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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik II ( ) Ochsner Prüfungsbedingungen Vorname:... Name:... Leginummer:... Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 12 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 35 (unterschiedlich gewichtet, total 49 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Bei Mehrfachwahlfragen gibt es die hälfte der Punkte, wenn alle ausser eine Antwort richtig sind. Bei allen anderen Fragen gibt es nur Punkte, wenn die Antwort vollständig richtig ist. Nicht eindeutige Lösungen werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die Lösungen sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Zu einer korrekten Lösung gehört auch die richtige Masseinheit. Geben Sie die Lösungen ausschliesslich an den dafür vorbereiteten Stellen an. Viel Erfolg!

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3 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 1 Thema: SISO Reglersynthese Beschreibung: Gegeben sei eine instabile Regelstrecke P (s) = 1 Diagramm in Abbildung 1 dargestellt ist. s 2 s, für welche das Nyquist- 1 8 P(s) Im Abbildung 1: Nyquist-Diagramm der Regelstrecke für ω >. Re F1 (2 Punkte) Welcher der folgenden Regler kann diese Regelstrecke stabilisieren? Nehmen Sie dabei an, dass alle Regler realisierbar sind. C 1 (s) = 2 (s + 1) C 2 (s) = 2 s C 3 (s) = 2 (1 + 1 s ) C 4 (s) = 2

4 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Für eine nominale Regelstrecke P (s) wurde ein Regler C(s) entwickelt. Für die Sensitivität S(jω) und die komplementäre Sensitivität T (jω) gelten S(jω) = 1.25 T (jω) = T (j) = 1. Die Schranken für die Regelgüte W 1 (s) und die Modellunsicherheit W 2 (s) sind gegeben durch W 1 (s) = k 1 W 2 (s) = 2 s + 1 s + k 2, wobei k 1 > und k 2 > noch zu bestimmende Parameter sind. Für eine bestimmte Wahl der Parameter sind die Übertragungsfunktionen in Abbildung 2 dargestellt. Amplitude [db] W 1 (jω) 1 S(jω) 4 5 W 2 (jω) 1 T (jω) 1 Frequenz [rad/s] Frequenz [rad/s] Abbildung 2: Übertragungsfunktionen. F2 (1 Punkt) Berechnen Sie den Bereich für k 1 >, für welchen eine nominale Regelgüte (nominal performance) erreicht wird. < k 1 < F3 (1 Punkt) Berechnen Sie den Bereich für k 2 >, für welchen robuste Stabilität (robust stability) erreicht wird. Hinweis: Betrachten Sie ausschliesslich die Frequenz ω = rad/s. < k 2 <

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 Beschreibung: Wenn eine Regelstrecke eine Totzeit enthält, kann ein Totzeitkompensator (Smith Predictor) eingesetzt werden. F4 (1 Punkte) Kreuzen Sie bei den folgenden Aussagen an, ob diese richtig oder falsch sind: Aussage richtig falsch Ein Smith Predictor darf nicht eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke instabil ist. Die Totzeit der Strecke kann durch einen Smith Predictor komplett entfernt werden. Wenn Totzeit und Zeitkonstante einer Regelstrecke gleich gross sind, ist die Anwendung eines Smith Predictors sinnvoll. Unter Einsatz eines Smith Predictors erscheint die Totzeit nicht in der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises.

6 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Abbildung 3 zeigt eine single-input multiple-output (SIMO) Regelstrecke, welche mit einer Kaskadenregelung geregelt wird. Gegeben sind die Übertragungsfunktionen der schnellen Strecke P f (s) = 1 s+1 sowie der langsamen Strecke P 1 s(s) =. Für die schnelle 5s 2 +6s+1 Strecke wurde zudem bereits ein P-Regler C f (s) = 2 ausgelegt. Der Ausgang des Reglers C s (s) der langsamen Strecke ist die Führungsgrösse r f für den inneren Regelkreis. u P s (s) Pf (s) y s y f Abbildung 3: Single-input multiple-output (SIMO) Regelstrecke. F5 (2 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion der erweiterten Regelstrecke für den äusseren Regelkreis P out (s) : r f y s. Setzen Sie die gegebenen Übertragungsfunktionen aus der Beschreibung ein. P out (s) = F6 (2 Punkte) Kreuzen Sie bei den folgenden Aussagen an, ob diese richtig oder falsch sind: Aussage richtig falsch Eine Kaskadenregelung kann nur eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke asymptotisch stabil ist. Eine Kaskadenregelung kann nur eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke keine Totzeit beinhaltet. Der innere Regler einer Kaskadenregelung darf keinen I-Teil besitzen. Eine Kaskadenregelung kann die Störungsunterdrückung (disturbance rejection) verbessern.

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Thema: Reglerimplementation Beschreibung: Gegeben sei die folgende Reglerstruktur, mit der ein instabiles System 1. Ordnung stabilisiert wird. Abbildung 4: PID-Regler mit Sollwertgewichtungen (setpoint weights). F7 (2 Punkte) Kreuzen Sie bei den folgenden Aussagen an, ob diese richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Mit der Wahl der Parameter a, b und c können die Stabilitätseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl der Parameter a, b und c können die Robustheitseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl des Parameters a können die Folgeregelungseigenschaften (reference tracking) des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl des Parameters a kann die Störungsunterdrückung (disturbance rejection) des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Für die Wahl b = 1 wird der statische Nachlauffehler lim t (r(t) y(t)) nach einem Sollwertsprung zu.

8 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Gegeben sei eine nichtlineare Strecke P, die durch die folgenden Gleichungen exakt beschrieben ist (keine Modellunsicherheit vorhanden): ẋ(t) = 1 τ x(t) + k τ u(t) y(t) = x 3 (t) Dazu sei die folgende Reglerstruktur mit Proportionalregler C und Vorsteuerung (feed forward) F gegeben. Abbildung 5: Regelsystem mit Regler C und Vorsteuerung F. F8 (2 Punkte) Legen Sie für dieses Regelsystem eine statische Vorsteuerung F aus, so dass der Regelfehler e im eingeschwungenen Zustand für beliebige Werte der Führungsgrösse r verschwindet. Es gilt d = n =. f = Beschreibung: Sie wollen für eine Regelstrecke mit Stellgrössenbeschränkung einen Regler auslegen. F9 (1 Punkt) Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, bei welchen der Reglerstrukturen Sie ein anti reset windup (ARW) in Betracht ziehen sollten. Regler ja nein P-Regler PI-Regler PD-Regler LQ-Regulator LQG-Regler

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 Beschreibung: Gegeben sei ein Regelsystem bestehend aus einer zeitkontinuierlichen Strecke P (s) und einem zeitdiskreten Regler C(z): r e e d u ADC C(z) d u y DAC P(s) Abbildung 6: Zeitdiskretes Regelsystem. F1 (2 Punkte) Ordnen Sie die 6 Signale des Regelsystems (r, e, e d, u d, u, y) den unten abgebildeten Signalverläufen zu, indem Sie die entsprechenden Signalnamen in die Boxen eintragen: F11 (1 Punkt) Welches Signal des zeitdiskreten Regelsystems sollte im Fall von hochfrequentem Messrauschen mit einem Anti-Aliasing Filter gefiltert werden? r e e d u d u y Ein Anti-Aliasing Filter ist bei hochfrequentem Messrauschen nicht notwendig.

10 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie wollen den folgenden zeitkontinuierlichen Regler mit dem tuning Parameter α auf einem Mikroprozessor mit geringer Taktrate implementieren: C(s) = 1 α s + 1 F12 (1 Punkt) Für welche Emulationsmethode(n) gilt die Aussage, dass der emulierte Regler (ohne Regelstrecke) für alle Werte von α > stabil bleibt? Emulationsmethode richtig falsch Euler forward Euler backward Tustin

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 Thema: MIMO Systemanalyse Beschreibung: Gegeben sind die folgenden Matrizen eines MIMO-Systems: A = ( ) und B = ( ) F13 (1 Punkt) Vervollständigen Sie nachstehende Antwort mit dem korrekten Stabilitätsbegriff: Das System ist Lyapunov. F14 (1 Punkt) Bestimmen Sie die Steuerbarkeitsmatrix des MIMO-Systems. R = Beschreibung: Gegeben sei die folgende Übertragungsfunktion: P (s) = ( s+2 s+1 (s+1)(s+4) s+3 ) F15 (1 Punkt) Geben Sie die korrekten Polstellen von P (s) an. π i = { 1, 3} π i = { 1, 4} π i = { 1, 3, 4} π i = { 1, 2, 3} F16 (1 Punkt) Geben Sie die korrekten Nullstellen von P (s) an. ζ i = { 1, 3} ζ i = { 1, 2} ζ i = { 1, 2, 4} ζ i = { 1, 2, 3}

12 Seite 1 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Gegeben sind die in Abbildung 7 dargestellten Betragsverläufe der RGA-Einträge. Zusätzlich ist das Frequenzband in fünf Bereiche eingeteilt. Nehmen Sie für die folgenden zwei Fragen an, dass die Diagonaleinträge der statischen RGA positiv sind. 1 I II III IV V.8 Magnitude (-).6.4 RGA 1,1 RGA 1, Frequency (rad/s) Abbildung 7: Betragsverläufe der RGA-Einträge F17 (2 Punkte) Kreuzen Sie in der nachfolgenden Tabelle an, mit welchen Ansätzen ein System geregelt werden sollte, wenn die Durchtrittsfrequenz im jeweils angegebenen Bereich gewählt wird. Hinweis: In jede Zeile ist ein Kreuz einzutragen. Frequenz SISO u 1 y 1, u 2 y 2 SISO u 1 y 2, u 2 y 1 MIMO u 1, u 2 y 1, y 2 ω c I ω c II ω c III ω c IV ω c V

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 11 F18 (1 Punkt) Bitte kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen im Zusammenhang mit der RGA richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Die Summe der Zeileneinträge ist immer gleich 1. Die Summe der Spalteneinträge ist immer gleich 1. Wählt man die Durchtrittsfrequenz in einem Bereich in dem die RGA ähnlich der Einheitsmatrix ist, können SISO-Ansätze zur Regelung verwendet werden. Die RGA einer Dreiecksmatrix ist die Einheitsmatrix. Beschreibung: Gegeben sei die Matrix M: M = ( 4 2 F19 (1 Punkt) Berechnen Sie die Singulärwärte von M. ) σ 1 =, σ 2 =

14 Seite 12 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie haben ein Eingangssignal gemäss Abbildung 8 gegeben. Ferner sind in Abbildung 9 vier Systemantworten dargestellt. Zusätzlich haben Sie die in Abbildung 1 dargestellten Singulärwertverläufe des Systems gegeben. Hinweis: Bitte beachten Sie in allen Abbildungen die Einheiten und vernachlässigen Sie die Einschwingphase u(t) u1(t) u2(t) t (sec) Abbildung 8: Eingangssignal y(t) y(t) y1(t) y2(t) t (sec) C A y1(t) y2(t) t (sec) y(t) y(t) B y1(t) y2(t) t (sec) D y1(t) y2(t) t (sec) Abbildung 9: Systemantworten

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite Singular Values (abs) Frequency (rad/s) Abbildung 1: Singulärwertverläufe F2 (2 Punkte) Benennen Sie die korrekte Systemantwort aus Abbildung 9 auf das in Abbildung 8 dargestellte Eingangssignal. A B C D Beschreibung: Gegeben sei die Singulärwertzerlegung M = U Σ V T einer Matrix M: U = , Σ = , V T = ( ) F21 (1 Punkt) Bestimmen Sie einen Vektor u mit u = 1, dessen Abbildung y := M u die Länge y = σ 1 = 4.76 besitzt. u =

16 Seite 14 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: MIMO Reglersynthese Beschreibung: Gegeben sei ein lineares, zeitinvariantes (LTI) System der Form ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) mit den Systemmatrizen A = LQ-Regulator regeln möchten. ( ) und B = ( ), welches Sie mit einem F22 (1 Punkt) Welche Dimension hat die Zustandsrückführungsmatrix K? F23 (1 Punkt) Sie wählen Q = ( 1 1 ) und R = und wenden die β- Methode mit β > 1 an. Was lässt sich über die minimale Kreisverstärkungsdifferenz (minimum return difference) aussagen? µ min < 1 µ min = 1 µ min = β Die minimale Kreisverstärkungsdifferenz kann beliebige Werte annehmen. Beschreibung: Gegeben sei ein lineares, zeitinvariantes (LTI) System mit den Systemmatrizen A = 1 und B = 1 F24 (1 Punkt) Welche Wahl von Q und R entspricht am ehesten Cheap Control? Q = 1 und R = 1. Q = 1 und R = 1. Q =.1 und R =.1. Q = 1 und R = 1. F25 (1 Punkt) Ein Kollege testet einen Zustandsregulator für dieses System und komischerweise bleibt das System ohne Störungen in einem Gleichgewicht bei x = 5 stehen. Wie gross ist folglich die K-Matrix? K =

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 15 Beschreibung: Sie möchten eine gerade Strecke mit Ihrem Auto fahren und so wenig Benzin wie möglich verbrauchen. Sie formulieren dazu ein Optimal Control Problem als T min m f (t)dt u(t) s.t. ṡ(t) = v(t) v(t) = F m ( v(t), mf (t) ) F b (t) s() = v() = m f () = v(t ) =, s(t ) = S end (1) v(t) v max m f (t) [, m f,max ] F b [, F b,max ], wobei die Zustandsvariablen x(t) = [ s(t), v(t), m f (t) ]T die Position, die Geschwindigkeit und der Benzinverbrauch und die Inputvariablen u(t) = [ mf (t), F b (t) ]T der Benzinmassenstrom und die Bremskraft sind. Die Grösse F m (v, m f ) beschreibt die Motorkraft als Funktion der Geschwindigkeit und des Benzinzuflusses; S end ist die Länge der Strecke und v max die konstante maximal erlaubte Geschwindigkeit. F26 (2 Punkte) Wie lauten die Stage Cost Function l und die Terminal Cost Function m als Funktion von x und u? l(x, u) = m(x) = F27 (1 Punkt) Sie möchten jetzt die Strecke so schnell wie möglich beenden und maximal M Kilogramm Benzin verbrauchen und formulieren das Optimal Control Problem um. Wie lautet in diesem Fall die Stage Cost Function l als Funktion von x und u? l(x, u) =

18 Seite 16 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Gegeben sei das MPC Schema P(x ) T min x 2 (t) + 4 u 2 (t)dt u(t [,T ]) s.t. ẋ(t) = u(t), x() = x u(t) U, x(t) X, x(t ) X f. (2) F28 (2 Punkte) Wenn T und X = U = X f = R kann man das Problem als LQR Problem interpretieren. Finden sie die Zustandsrückführungsmatrix K. K = F29 (1 Punkt) Ihre Kollegin hat die Matrix K nun für eine andere Gewichtung gefunden. Sie möchten diese LQR Lösung als MPC implementieren und Sie messen x() = 1. Finden Sie den optimalen Stellgrössenverlauf für t [, t] als explizite Funktion von t und K. u (t) = F3 (1 Punkt) Sie bemerken nun, dass es Beschränkungen (Constraints) gibt, und entscheiden sich finite-horizon MPC anzuwenden. Die Constraint Sets sind X = R, U = [ u max, u max ] und X f = {1}, wobei der Horizont T = 2 ist. Gegeben x() =, wie gross muss u max mindestens sein, damit das Optimierungsproblem überhaupt lösbar ist? u max

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 17 Thema: Zustandsbeobachter, LQG/LTR Beschreibung: Für eine Regelstrecke mit den folgenden Systemmatrizen möchten Sie einen Zustandsbeobachter auslegen. A = 1, B = 6, C = 1, D = (3) F31 (2 Punkte) Berechnen Sie die Verstärkungsmatrix des Zustandsbeobachters für q = 2 und B = B mittels des dualen LQR Problems. L = Beschreibung: Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen über LQG/LTR richtig oder falsch sind. F32 (2 Punkte) Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. Aussage richtig falsch Ein LQG Regler besitzt die gleiche Ordnung wie die zugehörige Regelstrecke. Das LTR Verfahren ist notwendig, um für ein LQG- Regelsystem Stabilität zu garantieren. Ein LQG Regelsystem ist genau dann stabil, wenn der Zustandsbeobachter und der LQ-Regulator jeweils für sich alleine stabil sind. Die Verwendung eines LQG Reglers mit dem nominellen Streckenmodell führt zu einer minimalen Kreisverstärkungsdifferenz von 1.

20 Seite 18 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie möchten einen SISO LQG Regler mit Vorsteuerung (siehe Abbildung 11) genauer analysieren. Dazu möchten Sie berechnen wie die Stellgrösse u im eingeschwungenen Zustand von der Führungsgrösse r abhängt. Gehen Sie davon aus, dass der Regelkreis offen ist (y = ). Abbildung 11: LQG-Regler mit Vorsteuerung. Der Kasten umschliesst den Regler, die Regelstrecke ist rechts davon abgebildet. F33 (2 Punkte) Berechnen Sie die statische Verstärkung von r u in Abhängigkeit von A, B, C, K, L, Λ und Γ. u = r

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 19 Thema: Matlab/Simulink Beschreibung: Sie legen in Matlab einen LQ-Regulator aus. 1 A = [1 ; 1 1 ; ; 1 1]; 2 B = [ ; 1 2]'; 3 C = [ 1; 1 1; 1 1 1]; 4 5 nx = size(a,1); Anzahl Zustandsvariablen der Strecke, im Skript: n 6 nu = size(b,2); Anzahl Eingangsgrössen der Strecke, im Skript: m 7 ny = size(c,1); Anzahl Ausgangsgrössen der Strecke, im Skript: p 8 9 q = 1; 1 r = 1; 11 Q = q*eye( ### ); 12 R = r*eye( ### ); K = lqr(a,b,q,r); F34 (1 Punkt) Vervollständigen Sie die Zeilen 11 und 12 im nachfolgenden Code, damit der lqr-befehl ausgeführt werden kann. Zeile 11: ### = Zeile 12: ### =

22 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie möchten einen LQG Regler in Ihrem Simulink Modell entsprechend Abbildung 12 implementieren. + Saturation Regelstrecke (Plant) y α β γ + 1/s δ ɛ ζ Abbildung 12: Implementation LQG Regler #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9 #1 #11 F35 (2 Punkte) Fügen Sie die benötigten Blöcke an den richtigen Stellen ein (grau hinterlegten Kästchen). Hinweis: es werden nicht alle Blöcke benötigt. Platzhalter α β γ δ ɛ ζ Nummer des Simulink Blocks