t 90 = δ T 0 t 90 : Zeit, ie benötigt wir, amit y(t) 90% es Enwertes erreicht. Für einen guten Kompromiss zwischen kleinem Überschuss un kleinem t 90 wir δ im Intervall [0.4, 0.8] gewählt. Einfluss von Polen auf Schrittantwort:( ist oben links, 6 unten rechts) miniphasige NS: Jee mp NS bewirkt eine Phasenverschiebung um +90 nicht miniphasige NS: Jee nmp NS bewirkt eine Phasenverschiebung um Pole-Zero-Mapping Betrachte zuerst NS, anach ie Positionen er Pole. Für Systeme. Orung gilt: Steigung bei t = 0 entspricht em Wert er Nullstelle. Je näher ie Nullstelle am Ursprung, esto grässerer Einfluss hat sie. Falls keine Nullstelle hat Sprungantwort für t = 0 Steigung Null. Je näher ie Pole an er reellen Achse, esto geringer geämpft grässeres berschwingen. 4 Falls es nicht relevante Dynamik zu vernachlössigen gilt: schnellster Pol vernachlössigen! Schnellster Pol ist erjenige welcher am weitesten weg vom Ursprung liegt. Gilt auch für π + -Pole Beobachtungen: 6..5 System. Ornung Eine Nullstelle nahe bei einem Pol wir essen Einfluss verringern ω0 Σ(s) = s + δ ω 0 s + ω0 Pole:π, = ( δ ± δ ) ω 0 Je näher ie Nullstelle beim Ursprung, esto grösser er Einfluss. Auswirkung: Überschuss bei Schrittantwort wir grösser 7

8 6. Einfache Systeme 6.. Feer-Masse-Dämpfer-System 7.. Dezibell-Skala Definition: Übertragungsfunktion: /m Σ(s) = s + δ ω 0 s+ω 0 mit ω 0 = k m un δ = c m k 7 Frequenzantworten p ϕi y(t) = i= j= t(j ) e π it +α cos (ω t) + β sin (ω t) Durch Umformungen lässt sich zeigen: y (t) = A(ω) cos (ω t + ϕ(ω)) Amplitue: A(ω) = Σ(jω) Phasengang: ϕ(ω) = Σ(jω) Eigenschaften: Oktave entspricht Faktor, Dekae entspricht Faktor Boe Diagramme BD sin frequenz-explizite Repräsentationen er Frequenzantwort Σ(jω), welche ie Amplituenfunktion A(ω) = Σ(jω) un ie Phasenfunktion ϕ(ω) = Σ(jω) in zwei Diagrammen angeben. So lässt sich as Übertragungsverhalten von linearen zeitinvarianten Systemen übersichtlich arstellen. Totzeit: Betrachte ie zu erwartene Phase bei hohen Frequenzen: lim ω 0 L(jω) = r π Achtung: Gibt es noch NMP-Zeros? bei ω value = T Phasenverschiebung von - ra/s, as sin 57. Suche also Frequenz, wo Phase 57 von er zu erwartenen Phase abweicht. Phasenabfall urch Totzeit: Bsp: Wert an Stelle ω value ist π zu viel: e jωt ω=ω value = ω value T = π T = π ω value Wöhle as ω value bei möglichst hohen Frequenzen, wo Einfluss er aneren Elemente auf Phase vernachlössigbar. 7. Asymptotische Systemeigenschaften Spezielle Form er Transfer Function es Systems: Σ(s) = b m s m + +b s+b 0 s k (s n k +a n k s n k + +a s+a 0 ), a 0 0 n: Ornung r=n-m: relativer Gra, bestimmt ie Phase es Systems für hohe Frequenzen. Je grösser, esto mehr Lag (Verzögerung bei er Systemantwort), was ie erreichbare Banbreite im Feeback-Control einschränkt. für hohe Frequenzen: Σ(jω) b = r 0B log(ω) k: Typ, entspricht en Anzahl Polen im Ursprung,.h. Anzahl offener Integratoren. Der Typ bestimmt ie Phase es Systems für kleine Omega. Wichtig um Fehler beim Steay State zu bestimmen, wenn Σ(s) ein close-loop System ist Falls System mit. Orung un Resonanzüberhöhung, aber -0B/ec abfallen > NMP-Zero mit erselben Cornerfrequency Zum Invertierten Tiefpass: Normal: Phasenanstieg um 90, in analogie zum First Orer Element. Falls aber NMP Zero im invert. Tiefpass, gilt wieer as umgekehrte: Phasenabfall von 90!! 7.3 Systemientifikation Mit em Boe können k un r irekt aus em Amplituengang bestimmt weren: k: Steigung bei kleinem ω betrachten: 0B/ec k =, 40B/ec k =, etc. r: Analog zu k, aber grosse ω betrachten 8

9 δ aus Resonanz bestimmen: Betrachte en Betrag er Ueberhoehung: Sigma 0 (jω) = 4.0B = = 5.0 Für δ < gilt: δ =... zuem gilt: ω 0 = ωmax δ 7.5 Nichtparametrische Unsicherheit 7.4 Systemientifikation mit Frequenzantwort Das System lässt sich urch Betrachten er Systemantwort eines Frequenzsignals bestimmen,.h. konkret urch analysieren es entstehenen Boe-Diagramms. Mit ieser Methoe können leiglich asymptotisch stabile Systeme angenähert weren. Falls as System nicht asymptotisch stabil sein sollte, kann es oft mit einer Close-Loop Struktur bestimmt weren, sie müssen also erst stabilisiert weren (urch einen Controller).. Typ un rel. Gra bestimmen. Anzahl Elemente bestimmen, oft: 3 Elemente, je eines für Nieer-, Mittel- un Hochfrequenz 3. Für ie einzelnen Elemente ie benötigten Parameter bestimmen,.h. Σ i (s) bestimmen. Dabei für as. Element k p setzen, für ie folgenen setze k p = (0 B) 4. Alle Elemente miteinaner multiplizieren, um engültiges Σ(s) zu bestimmen. Σ(s) = K Σ (s)σ (s)σ 3 (s). K ist eine unbestimmte Verstärkung. Sie ist für ie Verstärkung bei nierigen Frequenzen zu bestimmen. k p kann auch über ein Wertepaar bei tiefen Frequenzen bestimmt weren. Σ(jω klein ) = 60B = k Dazu Bsp: ω klein = 0.0 ra/s, i. e. j 0.0 = 00 k =! 000 araus folgt: k = 0 Siehe auch Kapitel 6.. un 6..3! Einige Hints Σ t(s): unbekanntes exaktes System, linear & zeitunabhängig Σ(s): nominales System W (s): Unsicherheitsgrenze T un mit U i (s) = U i (s) i s+ α i T i + ie Funktion bestimmen, ie ie Messwerte einschliesst. α i < bestimmt abei ie Steigung, T i = ie Frequenz, ab welcher ieser Teil er Funktion wirkt. Es ω k αk sollten so wenige U i (s) verwenet weren um ie Ornung von U(s) nierig zu halten. 8 Analyse von Feeback Systemen 8. Definitionen offener Integrator verursacht eine Steigung für ω 0 Resonanz mit Phasenabfall 80Gra bei gleichem ω eutet auf ein System zweiter Ornung hin. Änerung er Steigung bei ω um 0b/ek mit gleichzeitigem Phasenanstieg um 90Gra eutet auf eine Nullstelle hin Σ = ω + s Linearer Phasenabfall mit steigener Frequenz eutet auf eine Totzeit hin. Bei er Frequenz ω T = T verursacht eine Totzeit e st eine Phasenverschiebung von - Raian (ungefähr 57 Gra). Beachte abei ie Phase φ ie as System bei hohen Frequenzen ohne Totzeit hätte. Bestimme ω T am Ort φ + 57Gra k bestimmen: Bestimme k erst am Schluss: z.b. P (0) = k a = 00 = 40B Beachte also ie DC b Gain!! L(s) = P (s) C(s) = T (s), loop gain, Kreisverstärkung: Transferfunktion von e y S(s) + L(s), return ifference, Kreisverstärkungsifferenz µ = min ω + L(jω) =, minimum return ifference max S(jω) S(s) =, sensitivity, Sensitivität: Close Loop Transfer Function y +L(s) T (s) = L(s), complementary sensitivity, komplementäre Sensitivität: Close Loop Transfer Function r y, meist als Regelsystem +L(s) bezeichnet Das Systemverhalten im Close Loop Zustan lässt sich also wie folgt arstellen: Y (s) = S(s) [D(s) + P (s) W (s)] + T (s) [R(s) N(s)] 9

10 . h. Stoerungen weren mit er Senitivitaet verstaerkt, Rauschen mit er komplementaeren Sensitivitaet Zu beachten: S(s) + T (s) =. Das hat zur Folge, ass vollstänige Störungs- un Rauschunterrückung gleichzeitig nicht möglich ist. 8. stat. Verstaerkungsfaktor (DC-Gain): betrachte lim ω 0 Σ(jω); resp. lim s 0 s P (s) Bei Sprungantwort heisst as betrachte P(0) falls Regelsystem auch Controller berücksichtigen,. h. betrachte statische Verstärkung L(0)...? 8.4. Beispiel Limes-Berechnung L(jω) = 3jω+3 (jω+) lim ω 0 L(jω) = 3 lim ω L(jω) = 0 Die Phase mit welcher er Frequenzgang in en Ursprung läuft: lim ω (L(jω)) = lim ω ( 3jω+3 (jω+) ) = lim ω ( 3jω + 3) lim ω (jω + ) = π π 8.3 Close Loop Systemstabilität / Regelkreisstabilität 8.3. Methoe Ein Close Loop System ist genau ann intern stabil, wenn alle Übertragungsfunktionen von w, un r nach u,y un e asymptotisch stabil sin: Es müssen also ie Pole er 4 Funktionen S(s), S(s) C(s), S(s) P (s) un T (s) untersucht weren. Deshalb gilt: Never cancle unstable poles! 8.3. Methoe Zeigen ass S(s) asymtotisch stabil ist, un kontrollieren, of folgene Beinung gilt: S(ζ + i ) = un S(π+ i ) = 0 wobeiζ + i ie NMP NST un π + i ie instabilen Pole von L(s) sin Faustregel Für ein minimalphasiges un stabiles System Σ(s) mit relativem Gra r gilt: lim ω Σ(jω) = r π lim ω 0 Σ(jω) = k π lim ω Σ(jω) = 0 Die Nyquist-Kurve eines Systems erster Ornung ist immer ein Kreis. Beachte: Instabile Pole, NMP Zeros, offene Integratoren un en Richtungssinn er Nyquistkurve!! Nominale Close Loop Systemstabilität, betrachte L(jω) Nyquist Theorem: Sei n + ie Anzahl Pole mit positivem Realteil un n 0 ie Anzahl Pole auf er imaginären Achse er Open Loop Übertragungsfunktion L(s). Weiter sei n c ie Anzahl Umrunungen von L(jω) von im Gegenuhrzeigersinn, wenn ω von bis läuft. Das Close Loop System T (s) ist genau ann un nur ann asymptotisch stabil, wenn gilt: n c = n 0 / + n +. Achtung, beachte Drehsinn un evt. Vielfachheiten! Methoe 3 Zeigen ass + L(s) = 0 keine NST mit Realteil grösser Null hat un ass es keine Pol/NST-Kürzungen mit positivem Realteil sowohl bei S(s) als auch bei T (s) gibt. Allgemeines Beispiel: Tiefpass: 8.4 Nyquist-Diagramme Hat man eine Regelstrecke mit einer Übertragungsfunktion P (s) un einem Controller C(s), so interessiert einen, ob as Regelsystem mit Eingang r un Ausgang y asymptotisch stabil ist. Dies kann mit er Übertragungsfunktion L(s) = P (s) C(s) es aufgeschnittenen Regelkreises erklärt weren. Eingezeichnet wir ie Nyquistkurve in er komplexen Zahlenebene, inem ie komplexe Funktion L(jω) für ω = 0 bis ω = aufgetragen wir. Der Bereich von ω = bis ω = 0 ergibt sich urch Spiegelung er vorhanenen Kurve an er Real-Achse. Einige wichtige Parameter, ie sich mit einem Nyquist-Diagramm bestimmen lassen: 0

11 ω c: Durchtrittsfrequenz µ: kritischer Abstan γ: Verstärkungsreserve ϕ: Phasenreserve Berechnung von ω γ: Im(L(jω γ)) = 0 (Auch möglich: Phase im Boeiagramm muss bei iesem ω 80 betragen, aber as ist eine unsichere Methoe!) Berechnung von γ: γ = Re(L(jωγ)) Berechnung von µ: µ = min ω + L(jω) = Berechnung von ω µ: min ωµ + L(jω µ) = max S(jω) max S(jω µ) 8.5 Grenzen von Close Loop Systemen 8.5. Sensitivitätsgrenzen Berechnung von ϕ: Senkrechter Abstan er Phase im Boe-Diagramm zu 80 bei ω c Anmerkung: Nyquist-Diagramme sin nicht eineutig,.h. zwei Funktionen, ie unterschieliche Boe- Diagramme haben, können as gleiche Nyquist-Diagramm haben. Der Grun afür ist, ass ie Frequenz im Nyquist-Diagramm prinzipiell nicht ersichtlich ist Robuste Close Loop Systemstabilität Es lassen sich also nicht im selben Frequenzban sowohl Störungen als auch Rauschen unterrücken. Zusätzliche Grenzen weren em System urch en Wasserbetteffekt gesetzt: Mit L(s) = P (s) C(s) = s (s +s+) k weren folgene rei Plots S i (jω) berechnet: S (jω) mit kleinem k > 0 S (jω) mit grossem k < S 3 (jω) mit C(s) = s Analyse: S zwar bessere Störungsunterrückung, afür höheren Peak. Wasserbett Bei ω u ist S 3 (jω) >> un arum keine gute Wahl. 8.6 Störunterrückung un Rauschunterrückung Störungen D(s) weren mit er Sensitivität S(s) verstärkt. Störungsunterrückung ist vorwiegen bei kleinen Frequenzen wichtig. Desshalb sollte ie Sensitivität bei iesen Frequenzen möglichst klein sein. Y (s) = S(s) D(s) = +C(s) P (s) D(s) Robust Nyquist Theorem: Das unsichere Close Loop System, as beschrieben wir urch {P (s), W (s)} un einem Controller C(s) ist asymptotisch stabil genau ann un nur ann, wenn as nominale Close Loop System asymptotisch stabil un folgene Beingung erfüllt ist: W (jω) L(jω) < + L(jω), ω [0, ] Für Reglerauslegung: Integralteil es Reglers ominant,. h. Verhältnis sein. kp T i sollte mäglichst gross Rauschen N(s) wir mit er komplementären Sensitivität T (s) verstärkt. Rauschunterrückung ist vorwiegen bei hohen Frequenzen wichtig. Deshalb sollte ie komplementäre Sensitivität T (s) (un somit auch L(s)) in em Frequenzbereich möglichst klein sein.

12 Y (s) = T (s) N(s) = L(s) +L(s) N(s) ist am bes- Für Reglerauslegung: Proportionalteil bei hohen Frequenzen ominant,.h. kleines k p ten Grenzvorgaben an ie Durchtrittsfrequenz Grenzen urch Moellunsicherheit Kreisverstärkung L(jω) muss Nahe 0 sein, wenn ie Moellunsicherheit 00% erreicht,.h. für ω > ω ω bestimmen: W (jω )! = Grenzen urch nicht-minimalphasige Nullstellen Die Durchtrittsfrequenz muss eutlich kleiner sein als eine einzelne nicht-minimalphasige Nullstelle, ω c ζ + Totzeiten e s τ haben en gleichen Effekt, ie obere Grenze ist ann urch ie Frequenz τ gegeben Grenzen urch instabile Pole Die Durchtrittsfrequenz ω c muss eutlich grösser sein als er instabile Pol mit em grössten Realteil weitere Funamentale Voraussetzungen Störungen ürfen nur nierige Frequenzen aufweisen Rauschen n muss genügen hohe Frequenzen haben Störungen un Rauschen müssen eutlich getrennt sein, ω ω n (min. Decaes) Beispiel für Dämpfungsbeingung Falls z.b. gegeben ist, ass ein System ie Störungen D(s) immer min. um einen Faktor 0 ämpfen soll, so beeutet as, ass bei er Durchtrittsfrequenz ω c er senkrechte Abstan von L(jω c) zu D(jω c) min. 0 = 0B betragen soll. Daraus lässt sich er Faktor berechnen, wieviel grösser ω c als ω sein muss. Faustregel Damit sich eine Regelaufgabe sinnvoll lösen lässt, muss für ie Durchtrittsfrequenz ω c folgene Ungleichung erfüllt sein: Aus em Plot wir auch ersichtlich, ass L(jω) = T (jω). Die beien Kurven von S(jω), T (jω) schneien sich bei er Durchtrittsfrequenz ω c un haben an ieser Stelle en selben Betrag, a L(jω) = S(jω) gelten muss. 9 Spezifikationen an ein Feeback System 9. Statischer Nachlauffehler max{0 ω, ω π +} < ω c < min{ ω, ω elay, ω ζ +, 0 wn} e = lim e(t) = S(0) = T (0), wünschenswert: e = 0 t Dieser Fehler soll für t gegen 0 gehen, enn e ist ie Differenz vom Sollwert zum Istwert (siehe Schaubil in Kapitel 8.). Das ist nur er Fall, wenn L(0) eine unenliche Magnitue hat, also er Typ k ist, enn S(0) = +L(0).

13 9. Spezifikationen an ein System. Ornung Erinnerung: T (s) = ω 0 s + δ ω 0 s+ω 0 gute Näherungen für ein unterkritisch geämpftes System: ln(ˆɛ) δ π δ δ = ˆɛ = e π + ln(ˆɛ) Für δ [0.4, 0.8] gilt folgene Approximation: ω 0 = ( δ) π t 90 Für ie Reglerauslegung ist es praktischer, Spezifikationen für en offenen Regelkreis im Frequenzbereich vorzugeben, a lineare Abhängigkeit vom Regler C(s) Übertragungsfunktionen sin leichter zu hanhaben als DGLs Nach einigem Rechnen finet sich: Durchtrittsfrequenz: ω c = ( δ) 4 δ 4 + δ π t 90 ω c.7 t 90 Phasenreserve: ϕ = π arctan( 4 δ 4 + δ δ ) ϕ 7 7 ˆɛ 9.3 Frequenzbereich Spezifikationen 9.3. Peaking Limitations Eine erste Möglichkeit, um as Design zu quantifizieren, ist, ie Worst-Cases zu betrachten. Aus er Beingung, ass nicht S un T klein sein können für ieselbe Frequenz, sowie er Annahme, ass S un T nahe ω c grösser als weren, lässt sich folgene Spezifikation treffen: S < S max, T < T max, S max, T max >, wobei S = max ω R S(jω) S < S max L(jω) / { + z z C} S max Geometrisch Interpretiert im Nyquist-Diagramm ist as ein Kreis um en Horrorpunkt - mit Raius. L(jω) arf nicht urch iese Kreisscheibe laufen. Folglich bei S S max = ist er Raius un geht max urch en Nullpunkt, also sehr schlecht. Phasenreserve manuell bestimmen Totzeit einbauen: Zieht em System e jω T Phase ab. T es Delays aufrehen, bis System grenzstabil. φ = ω T Beispiel eines Systems. Ornung P (s) = 0.5 s+ s (s, C(s) = kp +s+) Beingungen: ˆɛ 0., t 90 so klein wie möglich Es folt: Phasenreserve ϕ = Da ieser Controller ie Phase von L(s) nicht beeinflussen kann, wir ie Durchtrittsfrequenz ω c mit er Phasenreserve bestimmt. Somit: ω c Bei er Durchtrittsfrequenz muss L(j ω c) = sein (siehe Boe-Diagramm oer Nyquist-Diagramm!), also ist k p = /( P (j 0.65) ) Die t 90 -Zeit lässt sich also berechnen, t 90 =.7.6s. Die Schrittantwort zeigt, ass ie wahre t ω 90 - c Zeit bei ca..8s liegt un er Überschuss ca. 0. beträgt. Diese Abweichungen können erwartet weren, weil as System kein echtes System. Ornung ist. Zuem sin ie Abweichungen klein. 0 Feeback Control Design I 0. PID Controllers Die meisten Strecken in er Praxis sin stabil un minimalphasige Tiefpass-Systeme von nieriger Ornung. Solche Systeme. oer. Ornung können sehr gut mit PI oer PID Controllern geregelt weren. Der PID Controller ist einer er häufigsten Regler. Der Regler hat folgene Struktur: C(s) = k p }{{} P + s T i } {{ } I + s T }{{} D (sτ + ) 3

14 T : Vorhaltezeit T i : Nachstellzeit kritische Verstärkung beim P-Regler: K p veränert nur ie Grösse er Nyquistkurve,.h. ω bleibt für alle möglichen K p ieselbe Frequenz. Bei er Durchtrittsfrequenz ω c ist per Definition L(jω c) = C(jω c) P (jω c) = φ un P (s) gegeben: arg(l(jω C ))! = 80 + φ Argument in Raians umrechnen: φ gra Argumente sin aitiv! π 80 = φ raians Falls PD-Regler un Form von T(s) gegeben, klammere sinnvoll aus un bestimme so ie Regelparameter. kp für P-Regler aus Boeiagramm bestimmen: Plant hat bei ω Betrag von B. kp amit -B = 0.09 Chien-Hrones-Reswick Man geht von einer Schrittantwort aus. Ziegler un Nichols Tuning Rules Kann angewenet weren, wenn nur gemessene Daten vorhanen sin. Ergibt eine erste gute Näherung für en P, PI, PD oer PID Controller. Annahme: P (s) k τ s+ e T s T, T +τ < 0.3 Vorgehen:. Folgene Parameter wie folgt setzen: T i =, T = 0, τ = 0. k p erhöhen, bis eine Oszillation im Steay-State bereicht auftritt, kp = P (jω ) 3. Bei ieser Oszillation ie Perioenauer T = π ω bestimmen 4. Gemäss Tabelle ie Werte für k p, T i, T wählen 5. Keywors für Prüfung: geschl. Regelkreis aus P un C, k p erhöhen, auf Impuls antwortet ungeämpfte Schwingung. t bestimmen, bei welcher y t = 0. Tangente urch iesen Punkt legen un δ un α bestimmen 3. Parameter Gemäss Tabelle bestimmen k p T i T P, 0% Überschwingen 0.3/α δ 0 δ P, 0% Überschwingen 0.7/α δ 0 δ PI, 0% Überschwingen 0.6/α 4.0 δ 0 δ PI, 0% Überschwingen 0.7/α.3 δ 0 δ PID, 0% Überschwingen 0.95/α.4 δ 0.4 δ PID, 0% Überschwingen./α.0 δ 0.4 δ k p T i T τ P 0.5 k p T 0 T PI 0.45 k p 0.85 T 0 T PD 0.55 k p T 0.5 T PID 0.60 k p 0.50 T 0.5 T T /0 Loop Shaping by Parameter Tuning Die beien Methoen liefern meistens nicht as beste Ergebnis. Durch varieren er einzelnen Parameter (in Matlab) kann oft ein wesentlich besserer Regler gefunen weren mit besserer Verstärkungsreserve oer besserer Schrittantwort. Für PI-Regler gilt: ω = π T un Plant bei kritischer Frequenz rein reell: Im(P (jω )) = 0, P (jω ) = π Kritische Verstärkung k p un kritische Frequenz ω : Zur Bestimmung kann ie Beziehung k p P (jω ) = verwenet weren. Vergleiche Realteil un Imaginärteil 0. Lea/Lag - Iteratives Loop Shaping Lea-/Lag-Elemente können als Differentiatoren bzw. Integratoren für ein begrenztes Frequenzban angesehen weren. Mit Lea-Elementen kann ie Phasenreserve nahe em kritischen Punkt gezielt erhöht weren. Lag-Elemente bewirken eine Reuktion er Verstärkung für hohe Frequenzen, sog. rolloff. 4

15 T s + C lea,lag (s) = k, Lea: 0 < α <, Lag: α > α T s + [ ] α = tan(γ) + tan(γ) = sin(γ) + sin(γ), T = ˆω α ˆω ist ie gewünschte Frequenz es Peaks, γ ist ie gewünschte Phasenverschiebung. Verstärkung aufgrun Lea oer Lag: k lea/lag = α Lea-Element:.. Plant Inversion Methos P (s) = np(s), Annahme: P ist minimalphasig un stabil p(s) Mit em Controller C(s) = T p(s) i s n p(s) L(s) = T i s (τ s+) r (τ s+) r ergibt sich folgener Loop Gain: Mit ieser Methoe sollte allerings vorsichtig umgegangen weren. Das Close Loop System kann ein sehr schlechtes Verhalten aufzeigen, enn ie Pole un Nullstellen kommen inirekt immernoch vor: (Vereinfachung: τ T i ) Y (s) = T R(s) + T i s i s+ T D(s) + T i s P (s) W (s) i s+ T i s+ Im ritten Summan erscheinen ie Pole un Nullstellen. Hat as System sehr langsame Pole, kann as System auf Störungen beim Streckeneingang schlecht reagieren.. Loop Shaping mit nicht-minimalphasige Nullstellen Feeback Control Design II Beispiel P (s) = s+ (s +s+) (s+) Die Nullstelle ist ζ + = 0.5, eshalb wir ω c = 0. ra gewählt. Es wir ein PI-Controller gewählt, s C (s) = k p( + T ). Die Parameter kp un T i weren so gewählt, ass gewünschtes ω c erreicht wir i s un ass bei er Durchtrittsfrequenz L (jω) Betragsabfall von 0B/ec hat. Ergebnis: k p = 0.037, T i = 0.. Mit Ziegler-Nichols-Methoe erhielt man: k p = 0.7, T i = 6, jeoch war as Ergebnis sehr schlechte Störungsunterrückung sowie schlechte Eigenschaften bei er Robustheit. Zusätzlich wir ein Lea-Controller angefügt, um as Verhalten weiter zu verbessern, L (s) = P (s) C (s) C lea (s):. Loop Shaping un Robustheit Ist eine Störung präsent, ie sich urch eine er folgenen 3 Funktionen beschreiben lässt, ist as System instabil: L (s) = L(s) e j α s, α R, α > φ r L (s) = L(s) k, k R, k > γ r L 3 (s) = L(s) + z, z C, z > µ r, arg{z} [ π, +π] Durch Maximieren er Parameter φ r, γ r un µ r (am wichtigsten) erhält man ein robusteres Design. Jeoch wir ie Leistung es Systems reuziert. 5

16 r = r = r = 3.3 Loop Shaping bei instabilen System Im Im Im Instabile können nur stabilisiert weren, wenn sie eine hohe Durchtrittsfrequenz haben. Das kann zu Problem mit en Grenzen urch Unsicherheit, Nullstellen, etc. führen. Beispiel: Invertiertes Penel g P (s) = s (l M s g (m+m)) Das System hat Pole auf er imaginären Achse sowie Pol in er rechten Hälfte er komplexen Ebene. Nach Nyquist-Theorem muss L(jω) en Horrorpunkt genau mal umrunen. Nach einigen Überlegungen wir klar, ass L(jω) von rechts kommen muss, amit Umrunungen möglich sin (von links sin nur 0.5,.5,... Umrunungen möglich für 0 < ω < ). Also muss C(0) < 0 sein. Weil Umrunungen nötig sin, muss er Controller eine Phasenverschiebung von 80 oer etwas mehr haben. Das kann am besten mit 3 minimalphasigen Nullstellen erreicht weren. Deshalb braucht er Controller auch 3 Pole, um ie Nullstellen zu realisieren. Vorschlag für Controller: C(s) = k p (τz s+)3 (τ p s+) 3, wobei τ z > τ p gelten muss für eine positive Phasenverschiebung. Die genauen Werte können iterativ gefunen weren. Akzeptable Lösung: k p = 0., τ z =.3, τ p = Feeback Control Design III. Wurzelortskurven-Methoe σ a 0 Re σ a 0 Re σ a 0 Um zu Entscheien, ob ein Punkt z C Teil er Wurzelortskurve ist, muss er Punkt folgene Beingung erfüllen: {Σ m i= arg(z ζ i) Σ n i= arg(z π i)}mo360 = 80 Für ie reelle Achse gilt: Sin rechts von einem Punkt z noch genau eine ungerae Anzahl Singularitäten (Pole un Nullstellen), so ist ieser Punkt Teil einer Asymptote Verschieben einer Asymptote Für en Fall von einem System. Ornung gilt: Ein bestehener Pol b muss neutral gemacht weren un ein neuer Pol an er Stelle π es eingefügt weren. Parameter: a = Re{π es } Beispiel: P (s) = C(s) = s s+.5 s+a P (s) C(s) s+.5, C(s) = s, gewünschter Pol: π es =.7 ± j.37, also: a = 3.4 somit: P (s) C(s) Re Dieses Verfahren ist eine Methoe zur graphischen Darstellung er Pole er Übertragungsfunktion es geschlossenen Regelkreises aus er Lage er Pole un Nullstellen es offenen Regelkreises in Abhängigkeit er Verstärkung k p. Die Übertragungsfunktion es offenen Regelkreises lässt sich als rationale Funktion schreiben (0 < m n, b m 0): L(s) = k p b(s) a(s) = kp b m s m + +b s+b 0 s n +a n s n + +a s+a 0 Daraus folgt ie Übertragungsfunktion es geschlossenen Regelkreises: T (s) = L(s) +L(s) = kp b(s) a(s)+k p b(s) Also sin ie Pole es geschlossenen Regelkreises ie Nullstellen (Wurzeln) es Polynoms: p(s, k p) = a(s) + k p b(s) Erkenntnis Für k p konvergieren m Pole es geschlossenen Regelkreises zu en m enlichen Nullstellen von L(s). Die übrigen n m Pole nähern sich en n m Asymptoten mit Startpunkt σ a + j 0 un Winkel zur rellen Achse δ i. [ n ] m σ a = n m Re{π i } Re{ζ i }, δ i = 80 ( (i ) + ),i =,, r n m i= i= Je nach relativem Gra ergeben sich immer ieselben Asymptoten:. Cascae Control Loops CCLs eignen sich gut für Strecken mit einer eutlichen Zeitskala Hierarchie (time-scale hierarchy),.h. mit einem schnellen inneren Loop un einem langsamen äusseren Loop. Oft ist abei y s ie zu kontrollierene Variable un y f ist er Wert, er nicht von primärem Interesse ist. Das Vorgehen für as Design nutzt iese Zeitskala Separation, so ass er Design-Prozess in zwei Schritte geglieert weren kann: 6

17 . Beim Auslegen es schnellen inneren Controllers C f (s) wir er äussere langsame Loop vernachlässig. Das Ziel von iesem Design ist es, ie Banbreite ganz auszunutzen, eshalb ist üblicherweise kein Integrator in C f (s) enthalten. Meist ist ein simpler Proportionalitäts-Controller oer ein phasenerweiterner Controller in C f (s) enthalten.. Der langsame äussere Controller C s(s) wir mit em inneren, geschlossenen Loop ausgelegt. Das Ziel es äusseren Controllers ist Kontroll-Genauigkeit. Deshalb enthält er meist Integratoren. Da er innere Controller für hohe Frequenzen optimiert ist, ie möglichen Durchtrittsfrequenzen sin höher als iejenigen mit nur einem Output-Feeback. Nebst em erhöhen er Banbreite reuziert er innere Loop ie Effekte von Moellunsicherheit oer Nichtlinearitäten. 7

18 3 Diagramme 3. gute Boe-Diagramme Integrator I Differentiator D 3. weitere Boe- un Nyquist-Diagramme 3.. Integrator Element Tiefpass PT invertierter Tiefpass PD System. Ornung Totzeit 8

19 3.. Differentiator Element 3..4 Secon-Orer Element 3..3 First-Orer Element 3..5 Realizable Derivative Element, Dirty D 9

20 3..6 Lag Element 3..8 PID Element 3..7 Lea Element 3..9 First-Orer All-Pass Element 0

21 3..0 Secon-Orer All-Pass Element 3.. Delay Element 4 MatLab Befehl Anwenung [a b c; e f] Definieren einer x3-matrize Systemefinitionen tf(...) Definieren er Funktion im Frequenzbereich ss(...) Definieren er Matrizen A,b,c, im Zeitbereich P.ioelay=... Fügt er Funktion P eine Totzeit hinzu (Sys.ioelay=... ist auch möglich) Analyse pole(...) Gibt Pole eines Systems an zero(...) Gibt Nullstellen eines Systems an ctrb(...) Berechnet ie Steuerbarkeitsmatrix obsv(...) Berechnet ie Beobachtbarkeitsmatrix rank(a) Gibt en Rang von A an [V, D]=eig(A) In V stehen ie Eigenvektoren, in D in er Diagonalen ie Eigenwerte Diagramme nyquist(...) Erzeugt ein Nyquist-Diagramm eines Systems boe(...) Erzeugt ein Boe-Diagramm eines Systems rlocus(...) Erzeugt ein Root-Locus-Diagramm, Wurzelortskurve impulse(...) Erzeugt Impulsantwort eines Systems step(...) Erzeugt Schrittantwort eines Systems Übertragungsfunktion. s=tf( s ). P=(s )/(s (s + s 3)) Definieren er Matrizen A,b,c,. A=[3 ;4 ],b=[;],c=[ 0],=0. Sys=ss(A,b,c,) Umwanlung zwischen Frequenz- un Zeitbereich. P=tf(Sys). Sys=ss(P) Angeben er Nullstellen un Pole. Pol=pole(Sys). Pol=pole(P) 3. Pol() gibt en Wert vom ersten Pol zurück 4. Null=zero(Sys) 5. Null=zero(P) 6. Null() gibt en Wert von er zweiten Nullstelle zurück Erzeugen er Zustansraumarstellung minimaler Ornung. Sys=ss(A,b,c,). Sys min =ss(tf(sys)) (Funktioniert nicht immer) Erzeugen von Diagrammen. boe(p). boe(sys) (Es sin beie Varianten, also mit P oer Sys, für alle Diagramme möglich) Berechnen er Steuerbarkeits- un Beobachtbarkeits-Matrizen. R=ctrb(Sys). R=ctrb(A,b) 3. O=obsv(Sys) 4. O=obsv(A,c) Definieren einer

22 5 Anhang 5. Trigo Einige Funktionswerte α sin 0 cos tan 0 cot - lim x arctan(x) = π lim x arctan(x) = π π π π π 3 π π Lineare Allgebra 5.. Determinanten Berechnung Die Eigenwerte einer blockiagonalen Matrix sin ie Eigenwerte er einzelnen Blöcke Anhang Koorinatrnetransformation: Kartesisch Zylinrisch Sphaerisch x ρ= x +y r= x +y +z y ϕ=arctan( y x ) θ=arctan( x +y ) z z z=z ψ=arctan( y x ) x=ρcos(ϕ) ρ r= ρ +z y=ρsin(ϕ) ϕ θ=arctan( ρ z ) z=z z θ=ϕ x=rsin(θ)cos(ρ) ρ=rsin(θ) r y=rsin(θ)sin(ρ) ϕ=ψ θ z=rcos(θ) z=rcos(θ) ψ V =xyz V =r rφz V =r sin(θ)rφθ Partialbruchzerlegung: Bei einfachen Nullstellen ( un 3): N (x )(x+3) = A x + B x+3 Bei mehrfachen Nullstellen ( (-fach) un 3): N (x x+)(x+3) = A x + B (x ) + C x+3 Bei komplex konj. Nullstellen (±i un 3): N (x +)(x+3) = Ax+B x + + C x+3 Ableitungen: (sin(ax)) = a cos(x) (cos(ax)) = a sin(x) (log a x ) = (log a e) x = x ln a (a cx ) = (c ln a)a cx (tan x) = cos x = + tan x (arcsin x) = x (arccos x) = x (arctan x) = +x (arsinh x) = +x Verschieene Integrale: (ax + b) n x = (ax+b)n+, (n ) (n+)a ax+b x = ln ax + b a x(ax + b) n x = (ax+b)n+ (n+)a ax+b px+q x = ax p + bp aq p ln px + q a +x x = a arctan( x a ) a x x = a ln a+x a x b(ax+b)n+ (n+)a Integrale von trigonometrischen Funktionen: sin(ax + b)x = cos(ax + b) sin(ax) x = x sin(ax) 4a sin x = cot x x cos(x) sin(ax)x = a sin(x) cos(ax)x = a sinh(x) x = x sinh x cosh x sin(ax) x sin(ax)x = a x cos(ax) a x sin(nx)g = x n cos(nx) + n ( cos(nx) n cos(ax) x = x + sin(ax) 4a cos x = tan x x cos(ax) x cos(ax)x = a + x sin(ax) a x cos(nx)x = x n sin(nx) n ( sin(nx) n sin(ax) sin(ax) cos(ax)x = a tan(ax)x = ln cos(ax) a arcsin(x)x = x arcsin(x) + x arccos(x)x = x arccos(x) x arctan(x)x = x arctan(x) ln( + x ) cot(x)x = ln sin x Integrale er Exponentialfunktion: + x sin(nx) n x cos(nx) n x e ax x = ( ax a ) e ax x ln(x)x = x (ln(x) ) e a x x = aπ Euler - Beziehungen: e ±iφ = cos φ ± i sin φ sin(x) = i (eix e ix ) cos(x) = (eix + e ix ) tan(x) = eix e ix i(e ix +e ix ) sinh(x) = (ex e x ) cosh(x) = (ex + e x ) tanh(x) = ex e x e x +e x arsinh(x) = ln(x + x + ) ( < x < ) arcosh(x) = ln(x + x ) (x ) artanh(x) = +x ln( ) ( x < ) x arcoth(x) = x+ ln( ) ( x > ) x Aitionstheoreme: sin(90 ± α) = cos α sin(80 ± α) = sin α cos(90 ± α) = sin α cos(80 ± α) = cos α sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tan α±tan β tan(α ± β) = tan α tan β Doppelwinkelformeln: sin(α) = sin α cos α cos(α) = cos α sin α = cos α = sin α tan(α) = tan α tan α Formeln für reifache Winkel: sin(3α) = 3 sin α 4 sin 3 α cos(3α) = 4 cos 3 α 3 cos α tan(3α) = 3 tan α tan3 α 3 tan α Formeln für Potenzen: sin x = [ cos(x)] sin 3 x = [3 sin x sin(3x)] 4 sin 4 x = [cos(4x) 4 cos(x) + 3] 8 cos x = [ + cos(x)] cos 3 x = [3 cos x + cos(3x)] 4 cos 4 x = [cos(4x) + 4 cos(x) + 3] 8 Formeln für Proukte: sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β))

23 cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) tan α+tan β tan α tan β = cot α+cot β 5.4 Betrag un Phase a+jb c+i = a +b ( c + ) ( a+jb arg c+i = arctan bc a ) ac b Beispiel L(s) = P (s) C(s) = 0 s(s+) kp( + T s) arg(l(jω)) = arg(c(jω) P (jω)) = arg(c(jω)) + arg(p (jω)) = arg(kp( ( + T jω)) + arg(0) arg(jω) arg(jω + ) T = arctan ω ) ( ) + 0 π arctan ω =... kp (+jω/3) 0 kp 0 kp 0 +jω/3 jω(jω+) = = +(ω/3) jω jω+ ω ω + Inhaltsverzeichnis Definitionen. Blockschaltbil Lineare Systeme System-Klassifikationen Moellierung von ynamischen Systemen Mechanik System-Repräsentation un Transformation. Bestimmung es Gleichgewichtspunktes Normierung Linearisierung Lineare, normierte Zustansraum-Darstellung Systemkoorinaten Allgemeine Formel für as Output-Signal Analyse von Linearen Systemen - Teil 3 3. Systeme. Ornung Impulsantwort Schrittantwort, Sprungantwort Rampenantwort Harmonische Antwort Stabilität Lyapunov Stabilität BIBO-Stabilität Analyse von Linearen Systemen - Teil 4 4. Steuerbarkeit Beobachtbarkeit Zustansraummoell minimaler Ornung Signalflussbil Laplace Transformation - Teil 5 5. Definition Eigenschaften Übertragungsfunktion Inverse Laplace-Transformation Stabilität Laplace Transformation - Teil II 6 6. Pole un Nullstellen BIBO-Stabilität, betrachte Pole von Σ(s) Pole Nullstellen Pole-Zero-Mapping System. Ornung Einfache Systeme Feer-Masse-Dämpfer-System Frequenzantworten 8 7. Boe Diagramme Dezibell-Skala Asymptotische Systemeigenschaften Systemientifikation Systemientifikation mit Frequenzantwort Nichtparametrische Unsicherheit Analyse von Feeback Systemen 9 8. Definitionen stat. Verstaerkungsfaktor Close Loop Systemstabilität / Regelkreisstabilität Methoe Methoe Methoe Nyquist-Diagramme Beispiel Limes-Berechnung Faustregel Nominale Close Loop Systemstabilität, betrachte L(jω) Robuste Close Loop Systemstabilität Grenzen von Close Loop Systemen Sensitivitätsgrenzen Störunterrückung un Rauschunterrückung Grenzvorgaben an ie Durchtrittsfrequenz... 9 Spezifikationen an ein Feeback System 9. Statischer Nachlauffehler Spezifikationen an ein System. Ornung Frequenzbereich Spezifikationen Peaking Limitations Feeback Control Design I 3 0. PID Controllers Lea/Lag - Iteratives Loop Shaping Feeback Control Design II 5. Loop Shaping un Robustheit Plant Inversion Methos Loop Shaping mit nicht-minimalphasige Nullstellen Loop Shaping bei instabilen System Feeback Control Design III 6. Wurzelortskurven-Methoe Cascae Control Loops Diagramme 8 3. gute Boe-Diagramme weitere Boe- un Nyquist-Diagramme Integrator Element Differentiator Element First-Orer Element Secon-Orer Element Realizable Derivative Element, Dirty D Lag Element Lea Element PID Element First-Orer All-Pass Element Secon-Orer All-Pass Element Delay Element MatLab 5 Anhang 5. Trigo Lineare Allgebra Determinanten Berechnung Anhang Betrag un Phase