Regelungstechnik II PVK - Lösungen. Nicolas Lanzetti

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1 Regelungstechnik II PVK - Lösungen Nicolas Lanzetti lnicolas@student.ethz.ch

2 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6 Inhaltsverzeichnis Wiederholung Regelungstechnik I 3 SISO Reglersynthese 3 3 Realisierung und Implementierung von Reglern 3 4 MIMO Systeme 5 5 Frequenzantworten von MIMO-Systemen 5 6 MIMO Reglersynthese 6

3 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6 Wiederholung Regelungstechnik I. Siehe Prüfung RT 6-. SISO Reglersynthese. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe.. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe. 3. Siehe Serie 3 RT, Aufgabe. 4. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe 4. 3 Realisierung und Implementierung von Reglern. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe.. (a) Die Signale sind in folgender Abbildung dargestellt. Erklärung: Intervall [, ]: Alle Signale sind gleich. Intervall [, ]: Da die Strecke eine Totzeit von hat, ist der Output. Der Regelfehler ist also e(t) =. Der Input ist somit u(t) =. e(t) + τ e(t) dτ =. + t dτ =. +.5 (t ). Somit ist u(t = ) =.7. Da u(t) >. ist u b (t) =.. Intervall [, 3): Es gibt einen Sprung in y(t), insbesondere y(t) = u b (t ) =.. Der Regelfehler ist somit e(t) =. =.. Der Input ist dann u(t) =. e(t) + τ e(t) dτ =. (.) + ( t ) dτ + (.) dτ = (.) (t ) =.48.5 (t ). Somit ist u(t = + ) =.48. Wiederum ist u b (t) =.. 3

4 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6 Intervall [3, 5]: Die Sättigung bleibt bis u(t) >.. Analog zum Intervall [, 3) bekommt man: u(t) =. e(t) + τ e(t) dτ =. (.) + ( t ) dτ + (.) dτ = (.) (t ) =.48.5 (t ). Bei t = 5 s ist u(t = 5 s) = =.48.5 =.33. Darum bleibt das System gesättigt. Falls das nicht der Fall wäre, muss man die Zeit finden, bei der u(t) <. und, mit einer Totzeit von einer Sekunde, y(t) entsprechend anpassen. Das hat einen Einfluss auf e(t) und deshalb auch auf u(t). (b) Die Stellgrössenbeschränkung kann zu einen Windup des Integrators führen. Dieses Problem kann mit einer Anti-Reset Windup Schaltung behoben werde. 3. Siehe Serie 4 RT, Aufgabe. 4. Siehe Serie 4 RT, Aufgabe (a) x(t) = cos(4 π t) x(t) = cos(4 π t + π) x(t) = cos(4 π t + π) x(t) = cos(. π t) x(t) = cos(. π t + π) x(t) = cos(. π t + π) x(t) = cos(π t) x(t) = cos(π t + π) x(t) = cos(π t + π) x(t) = cos(. π t) + cos(4 π t) x(t) = sin(. π t) + sin(.4 π t) x(t) = i= cos( π/(i + ) t) x(t) = i= cos( π/(i + ) t) (b) Es muss gelten f s > 4 Hz. 6. (a) Für welche Wahl von A und B ist das System asymptotisch stabil? A =, B =. A =, B =.. A =, B =. A =, B =..5 A =, B =..5. A =, B =..5.. A =, B =..5. A =, B =..5 4

5 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6 A =., B =.5.. (b) Die Matrix B spielt keine Rolle für die Stabilität des Systems? Wahr. Wahr, aber nur A <. Falsch. 4 MIMO Systeme. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe 7.. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe Siehe Prüfung RT -, Aufgabe. 4. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe (a) Richtig, siehe Prüfung RT -, Aufgabe 6. (b) Falsch, siehe Prüfung RT -, Aufgabe 6. (c) Falsch, siehe Prüfung RT -, Aufgabe Siehe Prüfung RT -, Aufgabe Siehe Prüfung RT -, Aufgabe 8. 5 Frequenzantworten von MIMO-Systemen. Matrix A: σ =.44, σ =.44. Matrix B: σ =, σ =.. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe Die Singularwerte der Matrix P (j) sind σ max =.835 und σ min = Deshalb gilt es für die Verstärkung = σ min ν σ max = Da das System linear ist, ändert die Frequenz sich nicht. 5 sin(t +.4) y (t) = cos(t) 5 sin(t +.4) y (t) = cos( t) sin(t +.54) y (t) = sin(t +.459) 9 cos(t +.4) y (t) = cos(t +.4) 5 cos(t +.4) y (t) = 5 cos(t) sin(t +.4) y (t) = sin(t +.34) 4. Aus dem Plot folgt σ min =. und σ max =. Da das Eingangssignal eine Verstärkung von = 5 hat, folgt.5 5 σ min ν σ max 5. 5

6 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6.5 sin(3 t +.4) y (t) =.5 cos(3 t).5 cos(3 t + ) 4 sin(3 t +.4) y (t) = 3 cos(3 t) cos(3 t +.). sin(3 t +.4) y (t) =. cos(3 t). cos(3 t +.) y (t) = 4 cos(3 t) cos(3 t + ) cos(3 t +.43) y (t) = cos(3 t +.4) cos(3 t +.5) 3 cos(3 t +.53) y (t) = cos(3 t) sin(3 t) cos(3 t + ) 6 MIMO Reglersynthese. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe 5.. (a) Falsch, siehe Prüfung RT -, Aufgabe 6. (b) Falsch. 3. Siehe Prüfung RT -, Aufgabe (a) A R 6 6, B R 6, C R 3 6, D R 3. (b) P (s) C 3. (c) Q R 6 6. (d) R R. (e) K R 6. (f) L R (a) Die Matrizen K hat Dimension, d.h. K = [ k k ]. (b) Das geschlossene System wird beschrieben durch ẋ = (A B K) x. Die Eigenwerte von A B K müssen also mit den gegebenen Polen übereinstimmen. Daraus folgt: A B K = [k ] k k k =. Die Eigenwerte von A B K sind dann ( k ) ± ( k ) + 4 ( k )! =.5 ±. Daraus folgt k = 4 und k = 9/4 =.5. Die Zustandsrückführungsmatrix ist somit 6. Siehe Serie RT, Aufgabe. 7. Siehe Serie RT, Aufgabe. K = [ 4.5 ]. 8. (a) Der Zustandsvektor ist x(t) = [ x(t) z(t) ]. 6

7 Nicolas Lanzetti Regelungstechnik II FS 6 (b) Es gilt: ẋ(t) = A x(t) + B u(t) = A x(t) + B (H z(t) + M r(t) M y(t)) = A x(t) + B (H z(t) + M r(t) M C x(t)) = (A B M C) x(t) + B H z(t) + B M r(t) = [ A B M C B H ] x(t) + B M r(t), ż(t) = F z(t) + G e(t) = F z(t) + G r(t) G y(t) = F z(t) G C x(t) + G r(t) = [ G C F ] x(t) + G r(t). Daraus folgt: A B M C B H B M x(t) = x(t) + r(t). G C F G }{{}}{{} à B (c) Für die gegebene Matrizen ist à = 3 Die Eigenwerte von à sind λ i = /±j 3/4. Darum ist das System asymptotisch. (d) Da die Eigenwerte einen imaginären Teil besitzen ist das System schwingungsfähig. 7