Digitale Signalverarbeitung Übungsaufgaben

Transkript

1 Kapitel : Einleitung -: Analoger Tiefpass Dieser Tiefpass mit den Werten R = Ω, L =.5mH R L und C =.5µF ist wie folgt zu analysieren: U e C R. Es springe U e bei t =.5ms auf 5V und bei t = ms wieder auf. Geben ie an, welche Werte die Größen I L, U L, U a und I C zu den Zeitpunkten t +, t und t + haben und skizzieren ie ihre zu erwartenden Zeitverläufe. Die chaltung werde nun harmonisch erregt. a) Ermitteln ie per formaler j ω -Rechnung die Übertragungsfunktion G( ω) = Ua( ω)/ Ue( ω) b) Weshalb können dabei Anfangsbedingungen nicht berücksichtigt werden? c) Berechnen ie die Eckfrequenz dieses Tiefpasses d) tellen ie Amplitudengang und Phasengang obiger Übertragungsfunktion linear und als BODE-Diagramm dar die Amplitude normiert auf G () e) kizzieren ie die Ortskurve G ( ω ) f) Es sei Ue = 5V sin(π 8 khz t). Ermitteln ie Ua ( t) analytisch und grafisch per Zeigerbild U a -: Tiefpass-imulation Überprüfen ie mit einem Netzwerk-Analyse-Programm alle Ergebnisse aus Aufgabe - -3: Digitaler Tiefpass Die chaltung aus - soll in ein Abtast-ystem überführt und bei harmonischer Erregung simuliert werden.. Ermitteln ie die Dgln. I L = f ( IL, UC, Ue ) und U C = f ( IL, UC, Ue ). Diskretisieren ie diese Gln. mit T = 5µs und bringen ie sie in eine normierte Form 3. imulieren ie per IMULINK den Verlauf von UC ( k) im Vergleich zu Ue ( k ) Die Lösungen zum Gesamtprojekt - bis -3 können als Beleg abgegeben werden Kapitel : Grundlagen und Bekanntes -: ignalenergie π π π π π Gegeben sei das ignal x( t) = 3cos( t) sin( 3 t + ) +.6cos( 4 t + ). T T 4 T 4. Zeigen ie, dass für xt ( ) das PAREVALsche Theorem über die Leistungsbilanz

2 periodischer ignale ( ) ( ) gilt ( T ) m = P X = x t dt = T c m Zur Erinnerung: Für orthogonale Funktionen gilt ( at ( ) + bt ( ) + ct ( )) = a ( t) + b ( t) + c ( t). Das ignal werde mit N = pro Periode abgetastet. Formulieren ie x( k ) und lassen ie seine mittlere Leistung berechnen. Kann man das obige Theorem auf Abtastsignale erweitern? -: Einstellige ignaloperationen Gegeben sei dieses ignal; außerhalb sei es Null k. Zeigen ie an diesem Beispiel die Gültigkeit der Beziehung ( x) = ( Δ ( x)). Bilden ie x ( k) D = ( ( x)) 3. tellen ie x( k ) als umme einfacher ignale dar -3: Korrelationsfunktion Ermitteln ie per IMULINK die Autokorrelationen Ψ () τ und Ψ ( τ ) der ignale aus Aufgabe - sowie deren Kreuzkorrelation Ψ XX ( τ ) -4: ignal-abtastung (kann als Beleg abgegeben werden) XX XX Das analoge ignal π π π π π x( t) = 3cos( t) sin( 3 t + ) +.6cos( 4 t + ) T T 4 T 4 mit T = /8Hz soll auf verschiedene Art abgetastet werden.. Ideale Abtastung mit dt ( ) und Abtastpunkten pro Periode führe auf x ( k ). a) Prüfen ie, ob die Abtastbedingung eingehalten wurde b) imulieren ie die Liniendiagramme x ( t ) und x ( k ) und beschriften ie exakt c) Geben ie in einer Tabelle die Werte c ( f ) an, bezogen auf f / khz und f / f d) kizzieren ie die komplexen pektren von x ( t ) und x ( k ) für khz f 4kHz über f / khz und f / f. Reale Abtastung mit einer Pulsfolge dδ ( t), f = 8kHz, T Δ = 3.5µs, Impulshöhe x = 6 a) Berechnen und skizzieren ie das komplexe pektrum cδ ( m) von dδ ( t) für khz f < 4kHz b) Durch Verlaufsabtastung von x ( t ) mit d Δ ( t) entstehe das reale Abtastsignal x ( t ). Berechnen ie seine spektralen Werte für 4kHz f 6kHz c) Durch flat-top sampling von x ( t ) mit d Δ ( t) entstehe das reale Abtastsignal x3 ( t ). Berechnen ie seine spektralen Werte für 4kHz f < 4kHz 3. Durch &H-Abtastung mit f = 8kHz entstehe aus x ( t ) ein Treppensignal x 4 () t. a) Berechnen ie seine spektralen Werte für 4kHz f < 4kHz

3 * b) Bilden ie aus diesen Daten die spektrale Form der FOURIER-Reihe von x 4 ( t ) (Weshalb der tern?) c) Vergleichen ie per imulation die Liniendiagramme von x ( t ) mit x * 4 ( t ) * d) Weshalb ergibt x4 ( t ) kein Treppensignal? Kapitel 3: Die Z-Transformation 3-: Fouriertransformierte eines Abtast-Energiesignals Gegeben sei dieses Energiesignal x( k ) im interessierenden Bereich. 3. Geben ie seine FOURIER- Transformierte Xf ( ) als umme an. imulieren ie Amplitudenspektrum und 4 Phasenspektrum des ignals über eine Periode und zeigen ie auch die Periodizität mittels imulation k 3-: Z-Transformierte Gegeben sei das Energiesignal x( k ) aus Aufgabe Formulieren ie x( k ) analytisch als umme von Grund- und Elementarsignalen 6. Bilden ie die Z-Transformierte X( z) = Z { x( k)} a) als LAURENT-Reihe b) aus den Korrespondenzen der Elementarsignale 6. Zeigen ie, dass die Ergebnisse von a und b gleich sind 3-3: Z-Transformierte k 3 Gegeben sei das ignal x( k) =.5 ( k 3) ( k 3).. Ermitteln und skizzieren ie seinen Verlauf bis k=7. Bestimmen ie die Transformierte Z { x } 3. Konvergenzradius: In welchem Bereich von z ist diese Transformierte definiert? j 4. Test: berechnen ie X( z) =.5 e π 3-4: Rücktransformation z + 4z + 5 Berechnen ie das zur Z-Transformierten X( z) = z + z +. Polynomdivision. Rekursionsformel (beide bis k = 4 ) 3. Residuenmethode 4. Partialbruchzerlegung gehörende Abtastsignal mittels und geben ie x (34) an Beachten ie, dass die Partialbruchzerlegung nur auf gebrochen rationale Funktionen anwendbar ist 3

4 3-5: Lösung im Bildbereich Gegeben sei die Differenzen-Gleichung 6 y ( k + ) + 5 y( k + ) + y( k) = cos( k π ) mit den Anfangsbedingungen y () = und y () =. Ermitteln ie ihre Lösung per Z-Transformation und skizzieren ie das Ergebnis bis k = Kapitel 4: Lineare Abtast-ysteme 4-: Digitalfilter per Dfz.-Gl. Ein Digitalfilter sei durch seine Differenzen-Gleichung y ( k) =.5( x( k) + x( k ) + y( k )) () gegeben.. Klassifizieren ie das ystem. kizzieren ie sein Blockschaltbild 3. Ermitteln ie die Übertragungsfunktion G( z ) 4. Zeichnen ie sein kanonisches Blockschaltbild 5. Ermitteln ie die Gewichtsfolge g( k ) a) durch die analytische Lösung der Dfz.-Gl. () b) aus der Rücktransformation Z { G} c) iterativ, d.h. per Handtakt des Blockschaltbildes bis k = 5 6. Erstellen ie ein IMULINK-Modelldes ystems und simulieren ie seine Reaktion auf x( k) = sin( π /6 k) 4-: Digitalfilter mit Wunsch-Reaktion Zu konstruieren sei ein lineares Abtastsystem, das aus der Eingangsfolge x( k ) = [...] das Ausgangssignal y ( k ) = [...] erzeugt. Ermitteln ie die Übertragungsfunktion als Quotient Y( z)/ X( z ). Vereinfachen ie G( z ) durch das hier mögliche Kürzen von Nullstellen und Polen 3. Ermitteln ie die Impulsantwort g( k ) des ystems Welche (bekannte) Operetion vollzieht es? 4. Konstruieren ie eine kanonische truktur des ystems und testen ie per Handtakt oder imulation seine Reaktion auf das gegebene x( k ) und auf den Einheitsimpuls 5. Errechnen ie geometrisch aus dem PN-Plan des ystems Amplitudengang A( Ω ) und Phasengang ϕ ( Ω ) 4-3: Digitalfilter per Blockschaltbild Gegeben sei dieses Abtastsystem im Nullzustand y(k)

5 . Welcher Filtertyp liegt vor?. Ermitteln ie die Übertragungsfunktion G( z ) a) direkt aus der chaltung b) über die Differenzengleichung c) über die Zustandsgleichungen 3. Geben ie die Impulsantwort g( k ) an 4. Berechnen ie die Rektion auf x( k ) = [333...] 4-4: Oszillator Gesucht sei ein Abtastsystem, das auf einen Einheitssprung x( k) = ( k) mit einer periodischen chwingung y ( k) = sin( π /4 k) reagiert.. Ermitteln ie a) die Übertragungsfunktion G( z ) b) eine kanonische Realisierung des ystems c) die Zustandsgleichungen. Testen ie Ihr ystem mit IMULINK bis k = 4-5: Digitalfilter per Zeit-Diskretisierung Gegeben sei die Differentialgleichung Ua( t) + C R U a ( t) = Ue( t) () eines analogen Tiefpasses. Ordnung, wobei Ua ( t = ) gelten soll.. Ua( k + ) Ua( k) Diskretisieren ie Gl.() mit der ubstitution Ua ( t) T () in die Form Ua( k + ) = f( Ua( k), Ue( k)) (3). Veranschaulichen ie sich anhand der jeweiligen Geraden- Anstiege in der kizze, unter welcher Bedingung diese x(t) x(t) Diskretisierung vertretbar ist t 3. Transformieren ie Gl.(3) in den Z-Bereich. 4. Unter welcher Bedingung gilt für die Übertragungsfunktion G( z) = Ua( z)/ Ue( z)? (4) 5. Für welche Werte von Ω g = T / τ = π fg / f mit τ = C R bzw. τ = L/ R ist das ystem stabil? 6. Diskutieren ie anhand des PN-Planes die Filter-Art dieses Abtastsystems 7. Berechnen ie Ua ( k ) bei Erregung mit U ( ) ˆ e k = Ue sin( π f k T ), und trennen ie das Ergebnis in eine stationäre und eine flüchtige Lösung Ua( k) = Uaf ( k) + Ua ( k) 8. Errechnen ie Amplitudengang A( Ω ) und Phasengang ϕ( Ω) und lassen ie die Verläufe für Ω g =.,.3 und.9 zeichnen Vergleichen ie das Ergebnis mit den Frequenzgängen eines analogen Tiefpasses 5