Kontinuierliche Signale und Systeme

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1 Grundlagen der Nachrichtentechnik Kontinuierliche Signale und Systeme Prof. Dr.-Ing. Armin Dekorsy University of Bremen Institute for Telecommunications and High Frequency Techniques Department of Communications Engineering

2 I. Kontinuierliche Signale und Systeme 1. Fouriertransformation II. III. IV. 2. Sende-/Empfangsstrukturen 3. Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen Eigenschaften von Übertragunskanälen 1. Verzerrungsfreie Übertragung 2. Eigenschaften realer Kanäle Analoge Übertragung Diskretisierung von Quellensignalen 1. Abtasttheorem 2. Pulsamplitudenmodulation Inhalt der Vorlesung 3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation, Pulscodemodulation, Zeitmultiplex V. Digitale Übertragung 1. Struktur eines Datenübertragungssystems 2. Erste und Zweite Nyquistbedingung VI. 3. Digitale lineare Modulationsverfahren (inkl. Offset-PSK, DPSK) Kanalcodierung 2

3 Fourier-Transformation Beispiel 1: Spektrum eines Rechteckimpulses 1 x( t) T=2 T=2 t 3

4 Fourier-Transformation (Fortsetzung) Beispiel 2: Impulsantwort eines idealen Tiefpasses! g : Grenzfrequenz 1 H( j!)! g! g! 4

5 Eigenschaften 5

6 Eigenschaften (Fortsetzung) 6

7 Wichtige Korrespondenzen 7

8 Symmetrieeigenschaften der Spektren reeller Zeitsignale reelles Zeitsignal, d.h. x t R: X( j!) = X ( j!) " konjugiert gerade" ( RefX( j!) g = RefX( j!) g gerader Realt eil Im fx( j!) g = Im fx( j!) g ungerader Im aginäart eil ( jx( j!) j = jfx( j!) gj gerader B et rag argfx( j!) g = argfx( j!) g ungerade P hase 8

9 Zeit-Bandbreite Produkt Signaltheorie: Zusammenhang zwischen Dauer und Bandbreite eines Signals Fouriertransformation. Frage nach einer generellen Gesetzmöglichkeit zwischen der Dauer eines Impulses und seiner Breite. Problemstellung: Definition von Zeitdauer und Bandbreite: 1) Rechteckfläche = Fläche unter Signalverlauf, z.b. T h( 0) = R h( t) dt Z 1 1 Z ) T = h( 0) h( t) dt B = H( 0) H( j!) d! (H(j!) reell, B=2π*b; [b]=hz ) 1 Z 1 Z 1 Mit h( t) dt = H( 0) 1 und H( j!) d! = h( 0) folgt hieraus: B T = 2¼ 1 2¼ 1 Nachteil: Spektrum muss reell sein d.h. Beschränkung auf gerade Zeitimpulse 9

10 Fortsetzung 2) Definition im Sinne von Momenten zweiter Ordnung: T = s Z 1 1 t2 h 2 ( t) dt B = s 1 2¼ Z 1 1!2 jh( j!) j 2 d! Veranschaulichung: äquivalent zur Darstellung der Streuung von Amplitudenwerten einer Zufallsvariablen anhand des zweiten Momentes (Varianz) der Verteilungsdichte. Hier: h 2 (t) bzw. H(j!) 2 Energieverteilung über der Zeit bzw. Frequenz. Definition im Sinne einer Energie-Konzentration Bedingungen: Z 1 Z 1 Normierte Energie: 1 h2 ( t) dt = 1 2¼ jh( j!) 1 j2 d! = 1 Z 1 Schwerpunkt (Mittelpunkt) des Impulses liegt im Zeitnullpunkt: t 1 h2 ( t) dt = 0 Die Funktion t h( t) und! jh( j!) jseien quadratisch integrierbar. 10

11 Fortsetzung Ausgangpunkt: Schwartz sche Ungleichung: " Z b b x 1( t) x 2 ( t) dt # 2 Z b b x2 1 ( t) dt Z b b x2 2 ( t) dt x 1; x 2 2 R ( ) d h( t) Man setzt speziell: x 1 ( t) = t h( t) und x 2 ( t) =. dt Damit ist die linke Seite von ( ) durch partielle Integration zu lösen: Z t h( t) dv dh = h( t)! v = 1 2 h2 ( t) damit d h( t) dt = dt Z b b Z t {z} u t h( t) d h( t) dt h( t) dh {z } dv linke Seit e von ( ) = 1 4 = uv Z vdu dt = 1 2 t h2 ( t) j b {z b 1 } 2 = 0 fäur b!1 Z b b h2 ( t) dt {z } = 1 fäur b!1 11

12 Fortsetzung Rechte Seite von ( ) enthält zwei Terme: Z 1 Z 1 1 x2 1 ( t) dt = 1 t2 h 2 ( t) dt = T 2 Z " # 1 2 d h( t) 1 x2 2 ( t) dt = dt 1 dt Z 1 d h( t) Mit dt Z 1 1 Zeitdauer Lösung im Spektralbereich: j! H( j!) ) Parseval sches Theorem: " # 2 d h( t) dt = 1 dt 2¼ Z 1 j! H( j!) 1 j2 d! = B 2 Bandbreite! 1 4 T 2 B 2 Unschärferelation der Nachrichtentechnik : BT 1/2 b: in Hz B=2¼b 12

13 Fortsetzung Kleinstes Zeit-Bandbreite-Produkt (optimaler Impuls im Sinne der Bandbreiteeffizienz) Gleichheitszeichen in ( ) gilt für a x 1 ( t) {z } t h( t) = x 2 ( t) {z } dh( t) =dt ) Differentialgleichung: dh( t) dt = a t h( t) Lösung ergibt Gaußimpuls. Mit der Festlegung = a > 0 folgt: h( t) = A e t2 =2 ³ A = [2 =¼] 1=4 Der Gaußimpuls besitzt das geringste Zeit-Bandbreiteprodukt Anwendung zur bandbreite-effizienten Impulsformung: GMSK ( Gaussian Minimum Shift Keying ) im GSM-Mobilfunketz 13

14 Sende- und Empfängerstrukturen Spektrumbelegungen praktische Beispiele Frequenzmultiplex von Signalen Empfängerstrukturen BP-TP-Transformation Analytisches Signal TP-BP-Transformation 14

15 Elektromagnetic Spectrum Slide MHz: UKW Radio, VHF TV 400 MHz: UHF TV 450 MHz: LTE 900 MHz: GSM900 (D-Netz) 1800 MHz: GSM1800 (E-Netz) 1900 MHz: DECT (schnurl. Telefon) 2000 MHz: UMTS (3G) 2400 MHz: WLAN, Bluetooth 2450 MHz: Mikrowellenherd 2500 MHZ: LTE 3500 MHz: WiMax

16 Frequency Auction Germany The amount of spectrum that will be freed up by the switchover from analogue to digital terrestrial TV is known as the Digital Dividend Slide 16

17 Mobile Communication bands 17

18 Frequenzmultiplex von Radiosignalen X BP (f) B B: Bandbreite f: Trägerfrequenz f i f i+1 f i+2 f i+3 Radiosingale werden im Bandpassbereich (BandPass, BP) mittels Frequenzmultiplextechnik über den physikalischen Kanal übertragen Das zu jedem Spektrum X BP (f) (Bandpassbereich) zugehörige Bandpasssignal x BP (t) ist reellwertig: x BP t v(f): Spektrum des Radiosignals z.b: eines TV/Radio-Senders R X BP (f)=x * BP(-f) f 18

19 Empfängerstrukturen Aufgabe: Mischen eines Bandpass-Spektrums (Radiosignal) in das Basisband zur weiteren Signalverarbeitung Grund: Identische Signalverarbeitung für alle Bandpasssignale eines Kommunikationssystems z.b. Kommunikationssystem TV : alle TV-Kanäle, welche im Bandpass in der Freuqenz gemultiplext sind, können mit einem Fernsehgerät empfangen werden Strukturen: Superheterodyn-Struktur: Mischung zunächst auf Mittenfrequenz Analoge Kommunikationssysteme Direktmischende Struktur: Mischung direkt in Nulllage = Basisband Digitale Kommunikationssysteme Heute gängige Struktur 19

20 Direktmischende Struktur Prinzip (grobe Darstellung) HF (RF) e jω 0t Basisband Phy-Schicht LNA Low-Noise- X BP (t) BP-Filter TP-Filter X TP (t) D/A Digitale SV MAC- Layer Amplifier I/Q-Samples ω 0 : Trägerfrequenz HF: Hochfrequenz (RF, Radio Frequency) D/A: Digital Analog Wandler TP: Tiefpass, BP: Bandpass MAC: Medium Access Control 20

21 Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen 1. BP-TP-Transformation von deterministischen Signalen 1. Tiefpass-Struktur 2. Analytische Signale 3. Quadraturfilter 2. TP-BP-Transformation 3. Komplexe Einhüllende 4. BP-TP-Transformation von Systemen 21

22 BP-TP-Transformation von deterministischen Signalen Gegeben: reellwertiges Bandpass-Signal x BP (t) mit Mittenfrequenz ω 0 (Beispiel: Fernsehsignal mit Trägerfrequenz ω 0 ) X BP (jω) konjugiert grade, also X BP (jω) = X BP *(-jω) k o n j. k o m p l e x X BP (jω) X B P ( j (! +! 0 ) ) = ~ X T P ( j! ) X T P ( j!)! 0! 0! 2! 0 0! T i e f p a s s 2! 0 0! ~x T P ( t) = x B P ( t) e j! 0t x T P ( t) = ~x T P h T P ( t) Definition: Äquivalentes Tiefpass-Signal mit x TP (t) C und h TP (t) als Impulsantwort eines Tiefpasses Anmerkung: Multiplikation mit 2 Leistung BP-Signal = Leistung TP-Signal 22

23 Tiefpass-Struktur: Umsetzung der BP-TP-Transformation mittels Tiefpass-Struktur (Tiefpassfilter h TP (t) im Tiefpassbereich) j! 0 t e komplexwertige Signale xb P ( t ) htp ( t ) x T P ( t) = x 0 T P ( t) + j x00 T P ( t) Tiefpass-Struktur Anmerkung: BP-TP-Transformation erlaubt Signalverarbeitung im Basisband wobei die Übertragung des Signals in seinem jeweiligen zugeordneten Frequenzband (Bandpassbereich) auf dem Träger 0 erfolgt 23

24 Analytische Signale Gegeben sei das reelle Signal x(t) x + ( t) ^x( t) : analytisches Signal von x(t) : Hilberttransformierte von x(t) wobei Ffx( t) g = X( j!) und Ff^x( t) g = j sgn(!) X( j!) gilt ) Ffx + ( t) g = X( j!) + j [ j sgn(!) X( j!) ] = ( 2 fäur! > 0 0 fäur! < 0 Anmerkung: H(j!) = -j sgn(!) ist die Übertragungsfunktion eines Hilbert-Transformators Spektrum des zu x(t) zugehörigen analytischen Signals x + (t): Ffx( t) + j^x( t) g = : Ffx + ( t) g = ( 2 X( j!) fäur! > 0 0 fäur! < 0 Analytische Signale besitzen nur Frequenzanteile bei positiven Frequenzen 24

25 Graphische Darstellung - Analytisches Signal Annahme: x 1 (t) ist reell und bandbegrenzt 25

26 x T P ( t) Tiefpass - Bandpass - Transformation h T P ( t) e + j! 0 t x + B P ( t ) R e f g xb P ( t ) X T P ( j!) X + B P ( j!) p 2 XB P ( j!) Refx + B P ( t) g! 0! 0! 0!! 0! 0! Refx( t) g = 1 2 [x( t) + x ( t) ] FfRefx( t) gg = 1 2 [X( j!) + X ( j!) ] 28

27 Komplexe Einhüllende Komplexe Einhüllenden = Tiefpass-Signal: Bildung der komplexen Einhüllenden im Spektralbereich: graphische Veranschaulichung X B P ( j!) X + B P ( j!) X T P ( j!) 2 p 2 1 a)! 0! 0 B! b)! 0! 0! c)! 0! 0! 29

28 Bedingung für reelle komplexe Einhüllende Für reelle Zeitsignale gilt die konjugiert gerade Symmetrie des Spektrums. Somit gilt: Ist das Spektrum eines Bandpass-Signals bezüglich der Mittelfrequenz! 0 konjugiert gerade, d.h. weist es einen geraden Betrag und eine ungerade Phase bezüglich! 0 auf, so ist das zugehörige Tiefpass-Signal im Zeitbereich reell, d.h. es liegt der Spezialfall einer reellen komplexen Einhüllenden vor. Spektrum eines symmetrischen Bandpass-Signals: jx B P ( j!) j argfx B P ( j!) g n¼! 0! 0!! 0! 0 n¼! 30

29 Bandpass-Tiefpass Transformation von Systemen Tiefpass-Transformation von Systemen: h T P ( t) = 1 2 h+ B P ( t) e j2¼f 0t Spektrum: H T P ( j2¼f) = 1 2 H+ B P ( j2¼( f + f 0) ) Bandpass-Bereich: Tiefpass-Bereich: H B P ( j2¼f) H L P ( j2¼f) f 0 f 0 f f 31

30 Bandpass-Tiefpass Transformation S XB P X B P ( j2¼f) S XT P X T P ( j2¼f) Tiefpass 1 2 f f jh B P ( j2¼f) j 2 Tiefpass jh T P ( j2¼f) j = f = f S YB P Y B P ( j2¼f) Tiefpass S YT P Y T P ( j2¼f) 1 2 f f 32

31 Eigenschaften von Übertragungskanälen 1. Verzerrungsfreie Übertragung 1. Approximation idealisierter Übertragungskanäle 2. Nyquistsysteme 3. Filter mit Kosinus-Roll-Off Flanken 2. Eigenschaften realer Kanäle 1. Lineare Verzerrungen 2. Nichtlineare Verzerrungen 3. Frequenzverwerfung (zeitvarianter Kanal) 4. Additive Störungen (Kanalrauschen) 33

32 Verzerrungsfreie Übertragung Approximation idealisierter Übertragungskanäle (Idealisierte Systeme) Definition x(t) LTI-Kanal h(t) y(t) (0) Strenge Forderung Problem: unrealistisch, weil z.b. verzögerungsfrei 34

33 Verzerrungsfreie Übertragung (II) (1) Zulassung von Laufzeit und Skalierung Problem: unrealistisch, da keine Bandbegrenzung 35

34 (2) Kanal mit Bandbegrenzung Verzerrungsfreie Übertragung (III) idealer Tiefpass nicht kausal!!! 36

35 Erstes Nyquistkriterium Nyquistflanke 37

36 Fensterung der Impulsantwort des idealen Tiefpasses jh( j!) j = 0 fäur jfj > 1=T verlet zt jh( j!) j = 0 fäur jf j > 1=T gut erfäullt 38

37 Raised-Cosine-Roll-Off -Filter Filter mit Kosinus-Roll-Off Flanken H c ( j ) 1 cos-flanke 0,5 r: Roll-Off -Faktor r=0 Rechteck (idealer Tiefpass) 1 f N 2 T b r 1 r 2T f r=1 reine Kosinusflanke 39

38 Kosinus-Roll-Off Filter 40

39 3. Eigenschaften von Übertragungskanälen 1. Verzerrungsfreie Übertragung 1. Approximation idealisierter Übertragungskanäle 2. Nyquistsysteme 3. Filter mit Kosinus-Roll-Off Flanken 2. Eigenschaften realer Kanäle 1. Lineare Verzerrungen 2. Nichtlineare Verzerrungen 3. Frequenzverwerfung (zeitvarianter Kanal) 4. Additive Störungen (Kanalrauschen) 41

40 Eigenschaften realer Kanäle x(t) Kanal y(t) Allgemein: Bei der Übertragung eines Signals über reale Kanäle erfährt das Signal unterschiedlichste Einflüsse Verzerrungen Lineare Verzerrungen Nicht-lineare Verzerrungen Im Folgenden behandelt Additive Störungen, z.b. additives Rauschen, Störimpulse Kanal i.d.r. zeitvariant Zeitlich veränderliche Kanalparameter, Kanalimpulsantwort 42

41 Lineare Verzerrungen x(t) LTI- System h(t) y(t) LTI: Linear, time invariant Es gilt: LTI y(t) = x(t) * h(t) Frequenzgang des Systems: Y(jω)=X(jω). H(jω) Amplitudengang Phasengang Verzerrung von X(jω) durch Amplitudengang und Phasengang: Amplitudengang H(jω) beeinflusst den Betrag von X(jω) Dämpfungsverzerrung Phasengang φ(ω) beeinflusst die Phase von X(jω) Phasenverzerrung Gruppenlaufzeit/Phasenlaufzeit 43

42 Linearphas. System: Linearphasiges System linear beliebig Definitionen: Gruppenlaufzeit Phasenlaufzeit g (! ) = d ' (! ) = t 0 ; p (! ) = ' (! ) = t 0 d!! g (!) = p (!) = t 0 = const. Ausgangssignal für ein linearphasiges LTI-System : Beispiel: Einfache Verzögerung Verschiebung um t 0 x(t) δ(t t 0 ) y(t) = x(t t 0 ) H jω = e jωt 0 linearphasig 44

43 Interpretation Gruppenlaufzeit - Phasenlaufzeit Gruppenlaufzeit: argfh( j!) g Phasenlaufzeit: p (!) =! Wir betrachten die Übertragung eines schmalbandigen Signals über einen Übertragungskanal (Bandpass) der Bandbreite B und Mittenfrequenz Bandpass-Sendesignal: Übertragungskanal: H + ( j! ) = 8 < H + ( j! ) : 0 für sonst e j ' (! ) j!! 0 j B = 2 45

44 Für Schmalbandsysteme gilt: d'(!) '(!) ¼ '(! 0 ) + (!! 0 ) d! j! 0 =! 0 p (! 0 ) (!! 0 ) g (! 0 ) d.h. wir approximieren den Phasengang mittels Taylorreihe + Abbruch nach erstem Glied Lineare Approximation! H + ( j! ) ¼ Betrachtung im Basisband durch:! H T P ( j! ) ¼ 8 < H + ( j! ) e j (! 0 p (! 0 ) + (!! 0 ) g (! 0 ) ) : 0 8 < H + ( j (! +! 0 ) ) e j (! 0 p (! 0 ) +! g (! 0 ) ) : 0 Lineare Approximation H T P ( j!) = H + ( j(! +! 0 ) ) für sonst j!! 0 j B = 2 für sonst j! j B = 2 46

45 Fortsetzung Spektrum des Empfangssignals im äquivalenten Basisband: mit Mit Hilfe des Verschiebungssatzes der Fouriertransformation gilt: TP-Bereich: BP-Bereich: Verschiebung um τ g (ω 0 ) 47

46 Zusammenfassung Lineare Approximation des Phasengangs führt zu einem Ausgangssignal gleich dem zeitlich verzögerten gefiltertem Eingangssignal alle Frequenzanteile in x TP (t) werden mit der Gruppenlaufzeit verzögert Gruppenlaufzeit: Verzögerung der Einhüllenden im Bandpassbereich ( Information) Phasenlaufzeit: Verzögerung der Trägerschwingung des Bandpass-Signals 48

47 Amplitudengang Beispiel: Lineare Verzerrungen eines Fernsprechkanals Gruppenlaufzeit Impulsantwort 49

48 Nichtlineare Verzerrungen: Klirrfaktor Nichtlin. x( t) = cos ( 2¼ f 1 t) y( t) = System NX i= 0 u i cos ( 2¼ i f 1 t) bei einem nichtlinearen System (Grad N ) entstehen Oberschwingungen der Frequenzen f i = i f 1 i = 0; 1; 2; : : : ; i N Spektrum: X ( f ) Y ( f ) 2f 3f 1 1 4f1 5f1 f1 f f 1 f 50

49 Klirrfaktor Klirrfaktor als Maß für die Größe der nichtlinearen Verzerrungen: k = E ekt ivwert der O berschwingungen E ekt ivwert des Gesam t signals k = q P1i= 2 ju i j 2 q P1i= 1 ju i j 2 Die Gleichanteile werden dabei nicht berücksichtigt! Näherung für kleines k (u 1 dominant): q P1i= k = 2 ju i j 2 ju 1 j Teilklirrfaktoren ( l - te Oberschwingung): k l = ju l j q P1i= 1 ju i j 2 51

50 Nichtlineare Verzerrungen: Intermodulationsmessung (Zweitonmessung) für schmalbandige Basisband- und Bandpasskanäle Eingangssignal: x( t) = K 1 cos ( 2¼ f 1 t) + K 2 cos ( 2¼ f 2 t) mit f 1 < f 2 bei einem nichtlinearen System (Grad N ) entstehen Mischprodukte der Frequenzen f = j i f 1 k f 2 j i; k = 0; 1; 2; : : : ; i+ k N Spektrum: X ( f ) Nichtlin. Y ( f ) System 52

51 Intermodulationsmessung (Zweitonmessung) X ( f K 4 K 1 2 ) Y ( f ) K 2 f 2 f 2 1 f f 2 1 f f 2 1 f 2 f 2 1 f 1 f 2 f f 1 f 2 f Intermodulationsgrad: m = r P q m ax q= 1 ³ Uf2 q f 1 + U f2 + q f 1 2 U f2 U f =Y(f) DIN (HiFi-Verstärker): f 1 =250Hz, f 2 =8000Hz, K 1 /K 2 =4 m < 3% 53

52 Rausch-Klirrmessung Bisher: Nichtlineare Verzerrungen gemessen anhand Klirrfaktor. Annahme: cos-förmige Testsignale praxisfremd Besser: Rauschsignale als Testsignale weiß X B ( j!) Y B ( j!) X O ( j!) B! g! nicht lin. Syst em Y O ( j!) B! g!! g! Eingangssignal mit einer schmalen spektralen Lücke Nichtlinearitäten füllen die Lücke infolge Intermodulation (Mischprodukte) Leistung des Signals innerhalb (B) Maß für Nichtlinearität R ( B) Noise Power Ratio : NP R = jy B( j!) j 2 d! R ( B) jy 0( j!) j 2 d!! g! 54

53 Frequenzverwerfung Telefonkanal: Frequenzverschiebung durch nicht synchr. Einseitenbandsyst. ( f<7hz) Funkkanal: Dopplerverschiebung f = v E c 0 f 0 cos v E: Empfänger-, c 0 : Lichtgeschwindigkeit, f 0 :Trägerfrequenz, : Einfallswinkel x( t) f y( t) cos(! 0 t) cos(! 0 t +! 0 t) X( j!) Y ( j!) Ursprünglich harmonische Komponenten des Sendesignals nicht mehr harmonisch nach Frequenzverwerfung Frequenzverwerfung linearer aber zeitvarianter Kanal!! 55

54 Additive Störungen Rauschen (atmosphärisches Rauschen, Verstärker, Schallplatte, Tonband) i.a. gaußverteilt (zentraler Grenzwertsatz) additives Rauschen wird als Gaußverteilter Zufallsprozess modelliert AWGN (Additive White Gaussian Noise) Weitere Beispiele: Nachbarsenderüberlagerung; Mehrnutzer-Interferenzen; Impulsstörungen; Brummeinstreuungen (50 oder 100 Hz) Maß für die Größe von additiven Störungen: Signal-Rausch-Verhältnis (Signal-to-Noise Ratio, SNR) in db (Dezibel): 56

55 Additive Störungen Analoge Übertragung Additives Rauschen akkumuliert bei mehreren Verstärkerstrecken (oder beim Kopieren) 57

56 Additive Störungen Digitale Übertragung Korrektur von Bitfehlern durch Kanalcodierung (hinzugefügte Redundanz) Bei fehlerfreier Decodierung treten keine Bitfehler auf, d.h. das additive Rauschen wird unterhalb einer Schwelle völlig eliminiert Bei mehreren Verstärkerabschnitten (oder Kopieren) tritt somit unter der Annahme einer fehlerfreien Decodierung in den Abschnitten keine Akkumulation des Rauschens auf 58