Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

Transkript

1 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am Name / Vorname(n): Matrikel-Nummer: Aufgabe A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 Summe erreichbare Punkte erreichte Punkte

2 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei folgende Sprungantwort eines PI-Reglers: h(t) t Lesen Sie den Proportionalbeiwert K P und die Nachstellzeit T N des PI-Reglers aus dem Diagramm ab und geben Sie die Übertragungsfunktion R(s) des Reglers an. Aufgabe 2: Betrachten Sie einen Standardregelkreis bestehend aus einem Regler mit der Übertragungsfunktion R(s) und einer Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s). a) Geben Sie die Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s) an. Welche Bedingungen muss diese aufweisen, damit sie vom einfachen Typ ist? b) Die Regelstrecke P (s) besitzt die BIBO-Eigenschaft. Ihr Frequenzgang ist graphisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Dimensionieren Sie einen P-Regler R(s) = K so, dass die Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen Kreises näherungsweise t r 0,75 s beträgt.

3 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 3: Gegeben sei folgender Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y: r y K P (s) Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet 1 P (s) = s(s + 1) 2 und K ist ein positiver reeller Parameter. a) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme des Frequenzgangs P (jω). b) Zeichnen Sie mit Hilfe der Bode-Diagramme die Frequenzgangsortskurve. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar (d.h. mit Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall) den größtmöglichen Wertebereich des positiven Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Aufgabe 4: Skizzieren Sie eine typische Sprungantwort eines Systems mit dominantem Polpaar. Zeichnen Sie die Überschwingweite M p und die Anstiegszeit t r in die Sprungantwort ein und erläutern Sie deren Definitionen. Aufgabe 5: Gegeben sei das Modell einer Regelstrecke in Form der Übertragungsfunktion P (s) = s 1 s(s + 1) Für den zu entwerfenden Regelkreis (erweiterte Regelkreisstruktur) wurde die Führungsübertragungsfunktion T (s) = µ T(s) (s + 1) 3 gewählt, wobei µ T (s) das Zählerpolynom repräsentiert. a) Geben Sie Bedingungen für µ T (s) an, sodass T (s) implementierbar ist. b) Wählen Sie ein Polynom µ T (s) möglichst niedrigen Grades, das die Bedingungen i) T (s) ist implementierbar ii) stationäre Genauigkeit, d.h. lim t y(t) = 1 für r(t) = σ(t) erfüllt.

4 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 6: Gegeben sei folgendes Zustandsraummodell einer Regelstrecke = Ax + bu = x u dt a) Ist das System steuerbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) b) Ermitteln Sie ein Zustandsregelgesetz der Form u = k T x, sodass der geschlossene Kreis folgendes charakteristische Polynom aufweist: Aufgabe 7: w(s) = (s + 1) 3 = s 3 + 3s 2 + 3s + 1 Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Form = Ax + bu, dt welches nicht steuerbar ist. Zeigen Sie, dass zumindest ein Eigenwert des Systems nicht durch ein Zustandsregelgesetz der Form u = k T x verändert werden kann, d.h. dass zumindest ein Eigenwert der Matrix A auch ein Eigenwert der Systemmatrix des geschlossenen Kreises ist. (Hinweis: Gehen Sie dazu von dem Hautus-Kriterium für die Steuerbarkeit aus.) Aufgabe 8: Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Form = Ax + bu dt y = c T x. Für dieses System wird ein asymptotischer Beobachter der Form verwendet. dˆx dt = Aˆx + bu + l(y ct ˆx) a) Ermitteln Sie in nachvollziehbarer Weise die Differentialgleichung des Beobachterfehlers e := x ˆx. b) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass lim e(t) = 0 t unabhängig von den Anfangszuständen x(0) und ˆx(0) gilt.

6 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei folgende Sprungantwort eines realisierbaren PID-Reglers: h(t) t Es ist bekannt, dass die Realisierungszeitkonstante den Wert T R = 1 hat. Lesen Sie 3 den Proportionalbeiwert K P, die Nachstellzeit T N und die Vorhaltezeit T V des PID- Reglers aus dem Diagramm ab und geben Sie die Übertragungsfunktion R(s) des Reglers an. Aufgabe 2: Gegeben sei eine Regelstrecke, welche die Übertragungsfunktion P (s) = 1 s + 1 e stt aufweist. Es handelt sich dabei um eine Hintereinanderschaltung eines PT1-Gliedes und eines Totzeitgliedes; die Totzeit ist durch T t = 3 gegeben. Die Ortskurve des Frequenzgangs P (jω) ist graphisch dargestellt: 0,4 0,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,2 0,4 0,6 0,8 Im {P (jω)} Re {P (jω)} Zur Regelung soll ein P-Regler mit dem Proportionalfaktor K in einem Standardregelkreis eingesetzt werden. Ermitteln Sie nachvollziehbar den größtmöglichen Wertebereich des reellen Reglerparameters K, sodass der geschlossene Kreis die BIBO- Eigenschaft besitzt. Hinweise: Die Funktion e stt hat keine Polstellen; das bedeutet, dass Sie das Nyquistkriterium in gewohnter Form anwenden können. Die stetige Winkeländerung müssen Sie dabei nicht für alle (unendlich vielen) Fälle ermitteln.

7 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 3: Betrachten Sie einen Standardregelkreis bestehend aus einem Regler mit der Übertragungsfunktion R(s) und einer Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s). Die Strecke P (s) sei vom einfachen Typ. Ihr Frequenzgang ist graphisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Als Regler wird der I-Regler R(s) = 1 verwendet. Bestimmen Sie (näherungsweise) s die zu erwartende Anstiegszeit t r und die Überschwingweite M p der Sprungantwort des geschlossenen Kreises. Aufgabe 4: Gegeben sei folgendes Zustandsraummodell einer Regelstrecke = Ax + bu = dt x u y = c T x = [ ] x. a) Ist das System beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Hinweis: Die Übertragungsfunktion des Systems erweist sich als nützlich. b) Ermitteln Sie ein Zustandsregelgesetz der Form u = k T x, sodass der geschlossene Kreis folgendes Hurwitzpolynom als charakteristisches Polynom aufweist: w(s) = s 5 + 5s s s s + 4

8 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 5: Es wird eine Regelstrecke der Form = Ax + bu, dt y betrachtet, zu deren Regelung ein Kontrollbeobachter = ct x dˆx dt = Aˆx + bu + l(y ct ˆx), u = k T ˆx eingesetzt wird. Die Wunschpolynome des Zustandsreglers mit dem Rückführvektor k T bzw. des Beobachters mit der Verstärkung l werden mit w(s) bzw. ŵ(s) bezeichnet. Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, dass das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises durch das Produkt der Wunschpolynome w(s)ŵ(s) gegeben ist. Hinweis: Für Matrizen M 1, M 2, M 3 passender Dimensionen gilt [ ] M1 M det 2 = det M 0 M 1 det M 3. 3 Aufgabe 6: Es sei eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P (s) gegeben: P (s) = s2 2s + 10 s Geben Sie zu dieser Streckenübertragungsfunktion jeweils, sofern möglich, ein Beispiel für eine implementierbare Führungsübertragungsfunktion 2. Ordnung, 3. Ordnung, 4. Ordnung an. (Begründen Sie jeweils Ihre Antwort!) Aufgabe 7: Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Ordnung n der Form = Ax + bu. dt Welche Bedingungen muss ein Ausgang z = λ T x dieses Systems erfüllen, damit es sich um einen flachen Ausgang handelt? Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz eines flachen Ausgangs an.

9 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 Aufgabe 8: Betrachten Sie folgenden Standardregelkreis: r R(s) P (s) y Der BIBO-stabile Regler R(s) sei so entworfen worden, dass der geschlossene Kreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Nun soll R(s) durch einen Abtaster, ein Halteglied und eine zeitdiskretes System mit der Übertragungsfunktion R d (z) ersetzt werden, jeweils mit der Abtastzeit T d. Der zeitdiskrete Regler R d (z) soll dabei mit Hilfe der Tustin-Formel ermittelt werden. Geben Sie die Tustin-Formel an. Stellen Sie in der komplexen Ebene denjenigen Bereich graphisch dar, auf welchen die Tustin-Formel die Halbebene Re {s} < 0 abbildet. Besitzt die so diskretisierte Reglerübertragungsfunktion R d (z) im Allgemeinen für beliebige positive Werte von T d die BIBO Eigenschaft? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Besitzt der nach der Diskretisierung des Reglers vorliegende geschlossene Kreis, im Allgemeinen für beliebige positive Werte von T d die BIBO Eigenschaft? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

11 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: a) Geben Sie eine Übertragungsfunktion eines PI-Reglers mit dem Proportionalbeiwert K P und der Nachstellzeit T N an. b) Skizzieren Sie die typische Sprungantwort eines PI-Reglers und zeichnen Sie K P und T N ein. Achtung: Achsenbeschriftungen nicht vergessen! c) Was versteht man unter dem Windup-Effekt? Wann kann er auftreten und wie macht er sich bemerkbar? Aufgabe 2: Gegeben sei eine Regelstrecke, welche die Übertragungsfunktion P (s) = 2 s + 1 e stt aufweist. Es handelt sich dabei um eine Hintereinanderschaltung eines PT1-Gliedes und eines Totzeitgliedes; die Totzeit ist durch T t = 3 gegeben. Die Ortskurve des Frequenzgangs P (jω) ist graphisch dargestellt: 2 Im {P (jω)} 1 Re {P (jω)} 2 1,4 1 0,5 0,5 1 1, Zur Regelung soll ein P-Regler mit dem Proportionalfaktor K in einem Standardregelkreis eingesetzt werden. Ermitteln Sie nachvollziehbar den größtmöglichen Wertebereich des reellen Reglerparameters K, sodass der geschlossene Kreis die BIBO- Eigenschaft besitzt. Hinweise: Die Funktion e stt hat keine Polstellen; das bedeutet, dass Sie das Nyquistkriterium in gewohnter Form anwenden können. Die stetige Winkeländerung müssen Sie dabei nicht für alle (unendlich vielen) Fälle ermitteln.

12 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 3: Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises R(s)P (s) = L(s) = 10 s ( s ) ist gegeben. Hierbei ist R(s) die Reglerübertragungsfunktion und P (s) die Übertragungsfunktion der Strecke. Stellen Sie den Frequenzgang L(jω) in Form von Bode-Diagrammen dar und ermitteln Sie näherungsweise die zu erwartende Anstiegszeit t r und die Überschwingweite M p der Sprungantwort des geschlossenen Kreises. Aufgabe 4: Für eine in Form der Übertragungsfunktion P (s) = µ(s) ν(s) gegebene Regelstrecke zweiter Ordnung soll eine Führungsübertragungsfunktion T (s) so bestimmt werden, dass für sprungförmige Führungsgröße r(t) das Gütekriterium J = 0 [r(t) y(t)] 2 + δ [u(t) u ] 2 dt minimiert wird. Dabei bezeichnet u den Grenzwert von u(t) für t. Leider gehen durch einen Festplattendefekt die Daten des Entwurfs verloren. Im Zuge einer Datenrettung kann lediglich rekonstruiert werden, dass δν(s)ν( s) = µ(s)µ( s) für s = 1 + j und µ(s) = s 2 gilt. Rekonstruieren Sie aus diesen Informationen die optimale Führungsübertragungsfunktion. (Hinweis: Es ist nicht notwendig und auch nicht möglich, ν(s) bzw. δ zu ermitteln.)

13 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 5: Gegeben sei ein Standardregelkreis r e R(s) P (s) y mit der Regelstrecke P (s) = s 1 s(s + 2) und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion T (s) = 2(s 1) s 2 + 5s + 2. Ist T (s) implementierbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Ermitteln Sie den Regler R(s), der zur Übertragungsfunktion T (s) führt, durch die direkte Reglerberechnung. Ist der Regelkreis intern stabil? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Aufgabe 6: Gegeben sei folgendes Zustandsraummodell einer Regelstrecke = Ax + bu = x + 0 u dt a) Ist das System steuerbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) b) Ermitteln Sie ein Zustandsregelgesetz der Form u = k T x, sodass der geschlossene Kreis folgendes charakteristische Polynom aufweist: w(s) = (s + 1) 6 (s + 2) = s 7 + 8s s s s s s + 2

14 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 Aufgabe 7: Gegeben sei ein Zustandsraummodell der Ordnung n der Form dt = Ax + bu. Welche Bedingungen muss ein Ausgang z = λ T x dieses Systems erfüllen, damit es sich um einen flachen Ausgang handelt? Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz eines flachen Ausgangs an. Aufgabe 8: Gegeben sei folgende Reglerübertragungsfunktion R(s) = s + 1 (s + 2)(s + 3). Diese Übertragungsfunktion soll mit der Abtastzeit T d diskretisiert werden, um einen zeitdiskreten Regler zu erhalten. a) Diskretisieren Sie die Reglerübertragungsfunktion R(s) mit Hilfe der Rückwärts- Euler-Integration. Auf welchen Bereich in der z-ebene wird die linke offene s- Ebene bei diesem Verfahren abgebildet? b) Diskretisieren Sie die Reglerübertragungsfunktion R(s) mit Hilfe der Tustin Formel. Auf welchen Bereich in der z-ebene wird die linke offene s-ebene bei diesem Verfahren abgebildet?

16 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei die Sprungantwort eines Systems mit dominantem Polpaar, welches als Spezifikation für den anschließenden Reglerentwurf dienen soll. y(t) 1,2 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0 0,33 1,08 1,83 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1 9 Time/s Betrachtet werden soll ein Standardregelkreis bestehend aus einem Regler mit der Übertragungsfunktion R(s) und einer Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s). a) Zeichnen Sie die Anstiegszeit t r sowie die Überschwingweite M p in der gegebenen Sprungantwort ein und geben Sie die Werte von Anstiegszeit t r und Überschwingweite M p an. b) Die Regelstrecke P (s) besitzt die BIBO-Eigenschaft. Ihr Frequenzgang ist graphisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Dimensionieren Sie einen P-Regler R(s) = K so, dass die Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen Kreises t r näherungsweise dem in Punkt a) bestimmten Wert entspricht. c) Wird mit dem in Punkt b) entworfenen Regler das gewünschte Überschwingen erreicht? Begründen Sie Ihre Antwort!

17 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 2: Durch einen Computerfehler wurden die Daten eines Reglerentwurfs für einen Standardregelkreis bestehend aus einem Regler mit der Übertragungsfunktion R(s) und einer Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s) gelöscht. Ein Mitarbeiter konnte sich allerdings an den Zähler µ(s) = s 2 der Streckenübertragungsfunktion P (s) erinnern. Zusätzlich ist bekannt, dass für die nicht sprungfähige, implementierbare Führungsübertragungsfunktion T (s) zweiter Ordnung folgendes gegolten hat: Die Reglerübertragungsfunktion lim T (s) = T (0) = 1 s ( 1 j) konnte komplett rekonstruiert werden. R(s) = 1 s a) Wie lautet die Führungsübertragungsfunktion T (s)? b) Wie lautet die Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s)? c) Wie lautet die Streckenübertragungsfunktion P (s)? Hinweis: Berücksichtigen Sie die Implementierbarkeitsbedingungen. Aufgabe 3: Für das LZI System dt = [ ] [ x + u 3 4 1] mit dem Zustandsvektor x und der Eingangsgröße u wird ein Regler der Form u = [ 3 k ] x mit k R verwendet. Ermitteln Sie den Wert k so, dass die Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschlossenen Regelkreises bei s 1 = 1 und s 2 = 2 liegen.

18 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 4: Gegeben sei die folgende Übertragungsfunktion eines LZI -Systems: P (s) = 100(s 1) (s 10) 2 (s + 1) mit der dazugehörigen Ortskurve für ω [0, ). 0,5 Im {P (jω)} Re {P (jω)} 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,5 1 Zeigen Sie mit Hilfe des Nyquistkriteriums, dass das gegebene System durch einen Proportionalregler R(s) = K mit K R nicht stabilisiert werden kann. Hinweis: arc {1 + L(jω)} = (n a + 2n r ) π 2 L(s) stellt dabei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar. Aufgabe 5: Für ein LZI System soll ein Regler der Form = Ax + bu dt y = c T x u = k T x + V r entworfen werden. In einem ersten Schritt wurde der Parametervektor k T so berechnet, dass die Matrix (A bk T ) eine Hurwitzmatrix ist. Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, wie die Verstärkung V gewählt werden muss, damit die Ausgangsgröße y(t) einer konstanten Referenz r(t) = r 0 asymptotisch nachgeführt wird.

19 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 Aufgabe 6: Geben Sie den Luenberger-Beobachter in allgemeiner Form für eine Strecke = Ax + bu dt y = c T x an. Bestimmen Sie ausgehend von den Differentialgleichungssystemen von Strecke und Beobachter die Dynamik des Schätzfehlers e = x ˆx wobei ˆx den geschätzten Zustandsvektor bezeichnet. Aufgabe 7: Gegeben sei die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke. 1 P (s) = s 3 + 3s Es soll nun ein Standardregelkreis so ausgelegt werden, dass seine Führungsübertragungsfunktion T (s) = µ T (s) ν T (s) = das vorgegebene Nennerpolynom R(s)P (s) 1 + R(s)P (s). ν T (s) = (s + 1) 5 = s 5 + 5s s s 2 + 5s + 1. besitzt. Ermitteln Sie die Parameter des Reglers R(s) = b 2s 2 + b 1 s + b 0 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 über die Methode der Polvorgabe. Aufgabe 8: Zu dem Zustandsraummodell dt = soll ein flacher Ausgang der Form gefunden werden x u z = λ T x Falls ein flacher Ausgang existiert, geben Sie λ T an. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort mathematisch!

21 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: Es ist folgende steuerbare und beobachtbare Regelstrecke mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x gegeben: = Ax + bu dt y = c T x. Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, dass die Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschlossenen Regelkreises, bestehend aus der Regelstrecke, dem Zustandsregler der Form u = k T ˆx und einem Zustandsbeobachter der Form dˆx dt = Aˆx + bu + l ( y c T ˆx ) beliebig vorgegeben werden kann. Hinweis: Betrachten Sie die Dynamik des geschlossenen Regelkreises mit dem Zustandsvektor [ x e ] T. Hinweis: Für Matrizen M 1, M 2, M 3 passender Dimensionen gilt [ ] M1 M det 2 = det M 0 M 1 det M 3. 3 Aufgabe 2: Gegeben sei die Ortskurve für ω [0, ) eines LZI -Systems mit der Übertragungsfunktion P (s): 0,4 Im {P (jω)} 0,2 Re {P (jω)} 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0,2 0,4 Leider ist die zugehörige Übertragungsfunktion vergessen worden. Nach einiger Recherchearbeit konnte man die Auswahl auf folgende Übertragungsfunktionen einschränken. 10s 2 i) P 1 (s) = (s + 1)(s + 2), ii) P 2(s) = ( 2s ) s + 1 2, iii) P 3 (s) = 10s(s + 10) (s + 10) 2 (s + 1), iv) P 4(s) = 2 2 2s s(s 2)(s + 3). Welche der vier oben genannten Übertragungsfunktionen ist die gesuchte.

22 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 3: Die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises R(s)P (s) = L(s) = 0.01 s s sei gegeben. Hierbei ist R(s) die Reglerübertragungsfunktion und P (s) die Übertragungsfunktion der Strecke. a) Stellen Sie den Frequenzgang L(jω) in Form von Bode-Diagrammen dar. b) Ermitteln Sie näherungsweise die zu erwartende Anstiegszeit t r und die Überschwingweite M p der Sprungantwort des geschlossenen Kreises. c) Wird mit dieser Konfiguration stationäre Genauigkeit für konstante Führungsgrößen erreicht? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4: Gegeben sei ein lineares zeitkontinuierliches System mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und der Zustandsgröße x: Entwerfen Sie einen PI-Zustandsregler = 3x + u, dt y = x. dε dt = r y u = kx k i ε k p (r y) mit dem Proportionalbeiwert k p = 3. Berechnen Sie die Werte der Parameter k und k i so, dass der geschlossene Regelkreis eine Dynamikmatrix mit den Eigenwerten s 1 = s 2 = 5 aufweist.

23 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 5: Für ein LZI-System dt = Ax + bu soll ein Regelungsalgorithmus entworfen werden, der einen beliebigen Arbeitspunkt x R stabilisiert. Zu diesem Zweck wurde bereits k T so entworfen, dass eine Hurwitzmatrix ist. (A bk T ) a) Geben Sie das Differentialgleichungssystem des Regelfehlers ξ = x x R mit Eingang u an. b) Wie muss der Zustandsregler u(t) angesetzt werden, damit lim t ξ(t) = 0 gilt. c) Leiten Sie ausgehend aus dem Differentialgleichungssystem des Regelfehlers die Dynamik des geschlossenen Kreises ab. Aufgabe 6: Bei der analytischen Reglersynthese wird eine (implementierbare) Führungsübertragungsfunktion definiert und daraus der Regler berechnet. a) Geben Sie die Definition der Implementierbarkeit an. b) Ist jede implementierbare Führungsübertragungsfunktion (bei gegebenem P (s)) in Form eines Standardregelkreises umsetzbar? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Zeichnen Sie eine Regelkreisstruktur mit der jede implementierbare Übertragungsfunktion realisiert werden kann. Aufgabe 7: Ein sehr mächtiges Werkzeug zum Reglerentwurf ist das sogenannte Frequenzkennlinienverfahren. a) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Lead-Gliedes an. Auf welchen Bereich sind die Parameter dieser Übertragungsfunktion eingeschränkt? b) Zeichnen Sie typische Frequenzkennlinien eines Lead-Gliedes. c) Was möchte man üblicherweise mit einem Lead-Glied erreichen?

24 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 Aufgabe 8: Es sei folgendes Zustandsmodell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y, dem Zustandsvektor x und dem reellen Parameter α gegeben: [ ] [ 1 α 1 dt = x + u, 0 1 1] y = [ 1 1 ] x. a) Ermitteln Sie für welche Werte von α das System nicht beobachtbar ist. Es gelte nun α = 0. Da der Zustandsvektor x messtechnisch nicht erfassbar ist, soll ein Beobachter der Form dˆx dt = Aˆx + bu + l ( y c T ˆx ) zur Schätzung des Zustandsvektors verwendet werden. b) Ist es möglich, den Vektor l so zu berechnen, dass die Dynamik des Beobachterfehlers e = x ˆx durch die Eigenwerte bei s 1 = 1 und s 2 = 2 charakterisiert ist?

26 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 Aufgabe 1: Für ein LZI System soll ein Regler der Form = Ax + bu dt y = c T x u = k T x + V r entworfen werden. In einem ersten Schritt wurde der Parametervektor k T so berechnet, dass die Matrix (A bk T ) eine Hurwitzmatrix ist. Zeigen Sie in nachvollziehbarer Weise, wie die Verstärkung V gewählt werden muss, damit die Ausgangsgröße y(t) einer konstanten Referenz r(t) = r 0 asymptotisch nachgeführt wird. Aufgabe 2: Bei der analytischen Reglersynthese wird eine (implementierbare) Führungsübertragungsfunktion definiert und daraus der Regler berechnet. a) Geben Sie die Definition für die Implementierbarkeit an. b) Ist jede implementierbare Führungsübertragungsfunktion (bei gegebenem P (s)) in Form eines Standardregelkreises umsetzbar? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Zeichnen Sie eine Regelkreisstruktur mit der jede implementierbare Übertragungsfunktion realisiert werden kann. Aufgabe 3: Gegeben sei die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke. 1 P (s) = s 3 + 3s Es soll nun ein Standardregelkreis so ausgelegt werden, dass seine Führungsübertragungsfunktion T (s) = µ T (s) ν T (s) = das vorgegebene Nennerpolynom R(s)P (s) 1 + R(s)P (s). ν T (s) = (s + 1) 4 (s + 2) = s 5 + 6s s s 2 + 9s + 2. besitzt. Ermitteln Sie die Parameter des Reglers R(s) = b 2s 2 + b 1 s + b 0 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 über die Methode der Polvorgabe.

27 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe 4: Gegeben sei ein Standardregelkreis r e R(s) P (s) y mit der Regelstrecke P (s) = s 1 s(s + 2) und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion T (s) = 2(s 1) s 2 + 5s + 2. a) Ist T (s) implementierbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) b) Ermitteln Sie den Regler R(s), der zur Übertragungsfunktion T (s) führt, durch die direkte Reglerberechnung. Ist der Regelkreis intern stabil? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Aufgabe 5: Für ein LZI-System = Ax + bu dt soll ein Regelungsalgorithmus entworfen werden, der einen beliebigen konstanten Arbeitspunkt x R stabilisiert. Zu diesem Zweck wurde bereits k T so entworfen, dass eine Hurwitzmatrix ist. (A bk T ) a) Geben Sie das Differentialgleichungssystem des Regelfehlers ξ = x x R mit Eingang u an. b) Wie muss der Zustandsregler angesetzt werden, damit lim t ξ(t) = 0 gilt. c) Leiten Sie ausgehend aus dem Differentialgleichungssystem des Regelfehlers die Dynamik des geschlossenen Kreises ab.

28 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 6: Zu dem Zustandsraummodell dt = soll ein flacher Ausgang der Form gefunden werden x u z = λ T x Falls ein flacher Ausgang existiert, geben Sie λ T an. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort mathematisch! Aufgabe 7: Ein sehr mächtiges Werkzeug zum Reglerentwurf ist das sogenannte Frequenzkennlinienverfahren. a) Geben Sie die Übertragungsfunktion eines Lag-Gliedes an. Wie sind die beiden Parameter der Übertragungsfunktion zu wählen? b) Zeichnen Sie typischen Frequenzkennlinien eines Lag-Gliedes. Aufgabe 8: Zeigen Sie mathematisch, dass die Ortskurve eines Lead-Gliedes mit der Übertragungsfunktion einen Halbkreis Im {R(jω)} m 1 2 R(s) = 1 + s ω Z 1 + s ω N mit m = ω N ω Z > 1 1 m+1 2 m Re {R(jω)} mit Radius m 1 2 und Mittelpunkt bei m+1 2 bildet. Hinweis: Betrachten Sie die Übertragungsfunktion G(s) = R(s) m+1 2