MATHEMATIK I für Bauingenieure und Berufspädagogen

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1 TU DRESDEN Dresden, 4. Februar 00 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Semesterbegleitende Klausur MATHEMATIK I für Bauingenieure und Berufspädagogen Immatrikulationsjahrgang 00 Name: Matrikel-Nr.: Vorname: Übungsgruppe: Hinweise: Die Aufgaben sind unabhängig voneinander lösbar. Sie können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Geben Sie lediglich die jeweilige Aufgabennummer, bzw. die Nummer der Teilaufgabe, an. Grundlage für die Bewertung ist die Angabe des Lösungsweges. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite. Der Lösungsweg muß deutlich erkennbar und in übersichtlicher Form notiert sein. Fehlende Zwischenschritte können nicht bewertet werden. Führen Sie alle Nebenrechnungen auf den Prüfungsblättern aus und geben Sie diese vollständig mit ab. Versehen Sie jedes Blatt Ihrer Arbeit mit Ihrem Namen und der Bezeichnung Ihrer Übungsgruppe. Zur Abgabe falten Sie dieses Blatt horizontal in der Mitte und legen Sie Ihre Blätter so ein, daß der obere dieses Titelblattes lesbar ist. Die Zahl in [ ] gibt die Punktzahl für die betreffende Aufgabe an. Aufgabe Punkte erreichte Punkte Erreichte Gesamtpunktzahl :

2 Aufgabe. [] a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der komplexen Zahl z = i + +i +i. b) Geben Sie die trigonometrische und exponentielle Darstellung der komplexen Zahl z = + i an. c) Wo liegen die Punkte z mit z + i 7 in der Gaußschen Zahlenebene? Skizzieren Sie dieses Gebiet. d) Bestimmen Sie die algebraische Form aller Lösungen der Gleichung (z+4i) +7 = 0 und zeichnen Sie die entsprechenden Punkte in die Gaußsche Zahlenebene ein. a) (P.) Es gilt z = i + + i ( + i)( i) i + i i = i + = i + = i + i ( + i)( i) 9 + und damit R(z) = 0.4, I(z) =., z = =.6 = 5 0. b) (P.) Es gilt z = + =. Weiter gilt φ = arg(z) ] π,π[ mit cosφ =, sinφ =. Damit gilt φ = 5π 6 und z = e 5π 6 i = (cos( 5π6 ) ) + isin(5π6 ). c) (P.) Die Punktmenge ist eine Kreisfläche mit Rand um den Mittelpunkt +i mit Radius 7. d) (4P.) Mit w = z + 4i haben wir w = 7 und damit bzw. Somit Skizze: w =, w = e π i = + i, w = e π i = i [ w k = cos π + kπ + isin π + kπ ], k = 0,,. z = 4i, z = + ( 4)i, z = ( i + 4)i. z z z

3 Aufgabe. [7] Wir betrachten die Funktion f : R R mit f (x) = e x cosx für x R. a) Bestimmen und klassifizieren Sie alle (lokalen) Extremstellen von f. b) Untersuchen und bestimmen Sie gegebenenfalls lim x ex cosx und lim x e x cosx. a) (4P.) Es gilt f (x) = e x (cosx sinx). Damit sind die Punkte x k = π 4 + kπ, k Z, kritische Punkte. Es gilt f (x k ) > 0 und f (x k+ ) < 0. Die Punkte x k, k Z, sind die Maximalstellen, die Punkte x k+, k Z, sind die Minimalstellen. Begründung ohne zweite Ableitung: Im Intervall [x k,x k+ ] muß f ein globales Maximum haben (da f stetig ist). Das globale Maximum kann aber nicht auf dem Rand liegen, da f (x k ) größer als f (x k ) und f (x k+ ) ist. Das globale Maximum muß also ein lokales Maximum in ]x k,x k+ [ sein. Einziger Kandidat ist x k. Analog zeigt man die Minimalstellen. Begründung mit zweiter Ableitung: Es gilt f (x) = e x (cosx sinx sinx cosx) = e x sinx und daher f (x k ) < 0, d.h., x k ist Maximalstelle, und f (x k+ ) > 0, d.h., x k+ ist Minimalstelle für k Z. b) (P.) Es gilt lim x ex lim x ex cosx lim x ex und daher lim x ex = 0. Der Grenzwert lim e x cosx existiert hingegen nicht, da die Amplitude x wächst, das Vorzeichen aber immer wieder wechselt. Aufgabe. [7] a) Berechnen Sie das Intgral / x( + x). b) Zeigen Sie, daß das uneigentliche Integral seinen Wert. a) (4P.) Es gilt / / = f (φ(x))φ (x) x( + x) / x( + x) konvergiert, und berechnen Sie mit φ(x) = x und f (x) =. Daher haben wir +x = f (x) = / x( + x) / / + x = arctan arctan = π π 6 = π.

4 b) (P.) Das uneigentliche Integral konvergiert, da b / / b = lim x( + x) b / x( + x) = arctanb arctan x( + x) und der Grenzwert davon für b existiert. Wir haben somit / x( + x) = lim b arctanb arctan = π π = π. Aufgabe 4. [8] Wir betrachten die gebrochen-rationale Funktion f = p q mit den Polynomen p(x) = x (x ) und q(x) = (x )(x + )(x + ). a) (P.) Bestimmen Sie den (natürlichen) Definitionsbereich von f. b) (P.) Bestimmen Sie die Nullstellen und Polstellen von f und deren Vielfachheit. c) (4P.) Was ändert sich an Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen, wenn Sie anstelle von f die durch Kürzung von p und q entstehende gebrochen-rationale Funktion g betrachten? a) Nullstellen von q sind, und. Der Definitionsbereich von f ist also D( f ) = R \ {,,}. b) Nullstelle von f ist 0 (zweifach). Polstellen sind (einfach) und (zweifach). c) Wir haben g = ρ σ mit ρ(x) = x (x ) und σ(x) = (x + )(x + ). Der Definitionsbereich von g enthält nun auch, D(g) = R \ {, }. Hinzu kommt die einfache Nullstelle. Alle anderen Nullstellen und Polstellen bleiben in ihrer Vielfachheit erhalten. Aufgabe 5. [6] Wir betrachten die Ebenen E = {(x,y,z) R : x y + z = } E = {(x,y,z) R : x + y = 5}. a) Welchen Winkel α schließen die Ebenen E und E ein? b) Wie lautet eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g von E und E? c) Es sei E die Ebene, die auf E und E senkrecht steht und durch den Punkt Q = (0,, ) geht. Welchen Abstand d hat die Ebene E vom Nullpunkt?

5 a) (P.) n = (,,) und n = (,,0) sind Normalenvektoren zu E und E. Für den Winkel α gilt cosα = n,n n n = 0 n n = 0, also α = π. b) (7P.) Der Vektor r = n n = ist ein Richtungsvektor zur Schnittgeraden g. 0 e e e = (,4,5) Zur Bestimmung eines Schnittpunktes der Ebenen betrachten wir das Gleichungssystem x y + z = x y = 5. Wir haben y = x 5 und damit x x z =. Setzen wir x = 0, finden wir (0, 5, 5) als einen Schnittpunkt. Somit gilt für die Schnittgerade g von E und E : g = {(0, 5, 5) +t(,4,5) : t R}. c) (6P.) Der Vektor n = n n = (,4,5) steht senkrecht auf n und n und ist daher ein Normalenvektor zu E. Damit gilt E = {(x,y,z) : x + 4y + 5z = r} mit noch zu bestimmenden r. Da (0,, ) E gelten soll, folgt also r = ( ) =, E = {(x,y,z) : x + 4y + 5z = }. Die Zahl d = r n liefert den Abstand von E zum Nullpunkt: d = = = Aufgabe 6. [5] Welchen Wert hat der Limes lim x 0 lnx /x? Der Grenzwert ist vom Typ. Mit x = e x ln und der Regel von de l Hospital erhalten wir lnx lim = lim x x 0 /x x 0 e x ln ( )ln = ln lim x x 0 e = 0, x x ln da der letzte Grenzwert existiert.