Reglerentwurf anhand des PN-Bildes des geschlossenen Kreises

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1 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises Der Reglerentwurf anhand des Pol-ullstellen-Bildes des geschlossenen Kreises beruht auf der Konstruktion der Wurzelortskurve, die die Abhängigkeit der Pole des geschlossenen Kreises von der Reglerverstärkung beschreibt. Mit Hilfe der Konstruktionsvorschriften für Wurzelortskurven können aus gegebenen Forderungen an die Lage der Pole des geschlossenen Kreises sowohl die Reglerstruktur als auch die Reglerparameter bestimmt werden. 0. Beziehungen zwischen dem P-Bild des geschlossenen Kreises und den Güteforderungen 0.. Regelkreise mit dominierendem Polpaar äherungsweise Beschreibung des Regelkreises als PT 2 -Glied. Die Idee des in diesem Kapitel beschriebenen Entwurfverfahrens besteht darin, dass dem geschlossenen Kreis durch die Auswahl eines geeigneten Reglers bestimmte Pole zugewiesen werden. Da diese Pole das Übertragungsverhalten des Regelkreises maßgebend beeinflussen, kann auf diesem Weg ein Regler gefunden werden, der vorgegebene Güteforderungen erfüllt. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass bekannt ist, wie die Pole des geschlossenen Kreises mit den das Zeitverhalten betreffenden Güteforderungen im Zusammenhang stehen. Dieser Zusammenhang wird im Folgenden untersucht. Dabei wird angenommen, dass der geschlossene Kreis näherungsweise das Verhalten eines PT 2 -Gliedes besitzt. Das heißt, es wird von einer Führungsübertragungsfunktion G w (s) = ausgegangen, für die die äherung G w (s) Ĝw(s) = T 2 s 2 +2dT s + G0(s) +G 0(s) (0.)

2 408 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises gilt. In diesem Ansatz für G w (s) wurde im Gegensatz zu Gl. (6.2) der statische Übertragungsfaktor gleich eins gesetzt, weil der Regelkreis die Forderung nach Sollwertfolge erfüllen soll. Das Verhalten des PT 2 -Gliedes wurde im Abschn. 6.7 ausführlich untersucht. Es ist vollständig durch die Dämpfung d und die Eigenfrequenz ω 0 = T bestimmt. h t Imag s s 3 s Real Abb. 0.: Übergangsfunktion eines Systems dritter Ordnung für unterschiedliche Lage des dritten Pols s 3 Die Approximation (0.) ist dann besonders gut, wenn der geschlossene Kreis ein dominierendes Polpaar besitzt, d. h., wenn im P-Bild ein konjugiert komplexes Polpaar weit rechts von allen anderen Polen liegt (Abb. 0.2). Dies wird an dem in Abb. 0. gezeigten Beispiel deutlich. Bei dem dort untersuchten System liegt ein dritter Pol s 3 in unterschiedlicher Entfernung von einem konjugiert komplexen Polpaar s /2 = ± j2. Ist die Entfernung groß, so spielt der dritte Pol eine vernachlässigbar kleine Rolle für den Verlauf der Übergangsfunktion. Schiebt man den Pol immer weiter an das konjugiert komplexe Polpaar heran, so tritt erst bei s 3 = 3 eine sichtbare Veränderung der Übergangsfunktion auf. Hat der Pol denselben Realteil wie das Polpaar s /2,soverändert sich der Charakter der Übertragungsfunktion wesentlich. I : M A M I # : : I " I! A : 4 A M A M Abb. 0.2: P-Bild eines Regelkreises mit dominierendem Polpaar

3 0. Beziehungen zwischen dem P-Bild und den Güteforderungen 409 Im Folgenden werden Beziehungen zwischen den an den Regelkreis gestellten Güteforderungen und der Lage der Pole des äherungsmodells (0.2) abgeleitet. Diese Beziehungen gelten exakt nur dann, wenn das geregelte System tatsächlich ein System zweiter Ordnung ist. Sie können aber als äherungswerte für Regelkreise höherer Ordnung verwendet werden, wobei die Approximationsgenauigkeit umso besser ist, je größer der Abstand des dominierenden Polpaares von den anderen Polen des geschlossenen Kreises ist. Zusammenhang zwischen dem dominierenden Polpaar und dem Regelkreisverhalten. Die Pole des Systems (0.) sind Sie können für 0 <d< in der Form s /2 = ω 0 d ± ω 0 d2. s /2 = δ e ± jω e mit δ e = ω 0 d und ω e = ω 0 d 2 geschrieben werden. Ihre Lage in der komplexen Ebene ist durch den Winkel φ d gekennzeichnet, für den die Beziehung Dämpfungsgerade: cos φ d = d (0.2) gilt (Abb. 0.2). Wenn also eine Vorgabe für die Dämpfung d oder für die entsprechend Gl. (6.2) direkt damit zusammenhängende Resonanzüberhöhung des Führungsfrequenzganges gemacht wird, so erhält man daraus eine Forderung an den im P-Bild ablesbaren Winkel φ d des dominierenden Polpaares. Häufig wird die Vorgabe nicht in einem exakten Wert für d, sondern in einer unteren Schranke d und möglicherweise in einer oberen Schranke d bestehen, woraus man eine obere und eine untere Schranke φ max bzw. φ min für φ d erhält, die in der komplexen Ebene zwei durch die entsprechenden Geraden eingeschlossene Sektoren für das dominante Polpaar ergeben. (Abb. 0.8). Das System hat für d<die im Abschn. 6.7 abgeleitete Übergangsfunktion, die hier die zum äherungsmodell Gw ˆ (s) gehörige Führungsübergangsfunktion ĥw(t) darstellt: ĥ w (t) = d 2 e dω0t sin(ω 0 d2 t + arccos d), (0.3) vgl. Gl. (6.8). Typische Übergangsfunktionen dieser Art sind in Abb. 0.3 gezeigt, wobei die Dämpfung in dem für den geschlossenen Kreis wichtigen Bereich d =0,4... 0,8 verändert wurde. Dies entspricht Polen, deren Winkel φ d im Bereich von arccos 0,4... 0,8 = liegt. Eine kleine Dämpfung führt auf ein großes Überschwingen, eine große Dämpfung auf ein kleines Überschwingen.

4 40 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises.4.2 d=0,4 h w d=0, t Abb. 0.3: Führungsübergangsfunktion ĥw(t) des Regelkreises für Dämpfungsfaktor d=0,4... 0,8 2.5 h t Abb. 0.4: Übergangsfunktion eines Schwingungsgliedes bei ω e =0und δ e =,..., 0: Für alle Kurven gilt T m 0,3. Aus Gl. (0.3) können wichtige Kenngrößen der Führungsübergangsfunktion wie die Überschwingweite und die Beruhigungszeit berechnet werden. Die Überschwingweite h erhält man aus h = ĥw(t m ), wobei T m die Überschwingzeit, also den Zeitpunkt des ersten Maximums von ĥw(t) bezeichnet. Aus Gl. (0.3) folgt Überschwingzeit: T m = π ω 0 d 2 = π ω e. (0.4) Das heißt, die Überschwingzeit ist nur vom Imaginärteil des Polpaares s /2 abhängig. Abbildung 0.4 illustriert diesen Sachverhalt. Die Übergangsfunktionen wurden für konstanten Wert von ω e,aberveränderten Wert von δ e gezeichnet. Alle Kurven erreichen das erste Überschwingen zur selben Zeit. Eine Verschiebung der Pole parallel zur reellen Achse verändert T m nicht. Allerdings ist die Überschwingweite umso größer, je kleiner δ e ist. Aus Gl. (0.3) erhält man auch einen Ausdruck für h: Überschwingweite: h =e πd d2 =e δe ω e π =e π cot φ d. (0.5)

5 0. Beziehungen zwischen dem P-Bild und den Güteforderungen 4 Das heißt, die Überschwingweite hängt nur vom Winkel φ d ab, wobei h umso größer ist, je größer φ d ist (Abb. 0.5). Alle Polpaare, die auf derselben in Abb. 0.2 eingezeichneten Geraden mit dem Winkel φ d zur reellen Achse liegen, führen auf dieselbe Überschwingweite (Abb. 0.6). Als Richtwert sollte man sich die in Abb. 0.5 markierten Punkte merken: Zu Polen mit φ d = 45 gehört ein Überschwingen von h 5% und zu φ d =54 die Überschwingweite h 0% h in Prozent φ d Abb. 0.5: Abhängigkeit der Überschwingweise h vom Winkel φ d h t Abb. 0.6: Übergangsfunktion eines Schwingungsgliedes mit Polen bei φ d =65 : Alle Kurven haben dieselbe Überschwingweite h = 23%. Die Forderung, dass die Dämpfung d des geschlossenen Kreises im Bereich d = 0,4... 0,8 liegen soll, bedeutet also, dass die Überschwingweite bei h = 0, ,02 liegt. Die dominierenden Pole dieser Regelkreise liegen in zwei durch φ min und φ max begrenzten Sektoren der linken komplexen Halbebene (Abb. 0.8). Allgemein führen zwei für die Überschwingweite gegebenen Schranken h und h, mit denen h h h gelten soll, zu einem Sektor, wobei φ max durch h und φ min durch h bestimmt wird. Die Beruhigungszeit T 5% beschreibt den Zeitpunkt, bei dem die Übergangsfunktion h w (t) zum letzten Mal in einen 2 5% breiten Schlauch um den statischen Endwert eintaucht. Sie kann näherungsweise dadurch berechnet werden, dass man die-

6 42 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises jenige Zeit bestimmt, bei der die Umhüllende d 2 e dω0t der Übergangsfunktion ĥ w (t) den Wert 0,05 hat. Auf diesem Wege erhält man für d<0,8 die Beziehung Beruhigungszeit: T 5% 3 δ e = 3 dω 0 (0.6) und für die 2%-Zeit T 2% 4,5 δ e. (0.7) 2.5 h t Abb. 0.7: Übergangsfunktion eines Schwingungsgliedes bei δ e =und ω e =,..., 0: Für alle Kurven gilt T 5% 3. Die Beruhigungszeit hängt also nur vom Realteil δ e des dominierenden Polpaars ab. In der Abb. 0.7 ist das Übergangsverhalten des Schwingungsgliedes für δ e = und unterschiedliche Werte von ω e aufgetragen, wobei die Kurven umso schneller oszillieren, je größer ω e ist. Die Einschwingzeit ist aber für alle Kurven entsprechend Gl. (0.6) gleich, nämlich T 5% 3. DieT 5% -Zeit wird am rechten Ende des Bildes erreicht. Je weiter das Polpaar in der komplexen Ebene nach links verschoben wird, umso schneller schwingt die Führungsübergangsfunktion in den 5 %-Schlauch ein. Dabei ist folgender Richtwert interessant: Hat das Polpaar den Realteil 3, so schwingt der Regelkreis nach etwa Zeiteinheit ein (T 5% ). Folgerungen für den Reglerentwurf. Aus den abgeleiteten Beziehungen wird deutlich, dass je eine Vorgabe für h und T 5% (oder T m ) die Lage des dominierenden Polpaares und folglich auch die Übertragungsfunktion Ĝw(s) zweiter Ordnung eindeutig festlegt. Für eine gegebene Regelstrecke muss dann nach einem Regler K(s) gesucht werden, für den die Führungsübertragungsfunktion die durch Ĝw(s) angegebene Form besitzt. In der bisher behandelten Form folgt aus den Gütevorgaben genau eine Funktion Ĝ w (s), aus der eindeutig ein Regler K(s) für die betrachtete Regelstrecke gefunden werden kann. Für praktische Anwendungen geht die Eindeutigkeit dieser Lösungsschritte allerdings aus zwei Gründenverloren. Erstens ist der Regelkreis i. Allg. nicht von zweiter Ordnung, so dass die angegebenen Beziehungen nur näherungsweise gelten und nur als mehr oder weniger gute Anhaltspunkte für den Entwurf verwendet werden können. Zweitens sind die zu erreichenden Werte für die Überschwingweite

7 0. Beziehungen zwischen dem P-Bild und den Güteforderungen 43 und die Beruhigungszeit nicht exakt vorgegeben, sondern durch Grenzwerte charakterisiert. Aus oberen und unteren Schranken für h und T 5% können dann obere und untere Schranken für δ e und φ d ermittelt werden, so dass die Entwurfsforderungen im P-Bild durch Gebiete dargestellt sind (Abb. 0.8). Die eingetragene obere Grenze für die Frequenz ω e entsteht aus einer unteren Schranke für die Einschwingzeit T m, die durch φ min gekennzeichnete untere Schranke für die Dämpfung durch eine untere Schranke für die Überschwingweite h. Wenn es beide Schranken nicht gibt, so entsteht ein zusammenhängendes Gebiet für das dominierende Polpaar. 6 B A = B A E 4 A 6 Abb. 0.8: Gebiete für die angestrebte Lage des dominierenden Polpaares des Regelkreises Ähnliche Beziehungen können auch für andere Charakteristika des Zeitverhaltens bzw. andere Übertragungseigenschaften des Regelkreises abgeleitet werden. Betrachtet man an Stelle des Führungsverhaltens das Verhalten des Regelkreises bei Störung am Regelstreckenausgang, so gilt für die Störübertragungsfunktion G d (s) = G w (s). Folglich erhält man für die Störübergangsfunktion h d (t) = h w (t). Aus dieser Beziehung ist zu erkennen, dass das Überschwingen der Störübergangsfunktion (also ein Unterschwingen unter die Zeitachse) zur selben Zeit T m und mit derselben Amplitude h eintritt wie das Überschwingen von h w (t) (Abb. 7.2 auf S. 298). Bezieht man an Stelle der Übergangsfunktion die Gewichtsfunktion des Regelkreises in die Gütebewertung ein, so beschreibt die in gleicher Weise definierte Beruhigungszeit, von welcher Zeit ab die Gewichtsfunktion keine nennenswerte Amplitude mehr aufweist und folglich die Systemantwort auf eine impulsförmige Erregung

8 44 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises abgeklungen ist. Aus dieser Überlegung wird deutlich, dass die für die Gewichtsfunktion definierte Beruhigungszeit etwa denselben Wert wie die Beruhigungszeit der Übergangsfunktion hat. Diese Überlegungen zeigen, dass man ähnliche Gebiete für die Lage des dominierenden Polpaares erhält, wenn man die Güteforderungen nicht an die Führungsübergangsfunktion, sondern an das Störverhalten oder an das Verhalten des Regelkreises bei impulsförmiger Erregung stellt. Schöne Stabilität. Die in Abb. 0.8 veranschaulichte Forderung an die Lage der Eigenwerte des Regelkreises weist auf eine praktisch wichtige Erkenntnis der Regelungstechnik hin: Die Stabilitätsforderung (I) ist eine Minimalforderung, die sehr gut erfüllt werden muss, damit der Regelkreis brauchbar ist. Es genügt nämlich in der Praxis nicht, die Eigenwerte des geschlossenen Kreises in die linke komplexe Halbebene zu schieben. Typische Forderungen an das Regelkreisverhalten wie die hier untersuchten Forderungen nach hinreichend kurzer Überschwingzeit und akzeptablem Überschwingen schränken die Lage der (dominierenden) Pole auf relativ kleine Gebiete in der linken komplexenhalbebene ein. Um einen Regelkreis in einer für die praktische Aufgabenstellung akzeptablen Weise einzustellen, muss man also mehr tun als nur die Stabilität zu sichern. Man spricht in der Literatur deshalb auch davon, dass man eine schöne Stabilität erreichen will, wobei dieser Begriff durch die Vorgabe eines Gebietes der linken komplexen Halbebene definiert ist, in dem die dominierenden (oder alle) Pole des Regelkreises liegen sollen. Die Bedeutung, die die Stabilitätsanalyse in der Regelungstechnik hat, ist dadurch begründet, dass man für die Stabilität notwendige und hinreichende Kriterien angeben kann und aus diesen Intervalle für die Reglerparameter ausrechnen kann. Auf diesem Wege kann man zeigen, unter welchen Bedingungen die Stabilitätsforderung überhaupt erfüllbar ist, und zwischen lösbaren und unlösbaren Regelungsaufgaben unterscheiden. Dennoch bleibt die Stabilität eine Minimalforderung an den Regelkreis, die durch Forderungen an das Übergangsverhalten wesentlich verschärft wird. Aufgabe 0. Beziehung zwischen Beruhigungszeit und dominierendem Polpaar Stellen Sie die Beziehung (0.6) grafisch dar. Welche Schlussfolgerungen ergeben sich daraus für den Reglerentwurf? 0..2 Regelkreise mit einem dominierenden Pol Alternativ zu den im vorhergehenden Abschnitt betrachteten Fall, dass das Regelkreisverhalten maßgebend durch ein dominierendes Polpaar bestimmt wird, gibt es Regelkreise, deren Übergangsverhalten durch einen dominierenden reellen Pol festgelegt ist. Das Führungsverhalten dieser Regelkreise lässt sich durch ein PT -Glied approximieren, so dass

9 0.2 Wurzelortskurve 45 G w (s) Ĝw(s) = (0.8) Ts+ gilt. Die Zeitkonstante T erhält man aus dem dominierenden Pol s entsprechend der Beziehung T =. (0.9) s Diese äherung trifft vor allem bei langsam eingestellten Regelkreisen zu, insbesondere dann, wenn mit I-Reglern mit großer Integrationszeitkonstante gearbeitet wird. Stellt man die Gleichung nach Ĝ0(s) um, so erhält man Ĝ w = Ĝ0(s) +Ĝ0(s) Ts+ Ĝ 0 (s) Ts. Die PT -Approximation des Führungsverhaltens ist also für Regelkreise angemessen, bei denen die offene Kette näherungsweise ein I-Glied darstellt. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn die Pole der Regelstrecke weit links in der linken komplexen Halbebene liegen und das Verhalten der offenen Kette durch den Integratorpol dominiert wird. Aus den in den Abschnitten 5.7. und angegebenen Eigenschaften von PT - Gliedern ergeben sich folgende Konsequenzen für das Regelkreisverhalten: Die Führungsübergangsfunktion von Regelkreisen mit einem dominierenden reellen Pol s hat kein Überschwingen. Für die Beruhigungszeit gilt T 5% 3 s. (0.0) 0.2 Wurzelortskurve 0.2. Definition Um durch eine geeignete Wahl der Reglerparameter Pole im geschlossenen Kreis zu erzeugen, die in den in Abb. 0.8 gezeigten Gebieten liegen, muss untersucht werden, wie die Pole des geschlossenen Kreises von den Reglerparametern abhängen. Für den geschlossenen Regelkreis berechnen sich die Pole als Wurzeln (Lösungen) der charakteristischen Gleichung

10 46 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises +G(s) K(s) =0 (0.) (vgl. Gln. (8.25) und (8.27)). Sie verändern sich mit den Reglerparametern, die in die Übertragungsfunktion K(s) des Reglers eingehen. Aus diesen Gründen ist es sinnvoll, die Abhängigkeit der Wurzeln der charakteristischen Gleichung von den Reglerparametern explizit darzustellen. Übersichtlich ist diese Abhängigkeit nur für einen (oder zwei) Reglerparameter. Sie wird hier für den häufig auftretenden Fall untersucht, dass die Reglerverstärkung k positiv ist (0 k ). Die Übertragungsfunktion K(s) des Reglers wird deshalb in K(s) =k ˆK(s) zerlegt, wobei ˆK(s) eine fest vorgegebene Reglerdynamik darstellt. Die charakteristische Gl. (0.) erhält dann die Form +kg(s) ˆK(s) =+k Ĝ0(s) =0. (0.2) Definition 0. (Wurzelortskurve) Der Wurzelort ist der geometrische Ort der Wurzeln der charakteristischen Gl. (0.2) in der komplexen Ebene. Die Wurzelortskurve stellt die Abhängigkeit der Wurzelorte vom Verstärkungsfaktor k dar. Die Begriffe Wurzelort und Wurzelortskurve werden durch das folgende Beispiel veranschaulicht. Beispiel 0. Wurzelortskurve eines Regelkreises Es wird eine Regelstrecke mit PT 2-Verhalten betrachtet, deren Ausgangsgröße über ein Messglied mit einer gegenüber der Zeitkonstanten T des PT 2-Glieds vergleichsweise kleinen Zeitkonstante T M gemessen wird, so dass die Regelstrecke durch die Übertragungsfunktion G(s) = (T 2 s 2 +2dT s +)(T Ms +) = (0,s 2 +0,6s + )(0,5s +) beschrieben ist. Zur Regelung wird der PI-Regler K(s) =k P + T Is = k P T Is + T Is = k P 0,25s + 0,25s eingesetzt, wobei die Reglerverstärkung noch festzulegen ist. Zeichnet man die Wurzeln der charakteristischen Gleichung +k (0,25s +) 0,25s(0,s 2 +0,6s + )(0,5s +) =0 (mit k = k P)auf,soerhält man Abb Für eine gegebene Reglerverstärkung beschreibt der Wurzelort die Lage der Pole des geschlossenen Kreises in der komplexen Ebene. Da es sich um einen Regelkreis vierter Ordnung handelt, gibt es in diesem Beispiel vier Wurzeln. Für k = entstehen folglich vier Kurven, die als Äste der Wurzelortskurve

11 0.2 Wurzelortskurve 47 bezeichnet werden. Für k = 0,25 sind die Wurzeln in der Abbildung durch ein Viereck markiert. Aus der Wurzelortskurve als Ganzem kann man erkennen, wie sich die Eigenschaften des geschlossenen Kreises bei Erhöhung der Reglerverstärkung verändern. In diesem Beispiel ist der Kreis für k =0auf Grund des I-Anteils im Regler grenzstabil, denn ein Pol liegt im Koordinatenursprung. Er ist für kleine Verstärkungen stabil und wird instabil, sobald k einen kritischen Wert k krit überschreitet. k krit =2ist der Wert, bei dem zwei Wurzelorte auf der Imaginärachse liegen Imag Real Abb. 0.9: Wurzelortskurve eines Regelkreises: Für k =0,25 besitzt der Regelkreis die durch Striche markierten Pole Eigenschaften und Konstruktionsvorschriften In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der Wurzelortskurve abgeleitet und Regeln angegeben, die die Konstruktion der Wurzelortskurve erleichtern. Es wird von einer Übertragungsfunktion G 0 (s) der offenen Kette in folgenden Darstellungsformen ausgegangen: G 0 (s) =k Ĝ0(s) =k sq + b q s q b s + b 0 s n + a n s n a s + a 0 (0.3) = k q i= (s s 0i) n i= (s s i) (0.4) = k q i= s s 0i n i= s s i e j( q i= φ0i n i= φi). (0.5) Dabei bezeichnen φ 0i und φ i die Argumente der komplexen Zahlen s s 0i bzw. s s i, also der Vektoren von den Punkten s 0i bzw. s i zum Punkt s.eswirdvorausgesetzt, dass der Verstärkungsfaktor k positiv ist. Aus der Darstellung (0.3) geht

12 48 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises hervor, dass auch die vor der höchsten Potenz s q im Zähler bzw. s n im enner stehenden Koeffizienten positiv sein müssen (andernfalls siehe Gl. (0.22)) und diese Faktoren gleich eins gesetzt sein müssen, indem man sie in k hineinmultipliziert. Aus Gl. (0.2) k Ĝ0(s) = folgen die und die Amplitudenbedingung: q i= s s 0i n i= s s i = k (0.6) Phasenbedingung: q n φ 0i φ i =(2l +)π, (0.7) i= i= wobei l eine ganze Zahl darstellt. Beide Bedingungen können geometrisch geprüft werden, wie es in Abb. 0.0 gezeigt ist. Damit ein beliebiger Punkt s der komplexen Ebene auf der Wurzelortskurve liegt, muss sein Abstand zu allen Polen und ullstellen die Bedingung (0.6) erfüllen und die durch die Winkel φ 0i und φ i beschriebenen Richtungen müssen der Bedingung (0.7) genügen. Die Amplituden- und Phasenbedingungen können herangezogen werden, um zu bestimmen, ob ein Punkt s der komplexen Ebene auf der Wurzelortskurve liegt oder nicht. Für die Konstruktion der Wurzelortskurve ist dieser Weg allerdings zu aufwändig. Es werden deshalb im Folgenden einige Regeln angegeben, die die Konstruktion wesentlich vereinfachen. Die Amplitudenbedingung ist jedoch auch nützlich, um für einen ausgewählten Punkt einer bekannten Wurzelortskurve die zugehörige Reglerverstärkung auszurechnen. Dafür muss man den mit Gl. (0.6) berechneten Wert in die Reglerverstärkung und einen aus der Umformung der Übertragungsfunktion in die Form (0.3) gegebenenfalls herausgezogenen Faktor aufteilen. Bestimmung des Parameters k für einen gegebenen Wurzelort. Zu jedem Wert des Verstärkungsfaktors k gehört je ein Punkt auf jedem Ast der Wurzelortskurve. Für diese Punkte gilt die Amplitudenbedingung (0.6), die zur Berechung von k in k = n i= s s i q i= s s 0i (0.8) umgeformt wird. Folglich kann k aus den Abständen des betrachteten Punktes von allen Polen und ullstellen bestimmt werden. Für Systeme ohne ullstellen (q = 0) wirdfür den enner eine Eins eingesetzt. Bei der Anwendung dieser Methode müssen die reelle und die imaginäre Achse mit gleichem Maßstab gezeichnet sein, was bei Handskizzen selbstverständlich ist, bei Rechnerausdrucken auf Grund der automatischen Skalierung jedoch kontrolliert werden muss. Symmetrie. Da die Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell oder konjugiert komplex sind, ist die Wurzelortskurve symmetrisch zur reellen Achse.

13 0.2 Wurzelortskurve 49 I I I I I I I B I B I B 4 A I Abb. 0.0: Analyse der Wurzelortskurve Beziehungen der Wurzelortskurve zum P-Bild. Aus der charakteristischen Gl. (0.2) folgt aus Darstellung (0.4) von G 0 (s) die Beziehung k q n (s s 0i )+ (s s i )=0. i= Für k =0erhält man daraus als Wurzelorte erwartungsgemäß die Pole s i der offenen Kette. Für k folgt aus der Amplitudenbedingung (0.6), dass die ullstellen s 0i Wurzelorte sind. Das heißt, dass die Wurzelortskurve aus n Ästen besteht, die in den Polen der offenen Kette beginnen und von denen q in den ullstellen der offenen Kette enden. n q Äste der Wurzelortskurve enden im Unendlichen. Ist die Vielfachheit von Polen oder ullstellen größer als eins, so beginnen bzw. enden genau soviele Äste in diesen Punkten wie die Vielfachheit angibt. Eine direkte Konsequenz dieser Tatsache ist, dass Regelkreise mit allpasshaltigen Elementen für große Kreisverstärkungen instabil werden. Ein Allpassanteil in der Regelstrecke beschränkt die mögliche Reglerverstärkung und damit die Möglichkeit, durch den Regler das dynamische Verhalten der Regelstrecke zu beeinflussen. Asymptoten der Wurzelortskurve. Die Äste der Wurzelortskurve, die nicht in ullstellen enden, können für große Verstärkung k näherungsweise durch Geraden approximiert werden. Aus der charakteristischen Gleichung und (0.3) erhält man für betragsmäßig große s i= s +kĝ0(s) +ks q n =0 und daraus für betragsmäßig große s die Bedingung s n q = k, unter der s für k auf der Wurzelortskurve liegt. Folglich sind alle komplexen Zahlen s Wurzelorte, die einen sehr großen Betrag haben und für die die Phasenbedingung

14 420 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises (n q)args =(2l +)π erfüllt ist, wobei l eine beliebige ganze Zahl ist. Die Äste der Wurzelortskurve sind also näherungsweise durch Geraden mit den eigungswinkeln φ Asympt = 80o + l 360 o n q l =0,,..., n q (0.9) beschrieben. Diese Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt auf der reellen Achse im Punkt n i= s Asympt = s i q i= s 0i = b q a n. (0.20) n q n q Dieser Punkt kann als Schwerpunkt der Pole und ullstellen der offenen Kette gedeutet werden. In Abb. 0. sind die Asymptoten für verschiedene Differenzen n q aufgezeichnet. G G B ) I O F J & B ) I O F J ' % I ) I O F J 4 A 4 A G! G " 4 A 4 A Abb. 0.: Asymptoten der Wurzelortskurve für unterschiedlichen Polüberschuss der offenen Kette Wurzelorte auf der reellen Achse. Anhaltspunkte für die Konstruktion der Wurzelortskurve gibt auch die folgende Aussage, die sich auf reelle Wurzelorte bezieht. Aus der Phasenbedingung (0.7) folgt: Zur Wurzelortskurve gehören genau diejenigen reellen Werte s,für die die Anzahl der von diesem Punkt s aus gesehen rechts liegenden Pole und ullstellen der offenen Kette ungerade ist.

15 0.2 Wurzelortskurve 42 Da konjugiert komplexe Paare von Polen bzw. ullstellen rechts von s gemeinsam einen Winkel von ±360 o zur Phasenbedingung (0.7) beitragen, müssen nur die reellen Pole und ullstellen gezählt werden. Die bezüglich s links liegenden Pole und ullstellen haben keinen Einfluss, da für reelle Pole bzw. ullstellen dieser Art das Argument von s s 0i bzw. s s i null ist bzw. für konjugiert komplexe Pole oder ullstellen die Summe der Argumente verschwindet (vgl. Abb. 0.0, wenn der Punkt s auf die reelle Achse verschoben wird). Verzweigungs- und Vereinigungspunkte. Verzweigungs- und Vereinigungspunkte der Wurzelortskurve stellen mehrfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung dar. In ihnen muss deshalb außer der charakteristischen Gleichung +G 0 (s) =0 auch die Beziehung dg 0 (s) = G 0 (s) =0 ds gelten. Diese Beziehung ist nur notwendig, aber nicht hinreichend für einen Vereinigungs- oder Verzweigungspunkt. Aus Gl. (0.4) erhält man ln G 0 (s) =lnk + und durch Differenziation q ln(s s 0i ) i= n ln(s s i ) i= d ds ln G 0(s) = G 0 (s) G 0 (s) = q i= s s 0i n i= s s i. s ist ein Wurzelort, wenn G 0 (s) = gilt. Folglich gilt für diese Punkte G 0 (s) G = 0(s) G 0 (s). Verzweigungspunkte und Vereinigungspunkte sind deshalb durch die Gleichung q n = (0.2) s s i= 0i s s i= i beschrieben. Es wurde schon darauf hingewiesen, dass diese Beziehung notwendig, aber nicht hinreichend für Verzweigungs- und Vereinigungspunkte ist. Man muss deshalb für jeden aus Gl. (0.2) bestimmten Punkt überprüfen, ob die Phasenbedingung (0.7) erfüllt ist. Für reelle Verzweigungs- und Vereinigungspunkte lassen sich aus Gl. (0.2) folgende Regeln ableiten (vgl. Abb. 0.2): Liegt ein Ast der Wurzelortskurve zwischen zwei reellen Polen auf der reellen Achse, so gibt es mindestens einen Verzweigungspunkt zwischen diesen beiden Polen. Liegt ein Ast der Wurzelortskurve zwischen zwei reellen ullstellen auf der reellen Achse, so existiert mindestens ein Vereinigungspunkt zwischen den beiden ullstellen.

16 422 0 Reglerentwurf anhand des P-Bildes des geschlossenen Kreises Liegt ein Ast der Wurzelortskurve zwischen einem reellen Pol und einer reellen ullstelle auf der reellen Achse, dann sind entweder keine Verzweigungs- und Vereinigungspunkte vorhanden, oder diese Punkte treten paarweise auf.! " Abb. 0.2: Typischer Verlauf von Wurzelortskurven

17 0.2 Wurzelortskurve 423 Wurzelortskurve bei negativer Verstärkung. Die bisherigen Betrachtungen gingen von der Darstellungsform (0.3) der offenen Kette aus, wobei k eine positive Reglerverstärkung bezeichnete. Sie werden jetzt für die Übertragungsfunktion G 0 (s) =k Ĝ0(s) =k b qs q + b q s q b s + b 0 s n + a n s n a s + a 0 (0.22) = kb q q i= (s s 0i) n i= (s s i) (0.23) = kb q q i= s s 0i n i= s s i e j( q i= φ0i n i= φi) (0.24) erweitert. Solange das Produkt kb q positiv ist, ändert sich nichts an den bisher behandelten Konstruktionsvorschriften. Für kb q < 0 (0.25) gelten die Amplituden- und Phasenbedingungen in der Form q i= b q s s 0i n i= s s = i k (0.26) q n φ 0i φ i =2lπ. (0.27) i= i= Mit Hilfe der Gl. (0.26) ist k aus der Wurzelortskurve für einen gegebenen Punkt s bestimmbar, wobei die Gleichung den Betrag k liefert und das Vorzeichen aus der Bedingung (0.25) für das gegebene b q festgelegt wird. Die veränderte Phasenbedingung hat zwei Konsequenzen. Erstens gehören jetzt alle reellen Werte s zur Wurzelortskurve, bezüglich derer die Anzahl der rechts liegenden Pole und ullstellen der offenen Kette gerade ist. Zweitens ändern sich die eigungswinkel der Asymptoten: φ Asympt = l 360o l =0,,..., n q. (0.28) n q Das heißt, die in Abb. 0. gezeigten Schemata müssen um 80o n q gedreht werden, so dass beispielsweise die Asymptote für n q =nicht in Richtung der negativen, sondern in Richtung der positiven reellen Achse zeigt. Beispiel 0.2 Wurzelortskurve eines nichtminimalphasigen Systems Die Veränderung, die sich durch das negative Vorzeichen von kb q ergibt, ist in Abb. 0.3 veranschaulicht. Wird der Allpass G(s) = 2s+ mit einem I-Regler K(s) = k zurückgeführt, so kann die Übertragungsfunktion der offenen Kette 2s+ s 2s + G 0(s) =k s(2s +)

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(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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