5.3. Anwendungen Fourierentwicklung:

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1 5.3. Anwendungen Fourierentwiclung: Stücweise stetige, -periodische in [-,] Funtion lässt sich als Fourier-Reihe darstellen vgl. Taylor/Potenz-Reihe: a 0 a cos b sin i i ce c e c z a und b heißen Fourier-Koeizienten von und berechnen sich wegen der Orhogonalität der Funtionen cos und sin aus a cos d, b sin d 6

2 Sie geben die Größe der Anteile von Vielachen der Grundrequenz / an, aus denen sich zusammensetzt Wellenzahl: Periode: / Frequenz: / Grundrequenz ür, cos: Periode, Frequenz / a,b messen Anteil von zur Frequenz /, bzw. Periode /, oder Wellenzahl. 6

3 Schwingung mit Wellenzahl und Wellenzahl entspricht Periode, bzw. Frequenz / cos, sin bilden Orthonormalsystem Basis! Fourierreihe entspricht Taylorreihe Für periodische/au Intervall deinierte Funtion 63

4 Satz: Das trigonometrische Polynom n a n 0 a cos b sin stellt die optimale Approimation an die Funtion dar aus dem Vetorraum der trigonometrischen Polynome vom Grad n: n n d ist minimal. 64

5 65.,, 0 n n sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos n n n n n n n n n n n n d a Näherungsweise Berechnung der Fourieroeizienten aus dem Integral mittels Trapezregel und äquidistanten Stützstellen

6 Daher ergeben sich die a näherungsweise aus den Real- und Imginärteilen von n 0 ep i n n 0 cos n i n 0 sin n Diese Werte erhält man aus der IDFT angewendet au die Funtionswerte an den Stützstellen. Genauso lassen sich die b annähern. Also önnen mittels DFT au den Vetor der Funtionswerte die Frequenzanteile von näherungsweise bestimmen werden. DFT transormiert Funtionswerte in Koeizienten 66

7 5.3.. MATLAB-Analyse der Sonnenativität: Sonnenlecen treten alle Jahre verstärt au. Seit 700 wird die ährliche Sonnenlecenativität beschrieben durch die sog. Woler-Zahl Größe und Anzahl der Flecen Rudol Wol ca Wolerzahl ür die Jahre 700 bis

8 Wolerzahlen in Vetor v als Funtionswerte einer unbeannten periodischen Funtion g mit den Jahreszahlen als Stützstellen. Gesamtbeobachtungszeitraum T besteht aus 300 Jahren. Ersetze daher Intervall [0,] durch das Intervall [0,T] durch den Übergang von epi epi*/300 Zeitintervall Jahr, in dem eine Wolerzahl bestimmt wurde; N T / ist Anzahl der Beobachtungsintervalle Länge des Vetors v Anzahl der Stützstellen; Wellenzahl wieder, Periode T/ 300J./, Frequenz /T; Grundrequenz also /T. 68

9 Gibt es Schwingungen, die nicht erannt werden önnen? Es önnen nur periodische Vorgänge erasst werden mit einer Periode > Jahre, da bei leineren Perioden die Schwingung einer als die einste Unterteilung Jahr wäre, und daher als solche nicht erennbar ist. Daher ist die größte beobachtbare Wellenzahl gleich N/50, entspricht der Frequenz N//T/, der sog. Nyquist- Frequenz Berechne y FFTv y0 ist die Gesamtsumme aller Wolerzahlen und wird gleich 0 gesetzt enthält eine Angabe über Periodizität. 69

10 Die anderen Koeizienten von y enthalten die Größe der verschiedenen Frequenzanteile von g aber als omplee Zahlen. Berechne p y ür,..., N / also untersuche nur die Beträge der Frequenzanteile bis zur Nyquist-Wellenzahl N/. p misst die Größe der -ten Vielachen der Grundrequenz, also der Frequenz / T / N ür,,...,n/ Anders ausgedrüct bestimmt p das Gewicht der Periode / T / in der Funtion. 70

11 Wir tragen nun den Vetor p au gegen die dazugehörigen Perioden T/,,...,N/ Betragsquadrate der Fourieroeizienten, augetragen über die dazugehörigen Perioden. Wir önnen den Zylus von Jahren diret ablesen. 7

12 Allgemeines Problem: In welcher Form stellt man numerische Daten dar? Normalerweise aus Messwerten: Samples Dies entspricht einer Darstellung im Ortsraum. Nachteil: Viele Daten, schlecht omprimierbar, eine Analyse! Besser: Übergang zu einer Darstellung bzgl. geeigneter Basisuntionen z.b., ep, cos,... Dann reichen ev. wenige Koeizienten aus, um das Signal ast vollständig zu beschreiben. Außerdem ann man aus den Koeizienten Schlüsse über das Verhalten der Funtion ziehen Frequenzanalyse. 7

13 Beispiel: 0.5*sin 0. * sin0 Zwei Koeizienten reichen aus zur Beschreibung Die Koeizienten bezeichnet man auch als Beschreibung der Funtion im Phasenraum Frequenzraum 73

14 JPEG: Bilder werden üblicherweise als Matri gespeichert, deren Einträge pielweise den Grauwert des entsprechend nummerierten Piels enthalten, bzw. bei Farbbildern den Anteil einer der drei Farbomponenten Rot, Grün oder Blau RGB. RGB wird meist in der YUV-Form umgewandelt, bei der die Matri Y die Helligeit beschreibt, und U und V den Farbton U,V lassen sich stärer omprimieren!. JPEG zerlegt das Bild in 8 8 Piel große Blöce, die zunächst getrennt bearbeitet werden. Au ede dieser Teilmatrizen wird eine zweidimensionale Cosinus-Transormation angewandt: DCT Warum DCT, warum nicht DFT? Bilddaten sind reell, und das Bild ist nicht periodisch! 74

15 Aus Anwendung der DCT erhält man ür die Teilmatrizen wieder die Frequenzanteil-oeizienten a und b in Teilmatrizen. Die Teilmatri mit den Frequenzanteilen wird nun quantisiert,d.h. die darin stehenden reellen Zahlen werden bestimmten Zahlenintervallen zugeordnet und Intervallweise eweils durch eine Zahl angenähert, die ür ein ganzes Intervall gilt. Dadurch werden auch automatisch alle leinen Komponenten, die in dem ersten Intervall mit den leinsten Werten liegen, durch Null ersetzt. Dies erzeugt einen Qualitätsverlust! Die entstandene Gesamtmatri aus den disreten Zahlenwerten wird codiert Human-Codierung 75

16 Nachteile: Fourier-Methoden haben Schwierigeiten mit Kanten in Bildern Kanten Unstetigeiten Durch stetige Funtionen cos, sin sind Kanten schlecht darstellbar! Dierenzierbareit! Kosten der DCT: On logn bei n Piel. Zu teuer. Daher DCT au 88-Blöce. JPEG000: Anstatt Cosinus-Transormation au 8 8 wendet man eine Wavelet-Transormation au größere Teilmatrizen an. Wavelet-Ansatzuntionen haben eine Problem mit Kanten, vgl. B-Splines. Genauere Untersuchung olgt später. Kosten ür Wavelet-Transormation On 76

17 Beispiel: MATLAB Gibbs-Phänomen recht.m Fourieroeizienten ür Rechtecsignal; Überschwingen an Kante unvermeidbar bei Darstellung durch endliches trigonometrisches Polynom! 77

18 Lineare Filter: Betrachte Vetor v, dessen Komponenten wieder disrete Werte einer Funtion oder eines Bildes darstellen Sampling. Zunächst -dimensional. Wir iltern diesen Vetor, indem wir ede Komponente ersetzen durch eine gewichtete Kombination der Nachbaromponenten. So entspricht die Mase: 4 [ ] der Operation v v v v 4, bzw. der Matrimultipliation 78

19 79 v v , 8 4,,,,,, i i i i i i v v v v v v Im zwei-dim. entspricht dies z.b. der Mase Vorsicht am Rand! Fehlende Werte haben Einluß au Messwerte! Man benötigt Annahmen ür v 0 und v n. Was ist sinnvoll?

20 Genauso Gaussilter: 6 Dies entspricht glättenden Filtern, die zu einem weicheren Bild ühren: Mittelwertilter, Glätter, Weichzeichner, oder Tiepassilter zur Abschwächung von Rauschen, bzw. hochrequenten Anteilen. Hochrequente Störungen, die einzelne Komponente verändern, werden durch die Mittelwertbildung verringert! Entsprechend ann man Hochpassilter deinieren, die die Unterschiede hervorheben, das Bild härter machen und niederrequente glatte Anteile abschwächen Dierenzilter, Scharzeichner. 4 80

21 z.b. Laplaceilter: Sobelilter , Bisher entsprechen die Methoden einer Filterung im Ortsraum. Im Gegensatz dazu ann man auch Filter im Phasenraum Frequenz~ zum Enternen von Rauschen Noise verwenden: v DFTv Filter IDFTv Also Transormation in Fourier-Koeizientenraum, dann Filtern der Koeizienten Gewichten/Löschen, dann Rüctransormation vgl. MP3 Hochpassilter, Tiepass, Filterband, 8

22 Filtern von Lena: Original Mittelwertilter Redution Dierenzilter Redution 8

23 83 [ ] / [ ] / Wavelets: Betrachte Kombination von Tiepassilter und Hochpassilter im -Dimensionalen zu Masen und v v v h t Ersetze den ursprünglichen Vetor verlustrei durch tie-, bzw. hochpass-geilterte Vetoren halber Länge down sampling: oder

24 v nur anders sortiert Der Dierenzanteil v h ist in der Regel lein und wird nicht weiterbearbeitet! Der Mittelwertanteil tiepassgeiltert v t wird nach demselben Schema weiteraugespalten wiederum in Tie/Hochpassanteil durch dieselben Masen. 84

25 Insgesamt: v Level 0, Länge n v t v h Level, n/ v t v h Level, n/4... v t v h Level p, Ersetze nun den Ausgangsvetor v R n durch den letzten Mittelwertanteil au Level p und sämtliche Dierenzanteile v h, das sind auch genau n Zahlen. v h und v t entsprechen quasi den Fourieroeizienten 85

26 Vorteile: Gesamtosten der Transormation On Dierenz-Anteile meist lein gut omprimierbar Dierenzanteil au Level enthält Inormation über das Verhalten von v au diesem Level, bzw. in dieser Aulösung Multisalenanalyse, Zerlegung des Vetors in verschiedene Frequenzbereiche Salen Entspricht in etwa der Fourier-Analyse Filter müssen sparse sein damit billig, leicht umehrbar invertierbar damit Original reonstruierbar! vgl. DFT und IDFT Auspalten in Frequenzanteil hoch tie. 86

27 Algorithmische Ähnlicheit zur Fourier-Transormation am Beispiel des Haar-Filters mit den Masen [ ] und [ ] : Butterly u v uv/ u-v/ 87

28 v 0 v 0 v / v 0 v / v 0 v 4 / v v 0 -v / v v v 3 / v 0 -v / v 3 v -v 3 / v 4 v 4 v 5 / v 4 v 6 / v 0 -v 4 / v 5 v 4 -v 5 / v 6 v 6 v 7 / v 4 -v 6 / v 7 v 6 -v 7 / 88

29 0 0 / 0 / 0 4 / 0 - / 3 / 0 / 3 3 / / 4 6 / 0 4 / / / 4 6 / /

30 v wird dabei transormiert in alle Dierenzanteile und den letzten Mittelwert. Unterschied zur DFT: eine Sortierphase, einacher Butterly, nur die Mittelwertanteile werden weiter bearbeitet On 90

31 Ergänzung: Funtionsansatz: Erinnerung: lineare B-Splines Hut-Funtion y Φ Φ- Φ: alle Φ- 0 Äquidistante Stützstellen,-,0,,, Zur Vereinachung betrachten wir den onstanten B-Spline 0: Φ: y Φ Φ- alle Φ- 0 9

32 Φ heißt Salierungsuntion und lieert Basis Φ-, Weiterhin erüllt Φ die Salierungsgleichung Φ Φ Φ- Stellt die Beziehung her zwischen ein/grob disretisiert. y Φ: als Umsalierung von Φ Genauso lieern Φ- einere Ansatzuntionen z.b. Φ0.5 Φ*0.5 Φ*0.5- Φ0.5 Filter-Mase [ ], denn *Φ *Φ- zu Tiepass-Filter Mittelwertilter 9

33 Notwendig ist zweiter Hochpass-Filter Dierenz-Filter. Deiniere dazu zur Salierungsuntion Φ die eigentliche Waveletuntion W *Φ - *Φ-, Mase [ - ] y W: Wichtig: Orthogonalität der Ansatzuntionen! Φ W d 0 Warum sind diese Funtionen orthogonal? Φ- sind Basis zu einerer Disretisierung und höherer 93 Aulösung Genauigeit.

34 Mit den obigen Beziehungen ann Φ eindeutig durch Φ und W dargestellt werden: Φ Φ Φ W Φ Φ Φ Φ Φ W / Φ W / oder umgeehrt Gegeben: a Φ- Nun önnen wir den Übergang von Koeizienten zur Basis Φ- zu Koeizienten bezgl. Φ-, W- beschreiben a Φ- a Φ-W- / a Φ-- a Φ--W- / 94

35 W b a W a a a a W a W a a a a hochpass tiepass Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ gerade/ungerade

36 Anwendung der beiden Filtermasen [ ] / und [ - ] / au die Koeizienten a lieert neue Koeizienten zu hoch/tiepass-geilterten Teil-Funtionen. Umgeehrt ann aus den beiden geilterten Teiluntionen die Gesamtuntion wieder reonstruiert werden mittels a tiepass 0 a a a Φ 0 0 Φ b Φ 0 b 0 Φ Φ 0 0 a Φ b a hochpass b W 0 Φ a Φ Φ Φ 96

37 Also Anwendung der Filter [ ] und [ - ] au die Koeizienten der hoch/tiepassgeilterten Koeizienten lieert die Koeizienten zur eineren Disretisierung. Funtionenamilien au verschiedenen Salen: Φ-,..., -,0,,... Φ-,..., -,0,, Φ -,..., -,0,,...,...,-,0,,... 97

38 98 Basisumrechnung von : a b a Φ - Φ - - W - - beschrieben durch die Transormation der Koeizienten: entsprechend Tie- und Hochpassilter mit Haar-Filter.

39 99 Umehrung mit b a a Reursive Wiederholung: a a - b - a - b -.. a 0 b 0

40 Wavelet als Verschmelzung der lassischen Filter und Fourieranalyse mit der Idee loaler Basisuntionen wie bei den B-Splines. Haar-Filter Haar-Wavelet 00

41 0

42 Fourier-Analyse FFT cos, sin Salierung Alle gleichberechtigt globaler Träger Multisalen-Analyse Wavelet W -m, Φ -m Shit m, Salierung Mittelwert/Dierenz loaler Träger eine Variationsmöglicheit Kantenproblem Volle Reursion Kosten On logn Frequenz aus Fourieroeizienten Wahl von Approimationsgüte und Di bareit Loal, adaptiv Reursion nur im Mittelwert Kosten On Frequenz aus Waveletoeizienten 0