Übertragungsglieder mit harmonischer Erregung

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1 Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Protokoll-Nr.: 2 Übertragungsglieder mit harmonischer Erregung Protokollant: Jens Bernheiden Gruppe: 2 Aufgabe durchgeführt: Protokoll abgegeben: Note:

2 Theoretische Grundlagen Ziel dieses Protokolls ist es, das Übertragungsverhalten ausgewählter Übertragungsglieder zu messen. Die Übertragungsglieder sollen hierbei harmonisch erregt werden. Harmonische Spannungen und harmonische Ströme kann man wie folgt beschreiben: ut () = U! cos( ωt+ ϕ u ) () it () = I! cos( ω t + ϕ i ) (2) u sei hierbei die Spannung, i der Strom, t die Zeit,!,! U I die Amplituden, ϕ u, ϕ i die Anfangsphasen und ω die Kreisfrequenz. Durch die symbolische Methode der komplexen Wechselstromrechnung geht man zu komplexen Größen über. Hier seien nur die Formeln für die Spannung bemerkt: u= Ue j ω t U = Ue! j ϕ (3) (4) U stellt in Formel 4 die komplexe Amplitude der Spannung dar. Für die komplexen Widerstände vom ohmschen Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C gilt: Z R = R Z L = jωl Z C = / jωc (5) Die Definition für die Übertragungsfunktion lautet: G( jω) U U a e ( jω ) ( jω ) = (6) G ist hierbei die Übertragungsfunktion, U e die komplexe Eingangsspannung, U a die komplexe Ausgangsspannung. Da man die Möglichkeit hat, die Übertragungsfunktion in einen Realteil und einen Imaginärteil zu zerlegen, ist es möglich, den Betrag der Übertragungsfunktion und die Phasendrehung zu berechnen: G( jω) A Bj G e j ϕ = + = (7) 2 2 G = A + B (8) ϕ = arctan B A (9) Gleichung 7 zeigt die Zerlegung in einen Realteil A und einen Imaginärteil B, mit Hilfe von Gleichung 8 berechnet man den Betrag der Übertragungsfunktion und Gleichung 9 beschreibt die Phasendrehung zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung. Betrag und Phase können im Bodediagramm dargestellt werden, Real- und Imaginärteil kann man im Nyquistdiagramm veranschaulichen. Die Grenzfrequenz einer Übertragungsfunktion bestimmt man aus dem Abfall des Betrages der Übertragungsfunktion auf den 2 fachen Anteil seines Maximalwertes oder aus der Phasendrehung zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung um +45 oder -45. Sind Teilübertragungsglieder in Reihe bzw. parallel geschaltet, so muß man mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze das Gesamtsystem berechnen. Wurde jedoch eine Dimensionierung der Bauelemente so vorgenommen, daß die Teilnetzwerke entkoppelt sind, d.h. daß sie sich nicht gegenseitig beeinflussen, so kann man die Berechnung des Gesamtsystems vereinfachen. Die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich dann bei Parallelschaaltung aus dem Produkt der Teilübertragungsfuktionen und bei Reihenschaltung aus der Summe der Teilübertragungsfunktionen. Dies vereinfacht die Rechnungen erheblich. 2

3 Versuchsdurchführung Aufgabe. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen RC-Tiefpaß (Grenzfrequenz zwischen 0 khz und 20 khz), variieren Sie die Eingangsamplitude im gesamten durch die Meßmittel zugelassenen Bereich für die drei Frequenzen f = 0,. f gr, f = f gr, und f = 0. f gr. Messen Sie die Eingangs- und Ausgangsspannungsamplitude! Stellen Sie drei die Meßreihen in einem Diagramm als Funktion von U! (! a = f Ue) graphisch dar! Erklären Sie das Ergebnis. 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung zeigt den Versuchsaufbau. R = 0 kω U e U e Oszilloskop C = nf U a Oszilloskop Abbildung : RC-Tiefpaß Die Grenzfrequenz berechnet sich zu ω gr = /RC. Da ω=2πf, ergeben die gewählten Werte für den Widerstand (R= 0 kω, C= nf) eine Grenzfrequenz von f gr = 5,92 khz. Die Eingangsspannung U e wurde mit dem Funktionsgenerator HP 3320A erzeugt (Verwendung einer sinusförmigen Wechselspannung). Die Eingangs- und die Ausgangsspannungen wurden mit dem Oszilloskop Tektronics 222 gemessen und stellen Spitzen - Spitzen -Werte dar. Da für den RC-Tiefpaß Formel 0 zur Berechnung des Betrages von U a hergeleitet werden kann, ist es möglich, die Ausgangsspannungen zu berechnen und mit den gemessenen Werten zu vergleichen. U a = U e + ω R C (0) ω ist hier die Kreisfrequenz der Eingangsspannung. 3. Meßergebnisse und Auswertung Tabelle enthält die gemessenen und die berechneten Werte der Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der Eingangsspannung. Die Frequenzen der Eingangsspannung errechneten sich für die einzelnen Meßreihen zu: Meßreihe : f = 0,. f gr = 0,. 5,92 khz =,592 khz Meßreihe 2: f = f gr = 5,92 khz Meßreihe 3: f = 0. f gr = 0. 5,92 khz =,592 khz. 3

4 Tabelle : Ausgangsspannungsamplitute in Abhängigkeit der Eingangsspannungsamplitude für verschiedene Frequenzen beim RC-Tiefpaß f = fgr/0 =,592 khz f = fgr = 5,92 khz f = 0 fgr = 59,2 khz Ue in V Ua in V Ua in V Ua in V gemessen berechnet gemessen berechnet gemessen berechnet ,994 0,995 0,697 0,707 0,096 0,099 2,972,990,388,44 0,9 0,99 3 2,959 2,985 2,044 2,2 0,285 0, ,980 3,980 2,755 2,828 0,384 0, ,980 4,975 3,480 3,535 0,478 0, ,960 5,970 4,20 4,242 0,577 0, ,960 6,965 4,90 4,949 0,669 0, ,960 7,960 5,60 5,656 0,773 0, ,970 8,955 6,260 6,363 0,858 0, ,960 9,950 6,990 7,070 0,960 0,995 maximaler Fehler: 0,03 V 0, V 0,04 V Ua = 0,995 Ue R 2 = Ua in V Ua = 0,698 Ue R 2 = 0,9999 Ua = 0,0959 Ue R 2 = 0, Ue in V f =,592 khz f = 5,92 khz f = 59,2 khz Linear (f =,592 khz) Linear (f = 5,92 khz) Linear (f = 59,2 khz) Diagramm : Eingangsspannungsamplitude in Abhängigkeit der Ausgangsspannungsamplitude für drei verschiedene Frequenzen beim RC-Tiefpaß Für jede der 3 Meßreihen wurde eine lineare Regression durchgeführt. Die Anstiege der einzelnen Geraden sind dem Diagramm zu entnehmen. 4

5 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Wie man der Tabelle entnehmen kann, ist der absolute Fehler der Messung sehr klein. Man erkennt, daß die gemessenen Werte sehr dicht bei den berechneten liegen. Die maximalen Fehler liegen bei f =,592 khz U a = 0,03 V f = 5,92 khz U a = 0, V f = 59,2 khz U a = 0,04 V. Die Anstiege m der Geraden in Diagramm ergeben sich zu m = + ω R C (siehe Formel 0). Setzt man hier die Werte für ω, R und C ein, so errechnet sich der Anstieg zu: f =,592 khz m = 0,995 (m Messung = 0,995) f = 5,92 khz m = 0,707 (m Messung = 0,698) f = 59,2 khz m = 0,099 (m Messung = 0,096). Die errechneten und gemessenen Anstiege stimmen also sehr gut überein. Der Verlauf der einzelnen Funktionen war auch zu erwarten. Es handelt es sich um ein lineares Netzwerk, also ist zu schlußfolgern, daß die Ausgangsspannung direkt proportional zur Eingangsspannung sein wird. Bei der zweiten Kurve (f = 5,92 khz) ist die Frequenz der Eingangsspannung so gewählt, daß sie der Grenzfrequenz entspricht. Diese errechnet sich beim RC-Tiefpaß aber gerade zu ω gr =. Es ist RC also damit zu rechnen, daß die Ausgangsspannung gerade auf den fachen Wert der 2 Eingangsspannung abfällt. ( 2 0,707) Der Anstieg der Kurve 2 müßte also 2 sein und liegt mit 0,698 auch dicht an dem zu erwartenden Wert. Teilt man nun die Grenzfrequenz durch 0, wie es bei der Kurve mit f =,592 khz der Fall ist, so müßte der Anstieg nahe bei liegen (U e U a ), da ω quadratisch in die Gleichung 0 eingeht: m = + 00 = 0,995. Der Anstieg der Kurve liegt aber tatsächlich bei diesem Wert. Verzehnfacht man dagegen die Grenzfrequenz so folgt für den Betrag der Übertragungsfunktion, der ja den Anstieg m darstellt: m = + 00 = 0,0995. Die Ausgangsspannung müßte also rund auf den 0. Teil der Eingangsspannung abfallen. Der Anstieg der Kurve (f = 59,2 khz) liegt mit m= 0,096 tatsächlich nahe dem errechneten Wert. Um die Genauigkeit der Ergebnisse noch zu verbessern, ist es unbedingt notwendig, die Grenzfrequenz des Tiefpasses hinreichend gut zu bestimmen. 5

6 Aufgabe 2a. Meßaufgabe: Messen Sie für den RC-Tiefpaß (f gr zwischen 0 khz und 20 khz) den Amplitudengang und den Phasengang der Übertragungsfunktion! Bestimmen Sie dabei die Grenzfrequenz! Stellen Sie die Ergebnisse im Bodediagramm über der normierten Frequenz ω/ω gr dar. 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Der Versuchsaufbau stimmt mit dem aus Aufgabe überein. Zusätzlich wurde jedoch noch der Phasengang mit dem Oszilloskopen gemessen. Die Werte von R= 0 kω und C= nf führen wieder zu einer Grenzfrequenz von f gr = 5,92 khz. Zur besseren Anschaulichkeit sei hier die Abbildung noch einmal aufgeführt: R = 0 kω U e U e Oszilloskop C = nf U a Oszilloskop Abbildung : RC-Tiefpaß Als Eingangsspannung wurde eine sinusförmige Wechselspannung von 5 V (Spitze - Spitze) mit dem Funktionsgenerator HP 3320A gewählt. Der Spannungswert wurde also im Gegensatz zur Aufgabe konstant gehalten, verändert wurde nun die Frequenz der Eingangsspannung. In Abhängigkeit von dieser Frequenz wurden nun die Amplitudenwerte der Ausgangsspannung (Spitzen - Spitzen -Werte) und die Phasendifferenzen zwischen Ue und Ua mit dem Oszlilloskop Tektronics 222 gemessen. Die theoretische Berechnung eines RC-Tiefpasses liefert: Übertragungsfunktion: jωrc G = ω R C Amplitudengang: G = + ω R C Phasengang: ϕ = arctan( ω ) () (2) RC (3) 6

7 3. Meßergebnisse und Auswertung In Tabelle 2 sind die Meßergebnisse und die nach der Theorie berechneten Werte gegenübergestellt. Tabelle 2: Amplitudengang und Phasengang des RC-Tiefpasses f in khz ω/ωgr Ua in V Ua/Ue ϕ in Grad gemessen gemessen berechnet gemessen berechnet,0 0,06 5,00,00,00 -,0-3,6 0,0 0,6 4,5 0,83 0,85-3,6-32, 2,0 0,8 3,92 0,78 0,80-34,9-37,0 4,0 0,9 3,67 0,73 0,75-4,4-4,3 6,0,0 3,44 0,69 0,7-45,6-45,2 8,0, 3,2 0,64 0,66-50,8-48,5 20,0,3 3,02 0,60 0,62-52,4-5,5 2,0,3 2,95 0,59 0,60-53,0-52,8 2,5,4 2,92 0,58 0,59-55,3-53,5 22,0,4 2,86 0,57 0,59-56,4-54, 30,0,9 2,28 0,46 0,47-57,6-62, 50,0 3,,46 0,29 0,30-67,9-72,3 000,0 62,8 0,02 0,00 0,02-89,0-89, maximaler Fehler: 0,02 4,5 Die folgenden Diagramme 2 und 3 stellen zusammen das Bodediagramm dar. Hier sind jeweils die Kurven aus der Messung und die theoretisch berechneten Kurven dargestellt. ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00 00,00,000 0,00 Ua/Ue 0,00 0,00 gemessen berechnet Diagramm 2: Amplitudengang des RC-Tiefpasses 7

8 ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00 00,00 0 ϕ in Grad gemessen berechnet Diagramm 3: Phasengang des RC-Tiefpasses Die Frequenzen f wurden hier jeweils in die Kreisfrequenzen ω umgerechnet, so daß eine Darstellung über der normierten Kreisfrequenz ω/ω gr entstand, die jedoch gleich der normierten Frequenz f/f gr ist, da sich der Faktor 2π ja herauskürzt. Aus dem Diagramm 3 geht hervor, daß ω/ω gr bei einem Phasenwinkel von -45 den Wert annimmt. Den gleichen Wert für ω/ω gr entnimmt man dem Diagramm 2 bei U a /U e = 0,7 (also bei einem Abfall der Ausgangsspannung auf das 2 Grenzfrequenz von 5,92 khz. fache der Eingangsspannung. Das entspricht also einer 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Aus der Tabelle 2 ersieht man, daß der maximale Fehler für den Amplitudengang 0,02 beträgt. Dies ist ein sehr gutes Ergebnis. Beim Phasengang beträgt der maximale Fehler 4,5. Dies ist sicherlich darauf zurückzuführen, daß Messung des Phasenunterschiedes komplizierter war, als die Messung von Spannungswerten. So mußte am Oszilloskopen eine Periode auf genau 5 Teilstriche eingestellt werden. Wo mehr einzustellen ist, schleichen sich auch mehr Fehler ein. So war es also schwieriger, den Phasengang genau zu bestimmen, als den Amplitudengang. Die gemessenen Kurven decken sich mit den theoretischen Kurven, von einigen Knicken - die ich auf ungenaue und zu wenige Messungen zurückführe - abgesehen, sehr gut. Auf fällt jedoch, daß die Messung einen stärkeren Abfall bei hohen Frequenzen im Amplitudengang zeigt, als man erwartet. Dies liegt jedoch nur an einem Meßwert (bei 000 khz). Vielleicht wurde hier die Ausgangsspannung nicht genau genug bestimmt. Gerade dieser Meßwert liefert auch den maximalen Fehler. Außerdem suggeriert die logarithmische Darstellung eine große Abweichung, obwohl der Unterschied nur 0,2 beträgt. Die gemessene Grenzfrequenz stimmt mit dem Wert aus der Theorie genau überein. 8

9 Aufgabe 2b. Meßaufgabe: Messen Sie für den RC-Hochpaß (f gr zwischen 0 khz und 20 khz) den Amplitudengang und den Phasengang der Übertragungsfunktion! Bestimmen Sie dabei die Grenzfrequenz! Stellen Sie die Ergebnisse im Bodediagramm über der normierten Frequenz ω/ω gr dar. 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Der Versuchsaufbau ist der Abbildung 2 zu entnehmen. Die Werte von R= 0 kω und C= nf führen wieder zu einer Grenzfrequenz von f gr = 5,92 khz. C = nf U e U e Oszilloskop R = 0 kω U a Oszilloskop Abbildung : RC-Hochpaß Die Versuchsdurchführung erfolgte analog zur Aufgabe 2 a. Als Eingangsspannung wurde eine sinusförmige Wechselspannung von 5 V (Spitze - Spitze) mit dem Funktionsgenerator HP 3320A gewählt. Die theoretische Berechnung eines RC-Hochpasses liefert: Übertragungsfunktion: Amplitudengang: Phasengang: ωrc( j + ωrc) G = ω R C ωrc G = ω R C ϕ = arctan( ) ωrc (4) (5) (6) 3. Meßergebnisse und Auswertung In Tabelle 3 sind die Meßwerte zusammengefaßt. Außerdem sind die einzelnen Werte theoretisch nach Formel 5 berechnet worden. Tabelle 3: Amplitudengang und Phasengang des RC-Hochpasses f in khz ω/ωgr Ua in V Ua/Ue ϕ in Grad gemessen gemessen berechnet gemessen berechnet,0 0,06 0,30 0,06 0,06 84,3 86,4 0,0 0,6 2,66 0,53 0,53 55,5 57,9 5,0 0,9 3,38 0,68 0,69 44,8 46,7 8,0, 3,72 0,74 0,75 40,5 4,5 20,0,3 3,86 0,77 0,78 35, 38,5 22,0,4 3,96 0,79 0,8 3,6 35,9 25,0,6 4,7 0,83 0,84 30,8 32,5 50,0 3, 4,64 0,93 0,95 3,3 7,7 9

10 maximaler Fehler: 0,02 4,4 0

11 Die Diagramme 4 und 5 stellen zusammen das Bodediagramm des RC-Hochpasses dar. ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00,00 Ua/Ue 0,0 0,0 gemessen berechnet Diagramm 4: Amplitudengang des RC-Hochpasses ω/ω gr 0,0 0,0,00 0, ϕ in Grad gemessen berechnet Diagramm 5: Phasengang des RC-Hochpasses Aus dem Diagrammen 4 und 5 geht hervor, daß die Grenzfrequenz wieder ungefähr bei 6 khz liegt. Die Vorgehensweise zum Ablesen der Grenzfrequenz erfolgte analog zur Aufgabe 2a (Phasenwinkel hier aber +45 ).

12 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung In der Tabelle 3 ist der maximale Fehler für den Amplitudengang mit 0,02 und der für den Phasengang mit 4,4 berechnet worden. Die Ursachen für Meßfehler unterscheiden sich sicherlich nicht von denen beim RC-Tiefpaß. Die gemessene Kurve für den Amplitudengang stimmt sehr genau mit der theoretischen Kurve überein. Der gemessene Phasengang liegt ungefähr um 2 unter der theoretischen Kurve. Die gemessenen Kurven zeigen dem zu erwartenen Verlauf recht deutlich. Die gemessene Grenzfrequenz liegt dicht bei dem zu erwartenen Wert. 2

13 Aufgabe 2c. Meßaufgabe: Messen Sie für den zweistufigen RC-Tiefpaß (f gr zwischen 0 khz und 20 khz - beide f gr sollen gleich sein - R 2 =0 R ) den Amplitudengang und den Phasengang der Übertragungsfunktion! Bestimmen Sie dabei die Grenzfrequenz! Stellen Sie die Ergebnisse im Bodediagramm über der normierten Frequenz ω/ω gr dar. 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 3 dargestellt. Die Werte von R = 0 kω und C = nf führen zu einer Grenzfrequenz von f gr = 5,92 khz für die einzelnen Tiefpässe, wie auch die Werte von R 2 = 00 kω und C 2 = 0, nf. R = 0 kω R 2= 00 kω U e U e Oszilloskop C = nf C 2 = 0, nf U a Oszilloskop Abbildung : Zweistufiger RC-Tiefpaß Als Eingangsspannung wurde eine sinusförmige Wechselspannung von 5 V (Spitze - Spitze) mit dem Funktionsgenerator HP 3320A gewählt. Die Versuchsdurchführung wurde analog zur Aufgabe 2a durchgeführt. Da die Grenzfrequenzen der einzelnen Tiefpässe gleich sind, sind die beiden Tiefpässe als gekoppelt zu betrachten. Sie reagieren also bei gleichzeitig. Die theoretische Berechnung eines zweistufigen RC-Tiefpasses liefert: Übertragungsfunktion: Amplitudengang: Phasengang: RRCC j RC RC G = 2 ω ( ω ω 2 2) ( + ω R C ) ( + ω R2 C2 ) G = ( + ω R C ) ( + ω R C ) ωrc + ωrc 2 2 ϕ = arctan( ) 2 ω RRCC (7) (8) (9) 3. Meßergebnisse und Auswertung Tabelle 4: Amplitudengang und Phasengang des Zweistufigen RC-Tiefpasses f in khz ω/ωgr Ua in V Ua/Ue ϕ in Grad gemessen gemessen berechnet berechnet,0 0,06 4,93 0,99,00-7,2 5,0 0,3 4,92 0,98 0,9-32, 8,0 0,5 3,59 0,72 0,80-45,2 0,0 0,6 3,8 0,64 0,72-5,5 5,0 0,9 2,2 0,44 0,53-62, 20,0,3,53 0,3 0,39-68,3 25,0,6,6 0,23 0,29-72,3 3

14 maximaler Fehler: 0,09 Die Tabelle 4 enthält die Meßwerte für den Amplitudengang und die theoretischen Werte für den Amplituden- und den Phasengang. Aus Zeitgründen war es mir nicht mehr möglich, den Phasengang zu messen. In Diagramm 6 ist der Amplitudengang graphisch dargestellt. Diagramm 7 verdeutlicht zumindestens den theoretischen Verlauf des Phasengangs. Als ω gr wurde hier der Wert für f gr =5,92 khz berechnet. Die normierte Darstellung bezieht sich also auf die Grenzfrequenz eines einzelnen Tiefpasses. ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00,0 Ua/Ue 0, gemessen berechnet Diagramm 6: Amplitudengang des Zweistufigen RC-Tiefpasses ϕ in Grad ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00 0 berechnet Diagramm 7: Theoretischer Verlauf des Phasenganges des Zweistufigen Tiefpasses Aus dem Diagramm 6 kann man ablesen, daß für U a /U e = 0,7 ω/ω gr 0,48 ist, was einer Grenzfrequenz von 7,6 khz entspricht. 4

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16 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Der maximale Fehler beim Amplitudengang wurde mit 0,09 errechnet. Dieser Wert liegt höher, als bei dem RC-Tiefpaß und dem RC-Hochpaß. Die gemessene Kurve für den Amplitudengang stimmt prinzipiell mit der theoretischen Kurve überein. Für genauere Ergebnisse sollte man jedoch in Ruhe Meßreihen mit mehreren Meßwerte aufnehmen. Rechnet man die Grenzfrequenz theoretisch durch, so kommt man auf einen Wert von f gr = 7,96 khz. Dies ist auch aus dem Diagramm 7 ersichtlich. Der gemessene Wert ist also etwas kleiner, hat aber die gleiche Größenordnung. Es handelt sich nämlich um den halben Wert der einzelnen Grenzfrequenzen der einzelnen Tiefpässe. Schaltet man also zwei Tiefpässe so hintereinander, daß die einzelnen Grenzfrequenzen übereinstimmen, sie also gekoppelt sind, so sinkt die Grenzfrequenz des zweistufigen Tiefpasses auf den halben Wert der Grenzfrequenz für die einzelnen Tiefpässe ab. Dies erscheint desweiteren logisch, da der Abfall der Ausgangsspannung doppelt so stark ist, wie bei nur einem Tiefpaß. Diese Tatsache wird auch vom Experiment bestätigt. Diagramm 8 zeigt die gemessenen Werte für den Amplitudengang vom RC-Tiefpaß und vom zweistufigen RC-Tiefpaß. ω/ω gr 0,0 0,0,00 0,00,0 Ua/Ue 0, zweistufiger RC-Tiefpaß RC-Tiefpaß Diagramm 8: Vergleich der Amplitudengänge des RC-Tiefpasses und des zweistufigen RC-Tiefpasses Man erkennt hier deutlich, das die Grenzfrequenz des zweistufigen RC-Tiefpasses auf den halben Wert der Grenzfrequenz des RC-Tiefpasses zurückfällt. Der Abfall ist beim zweistufigen RC-Tiefpaß doppelt so stark. Der prinzipielle Verlauf eines Tiefpasses bleibt aber erhalten. 6

17 Zusammenfassung Im Rahmen dieser Untersuchungen wurden 4 Versuche durchgeführt. Es wurden die Eingangs- und Ausgangsspannungsamplituden eines RC-Tiefpasses für drei feste Frequenzen gemessen. Eine Darstellung der Meßergebnisse zeigte den theoretisch zu erwartenden Verlauf. Es wurde somit das lineare Übertragungsverhalten dieses linearen Netzwerkes nachgewiesen. Desweiteren wurde die Phasengänge und Amplitudengänge für einen RC-Tiefpaß und einen RC- Hochpaß gemessen. Für einen zweistufigen RC-Tiefpaß wurde der Amplitudengang experimentell bestimmt. Die jeweiligen Grenzfrequenzen der einzelnen Netzwerke wurden ermittelt. Zusammenfassend kann man sagen, daß die theoretischen Erwartungen, was den Verlauf der Amplitudengänge und Phasengänge und die Werte der Grenzfrequenzen betrifft, bei allen drei Netzwerken bestätigt werden konnten. 7