Musterlösung zur Klausur Digitale Signalverarbeitung

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1 Musterlösung zur Klausur Digitale Signalverarbeitung Arbeitsgruppe Digitale Signalverarbeitung Ruhr-Universität Bochum 1. Oktober 2007

2 Aufgabe 1: Transformationen 25 Pkt. Gegeben war das reellwertige kontinuierliche periodische Signal: v p (t) = sin(2πf p t + π 2 ) = cos(2πf pt) = 1 2 [ej2πfpt + e j2πfpt ] (1) mit den Vorgaben f p = 1kHz und ϕ = π 2 (bereits eingesetzt). 1. Das frequenzkontinuierliche Spektrum des periodischen Signals (1) ergibt sich mit Hilfe der Fourier Transformation; die beiden nicht verschwindenden Spektralanteile erscheinen in Abb. (a) als gewichtete Dirac-Impulse. Das frequenzdiskrete Spektrum von (1) erhält man über die Fourier Reihenentwicklung des periodischen Signals; es stellt die Fourier Koeffizienten V n dar, die aus der Fourier Reihenentwicklung (1) unmittelbar abzulesen sind: Abb. (b). 2. Festlegung der Länge N der DFT im Bereich 10 < N < 100 unter der Nebenbedingung N = 4 I, damit die DFT als Radix-4 FFT realisierbar ist. Mögliche Werte unter obiger Randbedingung: I = 2, 3 entsprechend N = 16, 64. Für die nachfolgenden Teilaufgaben wurde (willkürlich) N = 16 festgelegt. 3. Bei der Festlegung der Abtastfrequenz zur Überführung des kontinuierlichen Signals (1) in das zugehörige diskrete Signal v p (k) sind zwei Bedingungsstränge zu beachten: (a) Die strenge (von der Abtastphase unabhängige) Einhaltung des Abtasttheorems für Tiefpass-Signale führt zusammen mit der vorgegebenen oberen Schranke auf die Einschränkungen für die Abtastrate f A : 2f p = 2kHz < f A < 15kHz, (2) (b) Damit V (n) = DFT N {v p (k)}, n, k = 0, 1,..., N 1(= 15), das Spektrum gemäß Abb. (b) (bis auf einen Skalierungsfaktor) fehlerfrei repräsentiert, muss die Frequenz f p = 1kHz des periodischen Signals v p ((k) N ) auf dem DFT-Frequenzraster liegen; es muss also gelten: f p = m f A, m N, (3) N 2

3 wobei f p und N = 16 bereits festliegen. Damit ergibt sich für die Abtastfrequenz die Bedingung: f A = N f p 16 khz = m m. (4) Hieraus folgt unter Berücksichtigung der Schranken für die Abtastfrequenz gemäß (2) für die zulässigen Werte von m N: 2 m < 8, woraus sich schließlich genau zwei zulässige ganzzahlige Werte für die Abtastfrequenz f A ergeben: m 2 4 f A /khz 8 4 Für alle weiteren Berechnungen wurde (willkürlich) f A = 4 khz (N = 16, m = 4) (Frequenzinkrement f A /N = 4 khz/16 = 250Hz) gewählt. (Man beachte: Mit N = 64 ergeben sich selbstverständlich ein anderer Satz {m} und andere Abtastfrequenzen.) 4. Mit der auf die Abtastfrequenz f A normierten Kreisfrequenz entsprechend (3): Ω p = 2π f p f A = 2π N m ergibt sich die DFT des abgetasteten Signals allgemein zu: N 1 V (n) = cos( 2π N k=0 mk)w kn N = 1 2 N 1 (e j 2π N mk + e j 2π N mk )e j 2π N nk k=0 = 1 N 1 (e j 2π N k(m n) + e j 2π N k( m n) ) 2 k=0 = N 2 [δ(m n) + δ(( m n) N)] = N [δ(m n) + δ(n m n)], (5) 2 wobei die konkreten Werte N = 16 und m = 4 einzusetzen sind. Hierbei wurde die Summenorthogonalität der Drehfaktoren und die Modulo(N) Operation genutzt. 5. Das berechnete DFT-Spektrum (5) ist in der folgenden Abbildung dargestellt mit der physikalischen (khz) und der DFT-gemäßen (n) Beschriftung der Frequenzachse: Das Grundintervall der DFT liegt im Bereich 0 n < N = 16. Da das Signal v p (k) reellwertig und gerade bzgl. k = 0 ist, ist auch das periodische DFT-Spektrum reellwertig und bzgl. n = 0 und n = N/2 = 8 gerade. Da diesselben Symmetrien auch für das ursprüngliche kontinuierliche Signal (1) bzgl. t = 0 und f = 0 vorliegen, sind alle Koeffizienten (Spektrallinien) der Fourier Reihe gemäß der obigen Abbildung (b) des kontinuierlichen Signals in dem hier angegebenen periodischen DFT-Spektrum enthalten. 3

4 DFT-Spektrum fp =1kHz: N=16, fa= 4 khz N 2 V( n) Koeffizienten der Fourier-Reihe von vp( t) f/khz m DFT-Spektrum Grundperiode 6. Im Fall N = N + 1 = 17 ergibt sich aus (3): f p = (m + α) f A N, m N, α Q, (6) woraus mit den bisher verwendeten Werten f p = 1kHz und f A = 4 khz (N = 16, m = 4) folgt: m = m = 4, α = 1/4. Damit liegt die Frequenz des periodischen Signals (1) nicht mehr auf dem DFT Frequenzraster, und es kommt zum (spektralen) Leck-Effekt, der in der folgenden Abbildung (a) zusammen mit der zugrunde liegenden Ursache im Zeitbereich (b) grundsätzlich dargestellt ist: Das periodische, ursprünglich monofrequente Signal wird zu einem periodischen Signal mit Sprungstellen und weist somit bei allen Frquenzen Spektralanteile auf. 4

5 Aufgabe 2: Abtasttheoreme 25 Pkt. 1. Das Spektrum U (jω) des Signals u(t) ist reell und gerade (symmetrisch zur Frequenz f = 0). Aufgrund einer Symmetriebeziehung der Fourier-Transformation ist das zugehörige Signal reell und gerade. 2. Erstes Teilsystem (a) Das Signal u 1 (t) ist ein Tiefpass-Signal und lässt sich mit einem Tiefpass-Filter vom übrigen Signal separieren. (b) Die Eckfrequenz des Tiefpass-Filters kann im Bereich von f g,1 = [10MHz, 20MHz] gewählt werden. (c) Nach dem Abtasttheorem für reelle Tiefpass-Signale muss die Abtastrate f A,1 > 2f g,u1 (t) (mit der Grenzfrequenz f g,u1 (t) des Signals u 1 (t)) erfüllen. Demnach ist eine Wahl von f A,1 = 20MHz möglich. (d) Spektrum von V 1 ( e jω ), spiegelsymmetrisch zu Ω = pπ, p Z und 2π-periodisch j V 1 (e ) Zweites Teilsystem (a) Das Signal u 2 (t) ist ein Bandpass-Signal. Zur Separierung dieses Signals von u 1 (t) ist in diesem Fall ein Bandpass- oder ein Hochpass-Filter geeignet. (b) Die (untere) Eckfrequenz des Bandpass- bzw. Hochpass-Filters muss im Bereich von f g,2 = [10MHz, 20MHz] liegen. Der Wert der oberen Eckfrequenz eines Bandpass-Filters muss größer als 40MHz sein. (c) Es soll das Abtasttheorem für reelle Bandpass-Signale f A,2 4f c 4m ± 1 > 2b (mit der Mittenfrequenz f c = 30MHz, b < 20MHz und m N 0 ) angewendet werden. Die Abtastrate f A,2 wird mit m = 1 zu f A,2 = 4 30MHz = 40MHz 5

6 gewählt. (d) Spektrum von V 2 ( e jω ), spiegelsymmetrisch zu Ω = pπ, p Z und 2π-periodisch j V 2 (e ) Spektrum von Z 1 ( e jω ), 2π-periodisch (2π 20MHz) j Z 1 (e ) - 0 Spektrum von Z 2 ( e jω ), 2π-periodisch (2π 40MHz) j Z 2 (e ) 2-0 Die Frequenzgänge der digitalen Filter G(z) sind nicht spiegelsymmetrisch zu Ω = π, deshalb sind diese Filter komplexwertige Systeme. Die Signale v 1 (k) bzw. v 2 (k) werden durch diese Systeme verarbeitet, deshalb sind die Ausgangssignale z 1 (k) bzw. z 2 (k) komplexwertig. Es sind zudem (komplexe) analytische Signale. 5. Spektrum von Y 1 ( e jω ), 2π-periodisch 2 6

7 j Y 1 (e ) Spektrum von Y 2 ( e jω ), 2π-periodisch j Y 2 (e ) - 0 Unter Anwendung des Abtasttheorems für komplexe analytische Signale wäre es möglich, in beiden Fällen die jeweilige Abtastrate zu halbieren, da jeweils nur die Hälfte des zur Verfügung stehenden Spektrums ausgenutzt wird. 2 7

8 Aufgabe 3: Zustandsraumdarstellung 1. ZRD des Systems, wobei die Nummerierung der Zustandsspeicher aufsteigend von rechts nach links vorgenommen wurde (s. Abbildung): A = [ a1 b ] [ b0 ; b = 1 ] [ a1 ; c = b 1 ] ; d = b 0 (7) 2. ÜF des rekursiven Systems: H(z) = c T (zi A) 1 b + d H(z) = ( ) [ ] 1 [ ] z + a a 1 b 1 b 1 b0 1 + b 0 z = ( ) [ ][ ] z b z(z+a 1 a ) 1 b 1 b0 1 + b 0 z + a = z(b 0z + b 1 ) z(z + a 1 ) = b 0z + b 1 z + a 1 = b 0 + b 1 z 1 Y (z) = 1 + a 1 z 1 V (z) 3. Der alternative kanonische (daher aufwandsgünstigere) SFG des ursprünglichen Systems wurde von der letzten oben angegebenen Form der ÜF (8) abgeleitet und benötigt nur einen Zustandsspeicher: (8) Die minimale Systemordnung ist offenbar gegeben durch die Ordnung n = 1 der kanonischen Realisierung. 4. Der Frequenzgang des Systems (a) ergibt sich aus der (kanonischen) ÜF (8) mit der Substitution z := e jω zu: H(z) z=e jω = H(e jω ) = b 0 cos Ω + b 1 + jb 0 sin Ω (9) cos Ω + a 1 + j sin Ω Hieraus folgt der Betragsfrequenzgang (b) durch Betragsbildung: [ ] H(e jω (b0 cos Ω + b 1 ) 2 + b 2 1/2 0 ) = sin2 Ω b 2 0 (cos Ω + a 1 ) 2 + sin 2 = + b b 0b 1 cos Ω Ω 1 + a a 1 cos Ω 8 (10)

9 Ausgehend von (9) ist der Phasengang (c) definiert durch: ϕ(ω) = arg { H(e jω ) } = arctan Im { H(e jω ) } Re {H(e jω )} = arctan Im { Zaehler H(e jω ) } Re Zaehler {H(e jω )} + arctan Im { Nenner H(e jω ) } (11) Re Nenner {H(e jω )} b 0 sin Ω sin Ω = arctan + arctan (12) b 0 cos Ω + b 1 cos Ω + a 1 Ergänzender Lehrhinweis: Daraus liest man die Phase bei den Frequenzen f = Ω = 0 und f = f A /2 entsprechend Ω = 2πf/f A = π ab: ϕ(0) = ϕ(π) = 0. Da das System reellwertig ist (reelle Koeffizienten besitzt), ist bekannt, dass die Phase ein ungerade Funktion bzgl. den Frequenzen Ω = {0, π} ist und damit grundsätzlich für alle reellen Parameterwerte immer die angegebenen Phasenwerte bei Ω = {0, π} aufweist. 5. Systemeigenschaften: (a) Gemäß (8) besitzt das System 1. Ordnung einen Pol bei z = a 1. Folglich ist das System ein IIR (FIR) System, wenn a 1 0 (a 1 = 0) gilt. (b) Sowohl die ursprüngliche (siehe 1.) als auch die alternative (siehe 3.) Systemstruktur ist rekursiv, d.h., beide Systeme sind mit einer Rückkopplung ausgestattet, sofern a 1 0 gilt. (c) System ist strikt stabil (grenzstabil), wenn der Pol des Systems H(z) gemäß (8) innerhalb (nicht außerhalb) des Einheitskreises der z-ebene liegt: a 1 < 1 ( a 1 1); b 0, b 1 : beliebig. (d) Stabilitätsbedingung siehe 5(c). Minimalphasigkeit: Die Nullstelle des Systems H(z) gemäß (8) darf nicht außerhalb des Einheits-kreises der z-ebene liegen: b 1 b 0. Im Fall der Gleichheit liegt die Nullstelle auf der Peripherie des Einheitskreises und das System ist nicht invertierbar. Ist das System dagegen strikt stabil und strikt minimalphasig ( b 1 < b 0 ), so ist sowohl H(z) als auch 1/H(z) strikt stabil und strikt minimalphasig - und das System ist invertierbar. (e) Das System H(z) gemäß (8) ist genau dann linearphasig, wenn der Pol im Ursprung der z-ebene liegt: a 1 = 0, und wenn die IA (=Koeffizienten des Zählerpolynoms) des Systems symmetrisch oder antimetrisch ist: b 1 = b 0. Damit liegt die Nullstelle der ÜF (8) bei z 0 = ±1 auf der Peripherie des Einheitskreises der z-ebene, weshalb das System in diesem Fall insgesamt folgende Eigenschaften aufweist: i) Strikte Stabilität ii) Linearphasigkeit iii) einfache (nicht strikte) Minimalphasigkeit und ist daher nicht invertierbar iv) Struktur ist nichtrekursiv (siehe 3. bzw. (8)), woraus die FIR Eigenschaft folgt (begrenzte IA). 9

10 Aufgabe 4: Strukturen 25 Pkt. Gegeben waren die Signalflussgraphen (SFG) von zwei rekursiven digitalen Systemen mit reellen Parametern: 1. Die Differenzengleichung (dgl) von System 1 liest man unmittelbar aus dessen Signalflussgraphen (SFG) ab: bzw. nach Umstellung: y(k) = v(k 1) + 2r cosϕ y(k 1) r 2 y(k 2) (13) y(k) 2r cosϕ y(k 1) + r 2 y(k 2) = v(k 1). (14) 2. Bestimmung der Übertragungsfunktion (ÜF) H 1 (z) von System 1: Unterwirft man die dgl (14) der z-transformation (zt) unter Beachtung des Verschiebungssatzes der zt, so erhält man: Y (z)[1 2r cos ϕ z 1 + r 2 z 2 ] = V (z) z 1. (15) Daraus folgt unmittelbar die ÜF von System 1 durch Umstellung: H(z) = Y (z) V (z) = z 1 1 2r cosϕ z 1 + r 2 z = z 2 z 2 2r cosϕ z + r2. (16) 3. Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion (ÜF) H 2 (z) von System 2 werden mit den einfachen Rechenregeln für SFG alle abhängigen Knoten in Innern des Systems schrittweise eliminiert, bis nur noch der (nicht eliminierbare) Quellknoten V (z) v(k) und der (abhängige) Ausgangsknoten Y (z) y(k) verbleiben. Schritt 1: Elimination der kleinen Schleifen um die Verzögerungsglieder entsprechend der Elimination der Knoten C,D (oberer Zweig) und E,F (unterer Zweig). Exemplarisch für den oberen Zweig gilt die Regel: G = z 1 A + r cosϕ z 1 G G = 10 z 1 1 r cosϕ z 1A = A z r cosϕ, (17)

11 was nachfolgend mit den 3 Schritten (a)-(c) bildlich dargestellt ist: Ergebnis 1: Schritt 2 Elimination des Knotens G: Schritt 3 Elimination des Knotens A, wobei zu beachten ist, dass cotϕ = cos ϕ/ sinϕ gilt: und Eli- Schritt 4 Zusammenfassung der beiden Eingangszweige zu a + r cos ϕ mination des Knotens B: z r cos ϕ 11

12 Die Elimination der verbleibenden Schleife führt schließlich über zu Y (z) = Y (z){1 + a(z r cos ϕ) + r cosϕ (z r cos ϕ) 2 V (z) r2 sin 2 ϕ (z r cosϕ) 2 Y (z) r2 sin 2 ϕ a(z r cosϕ) + r cosϕ } = V (z) (z r cosϕ) 2 (z r cosϕ) 2 und mit einer letzten Unstellung zur ÜF von System 2: H(z) = Y (z) V (z) = a(z r cosϕ) + r cosϕ z 2 2r cosϕ z + r 2. (18) 4. Der Vergleich der ÜF (16) und (18) zeigt, dass die ÜF beider Systeme identische Nennerpolynome aufweisen und somit das gleiche konjugiert komplexe Polpaar besitzen (Konsequenz der Reellwertigkeit): z 1,2 = r(cosϕ ± j sin ϕ) = re ±jϕ 5. Der Vergleich der ÜF (16) und (18) zeigt schließlich, dass beide ÜF vollständig identisch sind, wenn man dem bislang nicht festgelegten Koeffizienten den Wert a = 1 zuordnet. 12