Aufgabe 1: Sprungantwort und Ortskurve

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1 Aufgabe 1: Sprungantwort und Ortskurve Gegeben sei ein Übertragungssystem mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße x(t): u(t) Übertragungssystem x(t) Der Zusammenhang zwischen Eingangsgröße u(t) und Ausgangsgröße x(t) wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: x (t) ẍ(t) ẋ(t) = K 10 u(t) a) Geben Sie die zugehörige Übertragungsfunktion G(s) des Systems an, und treffen Sie eine Aussage zu dessen BIBOStabilität. b) Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Sprungfunktion u(t) =σ(t) auf das System geschaltet; alle Anfangswerte seien Null. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße x(t). c) Betrachten Sie das Übertragungssystem G(s) nun als offenen Regelkreis und skizzieren Sie dessen Ortskurve F 0 (jω).

2 Aufgabe 2: StrukturbildReduktion Gegeben sei das folgende Strukturbild einer Regelstrecke: 1 s +1 Y (s)? X(s) s j s 1 s j 2 s j s s 2 Bestimmen Sie durch schrittweise Umwandlung des Strukturbildes die Übertragungsfunktion G(s) = X(s)/Y (s) der Regelstrecke.

3 Aufgabe 3: Modellbildung und Linearisierung Zwei Fahrzeuge bewegen sich geradlinig auf einer Ebene. Das Fahrzeug 1 soll einen konstanten Abstand x 0 =50m zum Fahrzeug 2 einhalten, dessen Geschwindigkeit um die Nominalgeschwindigkeit v 20 =20m/s variiert. Die Geschwindigkeit von Fahrzeug 1 mit der Masse m 1 = 1000kg kann durch seine Antriebskraft f(t) beeinflußt werden. Weiter wirkt auf das Fahrzeug 1 die Luftwiderstandskraft f L (t) =K L v 1 (t) 2. Man betrachte zunächst nur das Fahrzeug 1: a) Stellen Sie die Differentialgleichung für die Bewegung des Fahrzeugs 1 auf, mit der Antriebskraft f(t) als Eingangs und der Geschwindigkeit v 1 (t) als Ausgangsgröße (K L =0.5Ns 2 /m 2 ). b) Bestimmen Sie eine linearisierte Differentialgleichung für kleine Abweichungen v 1 (t) =v 1 (t) v 10 und f(t) =f(t) f 0 mit v 10 = v 20 =20m/s. c) Wie lauten die Übertragungsfunktionen V 1 (s) F (s) und X 1 (s) F (s) Man betrachte nun das Regelproblem der Abstandhaltung bei Nutzung eines PReglers mit K R als Reglerverstärkung: d) Welche Größen sind die Führungsgröße, die Regelabweichung, die Störgröße und die Stellgröße? e) Zeichnen Sie ein Blockschaltbild des Regelkreises. f) Wie lauten die Führungsübertragungsfunktion und die Störübertragungsfunktion des Regelkreises?

4 g) Prüfen Sie durch Anwendung des Endwertsatzes, ob bei einer sprungförmigen Änderung des Sollwertes eine bleibende Regelabweichung auftritt. h) Prüfen Sie unter Anwendung des HurwitzKriteriums, ob der Regelvorgang für bestimmte Werte von K R instabil wird.

5 Aufgabe 4: Wurzelortskurve Gegeben sei der nachfolgend dargestellte Standardregelkreis, W (s) X(s) j R(s) G(s) s 6 bei dem die Regelstrecke durch die Übertragungsfunktion G(s) = 0.4(s2 2s + 10) (s +2) 3 gegeben ist. Als Regler werde zunächst ein PRegler, R(s) =K R, verwendet. a) Konstruieren Sie mit Hilfe des Wurzelortsverfahrens die WOK des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit von K R. b) Bestimmen Sie anhand der WOK den Bereich der Verstärkung K R (für K R > 0) des Reglers, für den der geschlossene Regelkreis stabil ist. c) Statt eines PReglers soll nun ein Regler mit der Übertragungsfunktion R(s) =K R 1+0.5s 1+T 1 s verwendet werden. Machen Sie eine qualitative Aussage über die Lage des Pols 1/T 1 in Bezug zu den festliegenden Polen des Systems, damit der Bereich der Verstärkung K R gegenüber Teilaufgabe b) vergrößert werden kann. d) Handelt es sich bei dem in c) bestimmten Regler um ein phasenanhebendes oder phasenabsenkendes Glied?

6 Aufgabe 5: Parameteroptimierung Der vorliegende Regelkreis w(t) e(t) j GR (s) 20 x(t) s (1 + 12s)(1 + 5s) 6 soll mit einem PIRegler betrieben werden: G R (s) = s s a) Untersuchen Sie, ob der geschlossene Regelkreis stabil ist (Begründung!). b) Berechnen Sie unter der Voraussetzung, dass w(t) = 3 σ(t) gilt, die quadratische Regelfläche des Systems, nämlich: J = 0 e 2 (t) dt c) Die Führungsgröße beträgt nunmehr w(t) = 6 σ(t). Wie ändert sich hierbei die quadratische Regelfläche J gegenüber der quadratischen Regelfläche J des vorherigen Aufgabenteils?