2. BERECHNUNG UND SIMULATIONDES ZEITVERHALTENS LINEARERSYSTEME FÜR TESTSSIGNALE

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1 REGELUNGSTE~ 2. BERECHNUNG UND SMULATONDES ZETVERHALTENS LNEARERSYSTEME FÜR TESTSSGNALE l/l 2.0 Grundbegriffe 2.1 Zeitverhalten eine linearen Sytem mdelliert im ZuJandraum 2.2 Zeitverhalten eine -Gliede 2.3 Zeitverhalten eine PT-Gliede 2.4 Zeitverhalten eine PT2-Gliede 2.5 Zeitverhalten einer wmplexen Übertragung/unktin. Literatur: Vrleung Hilfblätter (58 S3 S4) 2.0 GRUNDBEGRFFE. a)löung der Zutandgleichungen eidelinear~n kntinuierlichen SyteDJS im Zeitbereich Gegeben it da lineare zeitinvariante Sytem n..qr4nung X(/) =Ax(/) + bu(/)x(o) = x ~) (1) { y(1) =erx(1) wbei A E R"x" be Rnx' UBd er ER'K. u(.).: R ~ RiteiBe (teilweie) kntinuierliche Zeitfunktin U(/} it die Einganggröße X(/) E Rn it der Zutandv.tktr und y(/) E. R it die AuganggröBe der die Antwrtfunktin am Mment ( E R... Die Zulandtrajeklrie am Mment ~ 0 itdefiniert.ßurch x(t)= <>(/)X+J <1>(1 -'t)bu('t)d't mit<l>(t) = e A1 (2) Die Antwrtfunktill de dynamichen Sytem (L)(A b c T) (1) it defibiert turch y(t}= er<>()x + erj<>(t - 't)bu('t)dt t~ 0. (3) Der erte Term in demrecbten Glied der G. (3) it der hmgene (freie) Anteil der Anlwrtfunktin Yh () = c<>(/)x' Der zweite Tenn it der inhmgene Anteil der Antwrtfunktin Yin () =e J T <>(t - 9)bu(9)d8. b)berechnng der idhmgenen.antwrtfunktjn~ der Übertragnngfnnktin Die Laplace-Tranfnnierte der inhmgenen Antwrtfunktin lautet Y;.() = G()U() (4) Spnmgantwrt de PT-Gliede Die Übertragungfunktin de PT- Gliede it G() = ~l ' mit K > 0 und 1'[] > O. (5) T+ Da PT1-Glied it extern aympttich tabil mit dem einfachen Pl =-1 / T < 0. Die Berechnung der Sprungantwrt wird in den flgenden Schritten durchgeführt:

2 REGELUNGSTECHNmK 2/2 Schritt 1. U() =.c{(t)} = 1. Der Pl vn U() it Sr = 0 mit der Vielfachheit r l ;; 1 Schritt 2. Y () =G()U() = K / T. (+lt) Schritt 3. Die einfachen Ple v.n J:.() ind *=-l/t S=O und die Partialbruchzeregung 1autet ~ R* 1';. () = -; T (6) mit den Reiduen: R = [Y;.() t= = K R* = {Yin(). ( + 1/ T)t=_11 r ~ -K daß die PartiaJbrucbzerlegung it Y" ()' =K1'1 "\S + ~J)' T Die Sprungantwrt de PT-Gliede lautet Yin () = K (1 - e-r ) t ~ 0 Der tatinäre Anteil it y" (t) =G(O) = K t ~ 0 und'der tranitriche Anteil it y(t) = -Ke-Y t ~ O. Die Steigung der Tangente für t =0; it dy.(t) dt '::0:0.. _ K. T c) Antwrtfunktinen.deS 'T2~e Die Übertragungfunktn de T 2 - Gliede (d.h ein PTz-Glied mit K = 1) it G(~= ~ S2 + 2~w. + w~ m wbei W.[S-] > 0 it die Eigenfrequenz und ~ E [0; 1] it der Dämpfungfaktr. Die charakteritiche Gleichung de Tr Gliede it S2 + 2~(). + w~ = 0 und die Ple ind (iebe Bild 1): S2 =-~wn ± jw.~. (8) Wenn 0 < ~ ~1 dann itdatrgliedaymptatichtabijundwennl; = 0 dann liegen die Ple auf der imaginären Ache und da TrGlied it grenztqbil. L: j- '.' / Bild 1 - Lage der Ple eine TrGliede! i l;=l~+-~~~-----+~ abhängig vn dem Dämpfungfakrrl;. :! : ; a ". " : ";!.~. ' " Die.prungantwrt de Tr Gliede Da Eingangignal it die Einbeitprungfunktin Sprungantwrt it wie flgend durchgeführt. u(t)= l(t). Die Berecbilung der

3 REGELUNGSTECHNKT 3/3 SchriU J. Die Laplace-Tranfnniene de Eingangignal it U() "" 1 mit dem einfachen Pl 3 = 0. (02 Schritt 2. Y. ()= G()U() =... 1" (S2 + 2l;r. + ~) Schritt 3. zerlegt ein: y () =1_ +2~(O. i. 2+2'(O+(02 1';. () beitzt die einfachen Ple S' S2' S3 und kann wie flgend ".. ~ (O.~.J="f1 ( + ~(On)2 + «(0.J="f1) 2. Durch Rücldranfrmatin im Zeitbereich erhält man. die Sprungantwrt de T 2 Gliede Yi.(t) =1- e-4» 1 (c(o.~ t + h in (O~ t) t ~. (9) Die erte Ableitung der Antwrtfunktin (5.46) it dyi. (t) (0. e-fp.1 in (0.J="f1 t dt.j="f1 ' und ie ermöglicht die Berechnung der extremen Werten der Antwrtfunktin (9). Die NulJtellen der Gleichung dy..(t)/dj = 0 ind die Zei1rnmente t k = R' k=o12... (10) (0. 1- ~2 unddieextremen Werte derantwrtfunktin ind Yi.(t k ) =1 - (-).t e -!.pj. k=0; djj. ie ind lkale maximale Werte fiit k = 2m + 1 bzw. lkale minimale Werte für k. = 2m m E N. Der erte maximale Wert it auch der maximale Wert der Sp~ _-fl YM =1+e R. n..abbängigkeitvndem.dämpfungfaktr ~ und vn der Lage der Ple ~8);können die flgenden FäJe auftreten: Fa/L J. Für ~ E (0;1) ~ die Ple (8) indkmpjex-kjugiertmit negativen. ~en dasytem it aympttich tabil und in der Sprungantwrt (9) treten gedämpfte Schwingungen lud G(O) = auf. Fall 2. Für ~ =0. die.pje(.8)indkmpjex-knjugiertmit den Realteile:n.peich Null; Sü =±j(o. da Sytem itgrenztabil. nder Spnmgantwrt yi.(t) = 1 - c.r. t t ~ 0 treten Dauerchwingungenwn den Wert G{O) =1 auf. Fall 3. Für ~ = ldie Ple:(8) ind reell negativ.und gleich; S = S2 = -w. Wld da Sytem it aympttich tabil. Die Sprungantwrt Yi. (t) =1'- e""' 1 (1 + it.t) t ~ 0 weit eine aperidiche Evlutin gegen G{O)= 1 auf - dh. die Schwingungen verchwinden.

4 REGELUNGSTE~ 2.1 ZETVERHALTEN ENES LNEAREN SYSTEMS DAS M ZUSTANDSRAUM MODELLERT ST Gegeben it da lineare kntinuierliche Sytem (k)(a b c T) wbei A =[_ ~ _~l b = [~l c T == [ 1 0] X = [ - ~l 4/4 Al EinganignaJ wird die Einheitpnmgfunktin.u(t} = 1(1) aufgechaltet. Geucht i$t die Antwrtfimktin de Sytem. a) Berechnen Sie da charakteritiche Plynm der Sytemmatrix A PA (A.) = det[;v2 - A] und da Spektrum der Matrix A. Überprüfen Sie da Ergebni mit Hilfe de MATLAB-Befehl eig. b) Berechnen Sie die Tranitinmalrix de Sytem ~(t)== e At == Cl fe 2 - Ar l } te R. c} Berechnen Sie den freien Anteifder Antwrtfunktin Y. () == ct$(t)x. d) Berechnen Sie den- inhmgenen Anteil der Antw~n 1 Yin(t-)== fct$(1 - t:» u('t)dt und die geamte Antwrtfunktiany(t} = Yh(l) +Yin (1) t ~ O. e-) Führen Sie im MATLAB eine Simulatin-de berechneten Zeitverhalten durch. Da Zeitintervall it 10 [] mit einem Schritt 0.1. Hinwei: man wendet die Befehle ne:.l im plt grid an. 2~2 ZETVERHALTEN ENES -GLEDES (Beipiel) Bild 2 - Behälter mit zwei Ventile. Gegeben it der Behälter im Bild 2 und die Übertragungfunn G() = ~~~ == S ~ ' wbei U() == Q () - Q2(S.) == L{u{t)} Y() == Xe} = L{y(tH (iehe Labr 1). a) Zeichnen Sie die Pl-Nullte1en Verteilung der Übertragungfunn in der kmplexen Ebene. Berechnen Sie die Sprungantwrt de Sytem-und tellen Sie die Einganggröße und die Auganggröße graphich dar.. Nwneriche Beipiel: S == 0.01 [111 2 ]. b) Führen Sie im MATLAB eine SimuJatin de berechneten ZeitverhaJten durch. Da Zeitintervall it [0 10] mit und die Zeitdiviin it 0.1. Hinwei: man wendet die Befehle tep plt grid an.

5 REGELUNGSTECHNK Löung 5/5 a) G() == S \ ==!~:~ wbei der Zählerplynmit Z() == 1 und der Nennerpt:ynQlll it N() == S. Al G(} f>eitztkeine Nulltellenund au dercharakteriticben G. N () == 0 flgt daß dereinzi:ge PLderÜbertragungfunktin it S =0 mit der Viel~eit r l =1 (Bild 3). jr Die kmplexe Ebene Berechnung der Spnmgantwrt: Bild3- ~l-nulltellen Verteilung d.ez: Übertagungfunktin. Schritt 1. U() = L{l(t)} == 1. Der Pl vn U(}it S ={) mit-der Vielfachheit r2 =1. Schritt 2. Y/Jr () == G()U()== _1_ Um die Ntatin zu vereinfachen man chreibt S 2 Y;n () == fe). Schritt 3. Y() beitzt den Pl S == 0 mit der Vielfachheitr = rl + r2 =2 und durch Rücktranfrrnatin im Zeitbereicb ergibt ich die Sprungaltwrt y(t) ==.L-{y()} == L- {S \2 }== t t t ~ O. u(t)=l(t) ter a tga=ls te R Bilil4- Gmphi.cbe Dartellung der E~g- und Auganggräße. b) Für S == 0.01 [m 2 ] erhalten wir Z(-) = 1 und N()=OJU. Da Simulatinexperiment im MA T.AB wird wie im Bild 5 durchgeführt und da Ergebni der Simulatinit im Bild 6 darjgetellt *c lc!iirjl Uer51iJrr flii"-iil!. lntllelicl!li5'edcrsl!"fl ~ '1 [ 1 :.....: ;"--";;" ;.:- --:....-.:.....:...:.~.: :._...; -_:..:"- --..:. _::. -_...: --"- - _.: ~C:=::::.tltglit.tartl!d :lnt-r6; de~;t@i h~lp... f~_n!infnatiti:jldp.liatnew; infubcribe. njj.r.ll 1l;deit;'lll.~ t1.. i];. t-.:.~1:1:. y';'tep(dlijl~"l!n~ t)-; plö~ (t~y)!irid~xi!lbd(. t }ylabd( "Augang!}' )~.tit1e( ' Spi'Ull9antwrteine ' r-'~ied~') Bild 5 - SimuJatinexperiment im MATLAB.

6 --- REGELUNGSTECHNK 6/ > ) c m 0) C) 500 ::::: « Spfungantwrt eine -GHede : i _ '-i ; f g i ~--._ ~ M..._. _... _ ~... _._...._ i._ _ - _. -_... "-""'j-""-' --"-.._-- j!.. t- '-" f--".--_. -_... --i-- _..-_ _.---1"- -_.- _.-- _.._ _... _... _...--.: _._._-._ _---_. - _.._ _ ;.-_ ".. _-;... -_...--_... _.._ "~...-_.. _ '1-- - r-"-_. MO ~ _-- _ 1-~. ---~- - -~.. -~~~- Y"--.._-_ ; _. "MO' ; Bild 6 - Ergebni der im Bild 5 dargeteuten Simulatin. 2.3 ZETVERHALTEN ENESPTt--GLEDES Gegeben it da RC-Gliedim BikH wbei.r[~ undqfj.iilk-tant. i R ;=0 u(t}1> UR(tr~C<t)L ~f(t) =r Bild 1- RC-Gied al-veuiigenmgglied. OrdnUDg. a) Berechnen Sie die Spnmgatwrt de Sytem. Die Zeitkntante de Sytem it T = 1O - 3 [J. Stellen Sje die SprungantwrtgraphiSGft dar. b) Führen Sie im MATLAB eine Simulatin de berecbnetenzeitverhaiten dt.n:eb. Da Zeitintevall it lot [J mit einem Schritt 0.1. Hinwei: man wendet die Befehle tep plt grid an. 2.4 ZETVERHALTEN ENES PT2-GLEDES Gegeben it da mechaniche Sytem (ein Ozillatr)im Bild 8.

7 REGELUNGSTE~ 7/7 Bild 8 - Mechaniche Sytem: m - die Mae k - die Federkntanlf;..q. - die Dämpfungkntanle F - die Trägheitkraft Fe - die Elatizitätkraft F q - die Reibungkndl. F - die äußere aktive Kraft y - die Pi tin de Maenz.entrunJ a) Berechnen Sie die Sprungantwrt de Sytem. Die Zeitkntante de Sytem it T == l{] der Vertärkungfaktr it K = 1[?] der Dämpfunggrad it 1; == 0.5. Ste.lep Sie die Spnmgantwrt graphich dar. Welche it die Eigenfrequenz de Sytem? b) Führen Sie im MATAB eine SimuJatildeberechneten Zeitverbalten durch 1 Da Zeitintervallit lot [] mit einem Schritt 0.1. Hinwei:rnan wendet die Befehle \:-ep plt grid an. c) Wie ändern ich die Ergebnie vn den Punkten a) und b) fiir 1; = 0 und u(t) = (t)? d) Wie ändern ich-die Ergebnie vn den Punkten a) und b) fiir 1; = 0 und u(t) = let) c t? Wir charakteriieren Sie die Renanz in dieem-fall? 25 ZEfVERHAL1EN ENES KOMPLEXEN SYSTEMS: L Gegeben it die Übertragungfimktin G() == S Ja) Zeichnen Sie die angehörige Pl-NullteUen Verteuung in der kmplexen Ebene. b) Betimmen Sie au welcheßelementaren Gliedementtebt G(). Jc) Berechnen Sie die. Spnmgantwrtde Sytem :und tellen Sie die Eingang. und Auganggrßen graphich dar.. d) Überprüfen Sie da Ergebni im Punkt Jc) mit Hilfe eine Simulatinexperiment im MATLAB. 1. Gegeben it die Übertragungfunktin G() == 2 S S + +l a) Zeichnen Sie die angehörige P~Nulltellen Verteilung in der kmplexen Ebene. 1b) Betimmen Sie au welchen elementaren Gliedern entteht- G(). c) Berechnen Sie die Spnmgantwrt.de Sytem undte1len.8ie die Eingang- und Auganggrßen graphich dar. ld) Überprüfen Sie da Ergebni impunct Jc) mit Hilfe eine Simulatinexperimem im MATLAB.