Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 2: Quantisierung, Frequenzanalyse

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1 Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 2: Quantisierung, Frequenzanalyse 31. Oktober 2016

2 Eigenschaften diskreter Signale Quantisierung Frequenzbereichsmethoden Anhang Wesentliches Thema heute:

3 1 Eigenschaften diskreter Signale Klassifikation von Signalen Diskrete Signale Energie und Leistung zeitdiskreter Signale 2 Quantisierung Designentscheidungen Quantisierungsfehler Beispiel 3 Frequenzbereichsmethoden Fouriertransformation Zeitdiskrete Fouriertransformation 4 Anhang

4 Klassifikation von Signalen Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret, wertkontinuierlich und wertdiskret, und reell- oder komplexwertig sein. Zeitkontinuierliches (=kontinuierliches) analoges Signal: Reellwertig: v 0 (t) R Komplexwertig (=komplex): v 0 (t) C darstellbar durch Realund Imaginärteil: v 0 (t) = v 0,R (t) + jv 0,I (t) mit v 0,R (k) = Re {v 0 (t)} R und v 0,I (t) = Im {v 0 (t)} R, Zeitdiskretes (=diskretes) Signal (PAM - Signal): v(k) R bzw. v(k) C mit k Z als diskretem Zeitparameter mit äquidistanter Abtastung im Abstand T = 1/f A : v(k) := v 0 (kt )

5 Klassifikation von Signalen Zeitkontinuierliche und wertdiskrete Signale sind nur näherungsweise realisierbar. Sie treten nur angenähert als Zwischensignal bei der D/A-Umsetzung auf und sind sonst als Signalklasse ohne wesentliche Bedeutung. Digitales (= zeitdiskretes und wertediskretes) Signal (PCM - Signal): v Q (k) = m(k) Q bzw. v Q (k) = m R (k) Q + jm I (k) Q mit Q R und m, m R, m I, k Z, (1) Sowohl die Amplitude als auch der Zeitparameter sind diskret (quantisiert). Q wird als Quantisierungsstufe bezeichnet.

6 Diskrete Signale Das diskrete Signal v(k) erhält man in der Regel dadurch, dass man ein kontinuierliches Signal v 0 (t) abtastet. Die Abtastung kann auf verschiedene Arten erfolgen: äquidistant, zufällig oder nach einer anderen Gesetzmäßigkeit. Ab jetzt wird angenommen, dass die Werte v(k) durch Abtastung einer fast überall stetigen Funktion v 0 (t) an den Punkten t = kt, k Z so entstanden sind, dass v(k) = v 0 (kt ) gilt. 1 und dass die Abtastung gemäß Abtasttheorem erfolgt, so dass das kontinuierliche Signal aus dem diskreten Signal eindeutig rekonstruiert werden kann. 1 Falls v 0(t) im Abtastpunkt unstetig ist (was technisch nicht vorkommt), wird der Grenzwert von rechts für v(k) verwendet.

7 Diskrete Signale Für das (zeit-)diskrete Signal wird die Schreibweise v 0 (t) t=kt = v 0 (kt ) := v(k) (2) verwendet. Diese Schreibweise ist leider doppeldeutig: 1 v(k): Abtastwert zum Zeitpunkt k 2 v(k) = {v(k) k =... 1, 0, 1,...}: Folge von Abtastwerten zur Charakterisierung des gesamten diskreten Signals. In dieser Veranstaltung wird für das zeitdiskrete Signal die Bezeichnung im Sinne von 2. verwendet. Für einen einzelnen Abtastwert an einem bestimmten Zeitpunkt wird die Schreibung v(k 0 ) verwendet.

8 Diskrete Signale Figure : Folge v(k) als Ergebnis der Abtastung einer kontinuierlichen Funktion v 0 (t) bei t = kt, k Z [2]

9 Eigenschaften diskreter Signale Quantisierung Frequenzbereichsmethoden Anhang Diskrete Signale Delta- und Sprungfunktion Figure : Zeitlicher Verlauf von Delta- und Sprungfunktion.

10 Eigenschaften diskreter Signale Quantisierung Frequenzbereichsmethoden Anhang Diskrete Signale Exponentialfunktion Figure : Reellwertige Exponentialfunktion

11 Eigenschaften diskreter Signale Quantisierung Frequenzbereichsmethoden Anhang Diskrete Signale komplexe Exponentialfunktion Figure : Zeitliche Entwicklung einer komplexwertigen Exponentialfunktion

12 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale l p -Norm Zur Klassifizierung von zeitdiskreten Signalen dient die l p -Norm: v(k) p = [ κ= v(κ) p ] 1/p (3) Jede Folge, deren l p -Norm beschränkt ist, ist Teil der Menge der l p -Signale. Für die digitale Signalverarbeitung sind vor allem drei spezielle Normen interessant: p = 1, 2,.

13 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale Für absolut summierbare Folgen gilt: v(k) 1 = κ= v(κ) M 1 < v(k) l 1, M 1 R. (4) Für diskrete Signale bzw. Folgen endlicher Energie gilt: v(k) 2 2 = κ= v(κ) 2 M 2 < v(k) l 2, M 2 R. (5) Schließlich gilt im Grenzübergang für p : v(k) = max k { v (k) } M < v(k) l, M R. (6)

14 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale Aus v(k) l 1 folgt v(k) l 2 wegen v(k) 2 2 = κ [ ] 2 v(κ) 2 v(κ) = v(k) 2 1. (7) κ Also ist jedes l 1 -Signal auch ein l 2 -Signal. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht! 2 2 Beispiel: x(k) = 1 k

15 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale Außerdem ist v(k) = max k { v(k) } M < (8) eine notwendige Voraussetzung für die absolute Summierbarkeit von v(k) bzw. v(k) 2 von l 1 - und l 2 - Signalen. Deswegen gehört jedes l 1,2 -Signal auch zur Menge der l -Signale. Falls das Signal von endlicher Länge ist, gilt auch die Umkehrung. Warum?

16 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale Energie und Momentanleistung Energie einer Signalfolge v(k): k W (k) = P(κ) κ= Momentanleistung: P(k) = v(k) 2 = v(k)v (k). Gesamtenergie von v(k) l 2 (Energiesignale): W (k) k = W ( ) = P(κ) = v(κ)v (κ) = v(k) 2 2. κ= κ=

17 Energie und Leistung zeitdiskreter Signale Energie und Momentanleistung Mittlere Leistung von v(k) / l 2 : P = v(k) 2 1 = lim k 2k = lim k 2k + 1 k κ= k k κ= k P(κ) v(κ)v (κ) > 0. Speziell für periodische Folgen v p (k) mit der Periodendauer K p gilt: P p = v p (k) 2 = 1 k 0 +K p 1 P(κ). K p κ=k 0

18 Designentscheidungen Quantisierung Bei der Signalquantisierung gibt es drei wichtige Entscheidungen: Die Quantisierungskennlinie, Kennlinie: v q (k)=f(v(k)) v(k) v q (k) die Anzahl von Bits w und Q v q (k) die maximal zu quantisierende Amplitude v max müssen gewählt werden. Bezüglich der Quantisierungskennliniev max kann man zwischen Mid-Tread und v(k) Mid-Rise Quantisierungskennlinien s(k) wählen: v(k) E Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 2: Mid-Rise Quantisierung, symmetrisch Frequenzanalyse Arbeitsgruppe Mid-Tread Kognitive Signalverarbeitung asymmetrisch v(k) v q (k)

19 Kennlinie: v q (k)=f(v(k)) Designentscheidungen v(k) v q (k) Quantisierungskennlinien v q (k) v(k) v(k) Q v max E Mid-Rise symmetrisch auch leises Rauschen wird übertragen s(k) v q (k) v(k) Mid-Tread asymmetrisch Signal konstant null bei kleiner Amplitude Figure : Ausschnitte aus den Kennlinien von Mid-Rise- und Mid-Tread-Quantisierern.

20 Quantisierungsfehler Quantisierungsfehler Zwei Effekte tragen zu Quantisierungsfehlern bei: Überlastungsfehler treten auf, wenn v > v max oder v < v max Rundungsfehler treten eigentlich immer auf, und liegen im Bereich zwischen ±Q/2 (Q ist genau eine Quantisierungsstufe).

21 Quantisierungsfehler Quantisierungsfehler Überlastungsrauschen E v q (k) -v max Q v max v(k) v(k) Quantisierungsrauschen Überlastungsrauschen Figure : Quantisierungs- und Überlastungsrauschen.

22 Quantisierungsfehler Quantisierungsfehler Unter einigen Annahmen, nämlich einer Gleichverteilung des Quantisierungsrauschens zwischen Q/2 und Q/2, der Vernachlässigung des Überlastungsrauschens der Unabhängigkeit zwischen Signal und Quantisierungsrauschen und der zeitlichen Unkorreliertheit des Quantisierungsrauschens gelangt man zu einem Ausdruck für das Signal- Störverhältnis:

23 Quantisierungsfehler Quantisierungsrauschen σv 2 SNR quant = 10 log 10 σq 2. (9) Dabei ist σ 2 v die Nutz- und σ 2 q die Quantisierungsrauschenergie. Daraus kann mit Hilfe von SNR quant 6, 02w + 4, log 10 v max σ v [db] (10) das SNR berechnet werden. 3 Hier ist w die Zahl der Quantisierungsbits und v max die Aussteuerungsgrenze. Bei sinusförmigen Signalen und voller Aussteuerung folgt SNR quant 6, 02w [dB]. (11) 3 Die ausführliche Herleitung ist im Anhang.

24 Beispiel Quantisiererauslegung Möchte man die Aussteuerungsgrenze festlegen, sollte man durch geeignete Wahl von v max dafür sorgen, dass Überlastungsfehler (also Übersteuerung) möglichst selten auftreten. Beispiel: Ein häufig gewählter Grenzwert ist v max = 4σ v. Unter der Annahme eines laplaceverteilten Signals liegen bei v max = 4σ v nur 0,35% der Signalsamples außerhalb des Aussteuerungsbereiches. Gleichzeitig trägt in Gleichung (10) der Term 20 log 10 (v max /σ v ) 12,0dB zum Signal-Störabstand bei, so dass insgesamt beispielsweise bei w = 12Bit ein SNR von SNR quant = 65.0dB erreicht wird.

25 Frequenzbereichsmethoden Wiederholung der Frequenzbereichsmethoden 1 Fourier-Transformation 2 Laplace-Transformation 3 z-transformation Heute: Wh. Fourier-Transformation, Einführung Zeitdiskrete Fourier-Transformation Die Laplacetransformation und z-transformation werden in der kommenden Veranstaltung wiederholt.

26 Fouriertransformation Fouriertransformation Mit der Fouriertransformation lässt sich ein Signal in seine spektralen Anteile zerlegen: F{v(t)} def = V (jω) def = v(t)e jωt dt

27 Fouriertransformation Fouriertransformation Transformationspaare der Fouriertransformation: Siehe Unterlagen zu Signale & Systeme Wichtig hier: 2π 2π δ T (t) T δ 2π (jω) = T T δ ω A (jω) (12) (g h)(t) 2πG(jω)H(jω) (13) g(t) h(t) (G H)(jω) 2π (14)

28 Fouriertransformation Fouriertransformation Weitere Transformationspaare der Fouriertransformation (auch wichtig, aber nicht sofort): v 0 (t a) V 0 (jω)e jωa Zeitverschiebung (15) e jωa v 0 (t) V 0 (j(ω a)) Modulation (16)

29 Fouriertransformation Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Abtastung im Zeitbereich: F{v (t)} = F{v 0 (t) δ T (t)} (17) gibt Faltung im Frequenzbereich: 2π F{v (t)} = V 0 (jω) T δ 1 ω A (jω) (18) 2π = 1 T V 0(jω) δ ωa (jω) (19) Abtastung muss mit mehr als der doppelten Bandbreite erfolgen!

30 Zeitdiskrete Fouriertransformation Herleitung Zeitdiskrete Fouriertransformation Fouriertransformation eines abgetasteten Signals v (t) = v o (t) δ(t kt ) (20) ist: V (jω) = = = k= k= v o (t) k= k= δ(t kt )e jωt dt v o (t)δ(t kt )e jωt dt v o (kt )e jωkt (21)

31 Zeitdiskrete Fouriertransformation Herleitung Zeitdiskrete Fouriertransformation Wir haben: V (jω) = k= v o (kt )e jωkt (22) Normierung der Kreisfrequenz, Ω = ωt und Begrenzung auf die abgetastete Folge v(k) = v o (kt ) gibt dann die Zeitdiskrete Fouriertransformation: V (e jω ) def = k= v(k)e jωk. (23)

32 Zeitdiskrete Fouriertransformation Zeitdiskrete Fouriertransformation Für komplexwertige, kausale Signale ist die DTFT so definiert: Analyse: Synthese: V ( e jω) = DTFT {v(k)} = { ( v(k) = IDTFT V e jω)} = 1 2π π π v(k)e jkω, (24) k=0 V ( e jω) e jkω dω. (25)

33 Zeitdiskrete Fouriertransformation Anwendungsbeispiel Frequenzanalyse Figure : Empfang mit Software Defined Radio (SDR) via USB-Stick, siehe auch

34 Zeitdiskrete Fouriertransformation Figure : Vier Klassen der Fourier-Transformation [1]

35 Zeitdiskrete Fouriertransformation Lernziele Nach dieser Vorlesung sollten Sie wissen Wie man die Energie und Leistung von Signalen bestimmt, und was l 1 -, l 2 - und l -Signale sind, Was Quantisierungs- und Überlastungsrauschen sind, und wie und unter welchen Annahmen man bei gegebener Anzahl von Bits auf das Quantisierungsrauschen schließen kann. Mit welcher Frequenz ein Signal mindestens abgetastet werden muss, um Informationsverluste durch Aliasing zu vermeiden. Sie sollten einige wichtige Eigenschaften (Glchg. (12)- (16)) der Fouriertransformation kennen, und wissen, wie sich mit deren Hilfe die DTFT als Fouriertransformierte eines abgetasteten Signals ergibt.

36 Zeitdiskrete Fouriertransformation Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

37 Herleitung des SNR Herleitung SNR I Das SNR ist definiert als SNR quant = 10 log 10 σ 2 v σ 2 q (26) mit σ 2 v als Signalvarianz. Die Störsignalvarianz σ 2 q erhält man als σ 2 q = E((v q v) 2 ) (27) wobei v das Signal und v q die quantisierte Version davon ist. Es gibt bei gleichmäßiger mid-rise Quantisierung 2 w

38 Herleitung des SNR Herleitung SNR II Quantisierungsstufen, die bei einer maximal quantisierbaren Signalamplitude v max die Breite Q = 2v max 2 w (28) haben. Nimmt man an, dass der Fehler innerhalb einer Quantisierungsstufe gleichverteilt ist, dann erhält man als Varianz aus σ 2 q = E((v q v) 2 ) def = E((e) 2 ) (29) = = 1 Q Q/2 Q/2 Q/2 Q/2 e 2 p(e)de (30) e 2 de (31)

39 Herleitung des SNR Herleitung SNR III den Ausdruck Aus (28) ergibt sich also σ 2 q = Q2 12. (32) σ 2 q = v 2 max 3 2 2w (33)

40 Herleitung des SNR Herleitung SNR IV und deswegen ist entsprechend der Definition (26) das SNR SNR quant = 10 log w σ 2 v v 2 max (34) = 10 log w σ2 v v 2 max (35) 4, w 10 log log 10 v max σ v (36) 4, , 02w 20 log 10 v max σ v. (37)

41 Herleitung des SNR R. A. Roberts and C. T. Mullis. Digital Signal Processing. Reading/MA: Addison Wesley Publ. Co., Hans Wilhelm Schüßler. Digitale Signalverarbeitung, volume Auflage, Berlin: Springer, 1994.