Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung

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1 Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Schriftliche Prüfung aus Automatisierungstechnik Vorlesung, am 3. Februar 04 Name: Vorname(n): Matr.Nr.: SKZ: Aufgabe 3 4 erreichbare Punkte 48 erreichte Punkte Note: Allgemeine Hinweise: Begründen Sie alle Aussagen ausführlich (JA/NEIN-Antworten gelten nicht als begründet!). Der erste Punkt bedeutet insbesondere, dass der Lösungsweg (inklusive aller Nebenrechnungen) eindeutig erkennbar sein muss. Punkte für den Lösungsweg - auch bei Fehlern in den Berechnungsschritten - können nur gegeben werden, wenn alle Teilschritte nachvollziehbar sind. Beginnen Sie jedes Beispiel auf einem eigenen Zettel und sortieren Sie die Zettel bei der Abgabe. Beschriften Sie alle Diagramme. Beantworten Sie die Fragen in ganzen Sätzen! Als Prüfungsunterlagen sind nur die mathematischen Formelsammlungen [Bartsch], [Bronstein], [Springer] und die Zusammenstellung der Tabellen von unserem Server zugelassen. Es sind demnach keine Ergänzungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabellen, etc.) erlaubt. Viel Erfolg! [Bartsch] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig Köln. [Bronstein] Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. [Springer] Rade und Westergren: Springers mathematische Formeln, Springer Verlag.

2 . Optimale Regelungen Gegeben ist das Gütekriterium für die Strecke J x0 ((u(0),...,u(n))) = xt (N +)Sx(N +) N ( x T (i)qx(i)+u T (i)ru(i) ) () + i=0 x k+ = Ax k +Bu k, x(0) = x 0 () mit n-dimensionalen Zustand und m-dimensionalen Eingang. Den Regler berechnet man nach den Beziehungen P(i) = Q+A T P(i+)A A T P(i+)B ( R+B T P(i+)B ) B T P(i+)A (3) mit P(N +) = S, sowie ū k (k,x k ) = ( R+B T P(k +)B ) B T P(k +)Ax k. (4) (a) Welchen Bedingungen müssen die Größen S, Q, R, A und B genügen, damit die Lösung des Optimierungsproblems für alle N, 0 < N < existiert und eindeutig ist. (b) Um ein zeitinvariantes Regelgesetz zu erhalten, machen Sie den Grenzübergang N. Wie verändert man das Gütefunktional () dabei? Welche Bedingungen müssen zusätzlich erfüllt sein, damit das Gütefunktional() endliche Werte annehmen kann, und der geschlossene Kreis asymptotisch stabil ist. (c) Es gelte nun dim(x) = und dim(u) = für die Strecke () sowie N. Konstruieren Sie einen möglichst einfachen Fall so, i. dass das Gütefunktional () für x 0 0 immer über alle Grenzen wächst. Welche Bedingung verletzt dieser Fall? ii. dass das Gütefunktional() immer endlich bleibt, der Regelkreis aber nicht asymptotisch stabil ist. Welche Bedingung verletzt dieser Fall? (d) Es gelte wieder dim(x) = und dim(u) = sowie N. Die Bedingungen von c seien erfüllt. Berechnen Sie allgemein die stationäre Lösung der Gl. (3), sowie das Rückführgesetz (4) so, dass der Regelkreis asymptotisch stabil ist.

3 . Beobachter- und Reglerentwurf (a) Gegeben ist das zeitdiskrete LZI-System [ 0 x k+ = 0 ] [ 0 x k + ] u k i. Entwerfen Sie für dieses System einen Dead-Beat Regler. ii. Bestimmen Sie den Bereich für den Anfangswert x 0 R so, dass für die Stellfolge u k des geschlossenen Kreises gilt u k, k = 0,,,3,.... (b) Beurteilen Sie die Stabilität des autonomen Systems [ ] 0 / x k+ = x / 0 k indem Sie versuchen, eine geeignete Liapunov Funktion zu finden. Hinweis: Die zeitdiskrete Liapunov Gleichung lautet A T PA P+Q = 0. (c) Gegeben ist ein zeitdiskretes LZI-System x k+ = Ax k und eine Messgleichung y k = c T x k mit 3 0 A = 5, c T = [ 0 0 ] i. Entwerfen Sie einen vollständigen Beobachter so, dass für das charakteristische Polynom des Beobachters gilt p(λ) = λ 3 3 λ λ 8. ii. Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom des vollständigen Beobachters aus dem vorherigen Punkt ein Einheitskreispolynom ist. iii. Zeigen Sie, dass die Eigenschaft der vollständigen Beobachtbarkeit zeitdiskreter LTI-Systeme invariant gegenüber regulären Zustandstransformationen der Art Tz k = x k ist. 3

4 3. Impulsfolgen, Übertragungsfunktionen und BIBO Stabilität Die Impulsantworten dreier LZI Systeme wurden messtechnisch bestimmt und durch die Ausdrücke { 0 für 0 t < g (t) = /t für t < { 0 für 0 t < g (t) = /t für t < angenähert. g 3 (t) = e 3t (sin(t)+cos(t)) (a) Untersuchen Sie, ob diese Systeme BIBO stabil sind. (b) Können Sie für diese Systeme eine Realisierung in Form eines Systems von n Differenzialgleichungen -ter Ordnung finden mit n <. Wenn ja, dann geben Sie die Systemgrößen A, b, c und d an. Sollte so eine Realisierung nicht existieren, dann begründen Sie dies. (c) Nun versehen Sie diese Systeme mit Halteglied und Abtaster mit der Abtastzeit T = s. Berechnen Sie die Impulsfolgen der zeitdiskreten Systeme, also deren Antwort y k auf den Eingang u 0 =, u i = 0, i =,,.... (d) Berechnen Sie nun die entsprechenden z-übertragungsfunktionen. Hinweis: Es genügt, die Reihendarstellung anzugeben. 4

5 4. Interne Stabilität (a) Für die Strecke G(z) = (z +)(z ) wurde bereits ein Reglerentwurf mit zwei Freiheitsgraden durchgeführt, mit dem Ergebnis V(z) = V (z)v (z) = R(z) = +3z z. z 3 (z 0.5) z i. Erklären Sie den Begriff Interne Stabilität anhand des Standardregelkreises mit zwei Freiheitsgraden. ii. Nehmen Sie eine entsprechende Realisierung des Reglers vor und erklären Sie warum diese vorgenommen werden muss. (b) Betrachten Sie den Standardregelkreis mit einem Freiheitsgrad, wobei die Strecke durch 3s G(s) = (s+5)(s ) gegeben ist. Als Regler soll ein PI-Regler R(s) = V +T Is s mit V,T I R + verwendet werden. Können Werte für V und T I so gefunden werden, dass Interne Stabilität gewährleistet werden kann. (c) Gegeben ist die folgende Übertragungsfunktion einer zeitdiskreten Strecke im q-bereich G # 500 (00 00q) (q) = ( 50+q + q) (00 q). mit T a = 0.0s. i. Zeichnen Sie das Bodediagramm von G # (q). ii. Ist die Übertragungsfunktion G # (q) sprungfähig? iii. Ist die Streckenübertragungsfunktion G # (q) vom einfachen Typ? iv. Was besagt das vereinfachte Schnittpunktkriterium? (d) Gegeben ist folgende Differenzengleichung für einen Regler y k = 3 y k y k + u k mit dem Eingang u und dem Ausgang y. Bestimmen Sie, ob der Regler BIBOstabil ist. 5

6 A, E = C H = D = I A C = C E J *. H A G K A? O H I A? A, E = C H = D = I A C = C E J *. H A G K A? O H I A? Abbildung : Bodediagramm 6