Aufgaben Elektronik II

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1 Aufgaben Elektronik II. Zeigen Sie, dass bei der Berechnung der Übertragungsfunktion gilt: u A U E u E 2. Ein komplexer Widerstand ist in der Form Z Z e j gegeben. Wie ist das Verhältnis Imaginärteil zu Realteil? Was hat die Phase mit der physikalischen Größe Zeit zu tun? 3. Eine Wechselspannung mit der Frequenz f GHz wird mit Hilfe der komplexen Amplitude U j V (in diesem Fall also eine rein imaginäre Amplitude) beschrieben. Zu welchen Zeitpunkten wären bei einer tatsächlichen Messung dieser Spannnung die Nulldurchgänge und zu welchen Zeitpunkten t i wäre sie genau u t i V? U A mit Informatik Stand: November Eine Übertragungsfunktion wird in der folgenden Form gegeben: T a jb. Bestimmen Sie den Betrag und den Phasenwinkel allgemein und für ab. Wie lautet also T in der Form T T e j? 5. Für die folgende Schaltung gilt: R 5 k, 0 k, C0 nf. Berechnen Sie allgemein die Übertragungsfunktion T U A U E. Welchen Wert hat die Übertragungsfunktion bei sehr niedrigen Frequenzen? Wie lautet allgemein der Eingangswiderstand Z E der Schaltung und welchen Wert hat Z E bei sehr hohen Frequenzen? 6. Bestimmen Sie Betrag und Phase der Übertragungsfunktion der nebenstehenden Schaltung mit R6,28 k und CF. Wie groß ist der Strom, der bei einer Frequenz von f GHz durch den Widerstand fließt? 7. Die nebenstehende Schaltung hat R 5 k, 0 k und C0 nf. Berechnen Sie allgemein die Übertragungsfunktion T U A U E. Welchen Wert hat die Übetragungsfunktion bei sehr hohen Frequenzen? Wie lautet allgemein der Eingangswiderstand Z E der Schaltung und welchen Wert hat Z E bei sehr tiefen Frequenzen? 8. Wie lautet die Übertragungsfunktion der nebenstehenden Schaltung? Bestimmen Sie die Grenzfrequenz für R 0 k, 2 k und L0 nh. Welche Minimal- und Maximalwerte kann T annehmen? Wie ändern sich diese Extremwerte, wenn die Induktivität der Spule verdoppelt wird? Was für eine Art von Filter erkennen Sie hier? 9. Für die Schaltung rechts bestimmen Sie bitte die Übertragungsfunktion, deren Betrag, deren Phase und die Grenzfrequenz. Es sind R 390, 60 und C40 nf.

2 0. Für die nebenstehende Schaltung gilt: R0 k und C5 nf. Was für eine Art von Filter ist dies? Hat die Übertragungsfunktion ein Maximum, und wenn ja: wo und mit welchem Wert für T? Bitte bestimmen Sie die Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz.. Um was für eine Art von Pass handelt es sich bei der rechts gezeigten Schaltung? Bitte bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Eingangsimpedanz Z E. (Hinweis: kein Rückpass, kein Bypass!) 2. Wie lautet die Übertragungsfunktion der folgenden Schaltung mit R 6 k, C 5 nf und C 2 20 nf. Bitte geben Sie auch den Betrag und die Phase als Funktion der Frequenz an. Wie groß ist der Eingangswiderstand? Kann man durch Hinzufügen eines Widerstandes parallel zu C 2 die Übertragungsfunktion frequenzunabhängig machen, und wenn ja: wie groß muß der Widerstand sein? 3. Bei der folgenden Schaltung sind R20 k und C50 nf. Bitte berechnen Sie allgemein die Übertragungsfunktion und die Phasenverschiebung. Welchen Wert hat die Übertragungsfunktion bei sehr niedrigen Frequenzen? Wo liegt die Grenzfrequenz? Bitte geben Sie ein Näherungsformel für T bei hohen Frequenzen an! Um wie viele db fällt also die Übertragungsfunktion pro Dekade bei hohen Fequenzen ab? 4. Wie lauten die Übertragungsfunktion, deren Betrag und Phasenverschiebung der nebenstehenden Schaltung? Bestimmen Sie die Grenzfrequenz für R 40 k, 0 k und CnF. Welche Minimal- und Maximalwerte kann T annehmen? Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung maximal? 5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Elementen der Kettenparameter- Matrix A und der Spannungsübertragungsfunktion T? 6. Eine für niedrige Frequenzen für Z 0 50 angepasste -Schaltung (siehe rechts) soll zur Dämpfung hoher Frequenzen eingesetzt werden. Die Spannungsübertragung habe im lastfreien Fall einen Pol bei einer Frequenz von f POL 00 khz. Bestimmen Sie L und C! Wie groß ist der Betrag der Spannungsübertragung u 2 /u bei f POL 00 khz, wenn die Schaltung ausgangsseitig mit R L 50 belastet wird? Um welchen Winkel ist die Ausgangsspannung hier relativ zur Eingangsspannung verschoben? 7. Die rechts abgebildete T-Schaltung sei an ein R L 50 Koaxialkabel angepasst und bestehe aus drei gleichen Widerständen. Bitte dimensionieren Sie die Widerstände und bestimmen Sie die Dämpfung der Schaltung 2

3 sowohl bei Anpassung als auch im lastfreien Fall. Wie groß ist die Phasendrehung bei f 2.7 GHz? 8. Ein Vierpol mit unbekanntem Innenleben wird mit folgenden Resultaten ausgemessen: Bei offenem Ausgang ist U 0 V, U 2 Volt, I 200 ma, bei kurzgeschlossenem Ausgang dagegen U 4.95 V, I 00 ma, I 2 0 ma. Es werden keine Phasenverschiebungen beobachtet. Bitte bestimmen Sie die Elemente der Kettenparameter Matrix und den Wellenwiderstand! Ist diese Schaltung symmetrisch? Konstruieren Sie bitte aus Ohmschen Widerständen eine T-Schaltung mit diesen Eigenschaften. 9. Bitte konstruieren Sie die Kettenparameter Matix des einfachen RC Tiefpasses. Dimensionieren Sie den Widerstand so, dass bei einer Last von R L 8 bei kleinen Frequenzen das Verhälnis u 2 /u 0.8 wird. Um wie viele % erhöht sich die Grenzfrequenz relativ zu der des Leerlaufs, wenn die Last vom Leerlauf auf R L 8 erhöht wird? 20. Der rechts gezeigte Bandpass kann als Hintereinanderschaltung von Hoch- und Tiefpass berechnet werden. Bitte bestimmen Sie die Kettenparametermatrix des Bandpasses und berechnen Sie die Spannungsübertragung im lastfreien Fall. Unter Verwendung der Lösung von Aufgabe 9 und einer kleinen guten Idee ist dies überhaupt kein Problem. 2. Ein Z 0 75 Antennenkabel habe einen vernachlässigbar kleinen Ohmschen Widerstand und werde von einem angepassten LNB mit einer Leistung von P0 nw gespeist. Wie viele % der vom LNB erzeugten Signalspannung und welcher Anteil der abgegebenen Leistung kommen beim Satellitenempfänger an, wenn dieser einen Eingangswiderstand von R E 75 hat? Welche Spannungsamplitude und welche Leistung würde man für R E 750 erhalten? (Bitte nicht ärgern! Die Aufgabe ist wirklich schwierig) 22. Ein Reihenschwingkreis aus L200 H und C500 pf nimmt einen Resonanzstrom I R A auf. Bei C - Änderung um C±0 pf geht der Strom auf I A zurück. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f 0, die Bandbreite B, die Güte Q, den Serienwiderstand R S und die Spannung U L,0 an der Induktivität bei Resonanz. (Siehe Kommentar 2) 23. Berechnen Sie einen Parallelschwingkreis für eine Resonanzfrequenz f khz mit folgenden Eigenschaften: f 0 soll sich um höchstens f Hz verschieben, wenn sich die Kapazität durch Änderung des Aufbaus um C0.2 pf ändert. Die Güte der Spule beträgt Q L 300, der Kondensator sei verlustlos. Wie groß sind die Bauelemente L,C & R zu dimensionieren und wie groß ist die Bandbreite B? 24. Eine Induktivität L0.mH liegt in Reihe mit dem Widerstand R S 2. Ergänzen Sie die Schaltung zu einem Parallelschwingkreis für eine Resonanzfrequenz f khz. Bestimmen Sie B & Q. Wie groß ist die Spannung U am Schwingkreis bei der Frequenz 3

4 f 450 khz wenn die Spannung bei der Resonanzfrequenz U 0 f 0 00V beträgt? Wie groß muss die Güte Q' des Schwingkreises sein, wenn bei der Frequenz f die Spannung U ' 0 V betragen soll? 25. Unter Verwendung einer Spule mit L2mH und R4 soll ein Parallelschwingkreis mit der Resonanzfrequenz f 0 50 khz aufgebaut werden. Die Spannung am Schwingkreis bei der Frequenz f 40 khz soll gegenüber der Resonanzspannung um den Faktor 3 geringer sein. Wie groß muss die Güte des Schwingkreises sein? Wie groß muss ein Zusatzwiderstand R S in Reihe mit der Spule zur Einstellung der gerade berechneten Güte sein? Wie groß ist die Kapazität C des Kreises zu wählen? (Tipp: rechnen Sie zunächst mit einem reinen Parallelkreis und schießen aus der Güte auf den Parallelwiderstand. Der hierzu gehörige Reihen-Ersatzwiderstand ist größer als der der Spule. Was fehlt ist R S.) 26. Der Schwingkreis in der folgenden Schaltung ist mit R0, L0.mH und C25.6 nf aufgebaut und wir als Filter verwandt. Berechnen Sie bitte f 0,Q& B. Wie groß ist die Phasenverschiebung bei sehr kleinen Frequenzen und bei der Resonanzfrequenz? 4

5 Lösungen: u. Es gilt u E U E e j t und u A U A e j t A. Daher auch U Ae j t u E U E e U A j t U E 2. Es gilt e j cos j sin. Der Faktor Z ist bei Real- ind Imaginärteil gleich groß. Daher bleiben für das Verhältnis nur die Winkelfunktionen übrig: I Z / R Z sin /cos tan. Bedeutung für die Zeit: uz i folgt u i. Betrachtet man den Fall u 0, dann ist i. Strom und Spannung haben dann den folgenden komplexen Verlauf: u U I e i t U sin t und i I I e j t I sin t. Der Strom hat seinen ersten Nulldurchgang bei t 0. Die Zeit t 0, um die der Strom später seinen Nulldurchgang hat als die Spannung, kann mit 2 /T als t 0 T geschrieben werden. Der Winkel ist also ein Maß dafür, wie viel 2 verspätet der Strom fließt. Ein Phasenwinkel von 80 Grad bedeutet zum Beispiel, dass der Strom um eine halbe Periode hinter der Spannung hinterher hinkt. 3. Wegen j e j /2 schreiben wir den komplexen zeitabhängigen Strom als uu e j t V e j /2 j 2 GHz t e. Was gemessen wird, ist der Imaginärteil hiervon: uv sin 2 GHz t /2 V cos 2 GHz t. Die Nulldurchgänge sind also bei /4ns,3/4ns,5/4ns,.... Volt wird zu den Zeitpunkten 0 ns,ns,2ns,... erreicht. 4. Betrag: T a 2 b 2 Phasenwinkel atan I T / R T atan b/a. Für ab wird /4. Also allgemein T a 2 b 2 j atan b/a e 5. Der linke fällt heraus. Gleicher Strom heißt: Spannungsverhältnis Impedanzverhältnis, also T R { j R C } T U A Z A U E Z E R Z C. Der Betrag ist, oder explizit T, die Phase atan R 2 C 2 R C. Beis sehr niedrigen Frequenzen blockt der Kondensator und es bleibt T 0. Der Eingangswiderstand ist Z E R Z C. Bei hohen Frequenzen fällt der Kondensator heraus un es bleiben 0k 5 k 50/25 k 6 k. 6. Klaro: T und i Der linke fällt heraus. Gleicher Strom heißt: Spannungsverhältnis Impedanzverhältnis, also T U A Z A. Eingesetzt: U E Z E R Z C T R j C Bei sehr hohen Frequenzen wirkt der Kondensator R j C R wie ein Kuzschluss und es wird T. Der Eingangswiderstand ist Z E R Z C. Bei tiefen Frequenzen fällt der Kondensator heraus und es bleiben 0k 5 k 50 /25 k 6 k. 8. Übertragungsfunktion: T U A Z A U E Z E R Z L. Die R j L Minimal- und Maximalwerte werden für 0 und / 0 erreicht: T 0 / R 2/2 0.6 & T 0. Beide Werte sind von der Induktivität unabhängig. Die Schaltung ist ein Tiefpass. Die Grenzfrequenz liegt wegen g R /L bei f g 90 GHz (!) 5

6 9. Die linken beiden Bauelemente werden ignoriert. Der Rest ist Spannungsteiler T R Z C R R Z C R 2 R R j C R R R R Z C 2 R j C R Grenzfrequenz: R R R g C g R 2 R C, f g 0 khz Phase: wenn die Übertragungsfunktion mit dem konjugiert Komplexen des Nenners multipliziert wird, so entsteht ein Bruch mit einem realen Nenner. Dem Zähler kann dann das Verhältnis Imaginärteil zu Realteil angesehen werden: R T R R j C R R R j C daher ist die Phase realer Nenner atan R C R atan C R. 0. Dies ist ein Bandpass! Zur Lösung muss man den Ansatz u A u X, da die u E u X u E Ströme an Ein- und Ausgang verschieden sind. Hier ist u X das Potential zwischen dem linken Widerstand und dem rechten Kondensator. Dann ist u A R u X Z R und u X Z Z R. Man erhält schließlich u E R Z Z R T u A u E 3 j R C Das Maximum ist beim Minimum des Nenners, R C also wenn der Imaginärteil verschwindet, wenn also gilt R C max R max C 0. Dann folgt sofort: max / RC f max 3.8 khz. Bei dieser Frequenz gilt T max T max /3. Die Phase 3 j R C R C ergibt sich aus T 9 R C R C. Allpass! T Und Z E. Z 2 u A 2 zu atan RC RC /3. 2. Übertragungsfunktion: T... j R C, Phase: R Z Z 2 jr C C 2 RC atan 2 2 Eingangswiderstand: Z C [C C 2 ] E R Z Z 2 R oder explizit: Z E. Ja! bei R j RC j C C C 2 klappt's Die Übertragungsfunktion muss in 2 Teilen berechnet werden: u A u X, u E u X u E wobei u X das Potenzial zwischen den Kondensatoren ist. Dann ist u A R / Z R und u X R Z R. Zur Berechnung des öletzten u X u E Z R Z R Ausdrucks wird zunächst durch dioe Parallelschaltung gekürzt und dann u A j RC eingesetzt. Am Ende erhält man. u E 3 j RC j RC 3 R C Phasenverschiebung: atan 2 C 2. Grenzwerte: T 0 0 und T. Grenzfrequenz: T * T /2. Das gibt... RC ~2,672 Dimensionierung eingesetzt: G 2.67 KHz, f G 425 Hz. Asymptote für kleine Frequenzen: T 0 RC 2, also Anstieg mit 40 db pro Dekade. u A 6

7 4. Übertragungsfunktion: T j R C 2, Phase: jc R R atan C 2 C 2 [R ] Extremwerte T /5 R T 0. Grenzfrequenz: T g 2 /2 g R C 2 2 C g [R ] 2 /2, aufgelöst nach der Frequenz ergibt dies: g /{C 2 R 2 }. Maximale Phasenverschiebung: Suche d Extremum von, also d 0. Das Extremum des atan ist an der Stelle, d R an der dessen Argument extrem ist: d C 2 C 2 [R ] 0 Etwas Herumrechner ergibt extrem / C R, oder f extrem 7,2 khz. 5. Es gilt: T /A. 6. Spannungsübertrag mit Lastwiderstand: u 2 /u 2. Im LC j L/R L lastfreien Fall fällt der Term mit R L weg. Der Pol ist dann bei POL / LC. Die Anpassungsbedingung (siehe Vorlesung) ist R L L / 2C. Aus den letzten beiden Gleichungen können L und C gewonnen werden: C...22,5 nf und L 2 R/ 2 R L POL H. Bei 00 khz POL und R L Z 0 wird u 2. Bei diesert Frequenz verschwindet der Realteil u 2 der Übertragungsfunktion. Daher ist die Phasenverschiebung atan.../0 /2. 7. Die Anpassungsformel für die T-Schaltung ergibt hier R L R 2R R R 3 Für den Spannungsübertrag ergibt sich mit der Last u 2... u A A 2 /R L 2 3 ~0.27 und ohne Last u 2... u A 2 ~0.5. Es gibt keine Phasendrehung. 8. Parameter aus dem Leerlauf: u 2 i A u A 0 A u 2 A 2 0.2S 2, und aus der Kurzschlussmessung: i i 2 A 22 A 22 0 u i 2 A 2 A Wellenwiderstand: Z 0 A 2 / A Es gilt A A 22 und det A Daher symmetrisch! Konstruktion der T- Schaltung: Wegen A 2 /R 3 ist R 3 5, und dann noch A Z /Z 3 ergibt R 9R 3, also R Matrix: A A A 2 A 2 A 22 R /Z R /Z mit Z / j C. Die Dämpfungsbedingung bei kleinen Frequenzen lässt sich wie folgt schreiben: u R/Z R /R u L, wobei bei kleinen Frequenzen der Kondensator Term wegfällt. Man erhält R2 (vergl. unbelasteter Spannungsteiler!). u 2 Grenzfrequenz:. Real und Imaginärteil sind gleich groß u R/R L j RC bei G R/R L / RC. Jetzt kann das Verhältnis der Grenzfrequenzen für verschiedene Lasten ausgerechnet werden, indem verschiedene Lastwiderstände eingesetzt werden, z. B: G R L / RC, oder für und 7

8 R L 8. Dann wird erhöht sich um 25%. G R L 8 G R L R/R L Die Grenzfrequenz 20. Zunächst die gute Idee: die Matrix für einen Hochpass erhält man aus der für den Tiefpass, indem man Widerstand und Impedanz vertauscht. Die Gesamtmatrix ist dann also das Produkt A R/Z R /Z Z /R Z. Das erste /R Element der Lösung ist A R /Z Z 2 / R /, oder C A T R C 2 j R C C Die Spannung bei Anpassung beträgt U P R mv. Die Matrix für cos / die verlustfreie Leitung ist A 0 j Z 0 sin / 0 sin j / 0 /Z 0 cos / 0. Die Spannungsamplitude am LNB als Funktion der Amplitude am Receiver ist dann U cos / 0 Z 0 /R j sin / 0 U 2. Dann ist U U 2 cos 2 / 0 Z 0 R sin2 / 0 Bei einem angepassten Empfänger ist die Amplitude am Gerät so groß wie die auf dem Dach. Bei Anpassung gilt: U /I Z U 2 /I 2 R L Daher ist auch die Leistung gleich groß. Für den Fall der Nicht-Anpassung muss das Gesamtsystem berechnet werden. Dabei nennen wir U gen die primäre LNB-Generatorspannung, von der der Teil U gen R S I gen an das Antennenkabel abgegeben wird. Ein Teil davon geht an den Verbraucher R L. Die gesamte Matrix-Gleichung entspricht zwei Gleichungen mit zwei cos / 0 j Z 0 sin / 0 Unbekannten: U gen R S I gen I gen sin j / 0 /Z 0 Eliminiert man den generierten Strom, so verbleibt allgemein: cos / 0 U L U L /R L. U gen U L {cos / 0 R S cos / R 0 j Z 0 sin / L R 0 j R S sin / L Z 0 } 0. Mit R S /Z 0 und Z 0 /R L : wird daraus U gen e i / 0 U L. Bei angepasstem Verbraucher ( ) ist das Verhältnis 2 (die Hälfte der Generatorspannung wird an das Kabel abgegeben). Für einen R L 750 Verbraucher ( 0. ) wird die Spannung nicht verzehnfacht, sondern nur knapp verdoppelt: U0.866 mv 2/..57 mv Die Leistung geht auf PU 2 L /R L 0.3nW zurück. 22. Es sind f khz B0 khz Q50 R S 2.56 U L Resonanz 632.5V 23. Ergebnisse: C239 pf L464 H R P 48 k B,59 khz 24. Ursprüngliche Schaltung: C.03 nf Q57. U 3.0V Q' Es sind, Q20,5, R S 75 und C563 pf 26. Es sind f 0 00 khz, Q6.28, B5,9 khz