U M. Bild 1 Struktur des Antriebes

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1 1 9B.Übung zur LV Regelungstechnik I (Zeitdiskrete Regelsysteme) SS6 ufgabe In dieser ufgabe wird die Winkelregelung mit einem Gleichstrommotor untersucht, bzw. ein Regler hierfür entwickelt. Diese ufgabe hat verschiedene nwendungen, z.b. die Einstellung eines Winkels eines Gelenkes bei einem Roboter. Dabei soll von dem ntrieb ein konstantes Lastmoment aufgebracht werden. Die Regelstrecke besteht aus einem Gleichstrommotor ohne Getriebe und einem Leistungsstellglied. Der Motor wird durch das Stellglied gesteuert, das die Verstärkung V=15 besitzt und die Dynamik eines PT 1 -Gliedes mit der Zeitkonstante T S =.5 sek besitzt. Die prinzipielle Struktur der Regelstrecke zeigt das folgende Bild: Motor mit Last M L ω,ϕ U S Stellgerät U M Bild 1 Struktur des ntriebes Es sollen die folgenden Spezifikationen für den Regelkreis eingehalten werden: 1. Es ist die Stellgrößenbeschränkung bei dem Reglerentwurf zu berücksichtigen, entsprechend muß die Bandbreite der Regelung gewählt werden. Das Überschwingen bei der Führungssprungantwort soll nicht größer 1% betragen.. Der stationäre Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße soll Null sein. TU-Berlin SS 6

2 1. Modellbildung nordnung: Bild Prizipielle nordnung Motor (Die Motorinduktivität wird vernachlässigt): i R L u u M ω,ϕ J W M L Bild 3 Modellbildung eines permanenterregten Gleichstrommotors Es soll ein Zusammenhang zwischen der Motorspannung und dem Drehwinkel ϕ hergestellt werden. TU-Berlin SS 6

3 3 Elektrischer Kreis: Mechanischer Kreis: u = ir+ u M (1) M = MB + MR + ML () Kopplung zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Kreis: M = ikm (3) um = ω KM (4). Das Beschleunigungsmoment: MB J ω (5). Das Reibungsmoment MR = wω (6). Last: Die Last wird in zwei Teile aufgeteilt. Das ist einmal das Lastmoment der nordnung nach Bild und zum zweiten ein Lastmoment M S, das auf den Hebel wirkt. Es ist ein Störmoment. Das Lastmoment: ML = gmlsin( ϕ ) + MS (7). Zusammenhang Winkel - Winkelgeschwindigkeit: ω = ϕ Einsetzen: us (1) mit (4): u Km i = ω R (8). us () mit (3), (5), (6), (7): M K i K u K mω = m = m = J ω + wω + gmlsin( ϕ) + MS, R und daraus (mit ω = ϕ ) : J w K m Km ϕ + + ϕ + gml sin( ϕ) = R R u M S. Zahlenwerte: Nur Motor: Bezeichnungen: Zahlenwerte, Einheiten R nkerwiderstand R=.5Ω L nkerinduktivität L=.1mH [H]=[Vsek/] K M Motorkonstante.154 Vsek=.154Nm/ K T Tachokonstante.154 Vsek J Trägheitsmoment Nmsek w Reibungskonstante Nmsek u Motorspannung u Nenn =1V, u max =16V i nkerstrom i Nenn =16, i max =1 M ntriebsmoment M nenn =Nm 1, M impuls =14Nm P Motorleistung P nenn =1kW ω Winkelgeschwindigkeit ω Nenn =3rad/sek, ω max =68rad/sek n Drehzahl n Nenn =865U/min, n max =6U/min 1 M nenn = i Nenn K M -ω Nenn w TU-Berlin SS 6

4 4 Motor mit nordnung: Die Stabmasse wird vernachlässigt, Stablänge.5m. m Ende des Stabes angebrachte Masse: 1Kg. Wirksames Trägheitsmoment: J =Trägheitsmoment des Motors, ml J L = =Trägheitsmoment der Last J = J + J = N msek N msek = N msek L Die Reibung w hat sich durch den ufbau vergrößert auf w = 1 3 Nmsek. Der Koeffizient von ϕ (V s ek= Nm/ ist zu berücksichtigen) lautet mit den Werten K m =.154Vsek=.154Nm/, R=.5V/ : ( K ) ( 154. ) m 3 VsekNm/ w + = 1 Nmsek+ = 1 Nmsek R 5. V / 3 = Nmsek. 3 3 m kg m Faktor bei dem Lastmoment M S : g m l = kg 5. m = 49. = 49. Nm. sek sek Faktor bei der Mptorspannung u: Km 154. Nm/ = =. 38 Nm/ V. R 5. V / Die nichtlineare Differentialgleichung lautet dann: J wr + K m Km ϕ + ϕ sin( ϕ) gml Rgml Rgml u 1 + = mgl M S 3 3 ut () sek () ϕ t sek ( ϕ t) + sin( ϕ()) t = ( Nm) M S ( t) V Linearisierung der Differentialgleichung Wir gehen von der Differentialgleichung wr + K m gml Km ϕ + ϕ + sin( ϕ) = RJ J JR u 1 J M aus und stellen sie nach ϕ um: wr + K m gml Km ϕ = ϕ sin( ϕ) + = (, ϕ ϕ,, ). RJ J JR u 1 J M S f u M S S Nmsek Zwischen dem Lastmoment, Winkel und der Motorspannung besteht im stationären Zustand ( ϕ = ϕ = ) der Zusammenhang: K M gmlsin( ϕ ) = R u M S,. TU-Berlin SS 6

5 5 Dann bilden wir die bweichungen vom rbeitspunkt: ϕ = ϕ ϕ, = ϕ da ϕ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ, da ϕ = ϕ = ϕ ϕ u = u u M = M M S S S, nschließend wird die nichtlineare Funktion f im rbeitspunkt durch eine lineare Näherung (bleitung) ersetzt: f () ϕ () ϕ ϕ () () ϕ ( ϕ, ϕ,, ), ϕ f ϕ f f t = t t = t f u MS = + + u + M ϕ ϕ u M.Dann erfolgt die Berechnung der partiellen bleitungen von f: f wr+ K m f gml f =, = cos( ϕ ), ϕ JR ϕ J u f = 1. MS J Damit lautet die linearisierte Differentialgleichung (wieder umgestellt): wr + K m gml Km () ϕ t + ( ϕ t) cos( ϕ ) ϕ() t () () RJ J JR ut 1 + = MS t J () ϕ t sek ( ϕ t) sek cos( ϕ ) ϕ() t = = sek u( t)/ V 181. ( Nmsek ) M ( t). Hieraus folgt die Übertragungsfunktionen: G Mot Φ() s 364. sek / V () s = = U() s sek cos( ϕ ) sek s + s S S S = G () s K 1 M Φ() s 118. ( Nmsek ) GMot, Last () s = = MS () s sek cos( ϕ ) sek s + s mit: Φ() s sek GM () s = = Es () sek cos( ϕ ) sek s + s Es () KU = =. 69 sek / V U() s Km =, und JR U = G () s K 1 M S TU-Berlin SS 6

6 6 Es KS = () Nm MS s =. 4( ) () Die Polstellen der Übertragungsfunktion als Funktion des rbeitspunktes (Winkel) lauten: ( ϕ ) ( ϕ 1583) 1 1. s1, =. ±.. cos( ) sek =. ± j. cos( ). sek Die Polstellen als Funktion des rbeitspunktes sind in dem Bild 4 für den Winkelbereich von 1 o, o,..., 8 o und 88 o dargestellt. Bei dem Winkel von ϕ =89.84 o liegt eine doppelte Polstelle vor und bei dem Winkel ϕ 9 o liegt eine Polstelle auf der imaginären chse, bzw. rechts davon. Das System ist dann also instabil! 8 Polstelle des des Motor-Pendels, phi=1 bis 8 und 88 grad 6 Imaginärteil der Polstellen ϕ Α =8 grad ϕ Α =88 grad Realteil der Polstellen Leistungsverstärker 15 Übertragungsfunktion: GLV ()= s 1 + st Bild 4 Lage der Polstellen als Funktion des rbeitspunktes LV, mit T LV =.5sek. Die maximale Eingangsspannung beträgt ±1Volt mit harter Begrenzung. Die analoge Regelstrecke besitzt damit das folgende Strukturbild mit den oben angegebenen Übertragungsfunktionen: TU-Berlin SS 6

7 7 M S K S ϕ Α U S G LV (s) U M K U E G M (s) ϕ Bild 5 Strukturbild der Regelstrecke Gesamtübertragungsfunktion zwischen U S und dem Winkel ϕ: ls rbeitspunkt nehmen wir jetzt und auch im folgenden den Winkel ϕ = o. Dann besteht zwischen dem Grundlastmoment und der erforderlichen nkerspannung der zusammenhang: R u K M V = S, = 35. Nm M S, m Die Übertragungsfunktion lautet: ~ () s. sek / V GP () s = Φ U () s = S sek sek s + s 1+ s5. sek Die Sprungantwort dieses Systems besitzt das folgende ussehen: Sprungantwort der zeitkontinuierlichen Regelstrecke bei einer Sprunghöhe von.1 Vol Winkel in Radiant Zeit in sek Bild 6 TU-Berlin SS 6

8 8 Winkelmeßgerät Winkel / Digital Umsetzer Übertragungsfaktor: K M = 1 für -π ϕ π. π rad Mit der usgangsgröße des Winkel / Digital Umsetzers wird die Führungsgröße verglichen. Das bedeutet, daß eine usgangsgröße 1 einem Winkel von π/1 rad entspricht. Zeitdiskrete Prozeßübertragungsfunktion Die zeitdiskrete Prozeßübertragungsfunktion erhält man durch die Diskretisierung mit einem Halteglied -ter Ordnung und Multiplikation mit dem Übertragungsfaktor Km des Winkel / Digitalumsetzers. Bei dieser komplizierten Übertragungsfunktion wird zweckmäßig ein entsprechendes Rechenprogramm, das MTLB bereitstellt, benutzt. T=.5sek Der MTLB-Befehl lautet: [ ZN] = cdmkm ( * Z ~, NT ~,,' zoh' ). Dabei sind die Koeffizienten der Zähler- und Nennerpolynome in den Zeilenvektoren Z bzw, N von links nach rechts nach fallenden Potenzen von z angeordnet. Die Berechnung ergibt: Zählerpolynom der zeitdiskreten Prozeßübertragungsfunktion: ZP () z = 16. 9z z = ( z )( z+. 913) Nennerpolynom der zeitdiskreten Prozeßübertragungsfunktion: 3 NP () z = z z z. 3 = = ( z j5. )( z j5. )( z. 454 ). Für diese zeitdiskrete Regelstrecke sind geeignete Regler zu entwerfen. Festlegung der Polstellen für den Regelkreis Damit die Stellgröße bei einem usregelvorgang nicht zu groß wird, wird der Realteil der Polstellen (im zeitkontinuierlichen Bereich beurteilt) nur geringförmig verkleinert, so von -.398sek -1 auf etwa -1sek -1. Der Dämpfungsfaktor sollte aber d=.75 betragen. Damit ergeben sich die Polstellen im s-bereich: 1, ( 1 ) s = ω d ± j d n = δ ± jω = 1sek ± jω δ sek Daraus folgt ωn = 1 = = sek und d 75. ω = ωn 1 d = sek * = 88. sek Die gewünschten Polstellen des zeitdiskreten Regelkreises lauten dann: S T ( 1± j 88. ) T / sek 1, 1, z = e = e = ± j TU-Berlin SS 6

9 9 Das dazugehörige Nennerpolynom lautet: N () z = z 11. z R Die Sprungantwort dieses Wunschverhaltens zeigt das folgende Bild: 1.4 Wunsch-Sprungantwort des Regelkreises Größe nach dem Winkel / Digital Umsetzer Zeit in sek Bild 7 Für diesen Regelkreis ist ein entsprechender Regler zu entwerfen. Reglerentwurf durch Polvorgabe (Struktur mit einem Freiheitsgrad) Der Regelkreis wird nun so entworfen, daß der stationäre Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße Null wird. Deshalb ist die Ordnung des Reglers m=n=3. Der Regler besitzt somit die folgende Struktur: 3 z z z GC () β + β1 + β + β3 z = ( z 1)( α + α1z+ αz ) Das Nennerpolynom des Regelkreises besitzt damit aber die Ordnung 6, wodurch vier weitere Polstellen, neben den beiden schon bestimmten Polstellen, vorgegeben werden müssen. Diese werden probehalber bei z 3456 = 15 gewählt. Dabei wird im Hintergrund,,,. gehalten, daß diese Polstellen und auch die kürzbaren Nullstellen des Regelkreises sich durch ein Vorfilter entfernen lassen. Mit dem Programm Diophant_ lassen sich die Reglerkoeffizienten berechnen. TU-Berlin SS 6

10 1 Das Nennerpolynom des Regelkreises lautet so vollständig: NR () z = ( z. z +. )( z ) Das Zählerpolynom des Reglers lautet: Zc(z)=.165z z z+.7 und das Nennerpolynom des Reglers: Nc(z)=z z +.87z Die Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet somit: ZC() z ZP() z Tz () = = Z () z Z () z + N () z N () z C P C P ( z )( z. 97)( z )( z+. 913)( z. 144) = ( z j. 5888)( z j. 5888)( z5. ) 4 Die Sprungantwort zu diesem Regelkreis ist äußerst unbefriedigend, wie das folgende Bild zeigt: 9 Sprungantwort des Regelkreises ohne Vorfilter 8 Größe nach dem Winkel / Digital Umsetzer Zeit in sek Bild 8 Dieses schlechte Führungsverhalten wird durch die Nullstellen der Führungsübertragungsfunktion verursacht. us diesem Grunde sollen durch ein Vorfilter alle überflüssigen, kürzbaren, Pol- und Nullstellen durch ein Vorfilter gekürzt werden. Die Struktur zeigt das folgende Bild: TU-Berlin SS 6

11 11 R(z) G V (z) G R (z) G P (z) Y(z) Bild 9 Regelkreis mit Vorfilter Das Vorfilter wird nun folgendermaßen ausgewählt, wobei der Zählergrad den Nennergrad nicht übersteigen darf. ußerdem müssen die Polstellen des Vorfilters innerhalb des Einheitskreises liegen. 4 ( z 15. ) GV() z = KV ( z. 97)( z )( z+. 913)( z. 144), wobei K v so gewählt wurde, daß G V (1)=1 ist. Mit diesem Vorfilter lautet die Führungsünertragungsfunktion: ZC() z ZP() z Tz () = GV () z = Z () z Z () z + N () z N () z C P C P ( z ) = ( z j. 5888)( z j. 5888), die bis auf die Nullstelle bei , die wie wir festgestellt hatten, keinen wesentlichen Einfluß auf die Summe des Regelfehlers besitzt. Die Sprungantwort des Regelkreises mit diesem Vorfilter zeigt das folgende Bild: 1.4 Sprungantwort des Regelkreises mit Vorfilter Größe nach dem Winkel / Digital Umsetzer Zeit in sek Bild 1 TU-Berlin SS 6

12 1 Stellverhalten mit Vorfilter Die Stellübertragungsfunktion mit dem Vorfilter lautet: U z z z j z j z GU/ R() z = () Rz () = ( )( )( ) ( z j. 5888)( z j. 5888)( z )( z+. 913), und die Sprungantwort: 1.4 Sprungantwort des Stellverhaltens 1. 1 Stellgröße Zeit in sek. Bild 11 TU-Berlin SS 6