Musterlösung. 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 8 (unterschiedlich gewichtet, total 69 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Prof. L. Guzzella Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 8 (unterschiedlich gewichtet, total 69 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Alle Lösungen, ausser die Antworten bei Multiple-Choice Aufgaben, sind zu begründen. Lösen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereiteten Blättern.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe (Modellieren, Linearisieren) Punkte Shafai (Guzzella) Das Bild unten zeigt das Prinzipschema des zu analysierenden Systems, welches aus einem raumfesten Elektromagnet und einer im Erdgravitationsfeld sich vertikal frei bewegenden ferromagnetischen Kugel mit Masse m = kg besteht. Der Strom I(t) im Magnet erzeugt eine Maxwellkraft F(t) auf die Kugel, welche sich gut approximieren lässt durch die Gleichung F(t) = α I2 (t) p 2 (t), wobei α eine bekannte positive Konstante und p(t) der gemessene Abstand der Kugel vom Elektromagnet ist. Der Strom I(t) kann durch den Verstärker sehr schnell eingestellt werden, so dass die Vereinfachung I(t) = k v(t) erfüllt ist, wobei v(t) das Steuersignal und k der eingestellte Verstärkungsfaktor ist. Die Messung der Position p(t) kann ebenfalls als sehr schnell und fehlerfrei angenommen werden, so dass sie als Ausgangssignal w(t) = p(t) zur Verfügung steht. v(t) I(t) F(t) p(t) = w(t) m g Auf die Kugel wirkt zusätzlich zur Maxwellkraft F(t) auch eine Reibungskraft F r (t), die der Bewegungsrichtung entgegengesetzt gerichtet ist und wie folgt von der Geschwindigkeit der Kugel ṗ(t) abhängt: F r (t) = β ṗ 3 (t). Dabei ist β eine positive bekannte Konstante. a) (4 Punkte) Wie lauten die Differentialgleichungen, welche die vertikale Bewegung der Kugel beschreiben? Benutzen Sie v(t) als Input und w(t) als Output des Systems. Schreiben Sie die Gleichungen in der Standardform auf, d.h. als ein System von nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung ż(t) = f(z(t),v(t)), w(t) = g(z(t),v(t)), z(t) R 2, v(t),w(t) R b) (2 Punkte) Die Kugel soll in einem Abstand p e im Gleichgewicht gehalten werden. Wie gross müssen Sie das Eingangssignal v wählen, damit dies erreicht wird? Welche Werte z e und z 2e haben in diesem Gleichgewicht die Zustandsgrössen z und z 2? Wie gross ist der Gleichgewichtsoutput w e? c) (4 Punkte) Linearisieren Sie die Systemgleichungen um diesen Gleichgewichtspunkt (auf eine Normierung wird verzichtet). Stellen Sie die Systemgleichungen in der Standardform dar (Zustandsraumdarstellung mit den Matrizen {A,b,c,d}).

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Lösung a) Die folgende Differentialgleichung findet man direkt mit Newton m p(t) = m g F(t) F r (t) beziehungsweise mit den gemachten Annahmen p(t) = g αk 2 v2 (t) p 2 (t) β ṗ3 (t) Dies ist eine gewöhnliche nichtlineare Diffenerialgleichung zweiter Ordnung. Durch die folgende Wahl der Zustandsgrössen [ ] [ ] z (t) p(t) z(t) = = z 2 (t) ṗ(t) erhält man die Standardform erster Ordnung ż (t) z 2 (t) ż(t) = = ż 2 (t) g αk 2 v2 (t) z 2 (t) β z3 2 (t), w(t) = z (t) () b) Damit die Kugel bei der Position p e = z e im Gleichgewicht ist, müssen alle Ableitungen in der Gleichung () gleich und die Geschwindigkeit der Kugel gleich z 2e = sein. Deswegen muss das Inputsignal wie folgt gewählt werden v e = g k α z e (2) Das Outputsignal erhält man direkt als w e = z e = p e. c) Die Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} des linearen Systems erhalten wir mit Hilfe der Jacobi-Matrizen ] A = b = [ f f z z 2 f 2 f 2 z [ f v f 2 v [ h c = z ] z 2 z=ze,v=ve ] h z 2 d = h v z=ze,v=ve z=ze,v=ve z=ze,v=ve Die Ausgansfunktion wurde dabei mit h bezeichnet, damit es keine Verwechselung mit der Erdbeschleunigung g gibt! Aus der Gleichung () können die Funktionen f, f 2 und h wie folgt entnommen werden: f = z 2 f 2 = g αk 2 v2 (t) z 2 (t) β z3 2(t) h = z

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Damit erahlten wir für die Systemmatrizen des linearisierten Systems: [ ] [ ] [ ] A = 2αk 2 v2 3βz 2 = 2g = 2g z 3 2 z e p e z=ze,v=ve [ ] [ ] [ ] b = 2αk 2 v 2ve = z 2 ze 2 2g v e c = [ ] d = z=ze,v=ve = Dabei wurden im letzten Schritt für die Bestimmung von A und b der Zusammenhang in der Gleichung (2) und z e = p e verwendet.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Aufgabe 2 (Frequenz-Zeitbereich) 8 Punkte Amacher (Ochsner) Gegeben sind 4 Übertragungsfunktionen offener Regelkreise (L (s),l 2 (s),l 3 (s),l 4 (s)), die Nyquistdiagramme dieser offenen Regelkreise (Diagramme A, B, C und D), sowie die Sprungantworten der daraus resultierenden geschlossenen Regelkreise (Sprungantworten bis 4). Ordnen Sie jeder Übertragungsfunktion das entsprechende Nyquistdiagramm des offenen Regelkreises, sowie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises zu. Verwenden Sie für die Lösung die vorbereitete Tabelle. Eine Begründung der Antworten ist nicht notwendig. Punktevergabe: Pro richtige Zuordnung: + Punkt Pro falsche Zuordnung: Punkt Minimalpunktzahl der Aufgabe: Punkte Übertragungsfunktion Tabelle für Lösung L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = e.2s 5 (.s+) 2.5s 2 +s (.s+) 3.s+.2s+ Nyquistdiagramm (offener Regelkreis) Sprungantwort (geschlossener Regelkreis) Nyquistdiagramm A Nyquistdiagramm B Im Im Re.5.5 Re

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Nyquistdiagramm C Nyquistdiagramm D Im Im Re.5.5 Re Sprungantwort Sprungantwort Amplitude [ ].6.4 Amplitude [ ] Time [s] Time [s] Sprungantwort 3 Sprungantwort Amplitude [ ].6.4 Amplitude [ ] Time [s] Time [s]

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Lösung 2 Übertragungfunktion Paare L (s) = L 2 (s) = L 3 (s) = L 4 (s) = (.s+) e.2s 5 2.5s 2 +s (.s+) 3.s+.2s+ Erklärungen: Nyquistdiagramm A D B C Sprungantwort System Das System hat eine Totzeit, diese ergibt im Nyquistdiagramm wegen der stetig fallenden Phase eine Spirale. In der Sprungantwort ist die Totzeit direkt ersichtlich. Es handelt sich also um Nyquistdiagramm A und Sprungantwort 4. System 2 Das System hat einen offenen Integrator, damit gilt: lim ω ( L 2(jω) ) = Dies trifft nur auf Diagramm D zu. Der offene Integrator verhindert im geschlossenen Regelkreis einen statischen Nachlauffehler, womit nur Sprungantwort passt. System 3 Das System hat 3 stabile Pole und keine endlichen Nullstellen. Somit ist lim ( (L 3(jω))) = 27 ω Dies trifft nur auf Diagramm B zu. Da das System keine Totzeit sowie keinen offenen Integrator enthält, kann geschlossen werden dass nur die Sprungantworten 2 oder 3 in Frage kommen. System 4 Die Verstärkung des Systems geht für hohe Frequenzen nicht gegen Null: lim ( L 4(jω) ) =.5 ω Für das geschlossene System gilt daher: lim ( T 4(jω) ) =.5 ω +.5 = 3 Die Sprungantwort dieses Systems springt also sofort (hier zum Zeitpunkt t=) auf einen Drittel der Sollhöhe. Aus diesen Informationen kann geschlossen werden, dass nur Diagramm C und Sprungantwort 3 in Frage kommen.

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 3 (Reglerauslegung) 8 Punkte Gegeben sei das folgende System P(s) = P nom (s) e st Ott (Nüesch) Wobei T die Totzeit des Sensors sei. Sie sollen für dieses System einen Regler auslegen. Die Spezifikationen verlangen eine Anstiegszeit von weniger als einer Sekunde (t 9 < s) und ein maximales Überschwingen von höchstens 2%. (Alle Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden) a) (3 Punkte) Ihr Vorgesetzter möchte einen billigen Sensor verwenden, dieser hat eine Totzeit von T = 2 s. Beurteilen Sie mathematisch, ob die Spezifikationen mit dem vorgeschlagenen Sensor eingehalten werden können. Nehmen Sie an, dass sich der geschlossene Regelkreis als System 2. Ordnung approximieren lässt. b) (2 Punkte) Sie haben sich mit ihrem Vorgesetzten auf einen Sensor mit einer Totzeit von T =. s geeinigt. Ihr Kollege hat Sprungantworten des mit einem P-Regler geregelten Systems gemessen. Die Resultate für verschiedene Reglerverstärkungen k p sind in den folgenden Plots zu sehen 2 kp =.3 2 kp = kp = y(t) y(t) y(t) time [s] time [s] time [s] Abbildung : Sprungantworten für Teilaufgabe b) Sie sollen für das System einen PI-Regler auslegen ( C(s) = k p + ). T I s Verwenden Sie die Methode von Ziegler und Nichols um die Reglerparameter k p und T I zu bestimmen. c) (3 Punkte) Von ihrem Kollegen erhalten Sie den Bode-Plot der resultierenden Kreisverstärkung L(s) L(s) = P(s) C(s) Bestimmen Sie anhand des Bode-Plotes, ob die Spezifikationen eingehalten werden. Nehmen Sie an, dass sich der geschlossene Regelkreis als System 2. Ordnung approximieren lässt.

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 2: Bode-Plot für Teilaufgabe c) Lösung 3 a) Mit der Approximation als System 2. Ordnung, lässt sich aus der Bedingung für die Anstiegszeit (t 9 ) eine untere Schranke für die Durchtrittsfrequenz berechnen: ω c >.7 t 9 ω c >.7 Aus der Totzeit ergibt sich eine obere Schranke für die Durchtritsfrequenz ω c <.5 T ω c <.25 Die beiden Bedingungen.7 < ω c und ω c <.25 Können nicht gleichzeitig erfüllt werden, die Spezifikationen können somit mit dem vorgeschlagenen Sensor nicht erfüllt werden. b) Die kritische Verstärkung ist kp = 3.3

10 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I Die Periodendauer lässt sich aus dem Plot ablesen Es folgt T.4 k p =.45 kp.49 T I =.85 T.34 s c) Aus dem Bode-Plot können die Durchtrittsfrequenz ω c und die Phasenreserve ϕ abgelesen werden. ω c 8 rad/s ϕ 3 Daraus folgt t 9.7 ω c.2 s ˆǫ 7 ϕ 7.35 Somit wird die Anforderung an die t 9 -Zeit erfüllt, während das Überschwingen deutlich zu gross ist.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Aufgabe 4 (System Analysis, Laplace Transformation) 8 Punkte Nüesch (Ott) a) (2 Punkte) Die Zustandsraummatrizen eines linearen, zeitinvarianten Systems Σ sind gegeben durch 3 A =, b = 2, c = [ 3 ], d =. 2 Es wird behauptet, dass der Nenner der Übertragungsfunktion dieses Systems mit einem Polynom 2. Ordnung beschrieben werden kann. Überprüen Sie, ob diese Aussage wahr ist, ohne dabei die Übertragungsfunktion zu berechnen. b) (2 Punkte) Betrachten Sie das Signalflussbild eines anderen Systems Σ 2 in Abb. 3. u(t) -4 - x (t) 8 x 2 (t) y(t) -5 - Abbildung 3: Signalflussbild des Systems Σ 2 ; u(t) Eingang, y(t) Ausgang, x,2 (t) Zustände. i) Bestimmen Sie die zugehörige Zustandsraumdarstellung {A,b,c,d}. ii) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion von Σ 2. Vereinfachen Sie das Resultat so weit wie möglich. c) (4 Punkte) Ein System Σ 3 wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: 2ẏ + 3y = 2u(t T) mit T > und ẏ(t) = y(t) = u(t) =, t. i) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion Σ 3 (s). ii) iii) Berechnen Sie die Sprungantwort y(t) von Σ 3 (s). Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf der Sprungantwort y(t) für T = in Abb. 4 ein. Geben Sie zusätzlich den asymptotischen Wert für y(t), t und die Zeitkonstante an.

12 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I y(t),h(t) h(t t Abbildung 4: Sprungantwort des Systems Σ 3 Lösung 4 a) Die Lösung kann allein über die Eigenschaften der Steuer- und Beobachtbarkeit gefunden werden. Nicht-steuerbare oder nicht-beobachtbare Zustände führen zu Pol/Nullstellen- Kürzungen, welche die Ordnung des Systems reduzieren. Die Steuerbarkeitsmatrix R und die Beobachtbarkeitsmatrix O sind in diesem Fall gegeben durch R = [ b A b A 2 b ] 6 = c 3 O = c A = 5. c A 2 3 Der Rang beider Matrizen ist rank(r) = 3 bzw. rank(o) = 2, was auf einen nichtbeobachtbaren Zustand schliessen lässt (rank(o) dim(a) = 3). Dieser nicht-beobachtbare Zustand führt zu einer Pol/Nullstellen-Kürzung, was zu einem Polynom 2. Ordnung im Nenner (und einem Polynom. Ordnung im Zähler) in der Übertragungsfunktion führt. Die Behauptung in der Fragestellung ist folglich wahr. b) i) Die Lösung lautet A = [ ], b = [ ], c = [ ], d =. ii) Die Lösung wird berechnet durch Σ(s) =c (si A) b + d = [ ] [ ] [ ] s = c Adj(sI A) b det(si A) + d (s + 4) (s + 5) + 8 = (s + 5) + 8 (s + 4) (s + 5) + 8 = s + 3 s 2 + 9s +.

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 c) i) Die Laplacetransformation der Differentialgleichung 2ẏ + 3y = 2u(t T) mit den angegebenen Anfangsbedingungen führt zu 2sY (s) + 3Y (s) = 2U(s) e T s. Durch Umformen der Gleichung ergibt sich Σ 3 (s) = Y (s) U(s) = 2 2s + 3 e T s = s e T s. ii) Die Sprungantwort des Systems Σ 3 im Zeitbereich wird durch die Anwendung der inversen Laplacetransformation berechnet, d.h. { y(t) = L Σ 3 (s) } { = L s s } e T s. s Σ 3 (s) ist nun wegen dem Term e T s keine rationale Funktion und somit können die Lösungsmethoden aus dem Vorlesungsskript nicht direkt angewendet werden. Allerdings steht der Term e T s für eine Totzeit T, welche den Rest der Systemdynamik nicht beeinflusst. Deswegen kann die Totzeit für die Berechnung der inversen Laplacetransformation ausgeblendet werden. Die inverse Laplacetransformation von der restlichen Übertragungsgfunktion wird berechnet durch L { s } = 2 ( e 3t) 2 h(t). s 3 Zur Berechnung dieser Zwischenlösung kann eine Partialbruchzerlegung oder die Residuenmethode angewendet werden. Man erhält nun die Sprungantwort y(t) des Systems Σ 3 durch Berücksichtigen der Totzeit T, die auf das System wirkt: y(t) = { ( if t < T e 3(t T)) 2 if t T 2 3 iii) Die qualitative Zeichnung der Sprungantwort y(t) ist in Abb. 5 gezeigt. Die Zeitkonstante τ des PT-Elements kann direkt aus der Übertragungsfunktion in i) abgelesen werden: τ = 2 3. Der asymptotische Wert für y(t) für t beträgt 2 3. Zudem führt die Totzeit zu einer Verzögerung des Anstiegs um T = gegenüber dem Eingangssignal h(t).

14 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I τ=2/3 y(t), h(t) 2/3 h(t) y(t) t Abbildung 5: Sprungantwort des Systems Σ 3

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Aufgabe 5 (Stabilisierung) Punkte Bild 6 zeigt das in dieser Aufgabe zu analysierende System. Ein Wagen der Masse m = kg bewegt sich horizontal und reibungsfrei auf einer Ebene. Die auf den Wagen wirkende Kraft ist u(t), die Position des Wagens y(t) wird fehlerfrei gemessen. y(t) u(t) m = kg Abbildung 6: Strecke mit Input u(t) (Kraft), und Output y(t) (Position). Ein Regler C(s) soll den Wagen in die gewünschte Position r(t) bringen. Das Bild 7 zeigt den Aufbau des Regelkreises. r(t) C(s) u(t) P(s) y(t) Abbildung 7: Regelkreis mit Ein- und Ausgangssignalen. a) (2 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion P(s) der Strecke. b) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass man mit einem einfachen P-Regler C(s) = k p mit k p > kein asymptotisch stabiles Regelsystem erzeugen kann. c) (3 Punkte) Ihre Chefin sagt Ihnen, dass ein PD-Regler C(s) = k p ( + T d s) ein asymptotisch stabiles Regelsystem ermöglicht. Da sie aber gleich weg muss, müssen Sie die Reglerparameter selbst finden. Bestimmen Sie die beiden Reglerparameter k p und T d so dass die beiden Pole des geschlossenen Regelsystems bei liegen. π,2 = ± j d) ( Punkt) Begründen Sie wieso die oben vorgeschlagenen Pole gut gewählt sind. e) ( Punkt) Sehen Sie ein Problem mit dem oben benutzten PD-Regler? Wenn ja, wie würden Sie dieses Problem angehen?

16 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 5 a) Mit Newtons zweiten Gesetz findet man m d2 dt2y(t) = u(t) Nach einer Laplace-Transformation lautet diese Gleichung m s 2 Y (s) = U(s) (die Anfangsbedingungen Y () und d dty () spielen keine Rolle bei der Berechnung der Übertragungsfunktion und können gleich angenommen werden). Setzt man m = ein, erhält man die Lösung P(s) = Y (s) U(s) = s 2 b) Die Stabilität des geschlossenen Systems hängt von der Lage seiner Pole ab. Diese Pole erhält man indem man zum Beispiel zuerst die komplementäre Senistivität berechnet T(s) = C(s) P(s) + C(s) P(s) Setzt man P(s) von oben und C(s) = k p ein erhält man T(s) = k p s 2 + k p Die Pole π,2 des Regelsystems sind die Nullstellen des Nennerpolynoms, also π,2 = ± j k p Für den hier zu untersuchenden Fall k p > erhält man immer zwei rein imaginäre Pole, d.h. ein grenzstabiles (Lyapunov stabiles) Regelsystem. Da die Pole aber niemals negative Realteile haben können, ist das geschlossene Regelsystem mit einem P-Regler niemals asymptotisch stabil. c) Mit einem PD-Regler lautet die komplementäre Senistivität T(s) = C(s) P(s) + C(s) P(s) = k p ( + T d s) s 2 + k p ( + T d s) = k p ( + T d s) s 2 + k p T d s + k p Die Pole werden durch das charakteristische Polynom s 2 + k p T d s + k p definiert. Die gesuchten Reglerparameter können z.b. mit einem Koeffizientenvergleich gefunden werden. Das gewünschte charakteristische Polynom sieht wie folgt aus (s π ) (s π 2 ) = (s + j) (s + + j) = s s + 2 was auf die beiden Gleichungen und deren Lösung führt. s : k p T d = 2; s : k p = 2 k p = 2, T d =

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 d) Die vorgeschlagenen Pole entsprechen einer Dämpfung von δ =, was in der Regel als guter Kompromiss zwischen einem schnellen Erreichen des Sollwerts und nicht allzu grossem Überschwingen gilt. e) Der Grad des Zählerpolynoms des PD-Reglers ist und damit grösser als der Grad seines Nennerpolynoms, welcher ist. So ein Regler ist nicht realisierbar. Um zu einem realisierbaren Regler zu kommen muss noch ein roll-off Term addiert werden, also z.b. C(s) = k p ( + T d s) τ s + Die Zeitkonstante des roll-off Terms muss aber genügend klein gewählt werden, damit das Reglerverhalten nicht spürbar verändert wird, es muss also gelten τ < T d /. 2

18 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 6 (Bode-Diagramm, Nyquist-Theorem) Punkte Ashouri (Alberding) Für ein unbekanntes System mit der Übertragungsfunktion P (s) wurde das folgende Bode- Diagramm gemessen. 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 8: Bode-Diagramm für ein unbekanntes System P (s). a) ( Punkt) Für die Regelung des unbekannten Systems P (s) soll ein P-Regler C (s) = k p mit k p = eingesetzt werden. Bestimmen Sie die Verstärkungsreserve und die Phasenreserve des geschlossenen Regelsystems mit Hilfe des gemessenen Bode-Diagramms. b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des unbekannten Systems P (s) mit Hilfe des gemessenen Bode-Diagramms. Hinweis: P (jω) ω= =.. c) (2 Punkte) Das Nyquist-Diagramm eines anderen Systems mit der Übertagungsfunktion P 2 (s) = 2 5 s + s + s2 s ist in der Abbildung 9 dargestellt. Für dieses System wird auch zunächst ein P-Regler C 2 (s) = k p (k p > ) eingesetzt. Untersuchen Sie mit Hilfe des Nyquist-Theorems, für welche Werte von k p das geschlossene Regelsystem asymptotsich stabil ist.

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 3 Nyquist Diagram 2 Imaginary Axis Real Axis Abbildung 9: Nyquist-Diagramm des Systems mit der Übertragungsfunktion P 2 (s). d) (3 Punkte) Nun soll für die Regelung von P 2 (s) ein Regler mit der Übertragungsfunktion C 2 (s) = 5 s 4 s + 2 eingesetzt werden. Skizzieren Sie das Nyquist-Diagramm der Kreisverstärkung des offenen Regelsystems (open loop gain) L 2 (s) im zur Verfügung gestellten Diagramm unten. Tipp: Verwenden Sie nützliche Grenzwerte von L 2 (jω). Nyquist Diagram 5 Imaginary Axis Real Axis

20 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 6 a) ( point) The open loop transfer function is L (s) = C (s) P (s) = P (s). Therefore the gain and phase margins can be directly taken from the Bode plot of the plant with the transfer function P (s). The phase at the point where the magnitude is crossing the unity gain ( db) is approximately 85 degrees as shown in Fig.. Thus the phase margin is φ 95 deg. The phase plot never crosses the phase 8 deg. Therefore, the gain margin is infinity. 4 Bode Diagram Gm = Inf, Pm = 95.7 deg (at. rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) 45 9 b) (4 points) Frequency (rad/s) Abbildung : Stability margins of plant P (s). According to the phase plot, the system does not have a delay. At low frequencies (ω ) the transfer function P (s) has a gain slope of 2 db/dec. This implies a pole on the origin (integrator). At ω =. rad/s, the gain slope is increased to db/dec with increasing phase, which requires a minimum-phase zero. Finally, since at ω = rad/s there is a drop to 2 db/dec, there must be a pole located at this frequency. In total, P (s) can be written as s +. P (s) = k s (s + ) Then, according to the hint P (jω) ω= = k jω (jω) (jω + ) = k ω= + =. Therefore k = and P (s) = s +. s (s + )

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 c) (2 points) The open loop transfer function is L 2 (s) = C 2 (s) P 2 (s) = k p P 2 (s). L 2 (s) has one pole with zero real part and one pole with positive real part, which mimplies n + =, n =. According to the Nyquist criterion, the critical point should be encircled.5 time counterclockwise: n c = n /2 + n + = + =.5. This implies that for k p = the closed loop system is asymptotically stable. Also from the Nyquist plot it can be observed that gain margin equals γ = /2 =.5. In summary, for k p >.5 the closed loop system is as-stable. d) (3 points) The resulted open loop transfer function is calculated as L 2 (s) = C 2 (s) P 2 (s) = 5 s 4s ( + s + s2 ) = + s + s2 s (5 s) s (2s + ). The real and imaginary parts are then L 2 (jω) = + jω ω2 2ω 2 + jω = 2ω2 4ω j ω2 4ω 3 + ω. The following equations are helpful for plotting: lim L 2(jω) = + j ω + lim L 2(jω) = + j + ω lim L 2(jω) = lim L 2(jω) =.5 + j ω + ω lim L 2(jω) = π ω + lim ω L 2(jω) = +π. Using this information, the Nyquist diagram will be as following:

22 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Abbildung : Nyquist diagram of L 2 (s).

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 Aufgabe 7 (Filterauslegung) 7 Punkte Alberding (Ashouri) Während der Inbetriebsetzung einer Solaranlage müssen Sie ein Signal y(t) auswerten, welches sowohl tieffrequente (< Hz) als auch hochfrequente (> Hz) Anteile besitzt. Leider weist das Signal einen starken Netzbrumm auf, d.h. dem Nutzssignal ist ein 5 Hz Störsignal überlagert. Daher beschliessen Sie, für das Signal ein Filter F(s) auszulegen. Ihr Ziel ist, das Störsignal um etwa 2 db abzuschwächen, ohne die anderen Signalanteile zu beeinträchtigen. Das Filter soll sich aus einer Serienschaltung von mehreren Tiefpasselementen F tp (s) = τ tp s + und/oder Hochpasselementen F hp (s) = τ hp s + zusammensetzen. a) ( Punkt) Skizzieren Sie im oberen der beiden vorbereiteten Bodediagramme auf der nächsten Seite die Betragskurve eines Tiefpasselements mit τ tp =. s. b) ( Punkt) Skizzieren Sie ebenfalls im oberen Bodediagramm die Betragskurve eines Hochpasselements mit τ hp =. s. c) (3 Punkte) Skizzieren Sie im unteren Bodediagramm die Betragskurve des Frequenzgangs des von Ihnen vorgeschlagenen Filters F(s). Wie lautet die Übertragungsfunktion F(s) dieses Filters? d) (2 Punkte) Geben Sie sinnvolle numerische Werte für die für F(s) benötigten Filterzeitkonstanten τ tp,, τ tp,2,... und τ hp,, τ hp,2,... an.

24 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Lösung 7 a) und b) F(j ω) [db] ω [rad/s] c) F(j ω) [db] ω [rad/s]

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 Lösung 7 a) Die Lösung ist in Abb. 2 im oberen der beiden Bodediagramme eingetragen (Kurve Tiefpass). Es genügt, nur mit den Asymptoten zu arbeiten. b) Die Lösung ist in Abb. 2 im oberen Bodediagramm eingetragen (Kurve Hochpass). c) Die Lösung ist in Abb. 2 im unteren Bodediagramm eingetragen. Die Betragskurve einer Serienschaltung von mehreren Elementen im Bodediagramm erhält man durch die Addition der Betragskurven der einzelnen Elemente. Die Übertragnungsfunktion dieses Filters lautet F(s) = τ tp, s + (τ hp, s + ) 2 τ tp,2 s + = (τ hp, s + ) 2 (τ tp, s + ) (τ tp,2 s + ). d) Die Zeitkonstanten, welche das geforderte Verhalten des Filters (tiefe und hohe Frequenzen keine Veränderung, 2 db bei der Netzbrummfrequenz) produzieren, lauten τ tp, = 5 2π.3 s, τ hp, = 5 2π.3 s, τ tp,2 = 5 2π.3 s. Anmerkung: Wenn statt 5 2π 3 rad/s der Wert 5 Hz verwendet und ansonsten korrekt gerechnet wurde, wird nur Punkt abgezogen. 2 F(j ω) [db] Hochpass Tiefpass -2 2 F(j ω) [db] 2 3 ω [rad/s] Netzbrumm -2 /τ tp, /τ hp, /τ tp,2 2 3 ω [rad/s] Abbildung 2: Bodediagramme

26 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Aufgabe 8 (Multiple-Choice) 8 Punkte Shafai (Guzzella) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie das entsprechende Kästchen mit einem Kreuz ( ). Die Antworten sind nicht zu begründen. Alle Fragen sind gleich gewichtet ( Punkt). Falsch beantwortete Fragen geben je einen Punkt Abzug. Nicht beantwortete Fragen geben Punkte. Das Punkteminimum für die gesamte Aufgabe beträgt Punkte. a) Die Differentialgleichung δẋ(t) = 9 δx(t) + 4 δu(t) beschreibt die Linearisierung des nichtlinearen Systems mit der Differentialgleichung ẋ(t) = 3 sin(3x(t)) 2 cos(2u(t)) um den Gleichgewichtspunkt {x e =,u e = π/4}. Richtig Falsch 2 b) Die Impulsantwort eines Systems mit der Übertragungsfunktion s 2 +7s+5 (Inputsignal: δ(t), alle Anfangsbedingungen gleich ) ist identisch mit der Sprungantwort eines Systems mit der Übertragungsfunktion (Inputsignal: h(t), alle Anfangsbedingungen gleich ). 2s s 2 +7s+5 Richtig Falsch c) Das folgende Zustandsraummodel {A, b, c, d} stellt eine Realisierung für ein System mit der Übertragungsfunktion Σ(s) = A = [ 7 5 ] [, b = 2 s (s 5)(s 7) dar: ], c = [ 3 ], d = [ ] Richtig Falsch d) Die Matlab-Instruktion tf([ 2],[ 3 4]) stellt den Frequenzgang eines Systems mit der Übertragungsfunktion s+2 s 2 +3s+4 dar. Richtig Falsch e) Die Matlab-Instruktion zpk([],[-,-2],5) definiert ein System mit der Übertragungsfunktion 5 (s+)(s+2). Richtig Falsch f) Der Ausgang eines Systems mit der Übertragungsfunktion 3s+2 s+ (Anfangsbdingung = ) erreicht höchstens einen Wert von 2, falls es am Eingang mit einer Sprungfunktion h(t) angeregt wird. Richtig Falsch Seien Sie also vorsichtig!

27 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 27 g) Eine instabile Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P(s) = (s )(s+3) kann mit einem P-Regler (k p > ) stabilisiert werden. Richtig Falsch h) Sei T(s) = 2s+5 die Übertragungsfunktion eines Regelsystems vom Referenzsignal r auf s 2 +3s+5 das Ausgangssignal y. Die Sensitivität dieses Systems ist S(s) = s(s+2) s 2 +3s+5. Richtig Falsch Lösung 8 a) Richtig. Die Systemparameter A und b in der linearisierten Differentialgleichung δẋ = A δx + b δu erhalten wir durch partielle Differentiation der Funktion f(x,u) = 3 sin(3x) 2 cos(2u) nach x resp. u und deren Auswertung an der Gleichgewichtslage wie folgt: A = f(x,u) x=xe,u=u x e = 3 3 cos(3x e ) = 9 cos() = 9 b = f(x,u) x=xe,u=u u e = 2 2 sin(2u e ) = 4 sin(π/2) = 4 b) Richtig. Die Laplacetransformierte der Impulsantwort für das erste System ist Y δ (s) = 2 s 2 + 7s + 5. Die Laplacetransformierte der Sprungantwort für das zweite System ist Y h (s) = 2s s 2 + 7s + 5 s = 2 s 2 + 7s + 5. Die Aussage ist richtig, da die Laplacetransformierten der beiden Anworten gleich sind. c) Richtig. Die Übertragungsfunktion wird mit den Systemmatrizen wie folgt bestimmt: Σ(s) = c[si A] Adj(sI A) b + d = c det(si A) b + d ] = [ 3 ] [ s 5 s 7 (s 7)(s 5) [ 2 ] + = 3 s 7 2 3(s 5) 2(s 7) = = s 5 (s 7)(s 5) s (s 7)(s 5) (3) d) Falsch. Mit der Instruktion tf([ 2],[ 3 4]) wird nur das System mit der Übertragungsfunktion definiert! Für die Darstellung des Frequenzgangs muss entweder bode oder s+2 s 2 +3s+4 nyquist benutzt werden.

28 Seite 28 Sessionsprüfung Regelungstechnik I e) Richtig. Mit der Instruktion zpk wird ein System durch seine Nullstellen (z), Pole (p) und Verstärkung (k) definiert. Eine leere Matrix [] für die Nullstellen bedeutet, dass das System keine Nullstellen besitzt. Die Matrix [, 2] definiert zwei Pole des Systems (Nenner: (s + )(s + 2)) und mit 5 wird die Verstärkung des Systems definiert. f) Falsch. Die Sprungantwort im Frequenzbereich ist: 3s+2 s+ s. Durch Partialbruchzerlegung und Laplace-Rücktransformation erhalten wir für die Sprungantwort: y h (t) = 2 + e t. Für t = erhalten wir einen Wert von 3 > 2. g) Richtig. Das charakteristische Polynom des Regelsystems mit einem P-Regler lautet: + k P (s )(s + 3) = (s )(s + 3) + k P = s 2 + 2s + (k P 3) = Mit einem k P > 3 kann somit das Regelsystem stabilisiert werden. h) Falsch. Die Summe aus Sensitivität S(s) und komplementärer Sensitivität T(s) muss ergeben, d.h. S(s) + T(s) =. Im vorliegenden Fall ist diese Bedingung nicht erfüllt: S(s) + T(s) = s(s + 2) s 2 + 3s s + 5 s(s + 2) + 2s + 5 s 2 = + 3s + 5 s 2 = s2 + 4s s + 5 s 2 + 3s + 5