Analoge und digitale Filter

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1 Technische Universität Ilmenau Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik FG Nachrichtentechnik Übungsaufgaben zur Lehrveranstaltung Analoge und digitale Filter Filter. Ordnung. Betrachtet wird ein RC-Hochpass erster Ordnung mit der Zeitkonstanten T bzw. der 3 db Grenzfrequenz f g = /(2πT ). (a) Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (p) an und skizzieren Sie das PN-Diagramm. (b) Berechnen und skizzieren Sie den Amplitudengang 20 log 0 G(f) db. (c) Berechnen und skizzieren Sie den Phasenverlauf φ(f) = arg(g(f)). (d) Berechnen und skizzieren Sie die Gruppenlaufzeit t g (f). Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem eines Tiefpass-Filters. Ordnung. Hinweis: arctan (x) = +x 2 (e) Diskutieren Sie Amplitudengang und Gruppenlaufzeit, wenn der Hochpass mit einem Tiefpass gleicher Grenzfrequenz parallel geschaltet wird. Dabei sei G TP (f) = +j f f g die Übertragungsfunktion des Tiefpasses. Unterscheiden Sie die Fälle G TP (f)+g HP (f) und G TP (f) G HP (f). 2. Betrachtet wird ein Shelving-Tiefpass erster Ordnung gemäß Skizze. (a) Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (p) an und skizzieren Sie das PN-Diagramm. (b) Berechnen und skizzieren Sie den Amplitudengang 20 log 0 G(f) db. (c) Berechnen und skizzieren Sie den Phasenverlauf φ(f) = arg(g(f)). (d) Berechnen und skizzieren Sie die Gruppenlaufzeit t g (f).

2 (e) Wie lautet die Übertragungsfunktion des Aktivfilters, wenn ein idealer Operationsverstärker vorausgesetzt wird? Filter 2. Ordnung 3. (a) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G p (p) der angegebenen Schaltung. (b) Überführen Sie G p (p) in die Standardform G p (p) = w0 2 p 2 +p w. 0 Q +w2 0 (c) Skizzieren Sie das PN-Diagramm. Unterscheiden Sie dabei die Fälle Q > /2, Q = /2 und Q < /2. (d) Welche Formalitäten ergeben sich durch die Hinzunahme einer einzelnen reellen Nullstelle und einer doppelten reellen Nullstelle? Wie sehen die entsprechenden (passiven) RLC-Schaltungen aus? (e) Skizzieren Sie das Verzweigungsnetzwerk für den oben skizzierten Tiefpass. (f) Wie kann (formal) aus dem Ausgangssignal des oben angegebenen Tiefpasses das Ausgangssignal eines Bandpasses und eines Hochpasses gewonnen werden? (g) Modifizieren Sie das Verzweigungsnetzwerk derart, dass die Funktionsweise des nachfolgend dargestellten Tow-Thomas-Biquads verständlich wird. 2

3 4. Betrachtet wird die folgende Schaltung. R L C R (a) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G p (p) der angegebenen Schaltung. (b) Drücken Sie die Übertragungsfunktion als Funktion von normierten (dimensionslosen) Bauelementewerten C, L und R sowie einer normierten Variablen p aus. (c) Welche (normierte) Übertragungsfunktion G p ( p) folgt für die Bauelementewerte C = L = 2 und R =? Um welchen Standard-Tiefpass-Filtertyp handelt es sich? (d) Dimensionieren Sie die Schaltung für R = 50 Ω und ω 0 = 00 khz. 5. Betrachtet wird das folgende Tiefpass-Filter 2. Ordnung (Sallen-Key Biquad). (a) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G p (p) der angegebenen Schaltung. Für R = R 2 = R gilt: ω 0 = R,Q = C2 C C 2 2 C. (b) Wie lauten die normierten Bauelementewerte für ω 0 = und R =? (c) Dimensionieren Sie die Schaltung für Q = 2, R = 0.8 kω und f 0 = 4 khz. 3

4 Standardtiefpass-Filter höherer Ordnung 6. Betrachtet wird ein Tschebyscheff Typ Tiefpass 5. Ordnung mit den Parametern ω d = 0 Mrad/s und a max = 0.8 db. (a) Wie lautet der Amplitudengang G(f) 2 des Filters? (b) Geben Sie jeweils die Passivschaltungen für eine induktivitätsarme und eine kapazitätsarme Schaltung an. (c) Wie kann ein entsprechender Hochpass entwickelt werden? 7. Betrachtet wird ein Potenztiefpass 3. Ordnung. (a) Geben Sie G(f) 2 an. Es soll gelten G(f = 0) 2 = /2 (b) Ermitteln Sie die Nullstellen und Polstellen von Y(p) = G(p) 2 = G(p) G( p). (c) Skizzieren Sie das PN-Diagramm des Filters. (d) Ermitteln Sie das Butterworth-Polynom P N (p). Es gilt G(p) = k p P N (p). (e) Das Filter soll über eine passives Abzweigungsnetzwerk realisiert werden, vgl. Abbildung. Mit der Vereinbarung A(p) 2 = 4 R S R L G(p) 2 kann eine Beziehung zwischen der Eingangsimpedanz Z I (p) und der Übertragungsfunktion G(p) hergestellt werden. Es gilt [ ] A(p) ± Z I (p) = R S. +A(p) Wie lauten A( p) 2 und A( p) für den Spezialfall R S = R L? (f) Geben Sie die Eingangsimpedanz Z I ( p) an. Geben Sie Z I ( p) für die Exponenten ± als Kettenbrüche an. (g) Geben Sie die Eingangsimpedanz der folgenden Schaltung als Kettenbruch an. Wie müssen die normierten Bauelemente dimensioniert werden? 4

5 (h) Geben Sie die Eingangsimpedanz der folgenden Schaltung als Kettenbruch an. Wie müssen die normierten Bauelemente dimensioniert werden? 5