Grundlagen der Elektrotechnik 3

Transkript

1 Campus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik 3 Fakultät für Ingenieurwissenschaften Abteilung Elektrotechnik und Informationstechnik Fachgebiet Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik Bismarckstraße Duisburg Version Januar 14

2 Übungsaufgabe 1: Skizzieren Sie maßstäblich den zeitlichen Verlauf der nachfolgend gegebenen jeweiligen Signale s(t)! 0 a) ( ) ( t s t = A rect t T 0 ) mit den Größen: A = 6 V, t 0 = s und T 0 = 1s. s( t) = ε ( t T ) sin( ω t + ϕ ) b) mit den Größen: ϕ = π 0 3 und π T 1 ω 0 =. c) t T t T s ( t ) = Λ( ) + Λ ( + ) 3 mit den Größen: T = 1s und T 3 = 1s. d) t T t T s ( t ) = r ( ) rect ( + ) mit den Größen: T 4 = 1s und T 5 = 1s. t T e) s ( t ) = rect ( ) sin( ω t 6 ) 6 mit den Größen: T 6 = 0.5s und ω 6 = π T 6 Seite 1

3 Übungsaufgabe : Gegeben sei eine periodische Zeitfunktion f(t) mit f(t) = f(t+nt) mit den nicht negativen ganzen Zahlen n und der Periodendauer T. Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung für die in Bild auszugsweise im Zeitintervall 0 < t < T dargestellte periodische Zeitfunktion f(t)! Bild Seite

4 Übungsaufgabe 3: Gegeben sei eine periodische Zeitfunktion f(t) mit f(t) = f(t+nt) mit den nicht negativen ganzen Zahlen n und der Periodendauer T. Der zeitliche Funktionsverlauf ähnelt dem einer durch Einweggleichrichtung einer sinusförmigen Spannung gewonnenem Spannungsverlauf. T A sin( ωt) für 0 t f ( t) = T 0 für t T Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung für die auszugsweise im Zeitintervall 0 < t < T beschriebene periodische Zeitfunktion f(t)! Seite 3

5 Übungsaufgabe 4: Gegeben sei die in Bild 4 dargestellte periodische Spannung u 1 ( t ). Bild 4 a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe in komplexer Schreibweise und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum. b) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe der Spannung u ( t ), wenn u 1 ( t ) jeweils an einer der Schaltungen nach den Abbildungen a-d angelegt wird. Bestimmen Sie die zugehörigen Amplitudenspektren. Abbildung a Abbildung b Abbildung c Abbildung d Seite 4

6 Übungsaufgabe 5: Der dargestellte Strom i( t ) fließt durch den gezeigten Schwingkreis. Es soll gelten: 1 T L = = 4ω C 16π C a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe von i( t ) und u( t ) in komplexer Schreibweise. b) Skizzieren Sie die Amplitudenspektren von i( t ) und u( t ), wenn die Güte des Schwingkreises Q = 1 bzw. Q = 10 ist. c) Bestimmen Sie für Q = 1 und Q = 10 : a. die Effektivwerte I eff, U eff, b. den Schwingungsgehalt und Grundschwingungsgehalt von i( t ) und u( t ), c. den Oberschwingungsgehalt von i( t ) und u( t ). Seite 5

7 Übungsaufgabe 6: Gegeben ist ein im Zeitbereich einmaliger Impuls der Form: 0 für < t < T C π f ( t) = 1 cos t für T t T + < < T 0 für T < t < Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von f ( t ) und bestimmen Sie das zugehörige Amplituden- und Phasenspektrum. Vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Spektren des Rechteckimpulses gleicher Amplitude, aber halber Pulsdauer. Seite 6

8 Übungsaufgabe 7: Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der gezeigten Impulsfunktion der Impulsdauer T, indem Sie den Impuls als Überlagerung zweier Sprungfunktionen darstellen. Bestimmen Sie anschließend die Laplace-Transformierte des um die Zeit t 0 zeitverschobenen Impulses. Seite 7

9 Übungsaufgabe 8: Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der folgenden Zeitfunktionen a) t g( t) = T 1t b) g( t) = 1 e σ ( σ 1 < 0) c) g( t) = cos( ω1t + ϕ) σ1t d) g( t) = e cos( ω t + ϕ) ( σ 1 < 0) 1 Seite 8

10 Übungsaufgabe 9: Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der dargestellten Zeitfunktion. Seite 9

11 Übungsaufgabe 10: Gegeben sind die folgenden Laplace-Transformierten: a) G( s) = ab ( s a ) ( s b ) b) G( s) = a ( ) s s + a mit reellen Werten a,b. Bestimmen Sie die zugehörigen Zeitfunktionen. Seite 10

12 Übungsaufgabe 11: Gegeben ist die Schaltung: Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen. Bestimmen Sie die Spannung u ( t ) und die Ströme i 1 ( t ) und i ( t ) für 0 < t < C Seite 11

13 Übungsaufgabe 1: Gegeben ist die Schaltung: Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen und zu der Zeit L t = t1 = R1 R3 R + R + R 1 3 wieder geöffnet. Berechnen Sie die Ströme i 1 ( t ), i ( t ) und i 3 ( t ), sowie die Spannung u ( t ). Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von i 1 ( t ), i ( t) und i 3 ( t ) für R1 = R = R3 = R. L Seite 1

14 Übungsaufgabe 13: Gegeben ist die Schaltung: Berechnen Sie die Spannung u( t ), sowie die Ströme i ( t ), i ( t ) und i ( t ), wenn der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet wird und der Kondensator im Zeitbereich t < 0 ungeladen ist a) für den periodischen Fall, b) für den aperiodischen Fall, c) für den aperiodischen Grenzfall. C G L Seite 13

15 Übungsaufgabe 14: Gegeben ist die Schaltung: Im Zeitpunkt t = 0wird der Schalter umgeschaltet. Bestimmen Sie die Spannung u ( t ). L Seite 14

16 Übungsaufgabe 15: In der gegebenen Schaltung wird der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Ströme i( t ) und i 1 ( t) für den Zeitbereich 0 < t <. Seite 15

17 Übungsaufgabe 16: Gegeben ist ein invertierender Verstärker mit einem idealen Operationsverstärker Die symmetrische Versorgungspannung besitzt den Wert U = 15V. a) Welchen Wert muss der Widerstand R 0 besitzen, damit der Eingangswiderstand des Verstärkers 100 kω beträgt? b) Welchen Wert muss der Widerstand R 1 besitzen, damit der Verstärker eine Spannungsverstärkung von A = 50 besitzt? uɵ Hinweis: A = u ɵ a e Die Eingangsspannung ue( t ) sei nun sinusförmig mit dem Scheitelwert u ɵ e = 0,4V. c) Skizzieren Sie die Ausgangsspannung ( ) a u t. B Seite 16

18 Übungsaufgabe 17: Gegeben ist ein Hochpass. Ordnung: Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C 1, C, R 1, R für den Fall, dass die Verstärkung der Hochpassschaltung gleich 10 und die untere Grenzfrequenz 5 khz beträgt. Seite 17

19 Übungsaufgabe 18: Gegeben ist ein Tiefpass. Ordnung: Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C 1, C, R 1, R, R 3 für den Fall, dass die Verstärkung der Tiefpassschaltung gleich 10 und die obere Grenzfrequenz 5 khz beträgt. Seite 18

20 Übungsaufgabe 19: Ein idealer Operationsverstärker (OP) wird eingangs- und ausgangsseitig mit Zweitoren in Form von T-Gliedern beschaltet. a) Beschreiben Sie die Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers (Bauelementtyp, Prinzipschaltbild und Kennlinie, Spannungen, Ströme, Verstärkung). b) Berechnen Sie die Ströme 0 iɵ und 1 iɵ. c) Ermitteln Sie den Frequenzgang bzw. die Übertragungsfunktion der Schaltung. Seite 19

21 Übungsaufgabe 0: Die gegebene Schaltung stellt einen Differenzverstärker (Subtrahierer) dar. Der Verstärker ist ein idealer Operationsverstärker (OP). Die Eingangsspannungen u ɵ e1 und u ɵ e sind gegeben. Berechnen Sie die Ausgangsspannung u ɵ a in Abhängigkeit der Widerstände R 1 und R, wenn R3 R4 gilt: =. R R 1 Seite 0

22 Übungsaufgabe 1: Gegeben ist ein idealer Operationsverstärker (OP), der wie folgt beschaltet ist: a) Bestimmen Sie allgemein die Übertragungsfunktion v u uɵ = ɵ a der Schaltung. u b) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich, 1 wenn: Z1 = R1, Z = R, Z5 = R3, Z3 = Z 4 = ( jωc)? Welches Filter ist damit realisiert? c) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich für: Z1 = Z3 = Z4 = R, 1) Welches Filter ist damit realisiert? e Z Z5 ( j C) 1 = = ω? 1 ) Wie groß sind Betrag und Phase der Übertragungsfunktion fürω0 = ( RC)? 3) Welchen Wert hat der Betrag der Übertragungsfunktion an der Stelleω = ω0? Seite 1

23 Übungsaufgabe : Ein Sägezahngenerator, der die Spannung u q liefert (Abbildung b), ist in Reihe geschaltet mit einer Si-Diode D und einem Lastwiderstand R = 500Ω (Abbildung a). Die Diodenkennlinie werde angenähert durch eine Ersatzkennlinie mit U = 0,6 V und r = 10 Ω. L S f Abbildung a: Diode als Gleichrichter Abbildung c: Ersatzschaltbild Abbildung b: Sägezahnspannung a) Berechnen Sie den Maximalwert (Scheitelwert) i ɵ des Stromes i. b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i. c) Berechnen Sie den Effektivwert (quadratischer Mittelwert) I des Stromes i. Seite

24 Übungsaufgabe 3: Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Die Spannung u 1 wird über den Widerstand R vollständig an die offenen Ausgangsklemmen übertragen, solange die Diode D gesperrt ist. Die Ausgangsspannung u wird begrenzt, wenn die Diode leitet. Die Diodenkennlinie werde idealisiert mit U = 0,6 V und r = 0 Ω. S f a) In welchem Bereich der Spannung u1 ist die Diode D leitend bzw. gesperrt? b) Berechnen Sie den Strom i in Abhängigkeit von der Spannung u 1. c) Bestimmen Sie die Übertragungskennlinie der Spannung u in Abhängigkeit von der Spannung u 1. Seite 3

25 Übungsaufgabe 4: Gegeben ist ein additiver Dioden-Mischer: Die Kondensatorwerte sind so groß gewählt, dass die an ihnen abfallende Wechselspannung vernachlässigt werden kann. Die nichtlineare Kennlinie der Diode kann durch ein Polynom n-ter Ordnung beschrieben werden. Für die Eingangsspannungen gilt: ue 1 = A sin( ω1t ) u = B sin( ω t) e mit ω1 ω Berechnen Sie die entstehenden Kreisfrequenzen ω i in der Ausgangsspannung u e3 des Mischers und skizzieren Sie das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung. Hinweis: Zur vereinfachten Berechnung sollen nur die ersten drei Terme des Polynoms für einen willkürlich gewählten Arbeitspunkt berücksichtigt werden. Seite 4

26 Übungsaufgabe 5: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 15 V bzw. UBM = 15 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 00 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 10 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 50 mv cos( ωt ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 5

27 Übungsaufgabe 6: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 15 V bzw. UBM = 15 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 10 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 00 mv cos( ωt 45 ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 6

28 Übungsaufgabe 7: Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U = + 5 V bzw. UBM = 5 V symmetrisch gespeist wird. Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers etwa 1 kω betragen. Eine Signalspannung u( t) = 50 mv cos( ωt + 45 ) wird mit dem Eingang des invertierenden Verstärkers verbunden. a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen) Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen Bauelemente. b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der Ausgangspannung charakteristischen Werte. BP Seite 7

29 Übungsaufgabe 8: Gegeben ist eine verlustbehaftete homogene Fernleitung der Länge L, mit dem komplexen Leitungswellenwiderstand Z Lund dem Ausbreitungskoeffizienten γ = α + jβ. Die Fernleitung sei an dem Ort l = 0 mit einer Impedanz Z 0 abgeschlossen. Bild 8 Bestimmen Sie für eine vorgegebene konstante Kreisfrequenz ω = π f die Eingangsimpedanz Z E der mit einer Impedanz Z 0 belasteten Fernleitung. Seite 8

30 Übungsaufgabe 9: Gegeben ist eine homogene Fernleitung der Länge L, deren Verluste vernachlässigt werden sollen. Von dieser Fernleitung sind der Induktivitätsbelag L ' und der Kapazitätsbelag C ' bekannt. Für die Berechnungen soll die Fernleitung mit einer sinusförmigen Wechselspannung mit konstanter Wellenlänge λ betrieben werden. Bild 9 a) Bestimmen Sie ausgehend von den Leitungsgleichungen der verlustbehafteten Fernleitung die Leitungsgleichungen für die verlustlose Fernleitung und deren charakteristischen Größen. b) Bestimmen Sie die Eingangsimpedanz Z E einer mit Z 0 belasteten verlustlosen Fernleitung. c) Zeigen Sie, dass für eine spezielle Länge L = 0, 5 λ ein Widerstandswert Z 0 = R1 in einen Widerstandswert Z E = R transformiert wird und bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen diesen Größen. d) Berechnen und skizzieren Sie die Strom- und Spannungsverläufe auf der Fernleitung für den Fall, dass für die Abschlussimpedanz Z 0 gilt: 1) Z 0 = 0 (Kurzschluss), ) Z 0 = (Leerlauf) und Z 3) 0 L = Z (Anpassung). Seite 9

31 Übungsaufgabe 30: Gegeben ist eine homogene Fernleitung der Länge L, deren Verluste vernachlässigt werden sollen. Von dieser Fernleitung sind der Induktivitätsbelag L ' und der Kapazitätsbelag C ' bekannt. Die Fernleitung ist mit einer Wechselspannungsquelle gemäß Bild 9 verbunden und mit einer Impedanz Z 0 belastet, in der eine elektrische Wirkleistung P0 = 180mW in Wärme umgewandelt wird. Bild 30 Folgende Größen sind bekannt: Z 0 = 100Ω, Z i = 100Ω, L = 1,5 m, C ' = 50 pf m, ' µ L = H und f = 10 MHz. m Berechnen Sie den Scheitelwert der Leerlaufspannung der angeschlossenen Wechselspannungsquelle! Seite 30

32 Übungsaufgabe 31: Gegeben sind zwei homogene Fernleitungen der Längen L 1 und L, deren Verluste vernachlässigt werden sollen. Die Fernleitungen sind mit einer Wechselspannungsquelle gemäß Bild 30 verbunden und mit einer Impedanz Z 0 belastet. Die Fernleitung mit der Länge L 1 besitzt einen Wellenwiderstand Z L1 und die Fernleitung mit der Länge L besitzt einen Wellenwiderstand Z L. Bild 31 Folgende Größen sind bekannt: Z 0 = 80Ω, L1 = 0,15 λ, Z L1 = 100Ω, L = 0,75 λ, Z L = 80Ω und f = 0kHz. 1) Berechnen Sie die Größe der Eingangsimpedanz Z E! ) Bestimmen Sie die Größe der Innenimpedanz Z i der Wechselspannungsquelle für den Fall, dass die in der Impedanz Z 0 in Wärme umgesetzte Wirkleistung maximal wird! Seite 31