Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am Arbeitszeit: 0 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3 4 erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an und... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich. Viel Erfolg!

2 . Im Folgenden wird ein Nasstauchanzug aus Neoprenschaum betrachtet. Der Schaum besteht aus einer Matrix aus Neopren, in die Gasblasen eingeschlossen sind, siehe Abbildung. An der Erdoberfläche (Temperatur T 0, Druck p 0 ) hat der Schaum die Dicke d s,0 = d s (p 0, T 0 ) und kann über die Porosität Φ 0 = Φ(p 0, T 0 ) charakterisiert werden. Die Porosität ist ein Maß für den Gasanteil des Schaumes und berechnet sich ρs(p,t ) ρn(p,t ) aus Φ(p, T ) = = Vg(p,T ). Dabei bezeichnen ρ ρ g(p,t ) ρ n(p,t ) V s(p,t ) s, ρ n und ρ g die Dichten von Schaum, Neopren und eingeschlossenem Gas und V g und V s die Volumina des Gases bzw. des Schaums. Betrachten Sie folgenden Größen als gegeben: T 0, p 0, d s,0, ρ s,0, Φ 0, λ n, λ g, λ w d s d w h Q Mensch Wasser (λ w ) Gas (λ g, ρ g,0 ) Neopren (λ n, ρ n,0 ) Abbildung : Querschnitt des Nasstauchanzugs. a) Berechnen Sie die Dichte ρ s des Schaums in Abhängigkeit des Drucks p bei,5 P. gleichbleibender Temperatur, T = T 0 = konstant. Nehmen Sie dazu an, dass Neopren selbst inkompressibel ist und deshalb nur das Gas in den Blasen komprimiert wird. Nutzen Sie die Massenbilanz m s = ρ s,0 V s,0 = ρ s V s. b) Bestimmen Sie eine obere und eine untere Schranke für den Wärmewiderstand 4 P. R s des Neoprenanzugs bezogen auf eine allgemeine Fläche A s. Beachten Sie, dass es sich bei einem Nasstauchanzug um ein Gemisch aus zwei Stoffen handelt, die für eine grobe Abschätzung des Gesamtwärmewiderstands auch getrennt betrachtet und anschließend kombiniert werden können. Je nach Verschaltung der einzelnen Widerstände erhalten Sie dann die beiden Schranken. Leiten Sie aus Schranken für den Gesamtwärmewiderstand Schranken für die Wärmeleitfähigkeit λ s ab. Hinweis: Die Druckabhängigkeit muss hier nicht explizit angegeben werden. c) Berechnen Sie allgemein den Wärmeübergangskoeffizient α vom kalten Wasser,5 P. zur menschlichen Haut. Nehmen Sie die Wärmeübergangskoeffizienten α ws und α wm vom Wasser zum Anzug bzw. vom Wasser zum Menschen als bekannt an. Gehen Sie davon aus, dass sich zwischen dem Anzug und der Haut eine Wasserschicht der konstanten Dicke d w befindet, siehe Abbildung. Welche Formen von Konvektion treten an der Haut und an der Außenschicht des Tauchanzugs auf, wenn der Taucher in Bewegung ist? Ändern sich die Konvektionskoeffizienten, wenn der Taucher sich nicht bewegt? Wenn ja, wie? d) Wie kann man allgemein die Wärmemenge Q, die ein Mensch beim Tauchen P. in der Zeit t verliert, berechnen? Bezeichnen Sie alle von Ihnen benutzten Variablen. Nennen Sie eine konkrete Maßnahme, wie der Wärmeverlust durch Veränderung des Tauchanzugs verringert werden kann.

3 Lösung: a) b) ρ s = ρ s,0 + ( p 0 p ) Φ 0 R s,o = Φd sλ n + ( Φ) d s λ g A s λ g λ n d s R s,u = A s (Φλ g + ( Φ) λ n ) [ ] λ g λ n λ s ; Φλ g + ( Φ) λ n Φλ n + ( Φ) λ g c) α = α ws + ds λ s + dw λ w + α ws Taucher in Bewegung: freie Konvektion an der Haut, erzwungene Konvektion zwischen Wasser und Tauchanzug Taucher in Ruhe: auch am Tauchanzug freie Konvektion d) Q = α (T m T w ) A m t mit der Wasstemperatur T w, der Körpertemperatur T m und der Körperoberfläche A m Anzug dicker machen, Wärmeleitfähigkeit verringern 3

4 . In dieser Aufgabe soll ein Carnotscher Linksprozess genauer untersucht werden. Nehmen Sie ein ideales Gas der Masse m als Arbeitssubstanz an. a) Aus welchen Teilprozessen besteht ein Carnotscher Linksprozess? Geben Sie.0 P. die Teilprozesse in der richtigen Reihenfolge an. b) Zeichnen Sie das p V-Diagramm und das T S-Diagramm eines Carnotschen.5 P. Linksprozesses. Zeichnen Sie die zu- und abgeführte Wärme und Arbeit in die Diagramme ein. c) Nennen Sie ein typisches Beispiel für einen Carnotschen Linksprozess. 0.5 P. d) Leiten Sie den Wirkungsgrad 3.0 P. η CL = ab ab + Q zu = T ab T ab T zu her. Berechnen Sie dazu die Wärmemengen Q zu und ab. 4

5 Lösung: a) adiabatische Kompression, isotherme Kompression, adiabatische Expansion, isotherme Expansion b) p V-Diagramm p 3 ab 4 T 4 = T ab T T ab 3 ab 4 W zu W zu T = T zu Q zu V T zu S 3 Q zu S S c) Wärmepumpe, Kältemaschine d) Q zu = mr s T ln ab = mr s T 4 ln T = T zu T 4 = T ab v = v 4 v v 3 ( ) v v ( ) v4 v 3 5

6 3. Gegeben ist das in Abbildung dargestellte mechanische System. Ein Träger ist im Ursprung drehbar um den Winkel ϕ gelagert und setzt sich aus zwei starr miteinander verbundenen Stäben zusammen. Die Stäbe haben die Länge L bzw. L/ und die Massen m bzw. m/. Näherungsweise kann das Massenträgheitsmoment eines Stabes mit θ (S) zz,stab = m SL S angegeben werden. Die Erdbeschleunigung g wirkt in negative e y -Richtung. L, m e y k F ϕ F g L, m e x Abbildung : Mechanisches System a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts und das Massenträgheitsmo-.5 P. ment im Schwerpunkt des Trägers für ϕ = 0. b) Stellen Sie den Ortsvektor vom Ursprung zum Schwerpunkt des Trägers ab-.5 P. hängig von den generalisierten Koordinaten auf. c) Berechnen Sie die generalisierten Geschwindigkeiten..0 P. d) Im Drehpunkt des Trägers ist eine Rückstellfeder mit der Federkonstanten k F.0 P. angebracht. Die Feder sei für ϕ = 0 entspannt. Ermitteln Sie die kinetische und potentielle Energie des Systems. e) Am Eckpunkt greift eine Kraft F normal zur Stabachse an. Bestimmen Sie die.0 P. generalisierten Kräfte und die Bewegungsgleichung mithilfe der Euler-Lagrange Gleichung. 6

7 Lösung: a) b) [ L r T S =, L ] 3, 0 θ (S) zz = 9 96 ml [ L r T S = cos (ϕ) + L 3 sin (ϕ), L sin (ϕ) + L ] 3 cos (ϕ), 0 c) d) L sin (ϕ) ϕ + L 3 v S = L cos (ϕ) ϕ L ω S = 0 ϕ cos (ϕ) ϕ sin (ϕ) ϕ T L = 65 9 m ϕ L + θ(s) zz ϕ = 7 6 ml ϕ V g = L mg sin (ϕ) + mgl cos (ϕ) 8 V F = k F ϕ e) f = F L 7 8 ml ϕ + 8 mgl cos (ϕ) + mgl sin (ϕ) + k F (ϕ) = LF 7

8 4. Zur Durchflussmessung von Fluiden in industriellen Anlagen wird oft auf das sogenannte Venturi-Prinzip zurückgegriffen. Das Fluid mit der Dichte ρ fließt dabei durch ein Rohr mit dem Durchmesser D, dessen Querschnitt sich an einer Stelle stark auf den Durchmesser D verjüngt. Im Bereich herrscht der Druck p und das Fluid fließt mit der Geschwindigkeit v. An der engsten Stelle wird der Druck p gemessen und das Fluid hat die Geschwindigkeit v. Nehmen Sie für die folgenden Aufgaben reibungsfreie und inkompressible Strömung an. v v p h p g Abbildung 3: Durchflussmessung. a) Die Flüssigkeit im U-Rohr Manometer habe die Dichte ρ M. Bestimmen Sie die.0 P. Höhe h der Flüssigkeitssäule abhängig von den Drücken p und p. b) Ermitteln Sie mithilfe der Massenbilanz die Geschwindigkeit v als Funktion.0 P. des Durchflusses (Volumenstrom) q. c) Bestimmen Sie nun die Geschwindigkeit an der engsten Stelle v mithilfe der.0 P. Bernoulli-Gleichung. Setzen Sie dazu die Beziehung aus dem vorigen Punkt ein. d) Zeigen Sie, dass sich der Durchfluss q aus der gemessenen Höhe h bestimmen.0 P. lässt. e) Durch Druckschwankungen können im U-Rohr Manometer Schwingungen indu-.0 P. ziert werden, welche die Messung stören. Stellen Sie eine Differenzialgleichung für die Manometerhöhe h auf. Hinweis: Verwenden Sie dazu die Impulsbilanz, das U-Rohr habe den Querschnitt A M und die Gesamtlänge der Flüssigkeitssäule beträgt l M. 8

9 Lösung: a) Lösung mit Bernoulli-Gleichung b) Massenbilanz c) Bernoulli-Gleichung p ρ M + gz = p ρ M + gz h = p p ρ M g mit ρa v ρa v = 0 z z = h A v = v mit A = D π A 4, A = D π 4 v + p ρ = v + p ρ v = ρ (p p ) ( ) A A d) Volumenstrom q = v A q = A ρm gh ρ ( A A ) e) Impulsbilanz A M ρ M l }{{ M ḧ (t) = p } A M p A M A M ρ M h (t) g m M ḧ (t) + g l M h (t) = p p ρ M l M 9