Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 1 von 8. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Transkript

1 Seite von 8 Unterlagen für die Lehrraft Abiturprüfung 009 Mathemati, Leistungsurs Aufgabenart Analysis Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3 Materialgrundlage entfällt Bezüge zu den Vorgaben 009 Inhaltliche Schwerpunte Untersuchung von ganzrationalen Funtionen, gebrochen-rationalen Funtionen einschließlich Funtionenscharen, Exponentialfuntionen und Logarithmusfuntionen mit Ableitungsregeln (Produtregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) Flächenberechnung durch Integration Medien/Materialien entfällt 5 Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafifähigeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite von 8 6 Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6 Modelllösungen Modelllösung a) () Die Graphen von f sind puntsymmetrisch zum Koordinatenursprung, denn für alle x IR gilt: ( x) x f ( x) = ( x) e = x e = f ( x) x Da der Nenner von f( x) = unabhängig von sowohl für x + als auch für x e x x stärer als der Betrag des Zählers wächst, gilt lim f( x) = lim = 0 ; x ± x ± x e die x-achse ist Asymptote der Graphen von f () Schnittpunte mit den Koordinatenachsen: x f ( x ) = 0 x e = 0 x = 0 x = 0, da Bestimmung der Extrempunte: ( ) ( ) x x x x e 0 für alle x IR N(0 0) = S y f ( x ) = e + x 8 x e = 6 x e (Produt-, Kettenregel) Die notwendige Bedingung ( ) liefert zwei mögliche Extremstellen x f ( x) = 0 6x e = 0 x =± Neben f ( x e ) = 0 gilt für x = und für > 0 nun weiter: e Mit dem ( /+)-Vorzeichenwechsel der Ableitung an der Stelle x = oder e ( ) 0 mit ( ) e ( 8 8 x f x x x) e f x =, onret f 8 e 0 = >, folgt: Für > 0 hat f an der Stelle x = ein loales Minimum e Analog ergibt sich für < 0 ein loales Maximum von f in x = e Wegen der Puntsymmetrie zum Ursprung liegen folglich für > 0 relative Hochpunte bzw für < 0 relative Tiefpunte an der Stelle x = e

3 Seite 3 von 8 Da die x-koordinaten der Extrema unabhängig von sind, liegen sie für alle an den Stellen x = und x = und somit auf zwei Parallelen zur y-achse (3) Existenz von drei Wendepunten: Die Graphen der (stetigen) Funtionen f besitzen drei Wendepunte, denn: zwischen Minimum und Maximum müssen die Graphen ihr Krümmungsverhalten ändern bzw ein zum Ursprung O(0/0) puntsymmetrischer Graph muss einen Wendepunt im Ursprung besitzen, für x ± ist die x-achse Asymptote der Graphen; die Graphen müssen vor bzw nach dem Extremum das Krümmungsverhalten ändern, da sie die x-achse nicht noch einmal schneiden Modelllösung b) () Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecs: A( g, h) Für das beschriebene Dreiec gilt onret: g = v; v > 0 ; daraus ergibt sich die Zielfuntion A mit mit der Ableitung Bestimmung des Maximums: Die notwendige Bedingung 3 = ( ) ( 8 ) v A v v v e 3 ( ) ,5 0,5 gh = ( ) v h= f v = v e, da > 0, v A ( ), v = v e > 0, v > 0, A v = v v = v = v = v = liefert als mögliche Extremstelle v = 0, 5, da v > 0 = + Aus ( ) ( 0 6 ) v A v v v e A = A = e < folgt: (0,5) 0 (0,5) 0 An der Stelle v = 0,5 hat die Funtion Überprüfung von A am Rand des Definitionsbereiches: A das loale Maximum ( ) Wegen lim A( v) = lim A( v) = 0 ist A (0,5) auch globales Maximum v 0 Das Dreiec 0,5 e FE v A 0,5 = 0,5 e OVW hat also für v = 0,5 den größten Flächeninhalt Dieser beträgt

4 Seite von 8 () Zwei Graphen sind achsensymmetrisch zur x-achse, wenn sich ihre Funtionswerte nur im Vorzeichen unterscheiden Es muss also nachgewiesen werden, dass für alle > 0 f ( x) = f ( x) gilt Mit x x f ( x) = ( ) x e = x e = f ( x) lässt sich diese Aussage durch Nachrechnen bestätigen Da die Dreiece OVW und OVW dieselbe Grundseite OV und wegen der Achsensymmetrie der Graphen von f und f die gleiche Höhe h VW VW = = haben [sie also ongruent sind], haben sie auch für jedes v > 0 denselben Flächeninhalt Daher hat auch für < 0, insgesamt für jedes beliebige 0, das Dreiec OVW für v = 0,5 den größten Flächeninhalt [Dieser beträgt stets 0,5 e FE ] Modelllösung c) () Eine Stammfuntion F von f ann mit Hilfe von Substitution bestimmt werden: Man schreibt zunächst: ( ) x ( 8 ) x f x = x e = x e Im Ansatz ( ) b h(b) g h( x) h ( x)d x = g( z)dz ist dann a h(a) gz () z = e mit G(z) = e z und = x mit h( x) 8 hx ( ) = x Die Integrationsgrenzen bezeichnet man weiterhin mit 0 und s, denn es gilt h(0) = 0 und für jedes s IR + ist s: = h(s) IR + ( ) s e ( 8 x) dx e dz e = = s x z x 0 0 Durch Einsetzen ergibt sich dann: Durch ( ) x F x = e ist also eine Stammfuntion von f gegeben () Bestimmung der Fläche zwischen den Graphen von f und f im Intervall [0;s], s IR + : Da die Fläche vollständig im Quadranten liegt und f ( x) > f ( x) für alle x IR + gilt, folgt: ( ) s 0 s s s s x x x A = ( f ( x) f ( x))dx = x e x e dx = xe d x = f ( x)dx Es reicht hier auch zu zeigen, dass f f = f ist

5 Seite 5 von 8 6 Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) Puntzahl () weist die Puntsymmetrie zum Ursprung nach (II) () untersucht das Unendlicheitsverhalten (II) 3 () berechnet die Schnittpunte mit den Koordinatenachsen (I) () berechnet die Ableitung (I) 5 () berechnet Extremstellen mit notwendiger und hinreichender Bedingung 6 (I) 6 () entscheidet anhand einer Fallunterscheidung über Minimum und Maximum (II) 7 () begründet, dass die Extrema auf Parallelen zur x-achse liegen (II) 8 (3) begründet die Existenz von drei Wendepunten 3 (II) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Puntzahl bewertet Teilaufgabe b) Puntzahl () bestimmt einen Zielfuntionsterm (II) () bestimmt die loale Maximalstelle 5 (II) 3 () berechnet den en Flächeninhalt (I) () zeigt durch Untersuchung der Randbedingungen, dass das Maximum auch global ist 5 () weist die Achsensymmetrie der Graphen von f und (II) f nach 3 (II) 6 () ermittelt anhand dieser Symmetrie für beliebiges 0, für welchen Wert von v der Flächeninhalt des Dreiecs OVW ist Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Puntzahl bewertet 3 (III) AFB = Anforderungsbereich

6 Seite 6 von 8 Teilaufgabe c) () bestimmt eine Stammfuntion von f Puntzahl 5 (II) () gibt einen Ansatz zur Bestimmung des Flächeninhalts an (I) 3 () weist die Gültigeit der Aussage nach 3 (III) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Puntzahl bewertet

7 Seite 7 von 8 7 Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) Puntzahl () weist die Puntsymmetrie (II) () untersucht das Unendlicheitsverhalten (II) 3 () berechnet die Schnittpunte (I) () berechnet die Ableitung (I) 5 () berechnet Extremstellen mit 6 (I) 6 () entscheidet anhand einer (II) 7 () begründet, dass die (II) 8 (3) begründet die Existenz 3 (II) sachlich richtige Alternativen: (3) Summe Teilaufgabe a) 3 Lösungsqualität EK ZK DK Teilaufgabe b) Puntzahl () bestimmt einen Zielfuntionsterm (II) () bestimmt die loale 5 (II) 3 () berechnet den en (I) () zeigt durch Untersuchung (II) 5 () weist die Achsensymmetrie 3 (II) 6 () ermittelt anhand dieser 3 (III) sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe b) 7 Lösungsqualität EK ZK DK EK = Erstorretur; ZK = Zweitorretur; DK = Drittorretur

8 Seite 8 von 8 Teilaufgabe c) Puntzahl () bestimmt eine Stammfuntion 5 (II) () gibt einen Ansatz (I) 3 () weist die Gültigeit 3 (III) sachlich richtige Alternativen: (0) Summe Teilaufgabe c) 0 Lösungsqualität EK ZK DK Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe