Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am Arbeitszeit: 120 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an,... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich und... kreuzen Sie hier an, an welchem der folgenden Termine Sie zur mündlichen Prüfung antreten könnten (unverbindlich): Fr., Mo., Di., Viel Erfolg!

2 1. Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben: 10 P. Gegeben ist das nichtlineare System mit d1 0 0 d 3 ] ] ẍ1 (t) + ẍ 2 (t) ] g1 (x 1 (t) x 2 (t)) + g 2 (x 1 (t) x 2 (t)) ] j(ẋ1 (t), z 1 (t), ż 1 (t)) j(ẋ 2 (t), z 2 (t), ż 2 (t)) ] u1 (t), (1) u 2 (t) g i (x 1 (t) x 2 (t)) c i,1 (x 1 (t) x 2 (t)) + c i,2 (x 1 (t) x 2 (t)) 3 i {1, 2}, j(ẋ i (t), z i (t), ż i (t)) σ 0 z i (t) + σ 1 ż i (t) + σ 2 ẋ i (t), wobei die Zeitfunktionen z i (t) mit i {1, 2} folgender Differentialgleichung genügen ż i (t) ẋ i σ 3 ẋ i z i. a) Geben Sie das System in der Form 3 P. x f( x) + g( x, u) mit x x 1... x 6 x, z x1, ẋ 1, x 2, ẋ 2, z 1, z 2 und u u1, u 2 an. b) Führen Sie eine nichtreguläre Zustandstransformation der Form ε T x mithilfe der Transformationsmatrix T durch und berechnen Sie alle Ruhelagen des Systems für die ε 1 0 gilt. c) Linearisieren Sie das System um die Ruhelage ε RL 0, u 1 u 2 0, mit dem Ausgang y ε 1 x 1 x 2 und geben Sie die Systemmatrizen an. 3 P. 4 P. 2

3 2. Gegeben ist der zeitdiskrete Regelkreis aus Abbildung 1 mit der Abtastzeit T a. Die Reglerparameter k p und k I seien in den Teilaufgaben a) bis d) so dimensioniert, dass der geschlossene Regelkreis stabil ist. 1 (d k ) 1 z 1 (r k ) (e k ) e I,k+1 e I,k + T a e k (u k ) (y k ) H G(s) A u k k p e k + k I e I,k T a T a R(z) G(z) Abbildung 1: Zeitdiskreter Regelkreis für Aufgabe 2. a) Berechnen Sie die zübertragungsfunktion des Reglers R(z) und skizzieren Sie seine zeitdiskrete Sprungantwort! b) Der zeitdiskrete Regler R(z) nimmt im qbereich die Form 1 P. R(q) V I(1 + qt I ) q an. Bestimmen Sie die Parameter V I und T I in Abhängigkeit der Abtastzeit T a sowie der Parameter k p und k I! c) Bestimmen Sie für eine kontinuierliche Streckenübertragungsfunktion der Form G(s) s und die Abtastzeit T a ln(2) die zugehörige zübertragungsfunktion G(z). d) Welcher Anforderung muss das Nennerpolynom n G (z) einer Streckenübertragungsfunktion der Form 4 P. G(z) V 0 n G (z), V 0 R genügen, damit für (r k ) (1 k ) eine Störung der Form (d k ) (1 k ) am Ausgang stationär unterdrückt wird, also lim y k r k gilt. Leiten Sie dazu mit k Hilfe des Endwertsatzes der ztransformation eine Strukturbedingung für das Nennerpolynom n G (z) her. e) Für diese Teilaufgabe gelte k I 0 im Regler R(z). Bestimmen Sie mit Hilfe 3 P. des Verfahrens von Jury für eine diskrete Strecke der Form G(z) z z 2 a den Wertebereich des Reglerparameters k p in Abhängigkeit des Streckenparameters a R, für den der geschlossene Regelkreis stabil ist. 3

4 3. Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden. 1 a) Gegeben ist das System aus Abbildung 2, mit den Übertragungsgliedern F 1 (s) 5, F 2 (s) s, F 3(s) 2 s, F 4(s) 2. i. Fassen Sie das System zu einer Funktion F a (s) y 1 /u 1 zusammen. 3 P. F a (s) u 1 z 1 y 1 F 1 (s) F 2 (s) F 3 (s) z 3 z 2 F 4 (s) Abbildung 2: Blockschaltbild des Gesamsystems. ii. Ist die resultierende Übertragungsfunktion F a (s) stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. iii. Berechnen Sie mithilfe des Anfangs sowie des Endwertsatzes jeweils Betrag und Phase der resultierenden Übertragungsfunktion. b) Gegeben ist der Regelkreis mit der totzeitbehafteten Strecke aus Abbildung 3. Zur Regelung solcher totzeitbehafteter Strecken eignet sich z.b. ein sogenannter Smith Prädiktor. Dieser enthält ein Modell der Strecke (G m (s) und e stm ). 1 P. d r e R (s) u y G (s) e stt G m (s) e stm Abbildung 3: Blockschaltbild eines Regelkreises mit Smith Prädiktor. i. Berechnen Sie allgemein die Führungs sowie die Störübertragungsfunktion des Systems. ii. Nehmen Sie an, dass das Model der Strecke ideal ist, und auch die Totzeit bekannt ist. Es gilt also G m (s) G(s) sowie T m T t. A. Zeigen Sie, dass sich das störungsfreie (d(t) 0) System mit idealem Modell in der Form von Abbildung 4a darstellen lässt. B. Zeigen Sie, dass sich das System mit idealem Modell und verschwindender Führungsgröße (r(t) 0) in der Form von Abbildung 4b darstellen lässt. r e R (s) u d G (s) e y stt d e R (s) u G (s) y e stt (a) Blockschaltbild zur Führungsübertragungsfunktion. (b) Blockschaltbild zur Störübertragungsfunktion. Abbildung 4: Blockschaltbilder für G m (s) G (s) und T m T t. 4

5 4. In dieser Aufgabe wird das zeitdiskrete LTISystem 6 P. x k+1 Φx k + Γu k y k c T x k + du k mit dem Anfangszustand x(0) x 0 betrachtet. a) Berechnen Sie allgemein die ztransformierte y z (z) für einen Anfangszustand x 0 0! b) Der Systemzustand wird mit einem trivialen Beobachter mit dem charakteristischen Polynom des Beobachterfehlersystems 1 P. p(z) (z 1 2 )2 (z ) rekonstruiert. Bestimmen Sie die Matrix Φ unter der Voraussetzung, dass das System in Beobachtungsnormalform vorliegt! c) Für diese Teilaufgabe gilt 3 P. Φ ] 0 α, Γ 1 β ] 1, c T 0 γ ], d 0, 0 mit α, β, γ R. Für dieses System soll der Systemzustand mit einem zeitdiskreten vollständigen LuenbergerBeobachter rekonstruiert werden. Geben Sie die Gleichungen für die Beobachterdynamik an und berechnen Sie die Verstärkung des Beobachters in Abhängigkeit der Parameter α, β und γ so, dass die Fehlerdynamik Pole bei z 1,2 1 2 aufweist. 5