Aufg.-Nr.: 15 Bereich: ganzrat. Funktionenschar Kursart: LK WTR

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Waldemar Böhler
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1 Aug.-Nr.: 5 Bereich: ganzrat. Funtionenschar Kursart: LK WTR Olympiaschanze Die große Olympia-Schanze in Garmisch-Partenirchen hat etwa das in der Abbildung erennbare Proil. Für die marierten Punte A und B gilt dabei: A liegt 8 m höher als B. Die waagerechte Enternung zwischen den beiden Punten beträgt rund m. a Bestimmen Sie eine ganzrationale Funtion möglichst niedrigen Grades, die das Proil des Ausprunghügels im Bereich on A bis B näherungsweise beschreibt.. Dabei liege A im Ursprung des Koordinatensystems. Die Steigung des Ausprunghügels in den Punten A und B werde modellhat ereinachend als null angenommen. Geben Sie die Koeizienten mit oller Taschenrechner-Genauigeit an. Au die Kontrolle hinreichender Kriterien ann erzichtet werden. Vergleichen Sie das maximale Geälle des Graphen der on Ihnen ermittelten Funtion (im releanten Bereich mit der Angabe in der Abbildung. b Beweisen Sie: Bei ganzrationalen Funtionen der Form (xax +bx (a, b 0 liegt die Wendestelle genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen. c Nun soll das Aussehen des Ausprunghügels ariiert werden: Der Höhenunterschied zwischen den Punten A und B soll weiterhin 8 m betragen. Die waagerechte Enternung sei nun Meter (>0. Die Proile der erschiedenen so entstehenden Ausprunghügel sollen analog zu Augabenteil a durch eine Funtionenschar ganzrationaler Funtionen beschrieben werden. Ermitteln Sie die Gleichung dieser 6 4 Funtionenschar. (Zur Kontrolle: x x Bestimmen Sie die waagerechte Enternung zwischen A und B so, dass ein maximales Geälle on 9 o entsteht? d Wegen Schneemangels wird der Ausprunghügel aus Augabenteil a in einer Breite on 40 m mit einer Kunstschneedece präpariert, die (gemessen parallel zur y-achse überall gleichmäßig dic ist. Im Bereich zwischen den Punten A und B werden dazu 000 m Kunstschnee augetragen. Berechnen Sie die Schneehöhe (gemessen parallel zur y- Achse. e Die Länge des Ausprunghügels zwischen den Punten A und B ann nicht elementar berechnet werden, da es sich um eine gerümmte Linie handelt. Leiten Sie analog zu den typischen Näherungsideen der Analysis ein Verahren zur numerischen näherungsweisen Berechnung dieser Länge her, indem Sie die wesentlichen Schritte dieses Verahrens beschreiben. ANHANG: Abbildung des Schanzenproils Zusammengestellt on den Fachdezernenten Mathemati der 5 Bezirsregierungen in NRW /

2 Aug.-Nr.: 5 Bereich: ganzrat. Funtionenschar Kursart: LK WTR Zusammengestellt on den Fachdezernenten Mathemati der 5 Bezirsregierungen in NRW /

3 Lösung a Lege das Koordinatensystem so, dass A im Ursprung liegt. Ansatz ax + bx + cx + d ax + bx + c Bedingungen (0 d (0 c ( a ( a + b 8 + b III IV b 4 b in IV a + a Daraus olgt die Funtionsgleichung 6 4 x x (ergleiche Ergebnis mit der Kontrolle in c Die Abbildung zeigt den weiteren Verlau des Graphen. Volle Taschenrechner Anzeige bedeutet: a, und b Sebastian Hoheisel Seite on 4

4 Gesucht ist das maximale Geälle des Graphen im releanten Bereich, also das Maximum der ersten Ableitung!! on. 9 x 7004 ( 7 x x x 55 5 notwendige Bedingung: ( 9 7 x x x hinreichende Bedingung: und 0 < 0 Die erste Ableitung hat an der Stelle x 78 ein Maximum. ( Steigungswinel zum Vergleich mit der Zeichnung: tanα α 7, 9 04 In der Zeichnung ist sind die Winel 7,96 und 5,5 augeührt. Au halber Strece zwischen A und B, also genau bei x 78 in dem orgegebenen Koordinatensystem erhält man also einen plausiblen Wert. Die Funtion modelliert den Hügel im releanten Bereich gut. b + ax bx ax + bx 6ax + b 6a Die Extremstellen ergeben sich aus ax + bx b x (ax + b x und x a Die Wendestelle ergibt sich aus b b 6ax + b x 6a a Die Wendestelle liegt also genau in der Mitte der beiden Extremstellen. 007 Sebastian Hoheisel Seite on 4

5 + c Ansatz ax + bx + cx + d ax + bx c Bedingungen (0 d (0 c ( a ( a + b 8 + b III IV 4 b 4 b in IV a + 0 a 6 4 x x Im Prinzip ehrt man das Verahren aus a um x x ; ( x x x x,5 (0,5 tan 9 50,04 Die Enternung zwischen A und B muss also ungeähr 50m betragen, um ein maximales Geälle on 9 zu haben. d Verschiebe den Funtionsgraphen um die Höhe h und berechne h dx h 000m 5 Weiter gilt h 5m h m 0, 6m 6cm 40m Die Schneehöhe beträgt also 6 cm Sebastian Hoheisel Seite on 4

6 e Für die exate Berechnung der Bogenlänge einer gerümmten Linie gilt die Formel L b + ( dx a Da nur eine näherungsweise Berechnung erlangt wird, reicht hier eine Beschreibung dessen, was unten sehr ormal hergeleitet wird. Die gerümmte Linie wird angenähert durch einen Polygonzug, bestehend aus einzelnen Geradenstücen. Dieser Polygonzug wird immer weiter ereinert, bis man annähernd die Länge der Kure berechnen ann. Formal sieht das so aus: Zerlege das Interall a x b durch die Punte x, x,..., x n in n, nicht notwendig gleiche Teile. Die zu diesen x-koordinaten gehörigen, au dem Kurenbogen liegenden Punte seien P, P,,P n-. Verbindet man diese geradlinig, so erhält man einen Sehnen- oder Polygonzug. Setzt man x x x und y y y, so erhält man ür die einzelnen Sehnenlängen nach Pythagoras: s + ( y ( y + Die Länge des gesamten Sehnenzuges ergibt sich durch Summation der einzelnen Teilstüce, also s n n Summe ( y +, x a 0 und x n b (das Zeichen steht ür Für die im Interall a x b stetig dierenzierbare Funtion gibt es (Mittelwertsatz ür jedes Interall x x x eine Stelle z mit ( y z x mit x z x Strebt n nun gegen Unendlich, dann ist, unabhängig wie die Teilung gewählt wurde: lim s n n n ( dx lim + ( ( z + n b a Das Verahren ist ähnlich zur Berechnung on Ober und Untersumme bei Integralen. 007 Sebastian Hoheisel Seite 4 on 4

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