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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik I (5-59-) Ochsner Prüfungsbedingungen Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 2 Minuten + 5 Minuten Lesezeit am Anfang! 47 (unterschiedlich gewichtet, total 57 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht werden, wenn die Lösung vollständig richtig ist, d.h. es gibt keine Punkte für halbrichtige Lösungen. Nicht eindeutige Lösungen werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 2 A4-Blätter (4 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die Lösungen sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Zu einer korrekten Lösung gehört auch die richtige Masseinheit. Geben Sie die Lösungen ausschliesslich an den dafür vorbereiteten Stellen an. Viel Erfolg!

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3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Thema: Einführung in die Regelungstechnik Beschreibung: Um das Rennen zu gewinnen, möchte der berühmte Formel E Pilot Speedy McFast der optimalen Geschwindigkeitstrajektorie v d (t) folgen. Er kann die Fahrzeugsgeschwindigkeit v(t) mit dem Gaspedal α g (t) und mit dem Bremspedal α b (t) beeinflussen. In diesem Fall betrachten wir nur die longitudinale Dynamik des Fahrzeuges. Die longitudinale BremskraftF b (t)isteinealgebraischefunktiondesbremspedalsα b (t)undistgegebenalsf b (t) = k b α b (t). Die vom Elektromotor erzeugte Antriebskraft F m (t) ist bestimmt durch ein Systems erster Ordnung mit der Eingangsgrösse α g (t): τ m d dt F m(t) = F m (t)+k m α g (t), () wobei τ m die dazugehörige Zeitkonstante ist. Die longitudinale Dynamik des Fahrzeuges kann beschrieben werden als: m d dt v(t) = F m(t) F b (t) F d (v(t)). (2) Die Kraft F d (v(t)) = k +k v(t) fasst Roll- und Luftwiderstand zusammen.

4 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F (2 Punkte) Ordnen Sie den Variablen in Abbildung die korrekten Signale und Systeme zu. Füllen Sie die Tabelle 2 mit den Buchstaben A bis K aus, welche in Tabelle definiert sind. r(t) e(t) C u(t) P x(t) y(t) Abbildung A B C D E F G H J K ( ) ( v(t) αg (t) v(t) McFast v d (t) Motor α F m (t) b (t) Fahrzeug α g (t) F m (t) α b (t) Tabelle ) u(t) x(t) y(t) r(t) C P Tabelle 2 F2 ( Punkt) Ein Kollege sagt Ihnen, dass die Dynamik von Elektromotoren deutlich schneller ist als die longitudinale Dynamik von Fahrzeugen. Wie lässt sich Gleichung () dadurch für das Fahrzeugmodell vereinfachen? ()

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibung: Gegeben sind drei verschiedene Systeme. Alle Signale sind skalar. Kreuzen Sie jeweils alle zutreffenden Eigenschaften an. F3 ( Punkt) d dty(t) = sin(u(t)). Linear Zeitinvariant Dynamisch SISO F4 ( Punkt) Σ(s) = e st. Linear Zeitinvariant Dynamisch SISO F5 ( Punkt) y(t) = 2 t u (t)+u 2 (t). Linear Zeitinvariant Dynamisch SISO Beschreibung: Gegeben ist der geschlossene Regelkreis. F6 ( Punkt) Berechnen Sie die Übertragunsfunktion vom Rauschen n zur Stellgrösse u als Funktion von C(s) und P(s). U(s) N(s) = Beschreibung: Sie beobachten ein kleines Mädchen, wie dieses das Fahrradfahren ohne Stützräder übt. Nach einer Weile ist sie soweit, dass sie mit kleiner Geschwindigkeit geradeaus fahren kann. Das Mädchen fällt dabei trotz starkem Seitenwind nicht um. F7 ( Punkt) Welche Hauptfunktionen eines Reglers übernimmt das Mädchen dabei? Folgeregelung Stabilisierung Störungsunterdückung

6 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Systemmodellierung Beschreibung: Sie müssen einen Regler für einen Elektromotor entwerfen. Wie Sie gelernt haben, fangen Sie mit der Modellierung an. Die Dynamik der Drehzahl ω(t) ist gegeben durch: Θ d dt ω(t) = T m(t) T d (t), (3) wobei die Reibung als T d (t) = c +c 2 ω 2 (t) und das Motormoment als T m (t) = κ I(t) gegeben sind. Die Dynamik des Stroms I(t) lautet: L d I(t)+R I(t)+κ ω(t) = U(t). (4) dt Die einzige Eingangsgrösse v(t) des Systems ist die Spannung U(t) und die Ausgangsgrösse w(t) ist die Drehzahl ω(t). Die Zustandsvariable z (t) ist die Drehzahl ω(t), und die Zustandsvariable z 2 (t) ist der Strom I(t). F8 ( Punkt) Leiten Sie die nichtlineare Zustandsraumdarstellung des Systems als Funktion von z (t), z 2 (t), v(t) und w(t) her. d dt z (t) = d dt z 2(t) = w(t) =

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Beschreibung: Gegeben ist das nichtlineare System d dt z(t) = 2z(t) v(t)+z2 (t)+v 2 (t) w(t) = 2z z(t). (5) F9 ( Punkt) Berechnen Sie die Gleichgewichtslage z e und v e, sodass w e = ist. z e = v e = Beschreibung: Gegeben sind das nichtlineare System d dt z(t) = z(t) v2 (t) w(t) =.5z 2 (t) (6) und die Normierungsgrössen z = v = und w =.. Normieren Sie das System und bringen Sie es die folgende Form: d dt x(t) = α x(t)+β u2 (t) y(t) = γ x 2 (t) (7) F ( Punkt) Berechnen Sie α, β und γ. α = β = γ =

8 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Gegeben ist das normierte, nichtlineare System d x(t) = +x(t)+u(t) dt y(t) = 2x(t)+(+u(t)) 2. F ( Punkt) Linearisieren Sie das System um den Gleichgewichtspunkt x e =, u e = und geben Sie die Systemmatrizen A, b, c und d an. A = b = c = d = Beschreibung: Zum Auslegen eines Reglers linearisieren Sie die Regelstrecke um v e, z e und w e. Anschliessend normieren Sie die linearisierte Regelstrecke mit v, z und w. Weil Sie den mit der linearisierten und normierten Reglerstrecke entworfenen Regler nun in der Praxis testen möchten, müssen Sie den Regler entlinearisieren und entnormieren. Abbildung 2 zeigt die dafür nötige Struktur, wobei C der Regler und P die reale Regelstrecke sind. Die mathematischen Operationen sind zu bestimmen. Sollwert Istwert α w β C v γ v e δ P Abbildung 2 F2 ( Punkt) Ordnen Sie den Blöcken α bis δ jeweils die richtige Operation ( bis 6) aus Abbildung 2 zu. α β γ δ

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Thema: Analyse linearer Systeme Beschreibung: Gegeben ist ein nichtlineares System. Da Sie sich für die Stabilität einer Gleichgewichtslage dieses Systems interessieren, linearisieren Sie das System um diese Gleichgewichtslage. Somit erhalten Sie ein lineares System, welches folgende Eigenwerte aufweist: λ,2 = 2±j 3 λ 3 = λ 4 = λ 5 = λ 6 =. Die Systemmatrix A des linearen Systems ist diagonalisierbar. F3 ( Punkt) Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage auf das linearisierte System zutrifft. Das linearisierte System ist Lyapunov asymptotisch stabil. Das linearisierte System ist Lyapunov instabil. Das linearisierte System ist Lyapunov stabil (grenzstabil). Über die Lyapunovstabilität des linearisierten Systems kann mit diesen Informationen keine Aussage gemacht werden. F4 ( Punkt) Kreuzen Sie nachfolgend an, welche Aussage auf das nichtlineare System zutrifft. Die Gleichgewichtslage des nichtlinearen Systems ist Lyapunov asymptotisch stabil. Die Gleichgewichtslage des nichtlinearen Systems ist Lyapunov instabil. Die Gleichgewichtslage des nichtlinearen Systems ist Lyapunov stabil (grenzstabil). Über die Lyapunovstabilität der Gleichgewichtslage des nichtlinearen Systems kann mit diesen Informationen keine Aussage gemacht werden.

10 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 3 zeigt die Impulsantwort eines Systems erster Ordnung y(t) t [s] Abbildung 3: Impulsantwort eines Systems erster Ordnung. F5 ( Punkt) Bestimmen Sie die Verstärkung k und die Zeitkonstante τ des Systems. k = τ =

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Beschreibung: Betrachten Sie das folgende System, d x(t) = A x(t)+b u(t), dt (8) y(t) = c x(t)+d u(t) (9) wobei: A = [ ] 2 α 3, d = () mit α R. Es gibt drei Optionen für die Wahl des Aktuators mit den entsprechenden Eingangsmatrizen [ ] [ ] [ ] b = b 2 = b 3 =. () 2 Ausserdem ist ein Sensor verbaut, mit dem eine Kombination der Zustandsvariablen gemessen werden kann. Die entsprechende Ausgangsmatrix lautet: c = [ γ ] wobei γ R die Sensorverstärkung ist. F6 ( Punkt) Für welche Werte von α ist das System nach Lyapunov asymptotisch stabil? (2) α F7 ( Punkt) Nehmen Sie an, dass α = ist. Kreuzen Sie nachfolgend an, mit welchem/welchen Aktuator(en) das System vollständig steuerbar ist. b b 2 b 3 F8 ( Punkt) Es gilt nochmals α =. Bestimmen Sie den Wert für die Sensorverstärkung γ, mit welchem das System nicht vollständig beobachtbar ist. γ =

12 Seite Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung 4 zeigt das Blockschaltbild eines Systems mit dem Eingang u(t) R, dem Ausgang y(t) R und dem Zustand x(t) = [x (t) x 2 (t) x 3 (t)] T. Die Zustandsraumdarstellung dieses Systems ist gegeben durch d x(t) = A x(t)+b u(t) dt y(t) = c x(t)+d u(t). x 2 2 u x 2 - y - x 3-4 Abbildung 4 F9 ( Punkt) Geben Sie für das System in Abbildung4 die Matrix A der Zustandsraumdarstellung an. A = F2 ( Punkt) Geben Sie für das System in Abbildung 4 die Grössen b, c und d der Zustandsraumdarstellung an. b = c = d =

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite Beschreibung: Folgende Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} eines Systems ist gegeben: A = , b =, c = [.5 ], d =. (3) F2 ( Punkt) Bestimmen Sie die Grössen A, b, c und d der minimalen Realisierung dieses Systems. A = b = c = d = Beschreibung: Folgende Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} eines Systems ist gegeben: [ ] [ ] 2 A =, b =, c = [ ], d =. (4) 2 F22 ( Punkt) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems. Σ(s) =

14 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Laplace Beschreibung: Gegeben ist ein System mit der Übertragungsfunktion Σ(s) = s2 + s 2 (s+2). (5) F23 ( Punkt) Wie lautet die Zustandsraumdarstellung des Systems aus Gleichung (5) in Controller Canonical Form? A = b = c = d = F24 (2 Punkte) Berechnen Sie die Impulsantwort des Systems aus Gleichung (5) im Zeitbereich. y(t) =

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 Beschreibung: Gegeben sei ein System erster Ordnung gemäss Abbildung 5. Der zeitliche Verlauf der Systemantwort y 2 (t) auf einen Einheitssprung h(t), sowie das Zwischensignal y (t) sind in Abbildung 6 dargestellt. h(t) s+ y (t) a y 2 (t) b s Abbildung 5: System erster Ordnung y (t) y 2 (t) time [s] Abbildung 6 F25 (2 Punkte) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b des Systems aus Abbildung 5, sodass sich der in Abbildung 6 dargestellte Verlauf y 2 (t) ergibt. a = b =

16 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Gegeben sind die I/O-Beschreibungen der Systeme A bis D: A: Y(s) = ( s 3 9 s+8 + ) s 2 U(s) (6) B: y(t) = 3e αt u(t), α,t > (7) C: y(t) = u(t) cos(ωt) (8) D: y(t) = 2 u 2 (9) (t) F26 (2 Punkte) Kreuzen Sie die Systeme an, welche nicht BIBO-stabil sind. A B C D

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 5 Thema: Frequenzantworten Beschreibung: Ein lineares System Σ(s) wird am Eingang mit u(t) = cos(ωt) angeregt. Das Bodediagramm von Σ(s) ist in Abbildung 7 dargestellt. Abbildung 8 zeigt verschiedene harmonische Antworten (eingeschwungen). Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 7: Bodediagramm von Σ(s).5.5 A u(t) y(t).5.5 B u(t) y(t) π 4π 6π 8π time [s] π 4π 6π 8π time [s] C u(t) y(t) -.5 2π 4π 6π 8π time [s] π 4π 6π 8π time [s] D u(t) y(t) Abbildung 8

18 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik I F27 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welche der in Abbildung 8 dargestellten Antworten mithilfe des Systems Σ(s) erzeugt wurde. A B C D Beschreibung: Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines Systems Σ(s) = 2 s e.s. (2) F28 ( Punkt) Bestimmen Sie die Frequenz ω, bei welcher der Betrag der Frequenzantwort um genau x db abfällt. ω = rad/s

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 7 Beschreibung: Gegeben seien das Bodediagramm in Abbildung 9 und die vier Nyquistdiagramme A-D in Abbildung. Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Abbildung 9: Bodediagramm F29 ( Punkt) Kreuzen Sie an, welches der Nyquistdiagramme A-D aus Abbildung dem Bodediagramm in Abbildung 9 entspricht. A B Imaginary Axis 5-5 Imaginary Axis Real Axis Real Axis C D Imaginary Axis 5-5 Imaginary Axis Real Axis Real Axis Abbildung : Nyquistdiagramme A B C D

20 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Abbildung zeigt das Bodediagramm des Systems Σ(s). Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Abbildung : Bodediagramm von Σ(s) F3 ( Punkt) Bestimmen Sie den Typ k und den relativen Grad r des Systems in Abbildung. k = r = Beschreibung: Betrachten Sie das System Σ(s) = 4s 2 (2s 2 7s+4)(4s+4). F3 ( Punkt) Bestimmen Sie den Typ k und den relativen Grad r des Systems Σ(s). k = r =

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 9 Beschreibung: Abbildung 2 zeigt den Frequenzgang eines Systems Σ(s). Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Abbildung 2: Bodediagramm von Σ(s). F32 (2 Punkte) Kreuzen Sie alle Komponenten an, aus welchen die Übertragungsfunktion Σ(s) aus Abbildung 2 zusammengesetzt ist. s. s 2 +.5s+. 5s+ exp(.s). s 2 +.5s+. s+.5s+ exp(.5s) (s+) 2

22 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: An einem realen System mit der nominellen Übertragungsfunktion Σ(s) = s+. (2) wurden Identifikationsmessungen durchgeführt, um die Modellunsicherheit abschätzen zu können. Bei einer Frequenz von ω = rad/s hatte ein Messpunkt eine Verstärkung von.53 und eine Phasenverschiebung von -45. Der relative Fehler E rel (jω ) ist definiert als die Abweichung zwischen Messpunkt und nomineller Strecke (bei gleicher Frequenz) im Verhältnis zur nominellen Strecke. F33 (Punkt)Berechnen Siedenrelativen Fehler E rel (jω ) fürdengegebenen Messpunkt bei ω = rad /s. E rel (jω ) =

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 2 Thema: Analyse und Spezifikationen geschlossener Regelkreise Beschreibung: Gegeben ist ein geschlossener Regelkreis mit Kreisverstärkung L(s) = s. Um diesen zu analysieren wird die Führungsgrösse mit einem Sprung r(t) = h(t) beaufschlagt. r(t) e(t) L(s) y(t) F34 (2 Punkte) Berechnen Sie für das gegebene Eingangssignal den zeitlichen Verlauf des Regelfehlers e(t). e(t) =

24 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung:GegebensindzweiÜbertragungsfunktionenmitihrenNyquistdiagrammenL A (s) (Diagramm A) und L B (s) (Diagramm B) L A (s) = 3(s ) s 2 3s+2 e.5s L B (s) = 3s 2 +2s e s (22).8 Nyquist Diagram A 5 Nyquist Diagram B.6.4 Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis Real Axis F35 ( Punkt) Prüfen Sie mithilfe des Nyquisttheorems, ob das System A asymptotisch stabil ist. Füllen Sie dafür die vorbereitete Tabelle vollständig aus. System A n n + n c asymptotisch stabil? (ja/nein) F36 ( Punkt) Prüfen Sie mithilfe des Nyquisttheorems, ob das System B asymptotisch stabil ist. Füllen Sie dafür die vorbereitete Tabelle vollständig aus. System B n n + n c asymptotisch stabil? (ja/nein)

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 23 Beschreibung: Sie übernehmen bei der Arbeit ein Projekt, welches sich mit der Auslegung eines Reglers auseinandersetzt. Ein erster Regler wurde schon von ihrem Vorgänger ausgelegt. Von diesem erhalten Sie sowohl die Übertragungsfunktion der nominellen Kreisverstärkung L(s) als auch das Nyquistdiagramm von L(s) mit den eingezeichneten Modellunsicherheiten. Leider wurde jedoch die Achsenbeschriftung vergessen. Obwohl die Simulation einer Sprungantwort keine instabilität des (nominellen) geschlossenen Regelkreises aufzeigte, zeigt der Regelkreis auf dem Prüfstand instabiles Verhalten. L(s) =.5(s+.) s(s ) e.s (23) Nyquist Diagram Abbildung 3 F37 ( Punkt) Zeichnen Sie im Nyquistdiagramm in Abbildung 3 den Punkt - mit einem Kreuz ein.

26 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: Für die Auslegung eines Reglers sind folgende Informationen der Strecke gegeben: Störungen müssen bei Frequenzen kleiner als ω d = rad /s unterdrückt werden. Rauschen muss bei Frequenzen grösser als ω n = 25 rad /s unterdrückt werden. Der Betrag der Modellunsicherheit ist ab ω 2 = rad /s grösser als. DiezuregelndeStreckehateineninstabilenPolbeiπ + = 7.5 rad /sundeinenicht-minimalphasige Nullstelle bei ζ + = 5 rad /s Die Totzeit ist sehr klein und kann daher vernachlässigt werden F38 ( Punkt) Geben Sie das Intervall an, in welchem die Durchtrittsfrequenz ω c der Kreisverstärkung L(s) gemäss Faustregel liegen soll. rad/s ω c rad/s

27 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 25 Beschreibung: Gegeben ist die Übertragungsfunktion der komplementären Sensitivität eines Regelkreises: T(s) = ω 2 s 2 +2 δ ω s+ω 2 (24) Aus der Sprungantwort der komplementären Sensitivität konnten die Anstiegszeit t 9 = s und das maximale relative Überschwingen ˆǫ =.2 ermittelt werden F39 ( Punkt) Welches der vier gegebenen Bodediagramme in Abbildung 4 entspricht der Kreisverstärkung L(s) des gegebenen Regelkreises? Kreuzen Sie nachfolgend das richtige Diagramm an. Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram A Frequency (rad/s) 2 Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram B Frequency (rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram C Frequency (rad/s) 2 Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram D Frequency (rad/s) 3 Abbildung 4 Diagramm A Diagramm B Diagramm C Diagramm D

28 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Reglerauslegung Beschreibung: Ihre Kollegin hat mit einem Ihnen unbekannten Verfahren einen sehr guten Regler ausgelegt. Sie wollen diesen Regler nun an der echten Regelstrecke testen. Da am Prüfstand nur dedizierte PID Hardware zur Verfügung steht, müssen Sie aber zuerst die PID Reglerparameter aus der Übertragungsfunktion des Reglers ablesen. Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet C(s) = 3s+2. F4 ( Punkt) Wie lauten die PID Reglerparameter, welche Sie eingeben müssen, um genau den Regler Ihrer Kollegin zu testen? k p =, T i = s, T d = s

29 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 27 Beschreibung: Für die Regelstrecke P(s) = (s+) 2 haben Sie vier PI-Regler ausgelegt. Bei der Präsentation vor der Geschäftsleitung merken Sie allerdings, dass Ihr Assistent in der Legende alle Linien der Diagramme durcheinander gebracht hat. Nun müssen Sie die einzelnen Linien wieder den Reglern zuordnen. Die vier PI-Regler sind gegeben durch: C (s) = C 2 (s) = 5 ( C 3 (s) = + ) s ( C 4 (s) = + ) s Abbildung 5 zeigt das Bodediagramm der vier Kreisverstärkungen. Abbildung 6 zeigt die Antwort des geschlossenen Regelkreises auf eine Störung am Ausgang der Regelstrecke d(t) = h(t ). Magnitude (db) L -4 L2 L L4 - Phase (deg) Frequency (rad/s) Abbildung 5: Frequenzgänge der Kreisverstärkungen L bis L4 für die vier Regler. F4 (2 Punkte) Ordnen Sie die vier Frequenzgänge der Kreisverstärkungen L L4 aus Abbildung 5 den Reglern C (s) C 4 (s) zu. Regler C (s) = C 2 (s) = 5 C 3 (s) = ( ) + s C 4 (s) = ( ) + s Kreisverst.

30 Seite 28 Sessionsprüfung Regelungstechnik I.2.8 Disturbance step response A B C D y(t) Time (s) Abbildung 6: Antworten des geschlossenen Regelkreises auf eine Störung am Ausgang der Regelstrecke d(t) = h(t ). F42 (2 Punkte) Ordnen Sie die vier Antworten A D des geschlossenen Regelkreises in Abbildung 6 den Reglern C (s) C 4 (s) zu. ( ) ( ) Regler C (s) = C 2 (s) = 5 C 3 (s) = + s C 4 (s) = + s Antworten

31 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 29 Beschreibung: Gegeben sei das Nyquistdiagramm der Regelstrecke in Abbildung 7. Die Regelstrecke hat keine Pole mit positivem Realteil, aber zwei Pole mit Realteil gleich Null. Ihre Aufgabe ist es, einen stabilisierenden Regler zu finden. Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis Real Axis Abbildung 7: Nyquistdiagramm der Regelstrecke P(jω) für ω >. F43 (2 Punkte) Welche(r) der folgenden Regler ergibt (ergeben) einen stabilen geschlossenen Regelkreis? C (s) = C 2 (s) = ( + s ) C 3 (s) =.s+ s+ C 4 (s) = s+.s+

32 Seite 3 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Thema: Matlab/Simulink Beschreibung: Sie wollen in Matlab die Übertragungsfunktion des Systems mit folgender Zustandsraumdarstellung berechnen: A = [ α δ ], b = [ γ 2 p ], c = [ p/t ], d =. (25) Dafür haben Sie ein Skript Calculate TF.m geschrieben, welches folgende Zeilen Code beinhaltet: clc 2 close all 3 clearvars 4 5 % Parameter 6 alpha = 3.6; 7 delta = 7; 8 gamma = 7; 9 p = e5; T = 273; 2 % Matrizen Zustandsraum 3 A = [alpha ; delta]; 4 b = [gamma*sqrt(2) p]; 5 c = [ p/t]; 6 d = ; 7 8 % Laplace Variable 9 s = tf('s'); 2 2 % Uebertragungsfunktion 22 t fun = c*inv(s*eye(2) A)*b + d; Beim Ausführen tritt ein Fehler auf. Die dazugehörige Fehlermeldung ist in Abbildung 8 dargestellt. Abbildung 8: Fehlermeldung.

33 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 3 F44 ( Punkt) Beim Ausführen welcher Zeile Ihres Skripts trat der Fehler auf? Zeile = F45 ( Punkt) In welcher Zeile Ihres Skripts wurde der Fehler programmiert, der die Ursache dafür ist, dass das Skript die Übertragungsfunktion nicht berechnen kann? Zeile =

34 Seite 32 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Beschreibung: In der Vorlesung haben Sie folgende Modellierung eines Lautsprechers kennengelernt: wobei gilt: m d2 d dt2p(t) = F(t) c p(t) d p(t) dt (26) L d dt I(t) = R I(t) U ind(t)+v(t), (27) F(t) = κ I(t) U ind (t) = κ d p(t) (28) dt F46 (2 Punkte) Abbildung 9 zeigt das Modell, wie es in Simulink umgesetzt wurde. Beschriften Sie alle Verstärkungen. Benutzen Sie dafür ausschliesslich die Parameter aus den Gleichungen (26) - (28). s s s v(t) Abbildung 9: Simulinkmodell eines Lautsprechers.

35 Sessionsprüfung Regelungstechnik I Seite 33 Beschreibung: Sie geben im Command Window folgende Zeile Matlab Code ein: >> obsv([ ; 3 5],[ ]) F47 ( Punkt) Kreuzen Sie in der nachfolgenden Auswahl die Ausgabe des Command Windows auf Ihre Eingabe an: ans = 3 5 ans = 5 3 ans = true ans = false ans = ans = ans = 2