Funnel Control für mechatronische Systeme mit Relativgrad 2

Transkript

1 Funnel Control für mechatronische Systeme mit Relativgrad 2 Christoph Hackl Technische Universität München Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Elgersburg Workshop, /14

2 Funnel Control (Relativgrad 1) ψ() e() ψ(t) e(t) ψ( ) λ e( ) t Zeit [s] ψ() Regelgesetz u(t) = 1 e(t) ψ(t) e(t) }{{} mit e(t) = y ref (t) y(t) =:k(t) wobei y ref ( ) C(R, R) und y ref ( ),ẏ ref ( ) L (R ; R) Vorgabe der transienten Genauigkeit durch Trichterrand ψ( ) 2/14

3 Zulässige Systemklasse Strukturelle Kenntnis notwendig: Relativgrad eins stabile Nulldynamik (oder minimalphasig) bekanntes Vorzeichen der instantanen Verstärkung Beispiel: LTI SISO System in Byrnes-Isidori Form d dt ( ) y(t) z(t) = [ a1 a 2 a 3 A 4 ]( ) y(t) + z(t) ( ) γ u(t) mit y(t) R und z(t) R n 1. 3/14

4 Motivation für höhere Relativgrade Relativgrad eins sehr restriktiv Mechatronische Systeme besitzen meist höheren Relativgrad (z.b. bei Positionierungsaufgaben) u(t) = k(t) e(t) nicht sinnvoll für Relativgrad 2 Beispiel: d dt ( ) y(t) ẏ(t) = [ ] ( ) 1 y(t) 1 ẏ(t) + ( ) u(t), (y(),ẏ()) (,) 1 mit u(t) = k y(t) wobei k > Pole: s 1,2 = 1 ( 1 ± ) 1 4k C + k > 2 4/14

5 Positionsregelung eines (rotatorischen) Systems Antrieb (generiert v) Last (emuliert u L ) d dt ( ) y(t) ẏ(t) = [ ] ( 1 y(t) ẏ(t) ) + ( 1 Θ ) (v(t) ul(t) (T ϑx 2)(t) ), Position y(t) (Winkel), Antriebsmoment v(t), Trägheitsmoment Θ >, Last u L( ) L (R, R) und Reibung T ϑ : L (R, R) L (R, R) 5/14

6 Vereinfachtes Aktor-Modell u L Mechanisches System T ϑ ẏ u Aktor satûa v 1/Θ ÿ ẏ y u A Aktordynamik vernachlässigbar Störung u A ( ) L (R, R) und v = satûa (w) û A Sättigung satûa ( ) mit û A > [Nm]. û A w 6/14

7 Positionsregelung mit Funnel Control (Relativgrad 2) Zwei Trichter: ψ 1 () ψ 1(t) ψ (t) + δ ψ () e() λ ψ (t) e(t) t e( ) ψ ( ) Zeit t [s] ė() ė( ) ė(t) t ψ 1 ( ) Zeit t [s] λ 1 ψ () ψ 1 () Regelgesetz: u(t) = k (t) 2 e(t) + k 1(t) ė(t), mit e(t) = y ref (t) y(t) und k i(t) = 1 ψ i(t) e (i) (t), i =, 1 wobei y ref ( ) C 2 (R, R), y ref ( ),ẏ ref ( ),ÿ ref ( ) L (R, R) 7/14

8 Machbarkeitsbedingung für Positionsregelung hinreichend und (sehr) konservativ: û A > (M + L)Θ [Nm] mit: M := ÿ ref + 1 Θ( ul +sup { T ϑ Ω C(R, R) : Ω < ψ 1 } ). und { 3 L := max 2 ψ ( ψ ψ ) 2 ( ψ 1 +,, ψ ) 2, λ /2 ψ () e() ( ψ 1 + ψ ) 4 2 ( ) ( ) 1 2 M λ Θ 1/Θ + u A + 2 ψ 1 } δ /Θλ ( ψ 1 + ψ ) 4, 8/14

9 Implementierung am Versuchsstand (Regelkreis) Antrieb (generiert v) Last (emuliert u L ) u L Mechanisches System Funnel Regler T ϑ ẏ y ref ẏ ref e ė k 2 e k 1 ė u Aktor satûa v 1/Θ ÿ ẏ y u A ẏ n 1 n 1 y n n 9/14

10 Referenz- und Trichterwahl für Implementierung y ref ( ) [ y ref =37.37] ẏ ref ( ) [ ẏ ref =6.81] ±ψ( ) [ ψ =6.28, ψ =7.35] ±ψ1( ) [ ψ1 =8.85, ψ 1 =8.97] 25 4 [rad], [rad/s] [rad], [rad/s] Zeit t[s] Zeit t[s] Machbarkeitsbedingung: M = 1.61 [rad/s 2 ], L = [rad/s 2 ], û A > (M + L)Θ [Nm] unrealistisch! 1/14

11 Messergebnisse der Implementierung ( Fest- und Folgewertregelung ) [rad] 2 [ rad s ] y( ) + n( ) [ûa = 7.] 5 y( ) + n( ) [ûa = 22.] y ref ( ) Zeit t[s] 4 6 ẏ( ) + n1( ) [ûa = 7.] ẏ( ) + n1( ) [ûa = 22.] ẏ ref ( ) Zeit t[s] û A = 22[Nm] maximal zulässiges Antriebsmoment û A = 7.[Nm] notwendiges Antriebsmoment für Funnel Control 11/14

12 ] Messergebnisse ( Festwertregelung ) e( ) [ûa = 7.] e( ) [ûa = 22.] ±ψ( ) ė( ) [ûa = 7.] ė( ) [ûa = 22.] ±ψ1( ) [rad] [ rad s ] Zeit t[s] Zeit t[s] 3 25 k( ) 2 [ûa = 7.] k1( ) [ûa = 7.] k( ) 2 [ûa = 22.] k1( ) [ûa = 22.] v( ) + nv( ) [ûa = 7.] v( ) + nv( ) [ûa = 22.] ul( ) ] [, Nms rad [ Nm rad [Nm] /14 Zeit t[s] Zeit t[s]

13 ] Messergebnisse ( Folgewertregelung ) e( ) [ûa = 7.] e( ) [ûa = 22.] ±ψ( ) ė( ) [ûa = 7.] ė( ) [ûa = 22.] ±ψ1( ) [rad] [ rad s ] Zeit t[s] Zeit t[s] k( ) 2 [ûa = 7.] k1( ) [ûa = 7.] k( ) 2 [ûa = 22.] k1( ) [ûa = 22.] v( ) + nv( ) [ûa = 7.] v( ) + nv( ) [ûa = 22.] ul( ) ] [, Nms rad [ Nm rad /14 Zeit t[s] [Nm] Zeit t[s]

14 Zusammenfassung und Ausblick Bisherige Ergebnisse Funnel Control anwendbar für Positionieraufgaben (Relativgrad 2) Funnel Control mit Sättigung ist möglich (hinreichende Bedingung (sehr) konservativ) Zukünftige Versuche Reduktion der Schwingungen Erzielen stationärer Genauigkeit (zumindest bei Festwertregelung) Übertragung der Ergebnisse auf Zwei-Massen-System Erweiterung des Konzeptes auf starre Roboter 14/14

15 Anhang Funnel Control für LTI SISO Systeme mit Relativgrad 2 Systemklasse Performanztrichter Funnel Control ohne Sättigung Funnel Control mit Sättigung Reibung (Lund-Grenoble Modell) Erzeugung des Referenzsignals Daten-Tabelle 15/14

16 Systemklasse Das LTI SISO system ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x() = x, y(t) = c x(t) } (1) mit (A,b,c) R n n R n R n und x R n erfülle folgende Anforderungen: (A1) cb = und cab (Relativgrad 2), [ ] sin A b (A2) s C mit Rs : det c (minimalphasig), (A3) cab > (positive instantane Verstärkung) und (A4) y(t) und ẏ(t) liegen vor (z.b. als Messgrößen). 16/14

17 Transformation in Byrnes-Isidori Form Definiere C := [ c, (ca) ] R 2 n, B := [ b, Ab ] R n 2 und wähle V R n (n 2), so dass Bild V = Kern C und für N := (V V ) 1 V [I n B(CB) 1 C] R (n 2) n überführt die Ähnlichkeitstransformation y(t) [ ẏ(t) C = Sx(t), mit S := N] z(t) und S 1 = [B(CB) 1, V ] System (1) mit (A1) in Byrnes-Isidori Form ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) d y(t) 1 y(t) y() = + dt ẏ(t) r r 1 ẏ(t) s z(t) + u(t), = Cx cab ẏ() ż(t) = [ P ] ( ) y(t) +Qz(t), z() = Nx ẏ(t), hierbei sind [ r, r 1, s ] := ca 2 S 1, P := NA 2 b(cab) 1, Q := NAV. Falls (A2) gilt, ist Q eine Hurwitz-Matrix mit σ(q) {s C R s < }, und α, β >, so dass t : e Qt βe αt. 17/14

18 Performanztrichter F (ψ,ψ 1) := { (t,e,e 1 ) R R R e < ψ (t) e 1 < ψ 1 (t) } wobei (ψ ( ),ψ 1 ( )) aus G := (ψ, ψ 1): R R 2 a) i {, 1} λ i > : (i) : ψ i( ) (C 1 L )(R, [λ i, )) (ii) : ( d dt ψi( )) L (R, R ) b) δ > t : ψ 1(t) d dt ψ(t) + δ ψ 1 () ψ 1 (t) ψ (t) + δ ψ () e() λ ψ (t) e(t) t e( ) ψ ( ) Zeit t [s] ė() ė( ) ė(t) t ψ 1 ( ) Zeit t [s] ψ () λ 1 ψ 1 () 18/14

19 Funnel Control ohne Sättigung C 2 W 2, y ref ẏ ref e ė e (ψ e ) 2 ė ψ 1 ė Funnel-Regler u ẋ = Ax + bu y = cx System y ẏ u d n 1 n Für y ref ( ) C 2 (R, R), y ref ( ), ẏ ref ( ), ÿ ref ( ), u d ( ) L (R ; R) und (ψ ( ), ψ 1 ( )) G wähle u(t) = k (t) 2 e(t) + k 1 (t) ė(t) + u d (t), mit e(t) = y ref (t) (y(t) n (t)) und k i (t) = 1 ψ i (t) e (i) (t), i =, 1 19/14

20 Funnel Control mit Sättigung C 2 W 2, y ref ẏ ref e ė e (ψ e ) 2 ė ψ 1 ė Funnel-Regler satû u ẋ = Ax + bu y = cx System y ẏ u d n 1 n Für y ref ( ) C 2 (R, R), y ref ( ), ẏ ref ( ), ÿ ref ( ), u d ( ) L (R ; R), (ψ ( ), ψ 1 ( )) G, û > und { û signv, v > û satû : R {w R w û}, v satû :=, v, sonst. wähle ( u(t) = satû k (t) 2 e(t) + k 1 (t) ė(t) + u d (t) ), mit e(t) = y ref (t) (y(t) n (t)) und k i (t) = 1 ψ i (t) e (i) (t), i =, 1 2/14

21 Machbarkeitsbedingung Für û > und Anfangswerte x R n mit der Eigenschaft ψ () > y ref () cx, ψ 1 () > ẏ ref () cax. ergibt sich folgende hinreichende Machbarkeitsbedingung: cab û > M + L mit: und [ M := r [ ψ + y ref ] + r 1 [ ψ 1 + ẏ ref ] + ÿ ref ( L := max ( ψ 1 + ψ ) s { 3 2 ψ 1, 2( ψ 1 + ψ ) 2 β Nx + β α P [ ψ + y ref ], ( ψ 1 + ψ ) 2 λ ψ () e() )., ( ψ 1 + ψ ) 2 cabλ ( ( ψ 1 + ψ M ) 4 + 2(cAb) 2 λ cab + u d + ψ ) ]} 1, 4δ 21/14

22 Reibung Lund-Grenoble Reibmodell Für < u C u S, Ω S > und δ S [1/2, 2] wähle die Stribeck-Funktion ( ) g: R [u C/σ, u S/σ ], Ω σ 1 u C + (u S u C) exp ( Ω /Ω S) δ S. Die Kontaktstellenverbiegung ϑ( ) [m] folgt der ODE ϑ(t) = Ω(t) Ω(t) g(ω(t)) ϑ(t), ϑ() = ϑ. (2) Für σ 1, σ 2, Ω D > und δ D, δ V 1, definiert man mit σ D : R [, σ 1], σ V : R R, Ω σ 1 exp ( Ω /Ω D) δ D Ω σ 2 Ω δ V sgn(ω) den Reibungsoperator (parametriert durch ϑ ) T ϑ : L (R, R) L (R, R) Ω( ) σ ϑ( ) + σ D(Ω( )) hierbei ist ϑ( ) die Lösung von (2). ( Ω( ) Ω( ) g(ω( )) ϑ( ) ) + σ V (Ω( )) 22/14

23 Reibung Kontaktstellenverbiegung Die DGL der Kontaktstellenverbiegung hat eindeutige Lösung: ϑ( ): R [ max { u S /σ, ϑ }, max { u S /σ, ϑ }]. diese ist beschränkt, denn für alle ϑ(t) u S /σ, gilt: d dt ϑ(t)2 = 2 ϑ(t)ω(t) sgn ( Ω(t)ϑ(t) ) + ϑ(t), }{{} g(ω(t)) { 1,,1} und damit ϑ(t) max{u S /σ, ϑ } für alle t. 23/14

24 Reibung Eigenschaften des Operators Beschränktheit des Operators für alle Ω( ) L (R, R): { } ( us T ϑ σ max, ϑ + σ 1 Ω 1 + σ { }) us max, ϑ + σ 2 Ω δ V σ u C σ Lipschitz-Stetigkeit des kausalen Operators: t w( ) C([,t], R) τ > t δ,c > y( ), ỹ( ) C(w;t,τ,δ) : wobei ess sup (T ϑ y)(s) (T ϑ ỹ)(s) c max y(s) ỹ(s), s [t,τ] s [t,τ] C(w;t,τ,δ) := { v C([,τ], R) v [,t] = w, v(s) w(t) δ s [t,τ] } 24/14

25 Erzeugung des Referenzsignals Referenzsignale [rad], [rad/s], [rad/s 2 ] yc( ) y ref ( ) [ y ref =37.37] ẏ ref ( ) [ ẏ ref =6.81] ÿ ref ( ) [ ÿ ref =6.5] 25/ Zeit t[s] Der Prototyp des Referenzsignals y C ( ) (C L )(R, R), dient für T, T 1 > als Eingang des stabilen Filters: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) d yref (t) 1 yref (t) yref () y = dt ẏ ref (t) 1/T 2 + 1/T 1 ẏ ref (t) 1/T 2 y C (t), = ref ẏ ref () yref 1. dann gilt y ref ( ) (C 2 L )(R, R). Für die Messungen sind gewählt: T =.2 [s], π, t [s, 1s) ( T 1 = T /3 =.667 [s], y C (t) = sat 7π 8π (yref, y1 ref ) = (π, ), 5s (t 1s)) + π, t [1s, 2s) π 2 sin( π 2s t)sin( π t) + 9π, t [2s, 4s] 4s

26 Systemparameter der Implementierung und des Aufbaus Beschreibung Symbol(e) & Wert(e) Dimension(en) Trägheitsmoment Θ =.342, (Θ D =.333, Θ L =.9) [kg m 2 ] Anfangswerte y() =, ẏ() = [rad], [rad/s] Sättigung û A = 7., 22. (gewählt, maximal) [Nm] Schranken für Störungen u A.56 (gem.), u L 4. [Nm] Rauschen n , n 1.24 (gem.) [rad], [rad/s] Referenz y ref = 37.37, ẏ ref = 6.81 [rad], [ rad s ] ÿ ref = 6.5 [ rad s 2 ] Design der Trichterränder 1. Trichterrand ψ (t) = (Λ λ ) exp( t/t E ) + λ [rad] 2. Trichterrand ψ 1 (t) = (Λ λ ) /T E exp ( t/t E ) + λ 1 [rad/s] Anfangswerte ψ () = Λ = 2π, ψ 1 () = Λ 1 = [rad], [rad/s] Zeitkonstante T E =.8189 [s] Endgenauigkeit λ =.2618, λ 1 = 1.5 [rad], [rad/s] Abtastzeit (xpc) h = [s] 26/14