Aufgabe 1: Kontinuierliche und diskrete Signale

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1 ufgabe (5 Punkte) ufgabe : Kontinuierliche und diskrete Signale. Zeichnen Sie jeweils den geraden und den ungeraden nteil des Signals in bb..!. Sind Sie folgenden Signale periodisch? Falls ja, bestimmen Sie deren Grundperiode. a) v ( t) = sin t 6 b) v ( k) = e π k j π 8-5 vk () - bbildung. 5 k. Im folgenden sind v (k) bzw. v (t) Eingangssignale und y(k) bzw. y (t) usgangssignale eines Systems. Untersuchen Sie anhand der folgenden Beziehungen, ob das jeweilige System () gedächtnislos, () zeitinvariant, () linear, (4) kausal und/oder (5) BIBO-stabil ist. a) y ( t) = e v( t) b) y ( k) = v( k) v( k ) c) y( k) = v( k) d) y ( t) = v(t) e) y( k) = k v( k).4 Gegeben ist das in bb.. dargestellte Eingangssignal v (t). Welches der in bb.. dargestellten usgangssignale folgt aus der T 8t Beziehung y ( t) = v? 4 Begründen Sie ihre ntwort. Beachten sie in bb.. die unterschiedliche Skalierung der Zeitachse. -T -T vt () T T T T t - bbildung.

2 ufgabe (5 Punkte) -T - T / T / T t -T -T/ T / T t - - B -4T -T T 4T t -4T -T T 4T t - C bbildung. -

3 ufgabe (5 Punkte) ufgabe : iskrete Systeme Gegeben ist folgendes diskrete LTI-System: K = K = v(k) T T y(k) K = - 4. Ermitteln Sie unmittelbar aus der Systemstruktur die ifferenzengleichung des Systems: y(k) als Funktion von v(k).. Leiten Sie aus der ifferenzengleichung nach. die Übertragungsfunktion H(z) des Systems her.. Bestimmen Sie die ZR des Systems. Welche Ordnung hat das System?.4 Leiten Sie aus der ZR nach. die Übertragungsfunktion H(z) des Systems her. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus. und.4..5 Bestimmen Sie tabellarisch die Impulsantwort h(k) des Systems. Welche Werte haben die Zustandsgrößen x (k) und x (k) für k? k δ(k) h(k).6 Ist das System stabil? Begründen Sie Ihre ussage!.7 Geben Sie die Wertebereiche der Konstanten K, K und K an, für die das System stabil ist.

4 ufgabe (5 Punkte) ufgabe : Kontinuierliche/ iskrete Systeme Gegeben ist die Überlagerung von 5 sinusförmigen Signalen mit, 4, 6, 8, MHz. ie mplituden sind linear fallend von V ( MHz) bis V ( MHz). as vorgegebene Summensignal soll gefiltert (ntialiasingfilter) und abgetastet (/-Konverter) werden: v(t) TP H(j ω ) = H(j ω ) = ω + j ω + ω j gω g x(t) y(t). Berechnen Sie die mplituden der Spektralanteile bei 4, 6 und 8 MHz.. er eingezeichnete Tiefpass ist ein Tiefpass. Ordnung. Er hat die Grenzfrequenz: f g = 6 MHz. Berechnen Sie den Betrag der Verstärkungen bei den gegebenen Signalfrequenzen. (Numerische ngaben sind am Ende dieser ufgabe zu finden!) Wie groß ist der relative mplitudenfehler (in %)? f MHz 4 MHz 6 MHz 8 MHz MHz H(jω) (in %). Bestimmen Sie die Formel für die notwendige Grenzfrequenz f g, damit ein vorgegebener mplitudenfehler nicht überschritten wird..4 ie Formel nach. soll durch die Näherung: + vereinfacht werden. ( ) Wie lautet die Näherungsformel? -.5 Wie groß muss die Grenzfrequenz gewählt werden, damit der maximale Fehler,5 % (sinnvoll für 8bit C) nicht überschritten wird?

5 ufgabe (5 Punkte).6 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(s) des ntialiasingfilters und zeichnen Sie das zugehörige P/N-Schema..7 Bestimmen Sie die minimale erforderliche btastfrequenz, damit das kontinuierliche Signal eindeutig wieder aus den btastwerten rekonstruiert werden kann. Numerische ngaben: =,95 =,8 =,77 =,5 4

6 ufgabe 4 (5 Punkte) ufgabe 4: btasttheorem as zeitkontinuierliche Signal v t) = cos( 4kHz πt) um das zeitdiskrete Signal v( k) cos( πk / ) ( wird mit der Frequenz f abgetastet, = zu erhalten. Hinweis: Nutzen Sie für alle Zeichnungen die unten bereitgestellten iagramme. 4. Zeichnen Sie das Spektrum V ( jω) des Signals v (t). 4. Geben Sie den minimalen Wert f,min an, mit dem Sie v (t) grundsätzlich abtasten können, ohne das btasttheorem zu verletzen. 4. Bestimmen Sie den Wert der btastfrequenz f = f,, mit dem das angegebene zeitkontinuierliche Signal v(t) durch btastung in das gegebene zeitdiskrete Signal v (k) überführt wurde. jω, 4.4 Zeichnen Sie das Spektrum V ( e ) des Signals v (k) im Bereich von f f f = f. =, bis, 4.5 Mit dem in bb. 4. gegebenen idealen System soll v (t) aus v(k) rekonstruiert werden. Geben Sie hierfür eine geeignete Grenzfrequenz f für den Tiefpass (TP) an. g, TP f, f g, bbildung 4. as Signal v (t) soll nun mit der btastfrequenz f = f, = khz abgetastet werden Wie lautet das sich nun ergebende zeitdiskrete Signal w (k)? 4.7 Ergänzen Sie in der unteren Tabelle die gesuchten Werte der Signale v (k) und w (k). Welche Beziehung besteht zwischen den Signalen v (k) und w (k)? k v(k) w(k)

7 ufgabe 4 (5 Punkte) jω, 4.8 Zeichnen Sie das Spektrum W ( e ) des Signals w (k) im Bereich von f f f = f. =, bis, 4.9 Ist es mit dem idealen System in bb. 4. möglich, v (t) aus w (k) zu rekonstruieren? Falls ja, so geben Sie eine geeignete Grenzfrequenz f g, für den Tiefpass (TP) an. Falls nein, so begründen Sie ihre ntwort. TP f, f g, bbildung 4. V(j ω) V(e jω,),,,,,, W(e jω,),,,,,,