Signalverarbeitung Charakterisierung der Signale
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- Lukas Otto
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1 Signalverarbeitung Charakterisierung der Signale SE+ Med 4. Semester Werner Backfrieder Mathematisches Repetitorium Winkel- oder Kreisfunktionen α H AK GK sin( α) cos( α) Gegenkathete Hypothenuse Ankathete Hypothenuse r1 α cos sin 1
2 Mathematisches Repetitorium Komplexe Zahlen Zahl besteht aus zwei Komponenten: Real- und Imaginärteil z a+ ib, i 1 Darstellung in der komplexen Zahlenebene Alternative Darstellung in Polarkoordinaten (r,ϕ), Absolutwert und Phase a Re( z), b img( z) r a + b ϕ arccos( a / r) I ϕ r a+ib R Mathematisches Repetitorium Exponentialfunktion x y e, e komplexe Exponentialfunktion beschreibt in der komplexen Ebene einen Kreis mit Radius 1 I z e e iϕ r1 e eiϕ sinϕ ϕ cosϕ iϕ iϕ 1 cosϕ + i sinϕ R
3 Mathematisches Repetitorium Polynome vom Grad N y N n 0 a n x N n 3 Beispiel: y x x + 4 Eigenschaften N Nullstellen Produkt aus N-Radices Summe aus geraden und ungeraden Termen y N i 1 ( x x i ) Mathematisches Repetitorium Differenzieren Polynome, Winkelfunktionen, Exponentialfunktion Produktregel Kettenregel Integrieren unbestimmtes Integral F ( x) Umkehrung des Differenzierens f ( x) dx bestimmtes Integral a Fläche unter der Kurve f ( x) dx F( a) F( b) Partielle Integration b ( a b)' a' b + a b' a' b ( a b)' a b' a' b dx a b a b' dx 3
4 Charakterisierung von Signalen Elementare Signale Deterministische und stochastische Signale Periodische und kausale Signale Gerade und ungerade Signale Energie- und Leistungssignale Kontinuierliche und zeitdiskrete Signale Analog: Elementare Signale Elementare Signale bilden die Grundlage für komplexe komplizierte Signalformen und besitzen eine einfache mathematische Beschreibung. Auf sie baut die Theorie der Signalverarbeitung auf Beispiel: Sinusschwingung A*sin(ωt+φ) A A...Amplitude ωπ/τ...kreisfrequenz φ T T...Periodendauer φ...phase 4
5 Analog: Elementare Signale komplexe Signale z(a*cos(ωt+φ)+ia*sin(ωt+φ)a*e i(ωt+φ) Img(z) A ωt+φ Re(z) Komplexes Signal: Rotierender Zeiger in der komplexen Ebene, Beschreibung durch komplexe Exponentialfunktion. Analog: Elementare Signale Rechtecksfunktion Sinc-Funktion 1 t < T rect( t / T ) 0 t T sinc( t / T ) / / sin( πt / T ) πt / T T T 5
6 Analog: Elementare Signale Dirac-Funktion t 0 δ ( 0 t 0 Kammfunktion n comb ( t / T ) δ ( t nt ) Eigenschaften δ ( dt 1 δ ( t t ) f ( dt f ( t 0) 0 Deterministische und stochastische Signale Deterministische Signale bekannte Regeln bestimmen Signalverlauf, z.b. EKG Stochastische Signale zufällige Signale: Rauschen, Datensignale, Sprache, EEG, Information statistische Beschreibung 6
7 Periodische und kausale Signale Periodische Signale: y (t+t) T... kleinstmögliches Intervall > Fundamentalperiode Kausales Signal f ( 0 t 0 t < 0 Beispiel: 1 0 t 0 t < 0 Sprungfunktion T EKG-Signal Dreipunkt-Ableitung: Signal an den Ableitungen entspricht der Projektion des rotierenden Polarisationsvektors auf die Verbindungsgerade zwischen den Ableitungspunkten (Elektroden). 7
8 Gerade und ungerade Signale gerades Signal - Spiegelung in Zeitrichtung, z.b. cos(ω ungerades Signal -- Spiegelung am Ursprung, z.b. sin(ω Jedes Signal ist als Summe eines geraden und ungeraden Anteils darstellbar gerade ungerade Energie- und Leistungssignal Strom: PU*I UR*I PU /R WP*t Energiesignal 0 < W Leistungssignal dt < rect sinc zeit-+wertbegrenzt 1 < P T 0 lim T T / T / dt < sin cos 8
9 Kontinuierliche und diskrete Signale Kontinuierliche (analoge) Signale stetige Funktion abhängig von der Zeit z.b. Schalldruck, Spannung, EKG Zeitdiskrete Signale Funktion nur an bestimmten Stützstellen definiert Abtastung oder generisch diskret 9
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